Đề HSG môn Toán lớp 8 cấp huyện (có đáp án)

Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8;PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOHUYỆN THIỆU HÓA (Đề gồm 01 trang)ĐỀ THẨM ĐỊNH HSG LỚP 8 CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2017 2018Môn: ToánThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 11 tháng 4 năm 2018Bài 1 (5 điểm): Cho biểu thức a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định. b) Rút gọn A. c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A?Bài 2: (4 điểm)a Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9b) Tìm các số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và Bài 3: : ( 4 điểm ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD. Qua A vẽ đường thẳng AK song song với BC. Qua B vẽ đường thẳng BI song song với AD. BI cắt AC ở F, AK cắt BD ở E. Chứng minh rằng a.EF song song với ABb.AB = CD . EFBài 4: (3 điểm)Cho hình thang cân ABCD có góc ACD = 600, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của OA, OD, BC. Tam giác EFG là tam giác gì? Vì sao? Bài 5: ( 2 điểm ) Giả sử x, y, z thỏa mãn : x.y.z = 1992Chứng minh rằng : Bài 6 : ( 2 điểm ) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .HẾT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOHUYỆN THIỆU HÓAHƯỚNG DẪN CHẤMĐỀ THẨM ĐỊNH HSG LỚP 8 CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2017 2018Môn: ToánCâuNội dungĐiểmBài 15 điểma)Điều kiện: x y; y 0 b)A = 2x(x+y)c)Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, Từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2 A = 2 – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1)2 với x y; y 0 ) A 2 với x y; y 0 . mà A nguyên dương nên A = 1 hoặc A = 2+ A = 2 khi + A = 1 khi Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng hạn: + Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 (1đ) (2đ)0.5đ0.5đ0.25đ0.25đ0.5Bài 2Nội dung4 ĐiểmTa phải chứng minh: A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 9 với n ZA = n3 + n3 + 3n2 + 3n + 1 + n3 + 6n2 + 12n + 8 = 3n3 + 9n2 + 15n + 9 = 3n3 – 3n + 9n2 + 18n + 9 = 3n(n – 1)(n + 1) + 9n2 + 18n + 9Nhận thấy n(n – 1)(n + 1) 3 nên 3n(n – 1)(n + 1) 9 Và 9n2 + 18n + 9 9Vậy A 9b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0 (x y)2 + (y z)2 + (z x)2 = 0 x2009 = y2009 = z2009Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z = 3. Vậy x = y = z = 30,5đ0,5đ0,5đ0,5đ0,5đ 0, 5 đ0,5 đ0.5đBài 3Nội dung4 điểm a) Chứng minh EF song song với AB : A BVì AB DC ( gt ABCD là hình thang ) Nên góc ABD = góc EDK ( so le trong ) Góc EAB = góc EKD ( so le trong ) E F AEB ~ KED ( g.g) ( 1 ) D K I CTương tự góc FBA = góc FIC ( so le trong ) Góc FAB = góc FCI ( so le trong ) AFB ~ CFI ( g. g ) ( 2 ) Mà CI = KD ( vì cùng bằng CD – AB ) Nên từ (1) và (2) suy ra EF KC hay EF AB ( đpcm ) b. Chứng minh : AB = CD. EF. Từ AEB ~ KED ( cm trên ) vì AB = KC ( ABKC là hình bình hành ) Mặt khác EF DI ( cm trên ) ( vì DI = AB ) ( 2 ) Từ (1) và (2) suy ra ( ĐPCM) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5đ0,5đ 0, 5đ 0,5 đBài 4Nội dung3 điểm3đ Do ABCD là hình thang cân và Suy ra và là các tam giác đều. Chứng minh vuông tại F Xét vuông tại F có: Chứng minh vuông tại E Xét vuông tại E có: Xét có: Suy ra EF = EG = FG nên đều(0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ)Bài 5Nội dung2 điểm Vì x.y.z = 1992 Nên yz = Ta có Do đó = ( Điều phải chứng minh ) 0.5đ0.5đ0.5đ0.5đBài 6 Nội dung2 điểm 2đ. Vì x + y + z = 1 nên: Ta có: Tương tự: ; (Với mọi x, y, z > 0)Từ đó . Dấu “=” xảy ra khi 0.5đ0.5đ0.5đ0.5đTrên đây là những gợi ý đáp án và biểu điểm, học sinh có thể giải theo cách khác. Tùy vào bài làm cụ thể của học sinh, giám khảo cho điểm tương ứng. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HOÁĐỀ GIAO LƯU HSG LỚP 8 CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2016 2017Môn: ToánThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 12 tháng 4 năm 2017Câu 1: (4.0 điểm)Cho biểu thức: a. Rút gọn P.b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.c. Chứng minh với x thoả mãn ĐKXĐ.Câu 2: (4.0 điểm) a. Tìm số dư trong phép chia đa thức cho đa thức b. Cho M = 2x2 + 2y2 + 3xy x y + 2017. Tính giá trị của M biết xy = 1 và đạt giá trị nhỏ nhất.Câu 3: (4.0 điểm) a. Giải phương trình sau: (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12 b. Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: Chứng minh rằng: có đúng một trong ba số x,y, z lớn hơn 1Câu 4: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Xác định điểm M trong tam giác sao cho tổng các bình phương các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5: (4.0 điểm) Hình thang ABCD (AB CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.a. Chứng minh rằng .b. Biết SAOB= 20162 (đơn vị diện tích); SCOD= 20172 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.Câu 6: (2.0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: Hết PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HOÁĐỀ GIAO LƯU HSG LỚP 8 CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2016 2017Môn: ToánThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 12 tháng 4 năm 2017HƯỚNG DẪN CHẤM BàiNội dungĐiểmCâu14đa. ĐKXĐ : Vậy với 1,5b. Do với mọi Dấu “=” xảy ra khi x = thoả mãn ĐKXĐ Tại x = thì P = Vậy P đạt GTNN bằng khi x = 1,25c.Ta có (Do với mọi x)Do nên không xẩy ra dấu “ =” . Vậy 1,25Câu24đa) Ta có: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) +101 = (x2+5x+4)( x2+5x+6)+101 = (x2+5x+1511)( x2+5x+159)+101 = (x2+5x+15)220(x2+5x+15)+101+99 = (x2+5x+15)220(x2+5x+15)+ 200Do đó đa thức (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + 101 chia cho đa thức x2+5x+15 dư 200.0.50.5 0.50.5b) Biến đổi M = 2x2 + 2y2 + 3xy – x – y +2017 = 2(x + y)2 (x + y) xy +2017Ta có (x y)2 0 (x + y)2 4xyMà xy = 1 nên (x + y)2 4 2 nên Min = 2.Khi = 2 ta có x + y = 2 hoặc x + y = 2+ Thay x + y = 2 và xy = 1 vào biểu thức M ta được M = 2022+ Thay x + y = 2 và xy = 1 vào biểu thức M ta được M = 2026Vậy M = 2022 hoặc M = 20260.250.50.50.50.25Câu34đa) Ta có: (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12 2x3 + 10x = 12 x3 + 5x – 6 = 0 (x3 – 1) + (5x – 5) = 0 (x – 1)(x2 + x + 6) = 0 (Vì VN) Vậy x = 10.5 0.251.00.25đb) Xét (x1)(y1)(z1) = xyz (xy + yz + zx) + (x + y + z) 1 = (xyz 1) + (x + y + z) xyz( ) = (x + y + z) ( ( Do x.y.z = 1 và x + y + z > )Vì (x1)(y1)(z1) > 0 nên 2 trong 3 số x 1 , y1 , z1 âm hoặc cả ba số x1 , y1, z1 là dương.Nếu trường hợp cả ba số đều dương xảy ra thì x, y, z >1 Suy ra x.y.z >1 Mâu thuẫn GT x.y.z =1. Vậy xảy ra trường hợp 2 trong ba số âm, tức là có đúng 1 trong ba số dương. Do đó có đúng 1 trong ba số x, y , z là số lớn hơn 1.1.01.0Câu42đ Kẻ đường cao AH, giả sử tìm được vị trí điểm M như hình vẽ.Từ M hạ ME, MF, MG, MI lần lượt vuông góc với AB, AC, BC, AHTa có: ME2 + MF2 + MG2 = AM2 + MG2 = AI2 + IM2 + MG2 AI2 + IH2 . Dấu “=” xảy ra khi M thuộc AH (1)Lại do AI2 + IH2 = (AHIH)2 + IH2 = AH2 – 2HA.IH + 2IH2 = AH2 (2HA.IH 2IH2 ) = AH2 2IH.(HA IH ) = AH2 – 2AI. IH Do AH không đổi nên ME2 + MF2 + MG2 nhỏ nhất khi AI. IH lớn nhấtMà AI + IH = AH không đổi nên AI. IH lớn nhất khi AI = IH = (2)Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của AH.0.50.50.50.5Câu54đ a) Xét có (1), xét có (2)Từ (1) và (2) OM.( ) Chứng minh tương tự ON. Từ đó có (OM + ON). 0.50.50.50.5b) , Dễ có SABD = SABC vì có chung cạnh đáy AB và chiều cao tương ứng.Chứng minh được Thay số để có 20162.20172 = (SAOD)2 SAOD = 2016.2017Do đó SABCD = SAOB + +SCOD = 20162 + 2016.2017 +2016.2017 + 20172= 20162 + 2.2016.2017 + 20172 = (2016 + 2017)2 = 40332 (đv diện tích)0.50.51.0Câu62đTa có : (1)Tương tự: (2) (3)Cộng vế với vế các BĐT (1); (2); (3) suy ra Suy ra (đfcm)0.50.51.0Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Hết UBND HUYỆN VĨNH LỘCPHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOKỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CỤM THCSNăm học 2015 2016ĐỀ CHÍNH THỨCĐỀ GIAO LƯU MÔN: TOÁN LỚP 8Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)( Đề gồm có 01 trang)Bài 1: (4.0 điểm) Cho biểu thức: A = a) Rút gọn biểu thức A.b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị là một số nguyên. c) Tìm x để A Bài 2: (4.0 điểm) a) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x > y > z chứng minh rằng giá trị biểu thức P = x4 ( y z) + y4(z x) +z4( x y) luôn luôn dương. b) Giải phương trình: Bài 3: (4.0 điểm) a) Chứng minh rằng: là hợp số với mọi n là số nguyên dương và lớn hơn 1. b) Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì 5n(5n + 1)–6n(3n + 2n) chia hết cho 91.Bài 4: (6.0 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng: AC = 2EF.c) Chứng minh rằng: .Bài 5: (2.0 điểm) Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3xyzTìm giá trị nhỏ nhất của P = + + Họ và tên thí sinh: …………………………………..; Số báo danh ……………Chú ý: Cán bộ coi giao lưu không được giải thích gì thêm. UBND HUYỆN VĨNH LỘCPHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 20152016 MÔN: TOÁN LỚP 8 ( Đáp án này gồm có 04 trang)BàiNội dungĐiểmBài 1(4.0 điểm)Cho biểu thức: A = Câu a: (1,5 điểm)ĐKXĐ: x 2 , x 3. = = Câu b: (1,0 điểm) Ta có: A = Để A Z thì x 3 ¦(7) = => x Kết hợp với ĐKXĐ ta được x Câu c: (1,5 điểm) Để A thì + 0 0 0TH1: x TH2: x < 3 Vậy: x hoặc x < 3 thì A 0,250,250,50,50,250,50,250,250,50,250,5Bài 2 (4.0 điểm)Câu a: (2 điểm)P= x4 ( yz) + y4(zx) –z4(yz) +(zx)= x4 ( yz) + y4(zx) z4 (yz) z4(zx)= x4 ( yz) z4 (yz) + y4(zx) z4(zx) = (yz)(x4z4) + (zx)(y4 –z4)= (yz)(x2z2)(x2+z2) + (zx)(y2 –z2) (y2 +z2)= (yz)(xz) (x +z) (x2+z2) + (zx)(y –z)(y+z) (y2 +z2)= (yz)(xz) (x +z) (x2+z2) (xz)(y –z)(y+z) (y2 +z2)= (yz)(xz) x3 +xz2 + x2z + z3 – y3 –yz2 –zy2 –z3= (yz)(xz) x3 +xz2 + x2z – y3 –yz2 –zy2 = (yz)(xz) ( x3 –y3) + (xz2yz2) + (x2z – zy2)= (yz)(xz) (xy)(x2+xy +y2) + z2(xy)+z(x2 – y2)= (yz)(xz) (xy) x2 +xy +y2 +z2 + zx + zy= (yz)(xz) (xy)( x+y)2 +( y+z)2 +(z+x)2Vì x>y>z và ( x+y)2 +( y+z)2 +(z+x)2 > 0 nên P > 0Câu b: (2 điểm) Điều kiện: 2x2 5x + 3 0 (2x 3)(x 1) 0 x ; x 12x2 + x + 3 = 2(x + )2 + > 0 với mọi xVới x = 0 không là nghiệm phương trìnhVới x 0 chia cả tử và mẫu của phân thức ở vế trái cho x ta có: (1) Đặt (1) 2y2 13 y+11 =0 (y1)(2y11) = 0 y =1 hoặc y = Với y = 1 2x+ = 1 2x2x+3=0 Phương trình vô nghiệm vì2x2x+3= 2(x )2 + >0Với y= 2x+ = 4x211x +6 =0 (x2)(4x3) =0 x=2 ( tmđkxđ) hoặc x= ( tmđkxđ)Vậy phương trình có 2 nghiệm x=2 ; x = 0,50,50,50,250,250,250,250,250,50,250,250,25Bài 3(4.0 điểm)Câu a: (2 điểm) Xét n = 2k(k )n4 + 4n =(2k)4 +42k chia hết cho 2 và n4 + 4n > 2 n4 + 4n là hợp số Xét n = 2k+1(k ) ta có n4 + 4n = (n2)2 +(2n)2 + 2n2.2n 2n2.2n = (n2+2n)2 – ( n. 2k+1)2 = (n2 + 2n+ n.2k+1)(n2 + 2n n.2k+1)Mà (n2 + 2n+ n.2k+1); (n2 + 2n n.2k+1) > 1. Vậy suy ra n4 + 4n là hợp sốCâu b: (2 điểm)Ta có A = 5n(5n + 1)–6n(3n + 2n) = 25n + 5n – 18n 12n Vì 25n– 18n chia hết cho 7 và 5n 12n chia hết cho 7 nên 25n + 5n – 18n 12n chia hết cho 7. Vì 25n 12n chia hết cho 13 và 5n – 18n chia hết cho 13 nên 25n + 5n – 18n 12n chia hết cho 13. Vì 7 và 13 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A = 5n(5n + 1)–6n(3n + 2n) chia hết cho 910,50,50,50,50,50,50,50,5

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN THIỆU HÓA

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 11 tháng 4 năm 2018

Bài 1 (5 điểm): Cho biểu thức

: y

4xy A

x xy y x y x

a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định

Cho hình thang cân ABCD có góc ACD = 600, O là giao điểm của hai đường chéo Gọi

E, F, G theo thứ tự là trung điểm của OA, OD, BC Tam giác EFG là tam giác gì? Vì

1992 1992

zy

y x

xy

x

Bài 6 : ( 2 điểm ) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN THIỆU HÓA

c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, Từ đó tìm được tất cả các giá trị

nguyên dương của A

2

2 3y

(1đ) (2đ)

0.5đ 0.5đ

0.25đ

0.25đ

0.5

Ta phải chứng minh: A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 M 9 với n  Z

0,5đ

0, 5 đ

=

X X

a) Chứng minh EF song song với AB : A B

Vì AB // DC ( gt ABCD là hình thang )

Nên góc ABD = góc EDK ( so le trong )

Góc EAB = góc EKD ( so le trong ) E F

  AEB ~  KED ( g.g)



KD

AB EK

AE

 ( 1 ) D K I C Tương tự góc FBA = góc FIC ( so le trong )

Góc FAB = góc FCI ( so le trong )   AFB ~ CFI ( g g ) 

CI

AB FC

AB DK EB

DE AB

EB

DB AB

DC EB

DB AB

KC DK

DB hay EF

DI EB

0,5đ 0,5đ

0, 5đ 0,5 đ

3đ

- Do ABCD là hình thang cân và · 0

60

ACD 

Suy ra OAB và OCD là các tam giác đều

- Chứng minh BFC vuông tại F

- Xét BFC vuông tại F có: 1

2

FG BC

- Chứng minh BEC vuông tại E

- Xét BEC vuông tại E có: 1

Bài 5 Nội dung 2 điểm

x y

x xy

1992

1992 1992

1992 1992

y yz xyz

yz z

yz y

yz

y yz

y

z xz

z y

yz

y x

1992 1992

1 1992

1992 1992

yz y

( Điều phải chứng minh )

4 2

2 1

7 , , 0

4 7

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN THIỆU HOÁ

ĐỀ GIAO LƯU HSG LỚP 8 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 12 tháng 4 năm 2017

Câu 1: (4.0 điểm) Cho biểu thức: 4 2  2 

a Giải phương trình sau: (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12

b Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:

z y x

1 1 1

1

Chứng minh rằng: có đúng một trong ba số x,y, z lớn hơn 1

Câu 4: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A Xác định điểm M trong tam giác sao

cho tổng các bình phương các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác đạt giá trị nhỏ

nhất

Câu 5: (4.0 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O

Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M

và N

a Chứng minh rằng

MN CD AB

2 1 1



b Biết SAOB= 20162 (đơn vị diện tích); SCOD= 20172 (đơn vị diện tích) Tính SABCD

Câu 6: (2.0 điểm) Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

abc abc a c abc c b abc b a

1 1

1 1

3 3 3

3 3

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN THIỆU HOÁ

ĐỀ GIAO LƯU HSG LỚP 8 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 12 tháng 4 năm 2017

+ Thay x + y = 2 và xy = 1 vào biểu thức M ta được M = 2022

+ Thay x + y = -2 và xy = 1 vào biểu thức M ta được M = 2026

0.25

0.5

0.5 0.5 0.25

Vậy M = 2022 hoặc M = 2026 a) Ta có: (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12

1 1 1



 ) = (x + y + z) - (1 1 1)  0

z y x

( Do x.y.z = 1 và x + y + z > 1 1 1

x yz)

Vì (x-1)(y-1)(z-1) > 0 nên 2 trong 3 số x -1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba số

x-1 , y-1, z-1 là dương

Nếu trường hợp cả ba số đều dương xảy ra thì x, y, z >1 Suy ra x.y.z >1

Mâu thuẫn GT x.y.z =1 Vậy xảy ra trường hợp 2 trong ba số âm, tức là

H B

E

F A

I

Kẻ đường cao AH, giả sử tìm được vị trí điểm M như hình vẽ

Từ M hạ ME, MF, MG, MI lần lượt vuông góc với AB, AC, BC, AH

Ta có: ME2 + MF2 + MG2 = AM2 + MG2

= AI2 + IM2 + MG2  AI2 + IH2 Dấu “=” xảy ra khi M thuộc AH (1)

Lại do AI2 + IH2 = (AH-IH)2 + IH2 = AH2 – 2HA.IH + 2IH2

= AH2 - (2HA.IH - 2IH2 ) = AH2 - 2IH.(HA - IH ) = AH2 – 2AI IH

Do AH không đổi nên ME2 + MF2 + MG2 nhỏ nhất khi AI IH lớn nhất

0.5 0.5

0.5

Mà AI + IH = AH không đổi nên AI IH lớn nhất khi AI = IH =

O

B A

a) Xét ABDcó

AD

DM AB

OM

 (1), xét ADCcó

AD

AM DC

OM

 (2)

Từ (1) và (2)  OM.(

CD AB

1 1

AD

AD AD

DM AM

Chứng minh tương tự ON.( 1  1 )  1

CD AB

Từ đó có (OM + ON).( 1  1 )  2

CD

2 1 1





0.5 0.5 0.5 0.5

 S AOB.S DOC S BOC.S AOD

Dễ có SABD = SABC vì có chung cạnh đáy AB và chiều cao tương ứng

Chứng minh được S AOD S BOC  S AOB.S DOC  (S AOD)2

Thay số để có 20162.20172 = (SAOD)2  SAOD = 2016.2017

Do đó SABCD = SAOB +S AODS BOC+SCOD

= 20162 + 2016.2017 +2016.2017 + 20172

= 20162 + 2.2016.2017 + 20172 = (2016 + 2017)2 = 40332 (đv diện tích)

0.5 0.5

(

2 2 2

2

b a ab b a b a ab b

a b a ab b

a abc

c b

b abc

a c

1 1

1 1

3 3 3

3 3

UBND HUYỆN VĨNH LỘC

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CỤM THCS

Năm học 2015 -2016

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ GIAO LƯU MÔN: TOÁN LỚP 8

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

a) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x > y > z chứng minh rằng giá trị biểu thức

P = x4 ( y - z) + y4(z - x) +z4( x - y) luôn luôn dương

n  là hợp số với mọi n là số nguyên dương và lớn hơn 1

b) Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì 5n(5n + 1)–6n(3n + 2n) chia hết cho 91

Bài 4: (6.0 điểm)

Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N

a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật

b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF

- Họ và tên thí sinh: ……… ; Số báo danh ………

Chú ý: Cán bộ coi giao lưu không được giải thích gì thêm

UBND HUYỆN VĨNH LỘC

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 2015-2016

6 2 12 3

 0



9 3

6 5

0 6 5

0 6 5

0,25

0,5 0,25

= (y-z)(x-z) (x +z) (x2+z2) + (z-x)(y –z)(y+z) (y2 +z2)

= (y-z)(x-z) (x +z) (x2+z2) - (x-z)(y –z)(y+z) (y2 +z2)

= (y-z)(x-z) [ x3 +xz2 + x2z + z3 – y3 –yz2 –zy2 –z3]

= (y-z)(x-z) [ x3 +xz2 + x2z – y3 –yz2 –zy2 ]

= (y-z)(x-z) [ ( x3 –y3) + (xz2-yz2) + (x2z – zy2)]

= (y-z)(x-z) [ (x-y)(x2+xy +y2) + z2(x-y)+z(x2 – y2)

= (y-z)(x-z) (x-y) [ x2 +xy +y2 +z2 + zx + zy]

=

2

1

(y-z)(x-z) (x-y)[( x+y)2 +( y+z)2 +(z+x)2]

Vì x>y>z và ( x+y)2 +( y+z)2 +(z+x)2 > 0 nên P > 0

Với x 0 chia cả tử và mẫu của phân thức ở vế trái cho x ta có:

0,5

0,5

0,5 0,25 0,25

0,25

0,25 0,25

0,5

0,25 0,25

điểm) n4 + 4n =(2k)4 +42k chia hết cho 2 và n4 + 4n > 2  n4 + 4n là hợp số

- Vì 25n– 18n chia hết cho 7 và 5n - 12n chia hết cho 7

nên 25n + 5n – 18n - 12n chia hết cho 7

- Vì 25n - 12n chia hết cho 13 và 5n – 18n chia hết cho 13

nên 25n + 5n – 18n - 12n chia hết cho 13

- Vì 7 và 13 là hai số nguyên tố cùng nhau nên

A = 5n(5n + 1)–6n(3n + 2n) chia hết cho 91

0,5 0,5

0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

E

B A

Câu a: (2 điểm) Ta có DAM = ABF· · (cùng phụ BAH· )

Lại có AE // DM ( vì AB // DC )

Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành

Mặt khác.· 0

DAE = 90 (gt)

Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật

Câu b: (2 điểm) Ta có ΔABH : ΔFAH (g.g)

2 ΔCBH

 

  

  nên BC2 = (2AE)2

 BC = 2AE  E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD

Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm)

- Chứng minh ( a2 + b2 +c2)  (ab + bc +ca)

Vậy 9P  3(ab + bc +ca)

Suy ra P  1 Vậy P min = 1 x = y = z =1

0,5 0,5

0,5

0,5

Ghi chú: - Bài hình không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không chấm điểm

- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN THIỆU HOÁ

ĐỀ THẨM ĐỊNH HSG LỚP 8 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2015 - 2016

MÔN TOÁN

Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Ngày thi: 12 tháng 4 năm 2016

2

13

6

64

2

3 2

x

x x

x x x

x x

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức A với giá trị của x thoả mãn |x+1| = |- 1|

c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

Câu 4 (5,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh

AC Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E

a) Chứng minh: Góc EAD = góc ECB

b) Cho góc BMC = 1200 và SAED = 36cm2 Tính SEBC?

c) Kẻ DHBC (HBC) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH

và DH Chứng minh CQPD

Câu 5 (2,0 điểm): Cho điểm D thay đổi trên cạnh BC của tam giác nhọn ABC (D khác

B và C) Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC tại điểm N Cũng từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt cạnh AB tại điểm M Tìm vị trí của D để đoạn thẳng

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN THIỆU HOÁ

ĐỀ THẨM ĐỊNH HSG LỚP 8 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2015 - 2016

MÔN TOÁN

Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Ngày thi: 12 tháng 4 năm 2016

0,5đ 0,5đ

0,5đ 0,5đ

2

x2



 = x + 1 +

1x

0,25đ

0,25đ 0,25đ

Đề chính thức

Vì x, y  Z nên x – 1 là ước của 3 Ta có các trường hợp sau:

5m n mn m  mn m n  m

Gọi d là ƯCLN(m - n; 5m + 5n + 1)

(m - n) chia hết cho d và (5m + 5n + 1) chia hết cho d

(m - n) chia hết cho d5m - 5n chia hết cho d

(5m + 5n + 1) + (5m - 5n) chia hết cho d

10m + 1 chia hết cho d

Mặt khác từ (*) ta có: m2 chia hết cho d2 m chia hết cho d

Mà 10m + 1 chia hết cho d nên 1 chia hết cho d

 d = 1 (vì d là số tự nhiên)

Vậy (m - n);(5m + 5n + 1) là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa

mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương

Từ (1) và (2) ta có: b < c < a  Trái với giả sử

- Giả sử a > b Chứng minh tương tự như trên ta được

b > c > a  Trái với giả sử

- Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (c-g-c)

- Suy ra góc EAD = góc ECB

0,5đ 0,5đ

0,5đ 0,5đ

0,5đ

0,5đ 0,5đ 0,5đ

I P

Do B là điểm cố định, AE cố định nên BF ngắn nhất khi F là

chân đường vuông góc hạ từ B xuống AE

Từ đó điểm D được xác định như sau: Từ B hạ BF  AE, dựng

đường thẳng qua F song song với AB cắt BC tại D

 (a a - 1) 7 8 a a (7 8 a a + 1) = 4.25 7 8 a a a 4 5 6

Nhưng  (a a - 1) ; 7 8 a a ; (7 8 a a + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp, 7 8

trong đó có 1 số chia hết cho 25, nhưng số đó nhỏ hơn 50 (vì tích

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN HOẰNG HÓA

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC: 2014 -2015 Môn thi: Toán Ngày thi: 16/03/2015

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

( Đề thi này có 06 bài, gồm 01 trang )

Bài 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức: : ( 2 )

1

2 1

3 6 1

x x

a) Tìm điều kiện xác định của Q, rút gọn Q

b) Tìm x khi Q = 1

3 c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q

Bài 2: (4,5 điểm)

a) Giải phương trình:

) 7 2 )(

1 2 (

9 9 6 1 7 2

5 2 1 2

x x x

x x

x

b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 – 2x2 – x +2

c) Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho: x2 = y2 + 2y + 13

d) Gọi M, N, P, Q, I, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, CA, AB, EF, FD,

DE Chứng minh rằng ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy tại một điểm

Bài 5: (1.0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC =b ; BC = a Đường phân

giác BD của tam giác ABC có độ dài bằng cạnh bên của tam giác ABC Chứng minh rằng: 1 1 2

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN HOẰNG HOÁ

b) Ta có 2n = 10a + b => b chia hết cho 2 => ab chia hết cho 2 (1)

Ta chứng minh ab chia hết cho 3 (2)

Thật vậy, từ đẳng thức 2n = 10a + b = > 2n có chữ số tận cùng là b

Đặt n = 4k + r (k, r N, 0  r  3) ta có: 2n = 16k2r

Nếu r = 0 thì 2n = 16k tận cùng là 6 = > b = 6 = > ab chia hết cho 6

Nếu 1  r  3 thì 2n – 2r = 2r(16k – 1) chia hết cho 10

= > 2n tậncùng là 2r

suy ra b = 2r = > 10a = 2n - 2r = 2r(16k – 1) chia hết cho 3 = > a chia

hết cho 3 = > ab chia hết cho 3

Từ (1) và (2) suy ra ab chia hết cho 6

c) Chứng minh được AEF  ABC (c.g.c) AEF· ABC·

Tương tự ·DECABC· Do đó: ·AEFDEC·

Mà ·AEFHEF· DEC· HED· = 900 nên ·HEFHED·

 EH là phân giác của góc DEF

Tương tự FH là phân giác của góc EFD

Do đó H là giao các đường phân giác của tam giác DEF

0,25 0,25

0,25

0,25

d)

H A

I

Do BEC vuông tại E, M là trung điểm BC nên EM = 1

2BC (trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Tương tự : FM = 1

2BC

Do đó: EMF cân tại M, mà Q là trung điểm EF nên MQ  EF

 MQ là đường trung trực của EF hay MQ là đường trung trực của

tam giác DEF

Hoàn toàn tương tự, chứng minh được NI và PK cũng là đường

trung trực của tam giác DEF nên ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng

quy tại một điểm

0,5

0,5

H D

C B

Tam giác BAD cân tại B (BA=BD) có BH là đường cao nên cũng

là đường trung tuyến

2

AD AH

mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab +

bc + ca suy ra 3(ab + bc + ca)  9  ab + bc + ca  3 (2)

- Học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa

- Bài hình nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm

UBND HUYỆN VĨNH LỘC

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, 8 CỤM THCS

1

1:1

1

x x x

x x



 3) Tìm giá trị của x để A < 0

Bài 2 ( 4,0 điểm ):

a)Giải phương trình sau: 2 1 2 2 2 6

x  x  x  x  x  x

b) Cho x là số nguyên Chứng minh rằng biểu thức

M= (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) +1 là bình phương của một số nguyên

Bài 3 ( 4,0 điểm ):

a) Cho x,y,z là các số nguyên thỏa mãn: x + y + z chia hết cho 6

Chứng minh M = ( x + y)( x + z )( y + z ) – 2xyz chia hết cho 6

b) Cho a,b,c là các số khác 0 thỏa mãn: a b3 3 b c3 3 c a3 3  3a b c2 2 2

- Họ và tên thí sinh:……… ; Số báo danh:

Chú ý: Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN VĨNH LỘC

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, 8 CẤP HUYỆN

Năm học 2014 – 2015

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN LỚP 8

I Một số chú ý

1 Tổng số điểm của 5 bài trong đề thi là 20 điểm

2 Không được làm tròn điểm của từng bài và tổng điểm đạt được của thí sinh

3 Thí sinh có thể giải bằng các cách khác với lời giải trong hướng dẫn chấm, nếu lời giải đúng, đủ bước thì người chấm vẫn có thể cho điểm tối đa theo biểu điểm quy định cho từng câu

II Đáp án, biểu điểm và hướng dẫn chấm

Bài Câu Yêu cầu cần đạt và lời giải tóm tắt Mức

điểm 1.1

(2,0

điểm

Với x khác -1 và 1 thì : A=

) 1 ( ) 1

)(

1 (

) 1 )(

1 ( :

1

1

2

2 3

x x x x x

x x x

x x x

1 (

) 1 )(

1 ( : 1

) 1

)(

1 (

2 2

x x x

x x x

x x x x

1 : ) 1 ( 2

5 (

3

5 1 )(

9

25 1

27

2 10 27

272 3

8 9

1 ( x2 x  (1)

Vì 1 x2  0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi

0

1 x  x 1

KL

0,25đ 0,5đ 0,25đ

2

2.a

1 3

t t

x = 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

0,25đ

0,25đ 0,5đ

0,5đ

0,25đ 0,25đ

Khi đó M = (t – 1)(t + 1) +1 = t2 – 1 + 1 = t2

Vì x là số nguyên nên t là số nguyên

Vậy M là bình phương của một số nguyên

0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ

0,5đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,5đ

( x+y+z)3 – x3- y3- z3 = 3 (x+y)(y+z)(z+x)

=> -xyz = (x+y)(y+z)(z+x)

Ta có: -a2b2c2=(ab+bc)(bc+ca)(ca+ab) -abc = (a+b)(b+c)(c+a)

0

90 ( )

0,5đ 0,25đ 0,25đ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN THIỆU HOÁ

ĐỀ THẨM ĐỊNH HSG LỚP 8 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2014 - 2015

MÔN TOÁN

Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Ngày thi: 27 tháng 4 năm 2015

n -1( 2)

Câu 4 (5,0 điểm): Cho tam giác đều ABC, E là một điểm thuộc cạnh AC và không trùng

với A, K là trung điểm của đoạn AE Đường thẳng đi qua E và vuông góc với đường thẳng AB tại F cắt đường thẳng đi qua C và vuông góc với đường thẳng BC tại điểm D

a) Chứng minh tứ giác BCKF là hình thang cân

b) Chứng minh: EK.EC = ED.EF

c) Xác định vị trí của điểm E sao cho đoạn KD có độ dài nhỏ nhất

Câu 5 (2,0 điểm): Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, gọi I là điểm bất kì trên

cạnh BC Đường thẳng đi qua I và song song với AC cắt AB ở K, đường thẳng đi qua I

và song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự ở D và E Chứng minh: DE = BK

Câu 6 (2,0 điểm): Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: abc = 1 Chứng minh rằng: