phòng giáo dục và đào tạo kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn thi: Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút (không tính thời gian phát đề) Ngày thi 11 tháng 01 năm 2011 Câu 1 (2,5 điểm): a/ Tính giá trị của biểu thức: P = 14 6 5 14 6 5+ + b/ Rỳt gn biu thc 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x x x x x + + + với x 0; x 4; x 9 c/ Cho 3 2 ; 3 2x y= + = . Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức A = x 5 + y 5 . Câu 2 (2 điểm): a/ Giải phơng trình: 2 1 4x x + = b/ Tìm m để hệ phơng trình 4 10 4 mx y m x my + = + = có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x > 0; y > 0. Câu 3 (1 điểm): Cho hàm số y = (a 1)x + a với a 1. Tìm a để đồ thị của hàm số trên cắt trục tung tại điểm A, cắt trục hoành tại điểm B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 2. Câu 4 (3 điểm): Cho đờng tròn (O; R). Từ một điểm A nằm ngoài đờng tròn, kẻ các tiếp tuyến AB và AC vuông góc với nhau (B và C là các tiếp điểm). M là một điểm trên cung nhỏ BC, tiếp tuyến tại M cắt AB và AC lần lợt tại E và F a/ Tính số đo góc EOF ? b/ Biết EF = 5 6 R , tính diện tích tam giác OEF và diện tích tam giác AEF. c/ Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC sao cho EF có độ dài nhỏ nhất. Câu 5 (1,5 điểm): a/ Cho a; b; c là các số nguyên, biết rằng a + b + c chia hết cho 6. Chứng minh a 3 + b 3 + c 3 chia hết cho 6. b/ Chứng minh 2 2 4 2 10 26x x x+ + + + Hết Họ và tên: SBD Chữ kí GT 1: Đề thi chính thức Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2010-2011 môn: toán 9; ngày thi 11/1/2011 Câu Đáp án Điểm Câu 1 (2,5 đ) a/ ( ) ( ) 2 2 14 6 5 14 6 5 3 5 3 5+ + = + + 3 5 3 5 3 5 3 5 6+ + = + + = 0,5 0,5 b/ 2 9 3 2 1 2 9 3 2 1 5 6 2 3 ( 2)( 3) 2 3 2 9 ( 3)( 3) (2 1)( 2) ( 2)( 3) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + = + + + + + = 2 ( 2)( 3) x x x x = 3 1 )3)(2( )2)(1( + = + = x x xx xx 0,25 0,25 0,25 0,25 c/ Tính đợc x + y = 6 và xy = 7 Tính đợc x 2 + y 2 = 22 Và x 3 + y 3 = 90 Tính đợc x 5 + y 5 = (x 2 + y 2 )(x 3 + y 3 ) x 2 y 2 (x + y) = 1686 HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết đến 0,25 đ 0,25 0,25 Câu 2 (2 đ) a/ Đa đợc về dạng 1 2 4x x+ = ĐK có nghiệm x 2 Biến đổi về PT (x 3)(4x 5) = 0 Tìm đợc x = 3 (thoả mãn); x = 5 4 (loại) HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết đến 0,25 đ 0,25 0,25 0,25 0,25 b/ Từ pt (2) ta có x= 4- my Thay vào (1) => m (4-my) + 4y = 10- m => 4m m 2 y + 4y = 10- m <=> (4-m 2 )y = 10-5m <=> (2-m)(2+m)y =5(2-m) (*) Để hệ pt có nghiệm duy nhất thì pt (*) có nghiệm duy nhất => (2- m)(2+m) 0 => m 2 => y = 5 2 m+ ; x= 8 2 m m + Giải điều kiện y > 0 tìm đợc m > -2 Với m > -2 và x > 0 tìm đợc m < 8. Kết luận -2 < m < 8 và m 2 HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết đến 0,25 đ 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 3 (1 đ) a/ Tìm đợc OA = a; OB = 1 a a ; diện tích của tam giác OAB có diện tích bằng 2 => a 1 a a = 4 Đa đợcvề PT : a 2 = 4(1 a) 0,25 0,25 Tìm đợc a = 2 và 2 2 2; 2 2 2a a= = 0,25 0,25 Câu 4 (3 đ) a/ CM đợc ã ã 1 2 MOE MOB= ; ã ã 1 2 MOF MOC= => ã ã 1 2 EOF BOC= Chứng minh đợc ã 0 90BOC = => ã 0 45EOF = b/ Tính đợc diện tích tam giác OEF = 2 5 12 R Chứng minh S OEF = 1 2 S OBEFC => S OBEFC = 2 5 6 R Ta có S ABOC = R 2 => S OEF = 2 1 6 R c/ Đặt AE = x vàAF = y Suy ra 2 2 EF x y= + Chu vi tam giác AEF = 2a. 2 2 2x y x y a+ + + = ( ) 2 2 2 2( )x y x y+ + suy ra 2 2 2. x y x y+ + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 . 1 2a x y x y x y EF= + + + + + = + Vậy EF có dộ dài nhỏ nhất bằng 2 1 2 a + khi x = y vậy M là chính giữa cung BC 0,5 0,25 0,25 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 5 (1,5 đ) a/ Ta có: (a 3 + b 3 + c 3 ) (a + b + c ) = a(a-1)(a+1) + b(b-1)(b+1) + c(c-1)(c+1) Tích của 3 STN liên tiếp chia hết cho 2 và 3 nên chia hết cho 6 Từ đó suy ra a 3 + b 3 + c 3 chia hết cho 6. 0,25 0,25 0,25 b/Chứng minh đợc 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )a b c d a c b d+ + + + + + Từ đó suy ra 2 2 2 2 2 2 4 2 10 2 ( 1) 3 26x x x x x+ + + + = + + + Dấu = xảy ra khi x = 5 2 0,25 0,25 0,25 O M A C B E F . dục và đào tạo kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn thi: Toán lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút (không tính thời gian phát đề) Ngày thi 11 tháng 01 năm 2011 Câu 1 (2,5 điểm): a/ Tính giá trị