Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8;PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOHUYỆN THIỆU HÓA (Đề gồm 01 trang)ĐỀ THẨM ĐỊNH HSG LỚP 8 CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2017 2018Môn: ToánThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 11 tháng 4 năm 2018Bài 1 (5 điểm): Cho biểu thức a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định. b) Rút gọn A. c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A?Bài 2: (4 điểm)a Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9b) Tìm các số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và Bài 3: : ( 4 điểm ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD. Qua A vẽ đường thẳng AK song song với BC. Qua B vẽ đường thẳng BI song song với AD. BI cắt AC ở F, AK cắt BD ở E. Chứng minh rằng a.EF song song với ABb.AB = CD . EFBài 4: (3 điểm)Cho hình thang cân ABCD có góc ACD = 600, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của OA, OD, BC. Tam giác EFG là tam giác gì? Vì sao? Bài 5: ( 2 điểm ) Giả sử x, y, z thỏa mãn : x.y.z = 1992Chứng minh rằng : Bài 6 : ( 2 điểm ) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .HẾT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOHUYỆN THIỆU HÓAHƯỚNG DẪN CHẤMĐỀ THẨM ĐỊNH HSG LỚP 8 CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2017 2018Môn: ToánCâuNội dungĐiểmBài 15 điểma)Điều kiện: x y; y 0 b)A = 2x(x+y)c)Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, Từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2 A = 2 – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1)2 với x y; y 0 ) A 2 với x y; y 0 . mà A nguyên dương nên A = 1 hoặc A = 2+ A = 2 khi + A = 1 khi Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng hạn: + Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 (1đ) (2đ)0.5đ0.5đ0.25đ0.25đ0.5Bài 2Nội dung4 ĐiểmTa phải chứng minh: A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 9 với n ZA = n3 + n3 + 3n2 + 3n + 1 + n3 + 6n2 + 12n + 8 = 3n3 + 9n2 + 15n + 9 = 3n3 – 3n + 9n2 + 18n + 9 = 3n(n – 1)(n + 1) + 9n2 + 18n + 9Nhận thấy n(n – 1)(n + 1) 3 nên 3n(n – 1)(n + 1) 9 Và 9n2 + 18n + 9 9Vậy A 9b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0 (x y)2 + (y z)2 + (z x)2 = 0 x2009 = y2009 = z2009Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z = 3. Vậy x = y = z = 30,5đ0,5đ0,5đ0,5đ0,5đ 0, 5 đ0,5 đ0.5đBài 3Nội dung4 điểm a) Chứng minh EF song song với AB : A BVì AB DC ( gt ABCD là hình thang ) Nên góc ABD = góc EDK ( so le trong ) Góc EAB = góc EKD ( so le trong ) E F AEB ~ KED ( g.g) ( 1 ) D K I CTương tự góc FBA = góc FIC ( so le trong ) Góc FAB = góc FCI ( so le trong ) AFB ~ CFI ( g. g ) ( 2 ) Mà CI = KD ( vì cùng bằng CD – AB ) Nên từ (1) và (2) suy ra EF KC hay EF AB ( đpcm ) b. Chứng minh : AB = CD. EF. Từ AEB ~ KED ( cm trên ) vì AB = KC ( ABKC là hình bình hành ) Mặt khác EF DI ( cm trên ) ( vì DI = AB ) ( 2 ) Từ (1) và (2) suy ra ( ĐPCM) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5đ0,5đ 0, 5đ 0,5 đBài 4Nội dung3 điểm3đ Do ABCD là hình thang cân và Suy ra và là các tam giác đều. Chứng minh vuông tại F Xét vuông tại F có: Chứng minh vuông tại E Xét vuông tại E có: Xét có: Suy ra EF = EG = FG nên đều(0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ)Bài 5Nội dung2 điểm Vì x.y.z = 1992 Nên yz = Ta có Do đó = ( Điều phải chứng minh ) 0.5đ0.5đ0.5đ0.5đBài 6 Nội dung2 điểm 2đ. Vì x + y + z = 1 nên: Ta có: Tương tự: ; (Với mọi x, y, z > 0)Từ đó . Dấu “=” xảy ra khi 0.5đ0.5đ0.5đ0.5đTrên đây là những gợi ý đáp án và biểu điểm, học sinh có thể giải theo cách khác. Tùy vào bài làm cụ thể của học sinh, giám khảo cho điểm tương ứng. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HOÁĐỀ GIAO LƯU HSG LỚP 8 CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2016 2017Môn: ToánThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 12 tháng 4 năm 2017Câu 1: (4.0 điểm)Cho biểu thức: a. Rút gọn P.b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.c. Chứng minh với x thoả mãn ĐKXĐ.Câu 2: (4.0 điểm) a. Tìm số dư trong phép chia đa thức cho đa thức b. Cho M = 2x2 + 2y2 + 3xy x y + 2017. Tính giá trị của M biết xy = 1 và đạt giá trị nhỏ nhất.Câu 3: (4.0 điểm) a. Giải phương trình sau: (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12 b. Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: Chứng minh rằng: có đúng một trong ba số x,y, z lớn hơn 1Câu 4: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Xác định điểm M trong tam giác sao cho tổng các bình phương các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5: (4.0 điểm) Hình thang ABCD (AB CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.a. Chứng minh rằng .b. Biết SAOB= 20162 (đơn vị diện tích); SCOD= 20172 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.Câu 6: (2.0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: Hết PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HOÁĐỀ GIAO LƯU HSG LỚP 8 CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2016 2017Môn: ToánThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 12 tháng 4 năm 2017HƯỚNG DẪN CHẤM BàiNội dungĐiểmCâu14đa. ĐKXĐ : Vậy với 1,5b. Do với mọi Dấu “=” xảy ra khi x = thoả mãn ĐKXĐ Tại x = thì P = Vậy P đạt GTNN bằng khi x = 1,25c.Ta có (Do với mọi x)Do nên không xẩy ra dấu “ =” . Vậy 1,25Câu24đa) Ta có: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) +101 = (x2+5x+4)( x2+5x+6)+101 = (x2+5x+1511)( x2+5x+159)+101 = (x2+5x+15)220(x2+5x+15)+101+99 = (x2+5x+15)220(x2+5x+15)+ 200Do đó đa thức (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + 101 chia cho đa thức x2+5x+15 dư 200.0.50.5 0.50.5b) Biến đổi M = 2x2 + 2y2 + 3xy – x – y +2017 = 2(x + y)2 (x + y) xy +2017Ta có (x y)2 0 (x + y)2 4xyMà xy = 1 nên (x + y)2 4 2 nên Min = 2.Khi = 2 ta có x + y = 2 hoặc x + y = 2+ Thay x + y = 2 và xy = 1 vào biểu thức M ta được M = 2022+ Thay x + y = 2 và xy = 1 vào biểu thức M ta được M = 2026Vậy M = 2022 hoặc M = 20260.250.50.50.50.25Câu34đa) Ta có: (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12 2x3 + 10x = 12 x3 + 5x – 6 = 0 (x3 – 1) + (5x – 5) = 0 (x – 1)(x2 + x + 6) = 0 (Vì VN) Vậy x = 10.5 0.251.00.25đb) Xét (x1)(y1)(z1) = xyz (xy + yz + zx) + (x + y + z) 1 = (xyz 1) + (x + y + z) xyz( ) = (x + y + z) ( ( Do x.y.z = 1 và x + y + z > )Vì (x1)(y1)(z1) > 0 nên 2 trong 3 số x 1 , y1 , z1 âm hoặc cả ba số x1 , y1, z1 là dương.Nếu trường hợp cả ba số đều dương xảy ra thì x, y, z >1 Suy ra x.y.z >1 Mâu thuẫn GT x.y.z =1. Vậy xảy ra trường hợp 2 trong ba số âm, tức là có đúng 1 trong ba số dương. Do đó có đúng 1 trong ba số x, y , z là số lớn hơn 1.1.01.0Câu42đ Kẻ đường cao AH, giả sử tìm được vị trí điểm M như hình vẽ.Từ M hạ ME, MF, MG, MI lần lượt vuông góc với AB, AC, BC, AHTa có: ME2 + MF2 + MG2 = AM2 + MG2 = AI2 + IM2 + MG2 AI2 + IH2 . Dấu “=” xảy ra khi M thuộc AH (1)Lại do AI2 + IH2 = (AHIH)2 + IH2 = AH2 – 2HA.IH + 2IH2 = AH2 (2HA.IH 2IH2 ) = AH2 2IH.(HA IH ) = AH2 – 2AI. IH Do AH không đổi nên ME2 + MF2 + MG2 nhỏ nhất khi AI. IH lớn nhấtMà AI + IH = AH không đổi nên AI. IH lớn nhất khi AI = IH = (2)Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của AH.0.50.50.50.5Câu54đ a) Xét có (1), xét có (2)Từ (1) và (2) OM.( ) Chứng minh tương tự ON. Từ đó có (OM + ON). 0.50.50.50.5b) , Dễ có SABD = SABC vì có chung cạnh đáy AB và chiều cao tương ứng.Chứng minh được Thay số để có 20162.20172 = (SAOD)2 SAOD = 2016.2017Do đó SABCD = SAOB + +SCOD = 20162 + 2016.2017 +2016.2017 + 20172= 20162 + 2.2016.2017 + 20172 = (2016 + 2017)2 = 40332 (đv diện tích)0.50.51.0Câu62đTa có : (1)Tương tự: (2) (3)Cộng vế với vế các BĐT (1); (2); (3) suy ra Suy ra (đfcm)0.50.51.0Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Hết UBND HUYỆN VĨNH LỘCPHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOKỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CỤM THCSNăm học 2015 2016ĐỀ CHÍNH THỨCĐỀ GIAO LƯU MÔN: TOÁN LỚP 8Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)( Đề gồm có 01 trang)Bài 1: (4.0 điểm) Cho biểu thức: A = a) Rút gọn biểu thức A.b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị là một số nguyên. c) Tìm x để A Bài 2: (4.0 điểm) a) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x > y > z chứng minh rằng giá trị biểu thức P = x4 ( y z) + y4(z x) +z4( x y) luôn luôn dương. b) Giải phương trình: Bài 3: (4.0 điểm) a) Chứng minh rằng: là hợp số với mọi n là số nguyên dương và lớn hơn 1. b) Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì 5n(5n + 1)–6n(3n + 2n) chia hết cho 91.Bài 4: (6.0 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng: AC = 2EF.c) Chứng minh rằng: .Bài 5: (2.0 điểm) Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3xyzTìm giá trị nhỏ nhất của P = + + Họ và tên thí sinh: …………………………………..; Số báo danh ……………Chú ý: Cán bộ coi giao lưu không được giải thích gì thêm. UBND HUYỆN VĨNH LỘCPHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 20152016 MÔN: TOÁN LỚP 8 ( Đáp án này gồm có 04 trang)BàiNội dungĐiểmBài 1(4.0 điểm)Cho biểu thức: A = Câu a: (1,5 điểm)ĐKXĐ: x 2 , x 3. = = Câu b: (1,0 điểm) Ta có: A = Để A Z thì x 3 ¦(7) = => x Kết hợp với ĐKXĐ ta được x Câu c: (1,5 điểm) Để A thì + 0 0 0TH1: x TH2: x < 3 Vậy: x hoặc x < 3 thì A 0,250,250,50,50,250,50,250,250,50,250,5Bài 2 (4.0 điểm)Câu a: (2 điểm)P= x4 ( yz) + y4(zx) –z4(yz) +(zx)= x4 ( yz) + y4(zx) z4 (yz) z4(zx)= x4 ( yz) z4 (yz) + y4(zx) z4(zx) = (yz)(x4z4) + (zx)(y4 –z4)= (yz)(x2z2)(x2+z2) + (zx)(y2 –z2) (y2 +z2)= (yz)(xz) (x +z) (x2+z2) + (zx)(y –z)(y+z) (y2 +z2)= (yz)(xz) (x +z) (x2+z2) (xz)(y –z)(y+z) (y2 +z2)= (yz)(xz) x3 +xz2 + x2z + z3 – y3 –yz2 –zy2 –z3= (yz)(xz) x3 +xz2 + x2z – y3 –yz2 –zy2 = (yz)(xz) ( x3 –y3) + (xz2yz2) + (x2z – zy2)= (yz)(xz) (xy)(x2+xy +y2) + z2(xy)+z(x2 – y2)= (yz)(xz) (xy) x2 +xy +y2 +z2 + zx + zy= (yz)(xz) (xy)( x+y)2 +( y+z)2 +(z+x)2Vì x>y>z và ( x+y)2 +( y+z)2 +(z+x)2 > 0 nên P > 0Câu b: (2 điểm) Điều kiện: 2x2 5x + 3 0 (2x 3)(x 1) 0 x ; x 12x2 + x + 3 = 2(x + )2 + > 0 với mọi xVới x = 0 không là nghiệm phương trìnhVới x 0 chia cả tử và mẫu của phân thức ở vế trái cho x ta có: (1) Đặt (1) 2y2 13 y+11 =0 (y1)(2y11) = 0 y =1 hoặc y = Với y = 1 2x+ = 1 2x2x+3=0 Phương trình vô nghiệm vì2x2x+3= 2(x )2 + >0Với y= 2x+ = 4x211x +6 =0 (x2)(4x3) =0 x=2 ( tmđkxđ) hoặc x= ( tmđkxđ)Vậy phương trình có 2 nghiệm x=2 ; x = 0,50,50,50,250,250,250,250,250,50,250,250,25Bài 3(4.0 điểm)Câu a: (2 điểm) Xét n = 2k(k )n4 + 4n =(2k)4 +42k chia hết cho 2 và n4 + 4n > 2 n4 + 4n là hợp số Xét n = 2k+1(k ) ta có n4 + 4n = (n2)2 +(2n)2 + 2n2.2n 2n2.2n = (n2+2n)2 – ( n. 2k+1)2 = (n2 + 2n+ n.2k+1)(n2 + 2n n.2k+1)Mà (n2 + 2n+ n.2k+1); (n2 + 2n n.2k+1) > 1. Vậy suy ra n4 + 4n là hợp sốCâu b: (2 điểm)Ta có A = 5n(5n + 1)–6n(3n + 2n) = 25n + 5n – 18n 12n Vì 25n– 18n chia hết cho 7 và 5n 12n chia hết cho 7 nên 25n + 5n – 18n 12n chia hết cho 7. Vì 25n 12n chia hết cho 13 và 5n – 18n chia hết cho 13 nên 25n + 5n – 18n 12n chia hết cho 13. Vì 7 và 13 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A = 5n(5n + 1)–6n(3n + 2n) chia hết cho 910,50,50,50,50,50,50,50,5
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THẨM ĐỊNH HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017 - 2018 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 11 tháng năm 2018 (Đề gồm 01 trang) Bài (5 điểm): Cho biểu thức A 4xy y x2 : 2 y xy x y x a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Nếu x; y số thực làm cho A xác định thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A? Bài 2: (4 điểm) a/ Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho b) Tìm số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx x 2009 y 2009 z 2009 32010 Bài 3: : ( điểm ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD Qua A vẽ đường thẳng AK song song với BC Qua B vẽ đường thẳng BI song song với AD BI cắt AC F, AK cắt BD E Chứng minh a EF song song với AB b AB = CD EF Bài 4: (3 điểm) Cho hình thang cân ABCD có góc ACD = 600, O giao điểm hai đường chéo Gọi E, F, G theo thứ tự trung điểm OA, OD, BC Tam giác EFG tam giác gì? Vì sao? Bài 5: ( điểm ) Giả sử x, y, z thỏa mãn : x.y.z = 1992 Chứng minh : 1992 x y z 1 xy 1992 x 1992 zy y 1992 xz z Bài : ( điểm ) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M 1 16 x y z -HẾT - Trang PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HĨA Câu Bài HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THẨM ĐỊNH HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn: Toán Nội dung a) Điều kiện: x y; y b) A = 2x(x+y) c) Cần giá trị lớn A, Từ tìm tất giá trị nguyên dương A Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + = A + (x – y + 1)2 = A = – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1)2 với x y; y ) A với x y; y mà A nguyên dương nên A = A = x y x + A = 2x x y y x y;y 2 (x y 1) + A = 2x x y Từ đó, cần cặp giá trị x y;y 1 x x y, chẳng hạn: y + Vậy A có giá trị nguyên dương là: A = 1; A = Bài Nội dung Ta phải chứng minh: A = n + (n + 1)3 + (n + 2)3 M9 với n Z A = n3 + n3 + 3n2 + 3n + + n3 + 6n2 + 12n + = 3n3 + 9n2 + 15n + = 3n3 – 3n + 9n2 + 18n + = 3n(n – 1)(n + 1) + 9n2 + 18n + Nhận thấy n(n – 1)(n + 1) M3 nên 3n(n – 1)(n + 1) M9 Và 9n2 + 18n + M9 Vậy A M9 b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = Điểm điểm (1đ) (2đ) 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.5 Điểm 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0, đ Trang x y y z z x 0,5 đ xyz x2009 = y2009 = z2009 Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z = Bài Nội dung a) Chứng minh EF song song với AB : A Vì AB // DC ( gt ABCD hình thang ) Nên góc ABD = góc EDK ( so le ) Góc EAB = góc EKD ( so le ) E AEB ~ KED ( g.g) AE AB EK KD (1) D 0.5đ Vậy x = y = z = điểm B 0,25đ 0,25đ F K I C Tương tự góc FBA = góc FIC ( so le ) Góc FAB = góc FCI ( so le ) AFB ~ CFI ( g g ) 0,25đ AF AB (2) FC CI 0,5đ Mà CI = KD ( CD – AB ) 0,25 đ AE AF Nên từ (1) (2) suy EF // KC hay EF // AB ( đpcm ) AK FC b Chứng minh : AB = CD EF Từ AEB ~ KED ( c/m ) DK AB DE EB DK DE AB = KC ( ABKC hình bình hành ) AB EB AB EB DK KC DB DC DB (1) AB EB AB EB DB DI DB AB Mặt khác EF // DI ( c/m ) ( DI = AB ) ( ) hay EB EF EB EF DC AB Từ (1) (2) suy AB DC.EF ( ĐPCM) AB EF Bài 3đ Nội dung - Do ABCD hình thang cân ·ACD 600 Suy OAB OCD tam giác - Chứng minh BFC vuông F - Xét BFC vuông F có: FG BC - Chứng minh BEC vuông E - Xét BEC vuông E có: EG BC - Xét BEC có: EF BC - Suy EF = EG = FG nên EFG A 0,25 đ 0,5đ 0,5đ 0, 5đ 0,5 đ điểm (0,5đ) B // (0,5đ) E // O X = (0,5đ) G (0,5đ) = (0,5đ) F X (0,5đ) D Trang 0,25đ C Bài Nội dung điểm 0.5đ 1992 x 1992 x 1992 1992 Ta có 1992 y 1992 yz xy 1992 x 1992 y 1992 x z yz xz z 1 xyz yz y Vì x.y.z = 1992 Nên yz = 0.5đ Do 1992 x y z xy 1992 x 1992 yz y 1992 xz z 1992 y yz y 1992 yz yz y 1992 1992 yz y 1992 y yz = ( Điều phải chứng minh ) 1 y 1992 yz Bài 0.5đ 0.5đ Nội dung điểm Vì x + y + z = nên: M 2đ 1 1 1 x y z 16 x y z 16 x y z 21 x y x z y z 16 y 16 x z 16 x z y 0.5đ Ta có: 2 x y 16 x y x y 2.4 x.2 y x y 1 y 16 x 16 x.4 y 64 xy 64 xy 4 Tương tự: x z ; z 16 x y z 1 z 4y (x, y 0) (Với x, y, z > 0) x 4 x y z 21 1 49 Từ M Dấu “=” xảy x y z y 16 16 x, y , z z 0.5đ 0.5đ 0.5đ Trên gợi ý đáp án biểu điểm, học sinh giải theo cách khác Tùy vào làm cụ thể học sinh, giám khảo cho điểm tương ứng Trang PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HỐ Đề thức (Đề gồm 01 trang) ĐỀ GIAO LƯU HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 12 tháng năm 2017 x4 x x x x 1 Câu 1: (4.0 điểm) Cho biểu thức: P x x 1 x x 1 a Rút gọn P b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P c Chứng minh Q x với x thoả mãn ĐKXĐ P Câu 2: (4.0 điểm) a Tìm số dư phép chia đa thức x 1 x x 3 x 101 cho đa thức x 5x 15 b Cho M = 2x2 + 2y2 + 3xy - x - y + 2017 Tính giá trị M biết xy = x y đạt giá trị nhỏ Câu 3: (4.0 điểm) a Giải phương trình sau: (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12 x y.z 1 1 b Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: x y z x y z Chứng minh rằng: có ba số x,y, z lớn Câu 4: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Xác định điểm M tam giác cho tổng bình phương khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác đạt giá trị nhỏ Câu 5: (4.0 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a Chứng minh 1 AB CD MN b Biết SAOB= 20162 (đơn vị diện tích); SCOD= 20172 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Câu 6: (2.0 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 1 1 3 a b abc b c abc c a abc abc Hết Trang PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HOÁ ĐỀ GIAO LƯU HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 12 tháng năm 2017 HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Bài a ĐKXĐ : x 0, Điểm x 1 x4 x x x x 1 P x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 P x2 x x x 1 P x x 1 x 1 x 1 P x x Vậy P x x với x 0, 1,5 x 1 b 3 Do P x x x với x 0, x 2 4 Câu1 4đ Dấu “=” xảy x = thoả mãn ĐKXĐ Tại x = P = Vậy P đạt GTNN 1,25 x = 2 c.Ta có 2Q x 1 2x 2x 2 (Do x x 1 P x x 1 1 3 P x x x với x) 2 4 Do x nên không xẩy dấu “ =” Vậy 2Q Q a) Ta có: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) +101 = (x2+5x+4)( x2+5x+6)+101 = (x2+5x+15-11)( x2+5x+15-9)+101 = (x2+5x+15)2-20(x2+5x+15)+101+99 = (x2+5x+15)2-20(x2+5x+15)+ 200 Do đa thức (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + 101 chia cho đa thức x2+5x+15 dư 200 b) Biến đổi M = 2x2 + 2y2 + 3xy – x – y +2017 = 2(x + y)2 -(x + y) - xy Câu2 +2017 4đ Ta có (x - y)2 (x + y)2 4xy 1,25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.5 Mà xy = nên (x + y)2 x y nên Min x y = Khi x y = ta có x + y = x + y = -2 + Thay x + y = xy = vào biểu thức M ta M = 2022 + Thay x + y = -2 xy = vào biểu thức M ta M = 2026 Trang 0.5 0.5 0.25 Vậy M = 2022 M = 2026 a) Ta có: (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12 3 2x + 10x = 12 x + 5x – = (x – 1) + (5x – 5) = (x – 1)(x + x + 6) = 0.5 0.25 x = x - = x 1 23 x+ 0 x + x + = 2 1.0 2 23 (Vì x + VN) Vậy x = 2 0.25đ b) Xét (x-1)(y-1)(z-1) = xyz - (xy + yz + zx) + (x + y + z) - Câu3 4đ x y z 1 x y z = (xyz - 1) + (x + y + z) - xyz( ) = (x + y + z) - ( ) 1.0 1 ( Do x.y.z = x + y + z > ) x y z Vì (x-1)(y-1)(z-1) > nên số x -1 , y-1 , z-1 âm ba số x-1 , y-1, z-1 dương Nếu trường hợp ba số dương xảy x, y, z >1 Suy x.y.z >1 Mâu thuẫn GT x.y.z =1 Vậy xảy trường hợp ba số âm, tức 1.0 có ba số dương Do có ba số x, y , z số lớn A F E M I Câu4 2đ B H G C Kẻ đường cao AH, giả sử tìm vị trí điểm M hình vẽ Từ M hạ ME, MF, MG, MI vuông góc với AB, AC, BC, AH Ta có: ME2 + MF2 + MG2 = AM2 + MG2 = AI2 + IM2 + MG2 AI2 + IH2 Dấu “=” xảy M thuộc AH (1) Lại AI2 + IH2 = (AH-IH)2 + IH2 = AH2 – 2HA.IH + 2IH2 = AH2 - (2HA.IH - 2IH2 ) = AH2 - 2IH.(HA - IH ) = AH2 – 2AI IH Do AH không đổi nên ME2 + MF2 + MG2 nhỏ AI IH lớn Trang 0.5 0.5 0.5 Mà AI + IH = AH không đổi nên AI IH lớn AI = IH = AH (2) Từ (1) (2) suy M trung điểm AH 0.5 A B N M O C D OM DM OM AM (1), xét ADC có (2) AB AD DC AD 1 AM DM AD ) 1 Câu5 Từ (1) (2) OM.( AB CD AD AD 4đ 1 Chứng minh tương tự ON ( ) 1 AB CD 1 1 Từ có (OM + ON) ( )2 AB CD AB CD MN S AOB OB S BOC OB S S b) , AOB BOC S AOB S DOC S BOC S AOD S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC a) Xét ABD có Dễ có SABD = SABC có chung cạnh đáy AB chiều cao tương ứng Chứng minh S AOD S BOC S AOB S DOC ( S AOD ) Thay số để có 20162.20172 = (SAOD)2 SAOD = 2016.2017 Do SABCD = SAOB + S AOD S BOC +SCOD = 20162 + 2016.2017 +2016.2017 + 20172 = 20162 + 2.2016.2017 + 20172 = (2016 + 2017)2 = 40332 (đv diện tích) Ta có : a b 2ab 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 (a b)(a b ) ab(a b) a b ab(a b) a b3 abc ab(a b) abc abc 0.5 abc abc c (1) a b abc ab(a b) abc a b c 0.5 a abc b (3) Câu6 Tương tự: b c abc a b c (2) c a abc a b c 2đ Cộng vế với vế BĐT (1); (2); (3) suy 0.5 abc abc abc abc 3 1 3 a b abc b c abc c a abc a b c Suy 1 1 3 a b abc b c abc c a abc abc (đfcm) Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Hết Trang 1.0 UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CỤM THCS Năm học 2015 -2016 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ GIAO LƯU MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) ( Đề gồm có 01 trang) Bài 1: (4.0 điểm) Cho biểu thức: A = 2x x 2x x 5x x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị số nguyên c) Tìm x để A 2 Bài 2: (4.0 điểm) a) Cho số thực x, y, z thỏa mãn x > y > z chứng minh giá trị biểu thức P = x4 ( y - z) + y4(z - x) +z4( x - y) ln ln dương b) Giải phương trình: 2x 13x 6 2x 5x x x Bài 3: (4.0 điểm) a) Chứng minh rằng: n 4n hợp số với n số nguyên dương lớn b) Chứng minh với n nguyên dương 5n(5n + 1)–6n(3n + 2n) chia hết cho 91 Bài 4: (6.0 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N a) Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF c) Chứng minh rằng: 1 = + 2 AD AM AN Bài 5: (2.0 điểm) Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3xyz Tìm giá trị nhỏ P= yz zx xy + + x z y y x z z y 2x - Họ tên thí sinh: ………………………………… ; Số báo danh …………… Chú ý: Cán coi giao lưu không giải thích thêm Trang UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 2015-2016 MƠN: TỐN LỚP ( Đáp án gồm có 04 trang) Bài Nội dung Bài 2x x 2x (4.0 Cho biểu thức: A = x x x x điểm) Câu a: (1,5 điểm) ĐKXĐ: x , x 2x x 2x A ( x 3)( x 2) x x x2 x ( x 4)( x 2) = ( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2) Điểm 0,25 0,25 0,5 0,5 x4 = x 3 Câu b: (1,0 điểm) Ta có: A = x4 1 x 3 x3 0,25 Để A Z x - ¦(7) = 7; 1; 1; 7 0,5 => x 4; 2; 4; 10 Kết hợp với ĐKXĐ ta x 4; 4; 10 Câu c: (1,5 điểm) x4 2 2 Để A x 3 3 x4 x 12 x + 0 x 3 3x 5x 3x 0,25 0,5 6 5 x 6 x TH1: x 3 x x 3 6 5 x x TH2: x < -3 3 x x 3 6 2 Vậy: x x < -3 A Bài 0,25 Câu a: (2 điểm) Trang 10 0,25 0,5 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC: 2014 -2015 Mơn thi: Tốn Ngày thi: 16/03/2015 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ( Đề thi có 06 bài, gồm 01 trang ) 6x : ( x 2) x 1 x 1 x x 1 Bài 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức: Q a) Tìm điều kiện xác định Q, rút gọn Q b) Tìm x Q = c) Tìm giá trị lớn biểu thức Q Bài 2: (4,5 điểm) a) Giải phương trình: 2x 2x 6x 9x 1 2x 2x (2 x 1)(2 x 7) b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 – 2x2 – x +2 c) Tìm giá trị x, y nguyên dương cho: x2 = y2 + 2y + 13 Bài 3: (4,0 điểm) ab bc ca a) Cho abc ≠ Chứng minh a = b = c b c a b) Cho số tự nhiên n Chứng minh 2n 10a b (a, b N , b 10) tích ab chia hết cho Bài 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh rằng: BD.DC = DH.DA HD HE HF b) Chứng minh rằng: AD BE CF c) Chứng minh rằng: H giao điểm đường phân giác tam giác DEF d) Gọi M, N, P, Q, I, K trung điểm đoạn thẳng BC, CA, AB, EF, FD, DE Chứng minh ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy điểm Bài 5: (1.0 điểm) Cho tam giác ABC cân A có AB = AC =b ; BC = a Đường phân giác BD tam giác ABC có độ dài cạnh bên tam giác ABC Chứng minh rằng: 1 b b a ( a b) Bài 6: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0; a + b + c = Chứng minh rằng: a b c 2 1 b 1 c 1 a Hết Cán coi thi không giải thích thêm Trang 19 PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ Bài Bài (4,5đ) HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2014-2015 MƠN: TỐN Nội dung cần đạt Điểm a) Đk: x 1; x 2 0,5 x x 6x 2x ( x 2)( x 1) Q 1,5 x 1 x ( x 1)( x 2)( x x 1) x x 1 x x ( x 1)( x 2) x x 1 Suy x = -1 x = So sánh với điều kiện suy x = Q = 1 3 c) Q ; Vì > 0; x – x + = x 2 4 x x 1 Q đạt GTLN x x đạt GTNN x x 4 x= (t/m) Lúc Q = Vậy GTLN Q Q = x= b) Bài (4,5đ) 0,5 1 7 ;x 2 x 3 (2 x 7) x 5 x 1 x x 1 x x x 1 (2 x 7) x x 1 x x 1 x x 1 a) ĐK: x x 20 x 21 x 12 x x 16 x x x x x 1 x x 1 x 16 2 x x 16 x x 1 x x 1 x x 16 2 x x 16 x x x(2 x 1) x (Lo¹i) 2 Vậy phương trình có nghiệm x = b) Ta có x3 – 2x2 – x + = (x3-2x2)-(x-2)=x2(x- 2)-(x-2) =(x-2)(x2-1) = (x-2)(x-1)(x+1) 2 c)Ta có x = y + 2y + 13 x2 = (y + 1)2 + 12 (x + y + 1)(x - y – 1) = 12 Do x + y + – (x - y – 1) = 2y + số chẵn x , y N* nên x + y + > x – y – Do x + y + x – y – hai số nguyên dương chẵn Trang 20 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài (4,0đ) Từ suy có trường hợp: x + y + = x – y – = x = y = Vậy (x; y) = (4; 1) ab bc ca 1 1 a) Từ a b c b c a b c a Do đó: 1 bc 1 ca 1 ab ; bc ; ca ab c b bc a c ac b a ab (a b)(b c)(c a) Suy ra: (a – b)(b – c)(c – a) = a b 2c (a – b)(b – c)(c – a)(a2b2c2 - 1) = (a - b)(b – c)(c – a) = (do abc ≠ 1) Suy a = b = c b) Ta có 2n = 10a + b => b chia hết cho => ab chia hết cho (1) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Ta chứng minh ab chia hết cho (2) Thật vậy, từ đẳng thức 2n = 10a + b = > 2n có chữ số tận b Đặt n = 4k + r (k, r N, r 3) ta có: 2n = 16k2r Nếu r = 2n = 16k tận = > b = = > ab chia hết cho Nếu r 2n – 2r = 2r(16k – 1) chia hết cho 10 = > 2n tận 2r suy b = 2r = > 10a = 2n - 2r = 2r(16k – 1) chia hết cho = > a chia hết cho = > ab chia hết cho 0,5 0,5 0,5 Từ (1) (2) suy ab chia hết cho Bài (5,0đ) A E F H C B D a) Chỉ BDH ADC (g.g) BD DH BD.DC = DH.DA AD DC SHBC HD.BC HD b) Ta có: SABC AD.BC AD Trang 21 0,5 1,0 0,5 HE SHAC HF SHAB ; BE SABC CF SABC HD HE HF SHBC SHAC SHAB SABC Do 1 AD BE CF SABC SABC · · c) Chứng minh AEF ABC (c.g.c) AEF ABC · · · · Tương tự DEC Do đó: AEF ABC DEC · · · · · · Mà AEF = 900 nên HEF HEF DEC HED HED Tương tự: EH phân giác góc DEF Tương tự FH phân giác góc EFD Do H giao đường phân giác tam giác DEF d) 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 A E Q P N F K H I C B D M Do BEC vuông E, M trung điểm BC nên EM = BC (trung tuyến ứng với cạnh huyền) Tương tự : FM = BC Do đó: EMF cân M, mà Q trung điểm EF nên MQ EF MQ đường trung trực EF hay MQ đường trung trực tam giác DEF Hoàn toàn tương tự, chứng minh NI PK đường trung trực tam giác DEF nên ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy điểm Bài (1,0đ) A H D C B Vẽ BH đường cao tam giác ABC Trang 22 0,5 0,5 Tam giác BAD cân B (BA=BD) có BH đường cao nên đường trung tuyến AH AD Tam giác ABC có BD đường phân giác , ta có : DA AB b DA DC DA DC AC b b2 DA DC BC a b a ab ab ab ab 0,25 Tam giác HAB vuông H , theo đ/lý Pytago ta có : AB BH AH BH b AD (1) 0,25 Tam giác HBC vuông H , theo đ/lý Pytago, ta có BC BH HC BH BC ( AC AH )2 a (b BH a b b AD AD AD ) (2) 0,25 Từ (1) (2) ta có : AD AD a b b AD b a b AD b 4 ab a b b 1 b (b a )(b a ) ab ab ( a b) b a ( a b) b2 Bài (1,0đ) 0,25 Vậy toán c/m Do a, b > + b2 ≥ 2b với b nên a ab2 ab2 ab a a a 2 1 b 1 b 2b b bc c ca b ; c 2 1 c 1 a a b c ab bc ca mà a + b + c = nên (1) 3 2 1 b 1 c 1 a Cũng từ a + b + c = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy 3(ab + bc + ca) ab + bc + ca (2) a b c 3 Từ (1) (2) suy đpcm 2 1 b 1 c 1 a 2 Đẳng thức xảy a = b = c = 0,25 Tương tự ta có : 0,25 0,25 0,25 Ghi chú: - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Bài hình học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm điểm Trang 23 UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, CỤM THCS Năm học 2014 – 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ GIAO LƯU MƠN: TOÁN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề ) ( Đề giao lưu gồm có 01 trang ) Bài (4,0 điểm): x3 x2 x : Cho biểu thức A = với x khác -1 1 x 1 x x x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x 1 3) Tìm giá trị x để A < Bài ( 4,0 điểm ): a)Giải phương trình sau: x 2x x 2x x 2x b) Cho x số nguyên Chứng minh biểu thức M= (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) +1 bình phương số nguyên Bài ( 4,0 điểm ): a) Cho x,y,z số nguyên thỏa mãn: x + y + z chia hết cho Chứng minh M = ( x + y)( x + z )( y + z ) – 2xyz chia hết cho b) Cho a,b,c số khác thỏa mãn: a 3b3 b3c3 c a3 3a 2b 2c a b c Tính giá trị biểu thức P 1 1 1 b c a Bài (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC), có đường cao AH cho AH = HC Trên AH lấy điểm I cho HI = BH Gọi P Q trung điểm BI AC Gọi N M hình chiếu H AB IC ; K giao điểm đường thẳng CI với AB ; D giao điểm đường thẳng BI với AC a) Chứng minh I trực tâm tam giác ABC b) Tứ giác HNKM hình vng c) Chứng minh bốn điểm N, P, M, Q thẳng hàng Bài ( 2,0 điểm ): Cho x,y,z số dương thỏa mãn điều kiện: x 2015 y 2015 z 2015 Tìm giá trị lớn biểu thức: x y z - Họ tên thí sinh:…………………………………………………………… ; Số báo danh: Chú ý: Cán coi thi khơng giải thích thêm Trang 24 UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, CẤP HUYỆN Năm học 2014 – 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN LỚP I Một số ý Tổng số điểm đề thi 20 điểm Khơng làm tròn điểm tổng điểm đạt thí sinh Thí sinh giải cách khác với lời giải hướng dẫn chấm, lời giải đúng, đủ bước người chấm cho điểm tối đa theo biểu điểm quy định cho câu II Đáp án, biểu điểm hướng dẫn chấm Bài Câu 1.1 (4,0 điểm Yêu cầu cần đạt lời giải tóm tắt Với x khác -1 : x3 x x2 (1 x)(1 x) A= : 1 x (1 x)(1 x x ) x(1 x) (2,0 điểm 1.2 Mức điểm = (1 x)(1 x x x) (1 x)(1 x) : 1 x (1 x)(1 x x ) = (1 x ) : (1 x) = (1 x )(1 x) Tại x = = A = 3 2 1 ( ) 1 ( ) (1,0 = (1 25 )(1 ) điểm) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 34 272 10 27 27 0,5đ 1.3 Với x khác -1 A < (1 x )(1 x) (1) (1,0 Vì x với x nên (1) xảy điểm) x x KL 2.a Trang 25 0,25đ 0,5đ 0,25đ x 2x x 2x x 2x Đặt t = x2 -2x + = ( x-1)2 +2 Với t Phương trình cho trở thành: 0,25đ 0,25đ t 1 t t 1 3t 7t (2,0 điểm) t t Kết hợp với ĐK ta t = Do ta có: ( x-1)2 +2 =2 ( x-1)2 = x=1 Vậy phương trình có nghiệm x = (4,0 điểm) 2.b 0,5đ 0,25đ 0,25đ Ta có: M= (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) +1 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) + Đặt t = x + 5x + 0,25đ 0,25đ Khi M = (t – 1)(t + 1) +1 (2,0 điểm) 0,5đ = t2 – + = t2 Vì x số nguyên nên t số nguyên Vậy M bình phương số ngun a) Ta có: M = ( x + y)( x + z )( y + z ) – 2xyz Học sinh biến đổi M = ( x +y +z ) ( xy +yz + zx) – xyz (4,0 (2,0 Vì x,y,z số nguyên thỏa mãn x + y + z chia hết cho điểm) điểm) Nên ( x +y +z ) ( xy +yz + zx) chia hết cho Trong số x,y,z tồn số chia hết cho Suy 3xyz chia hết cho Do đó: ( x +y +z ) ( xy +yz + zx) – xyz chia hết cho Vậy: M chia hết cho 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ Đặt ab =x; bc = y; ca = z Ta có: x3 + y3 +z3= 3xyz - Học sinh chứng minh : x+y+z = x2+y2+z2-xy-yz-zx = 2,0 - TH1: x+y+z = điểm HS sử dụng đẳng thức : Trang 26 0,75đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ ( x+y+z)3 – x3- y3- z3 = (x+y)(y+z)(z+x) => -xyz = (x+y)(y+z)(z+x) Ta có: -a2b2c2=(ab+bc)(bc+ca)(ca+ab) -abc = (a+b)(b+c)(c+a) a b 0,25đ c => P 1 1 1 1 b c a -TH2: x2+y2+z2-xy-yz-zx = => ( x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = => x=y=z => ab=bc=ca =>a=b=c P=8 KL: 4.a 0,5đ 0,5đ A D K Q Ij (6,0 (2,0 điểm) điểm) M P N B C H Xét tam giác BHI có: BH = HI ; H 900 Tam giác BHI vuông cân H.=> IBH 450 Tam giác AHC có AH = HC; H 900 Tam giác AHC vuông cân H => ACH 450 Suy tam giác BCD vuông cân D Tam giác ABC có đường cao AH, BD Vậy I trực tâm tam giác ABC 4.b (2,0 điểm) - Xét tứ giác HMKN có: M N 90 K 90 ( CK đường cao) Tứ giác HMKN hình chữ nhật (1) Xét tam giác MIH tam giác NBH có: 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ HMI HNB 900 HB HI ( gt ) HIC HBN Suy 0,5đ HMI HNB 0,25đ 0,25đ => HM = HN (2) Trang 27 Từ (1) (2): Tứ giác HMKN hình vng 0,25đ 4.c (2,0 điểm) - Theo câu b: Tứ giác HMKN hình vuông nên M, N thuộc trung trực đoạn thẳng KH - Xét tam giác vuông AHC AKC; trung tuyếnHQ,KQ Ta có: HQ = ½ AC; KQ = ½ AC; Suy Q thuộc trung trực KH - Hồn tồn tương tự ta có P thuộc trung trực KH Vậy điểm M,N,P,Q thẳng hàng 0,5đ 1,0 đ 0,5 đ - Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2015 số dương x2015; x2015; 1;1;1; ;1;1 ta x2015+x2015+1+1+1+ +1+1 20152015 x 2015 x 2015 1.1.1 2015 x 2x2015+2013 2015x Hoàn tồn tương tự ta có: (2,0 2y2015+2013 2015y điểm) 2z2015+2013 2015z x 2015 y 2015 z 2015 6039 2015( x y z ) => x y z Dấu “=” xảy x=y=z=1 Vậy x2 + y2 + z2 đạt giá trị lớn x = y = z =1 Trang 28 1,0đ 0,5đ 0,5đ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HOÁ ĐỀ THẨM ĐỊNH HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2014 - 2015 MƠN TỐN Đề thức Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề gồm 01 trang) Ngày thi: 27 tháng năm 2015 ĐỀ BÀI 2x 1 1 2x 16x2 16x3 4x : Câu (4,0 điểm): Cho biểu thức A = x x x 1 x x a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để biểu thức A có giá trị dương Câu (4,0 điểm): x x 10 x 2015 a) Giải phương trình: x x 2015 x x 2015 b) Tìm số nguyên x, y cho: 3x2 + 4y2 = 6x +13 Câu (3,0 điểm): a) Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho: abc n -1 (Với n Z ; n >2) cba ( n 2) b) Cho M = x x 2015 với x > Tìm x để M có giá trị nhỏ Tìm giá trị x2 nhỏ Câu (5,0 điểm): Cho tam giác ABC, E điểm thuộc cạnh AC không trùng với A, K trung điểm đoạn AE Đường thẳng qua E vng góc với đường thẳng AB F cắt đường thẳng qua C vng góc với đường thẳng BC điểm D a) Chứng minh tứ giác BCKF hình thang cân b) Chứng minh: EK.EC = ED.EF c) Xác định vị trí điểm E cho đoạn KD có độ dài nhỏ Câu (2,0 điểm): Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, gọi I điểm cạnh BC Đường thẳng qua I song song với AC cắt AB K, đường thẳng qua I song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự D E Chứng minh: DE = BK Câu (2,0 điểm): Cho a, b, c số dương thỏa mãn: abc = Chứng minh rằng: 1 a b c ab bc ca Hết -Trang 29 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HOÁ ĐỀ THẨM ĐỊNH HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2014 - 2015 MƠN TỐN Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Ngày thi: 27 tháng năm 2015 Đề thức HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Biểu điểm Nội dung a) (1,0 điểm) : 2x 1 1 2x 16x2 16x3 4x : Ta có A = x x x 1 x x Câu x(4 x 1) 16 x (4,0 điểm) = x x : x x 1 x 1 x (2 x 1) 1,0đ ĐKXĐ: x ; x b) (1,5 điểm): Với điều kiện câu a ta có: x 12 1 x 2 16 x x(2 x 1)(2 x 1) : A= x x (2 x 1) 8x 2x 1 16 x x x(2 x 1) = = : x x(2 x 1) (1 x)(1 x) 2x 1 1,5đ 2 = 2x 1 c) (1,5 điểm) : 0,5đ 2 0 2x 1 2x 1 A>0 x 1 Vậy x 1 a) (2,0 điểm): x x 10x 2015 x 9x 2015 x 8x 2015 Đặt x 9x 2015 y (ĐK: y ) Câu x yx xy x y xy (4,0 điểm) y yx x2 y x2 y x y khơng t/m điều kiện Vậy phương trình cho vơ nghiệm Trang 30 1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b) (2,0 điểm): Biến đổi 3x2 + 4y2 = 6x +13 2 3(x-1) = 16 – 4y = 4(4 – y ) Vì VT nên VP suy (4 – y2 ) Suy y - ;-1; 0; 1; 2 Thay giá trị y ta tìm cặp nghiệm sau: (x,y) (1;2); (3,1); (1;1); (1,2); (3;1); (1;1); a) (1,5 điểm): Ta có : abc = 100a + 10b + c = n2 - cba = 100c + 10b + a = (n - 2)2 2 99(a - c) = n - - n + 4n - = 4n - Câu 4n - 99 ( a - c số nguyên) (3,0 điểm) Lại có : 100 n2 - 999 101 n2 1000 11 n 31 39 4n - 119 Vì 4n - 99 nên 4n - = 99 n = 26 abc = 675 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ b) (1,5 điểm): x x 2015 x x 2015 2014 2014 = + 2 2015 2015 x x x x 2015 2014 2014 )+ M=( 2015 2015 x x x.2015 2015 2014 + M 2015 2015 x M= ( x 2015) 2014 2014 + x =2015 2015 2015 2015 x 2014 Vậy giá trị nhỏ M = x =2015 2015 0,25đ 1,0đ M 0,25đ A F K Câu (5,0 điểm) E B D C a) (1,5 điểm): Vì tam giác AFE vng F K trung điểm AE, Trang 31 0,5đ nên FK = KA suy tam giác AFK FK song song với BC Suy tứ giác BCKF hình thang cân b) (1,5 điểm): Chứng minh tam giác EKF đồng dạng với tam giác EDC EK EF EK EC ED EF ED EC 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ c) (2,0 điểm): Chứng minh hai tam giác EKD EFC đồng dạng KD KE CF EF 0,5đ AE AE AE ; EF AF2 AE EF2 AE EF 2 Mà KE KD AE AE 1 : KD CF CF 2 3 Do KD nhỏ CF nhỏ hay F hình chiếu C AB Khi E trùng với C 0,5đ 0,5đ 0,5đ A E G K Câu (2,0 điểm) D B C I M Từ M kẻ MG//IE ta có : MG DE AG AE Vì IK//AC nên BK AB (1) IK AC MG AB Ta lại có MG//AB GC AC 0,5đ mặt khác ta lại có :AG =GC (do M trung điểm BC MG//AB) 0,5đ DE MG MG AB (2) AE AG GC AC BK DE Từ (1) (2) suy , IK AE mà KI = AE (do AKIE hình bình hành) nên BK = DE Vậy BK = DE (đpcm) a b c Đặt x , y , z xyz Câu BĐT cần chứng minh tương đương với xy yz zx x y z (2,0 điểm) Ta có: Trang 32 0,5đ 0,5đ 0.25đ 0.25đ x y xy, y z yz, z x zx x y z xy yz zx x y z xy yz zx 1 1 xy yz zx x y z 0.25đ 0.25đ (*) 0.25đ Mặt khác 1 xy yz zx x y z 2 hay x y z x y z x y z xy yz zx x y z Dấu "=" xảy x y z hay a b c ** 0.25đ Từ (*) (**) suy (Đpcm) 0.25đ 0.25đ Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Hết Trang 33 ... a7 a8 31 Câu (2) => ( a7 a8 ) = a4 a5 a6 00 + a7 a8 (a7 a8 )3 - a7 a8 = a4 a5 a6 00 (2,0 điểm) ( a7 a8 - 1) a7 a8 ( a7 a8 + 1) = 4.25 a4 a5 a6 Nhưng ( a7 a8 - 1) ; a7 a8 ; ( a7 a8 + 1)... PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HỐ Đề thức (Đề gồm 01 trang) ĐỀ THẨM ĐỊNH HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2015 - 2016 MÔN TỐN Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Ngày thi: 12 tháng năm... Trang 28 1,0đ 0,5đ 0,5đ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HOÁ ĐỀ THẨM ĐỊNH HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2014 - 2015 MƠN TỐN Đề thức Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề gồm 01