Giáo án tự chọn môn toán lớp 7 Các bài toán về tam giác cân - tam giác đều Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A . Lấy các điểm E.F theo thứ tự thuộc các cạnh AB ; AC sao cho AF = AE . Gọi D là trung điểm của BC . a/ C/m CE = BF b/ C/m AD là phân giác của góc A c) Gọi I là giao điểm của CE và B;.Chứng minh rằng A,I,D thẳng hàng H ớng dẫn giải F D B C A E a)Để c/m AE = AF ta chi cần c/m 2 tam giác ABF va ACE bằng nhau (theo t/h c-g-c) b) Để c/m AD là phân giác của góc A thi ta c/m 2 tam giác ABD và ACD bằng nhau từ đó suy ra hai góc BAD và CAD bằng nhau và suy ra diều phải c/m c)Để c/m A, I, D thẳng hàng ta co thể c/m AI cũng là tia phân giác của góc A bằng cách c/m hai tam giác AEI và AFI bằng nhau( theo t/h c-g-c) từ đó suy ra hai tia AI và AD trùng nhau và suy ra A, I, D thẳng hàng Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = AC . Một điểm M thuộc cạnh AB và một điểm N thuộc cạnh AC sao cho BM = CN . a/ C/m AMN cân b/ C/m MN // BC c/ Nếu A = 40 0 . Tính các góc của tam giác ABC H ớng dẫn giải N B C A M a) Từ gt tam giác ABC cân tại A nên AB = AC (1) Từ gt BM = CN két hợp vói (1) ta suy ra AM =AN từ đó suy ra tam giác AMN cân tai A GV : Đỗ Đình Thuần Giáo án tự chọn môn toán lớp 7 b) Từ gt tam giác ABC cân tại A nên à à à 180 (1) 2 o A B C = = theo câu a) thị tam giác AMN cân tại A nên ả à à 180 (2) 2 o A M N = = Từ (1) và (2) ta suy ra góc M bằng góc B và suy ra MN//CB c) thay góc A bằng 40độ vào (1) ta suy ra à à 70 o B C= = Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A . a/ C/m góc B,C luôn là góc nhọn b/Nếu tam giác ABC có A = 100 0 . Lấy các D,E trên cạnh BC sao cho BD = BA ; CE = CA . C/m tam giác AED cân . c/ Vẽ phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC . C/m đờng phân giác này song song với BC . H ớng dẫn giải 1 1 E D B C A a) Do tam giác ABC cân tại A nên à à à 180 (1) 2 o A B C = = mà góc A lớn hơn không nên góc B và góc C nhỏ hơn 90 0 . hay chúng đều là góc nhọn b)theo gt thì AB =BD và AC = CE mà AB =AC nên AB =BD =AC =CE. Mặt khác góc B và C bằng nhau nên hai tam giác ABD và ACE bằng nhau theo t/h c g c từ đó suy ra AD = AE hay tam giác ADE cân tại A c)Do Ax là tia phân giác ngoaì của góc A nên A 1 và góc A 2 bằng nhau và băng một nửa góc Bay . Mặt khác góc BAy là góc ngoài của tam giác ABC nên: ã à à à à 2 2BAy B C B C= + = = Từ đó suy ra à ã ã ( ) 2 BAy B BAx= = suy ra Ax//BC Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A , điểm M thuộc cạnh BC . Kẻ MD AB , ME AC ,BH AC . a/ C/m MD + ME = BH b/ Xét bài toán này khi tam giác ABC đều và M trong các trờng hợp sau : 1/ M thuộc cạnh BC 2/ M nằm trong miền trong tam giác ABC . GV : Đỗ Đình Thuần Giáo án tự chọn môn toán lớp 7 H ớng dẫn giải H D E B C A M Bài 5*: Cho tam giác ABC có các góc nhỏ hơn 120 0 . ở phía ngoài tam giác ABC vẽ các tam giác đều ABD ; ACE . a/ C/m DC = BE b/ Gọi I là giao điểm của DC và BE . Tính góc BIC . c/ Nếu tam giác ABC đều C/m D,A,E thẳng hàng . H ớng dẫn giải I D E B C A a) Để c/m DC =BE ta c/m ABE ADC = ( hai tam giác có: AD =AC; AE =AC (gt) và ã ã à 60 o DAC BAE A= = + ) từ đó suy raBE =DC b) ta có ã ã ã ã ã ã ã ã ã 0 0 60 60 120 o DIE DBI BDI IBA ABD BDI BDI IDA BDA= + = + + = + + = + = c) nếu tam giác ABC đều thì góc A bằng 60 độ nên ã à ã 0 180DAB A CAE+ + = nên D,A,E thẳng hàng Bài 6*: Cho M nằm trên đoạn thẳng AB . Vẽ về một phía của AB các tam giác đều AMC và BMD . a/ C/m AD = CB b/ Gọi I ,K theo thứ tự là trung điểm của AD ,CB . Tam giác MTK là tam giác gì ? H ớng dẫn giải GV : Đỗ Đình Thuần Giáo án tự chọn môn toán lớp 7 I K D C A B M a)Để c/m AD =BC ta đi c/m cho hai tam giác AMD và CMB bằng nhau( theo t/h c- g -c) b) từ câu a suy ra DI =KB , ã ã IDM KBM= kết hợp với MB =MD ta suy ra ( )MID MKB c g c = suy ra IM=KM và hai góc IMD và KMB bằng nhau. Ta có: ã ã ã ã ã ã 0 60KMI IMD DMK DMK KMB DMB= + = + = = nên tam giácIKM là tam giác đều Bài7 : Cho tam giác ABC đều . Trên cạnh BC có một điểm D sao cho BC = 3BD . Trên cạnh AB có một điểm E sao cho AB = 3AE và trên cạnh AC có một điểm F sao cho AC = 3AF . a/ C/m tam giác DEF đều . b/ Các điểm D,E,F có nhất thiết phải thoả mãn các điều kiện trên không ? nếu không thì chỉ cần thoả mãn điều kiện gì để tam giác DEF đều . H ớng dẫn giải F E D A B C a) để c/m tam giác Dè đều ta chỉ cần c/m cho ba tam giác AEF, BDE, CFD bằng nhau từ đó suy ra DE =EF = FD và suy ra tam giác DEF đều b) Để tam giác DEF đều chỉ cần d/k AE=BD=CF mà không cần d/k nh đề bài Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A . Kẻ AH BC ( H thuộc BC ) ; tia phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở D . C/mr a/ Tam giác ADB cân b/ Tia phân giác của góc HAB cắt BC tại E . C/mr CE + BD = AB + AC H ớng dẫn giải GV : Đỗ Đình Thuần Giáo án tự chọn môn toán lớp 7 D H A C B Bài9 : Cho tam giác ABC có AB < AC . Gọi Ax là tia phân giác của góc A . Qua trung điểm M của BC ,kẻ tia đờng vuông góc với Ax , cắt các đờng thẳng AB ,AC theo thứ tự ở D và E . C/m BD = CE H ớng dẫn giải D E H M I B C A Bài 10: Cho tam giác ABC cân đáy BC , BAC = 20 0 . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BCE = 50 0 . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CBD = 60 0 . Qua D kẻ đờng thẳng song song với BC ,nó cắt AB tại F . Gọi O là giao điểm của BD và CF . a/ Chứng minh : AFC = ADB . b/ C/m: OFD và OBC là tam giác đều . c/ Tính số đo góc EOB ? d/C/m tam giác EFD = tam giác EOD . e/ Tính số đo BDE H ớng dẫn giải GV : Đỗ Đình Thuần a) do tam giác ABC vuông ở A nên à à 0 90B C+ = . Mặt khác AH BC nên à ã 0 90B BAH+ = ừ đó suy ra à ã 0 90C BAH+ = à ã C BAH= . Lại có góc BDAlà góc ngoài của tam giác ADC nên ã à ã à ã ã ã ã BDA C CAD C DAH BAH BAH BAD= + = + = + = suy ra tam giác ADB cân tại B b)c/m tơng tự ta cũng có tam giác ACE cân tại C nên CE =CA từ đó suy ra CE +BD =AB +AC Từ B kẻ BN//AC (N DE) dễ dàng c/m đợc ( )BNM ECM g c g = BN CE = . Mặt khácdo BN//AC nên ã ã BND AED= Dễ dàng c/m đợc tam giác AED cân tai A nên ã ã ADE AED= từ đó suy ra tam giác DBN cân tạiB suy ra BN =BD và suy ra BD =CE Giáo án tự chọn môn toán lớp 7 O F D B C A E Bài11: Cho tam giác ABC có A= 60 0 . Dựng ra phía ngoài các tam giác đều ABM ,ACN . a/ C/m : ba điểm M,A,N thẳng hàng . b/ C/m : BN = CM . c/Gọi O là giao điểm của BN và CM . Tính BOC ? H ớng dẫn giải Bài 12*: Tam giác ABC vuông tại A . C/m BC = 2AC khi và chỉ khi B = 30 0 H ớng dẫn giải Bài 13*: Cho tam giác ABC nhọn . Kẻ AD BC ; BE AC . Gọi H là giao điểm của AD và BE . Biết AH = BC . Tính số đo góc BAC . H ớng dẫn giải Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A ,gọi M là trung điểm của BC . C/mr BC = 2AM . Hãy phát biểu bài toán đảo của bài toán trên ? H ớng dẫn giải Bài 15: Cho tam giác ABC nhọn có A = 60 0 . Kẻ BD AC .Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB ; AC . a/ Xác định dạng của tam giác BMD ; AMD . b/ Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AN . C/m CE AB H ớng dẫn giải Bài 16: Cho tam giác ABC . Kẻ các tia phân giác của góc B và C , các tia phân giác này cắt nhau tại O . Qua O kẻ đờng thẳng song song với BC , đờng thẳng này cắt cạnh AB ở E và cắt cạnh AC ở F . a/ C/m EF = BE + CF b/ Khi EF = BE + CF C/mr phân giác B ,C cắt nhau tại một điểm trên EF . H ớng dẫn giải GV : Đỗ Đình Thuần a) Dễ dàng c/m đợc hai tam giác AFC vầDB bằng nhau theo t/h c-g-c b) theo câu a thì AFC ADB = nên ã ã 0 20ABD ACF= = .mặt khác do tam giác ABC cân tại A và góc A bằng 20 0 nên ã ã 80 o ABC ACB= = nên ã 0 60BCF = . từ đó suy ra tam giác BOC đều Do DF//BC nên cung dễ dang c/m đợc tam giác FDO đều c) Do góc BCE bằng 50 0 và theo câu b thì góc B bằng 80 0 nên góc BEC bằng 50 0 hay tam giác BEC cân tại B suy ra BE =BO(=BC)do đó tam giác BEO cân tại B từ đó tính đợcgóc EOB bằng 80 0 d)ta có ã ã ã 0 0 0 80 ; 60 40BOE FOD EOF= = = .mặt khácdễ thấy tam giác AFC cân tại F mà góc A bằng 20 0 nêngóc AFC bằng 140 0 suy ra góc EFO bằng 40 0 hay tam giác EFO cân tại E suy ra EF =EO. Từ đó suy ra hai tam giác EFD và EOD bằng nhau theo t/h c-c-c e) Do tam giác BOE cân tại B nêngóc BEO bằng 80 0 suy ra góc OEF bằng 100 0 mà hai góc FED và OED bằng nhau nên góc DEO bằng 50 0 từ đó suy ra góc BEDbằng 130 0 Giáo án tự chọn môn toán lớp 7 Bài 17:Cho tam giác ABC có A = 90 0 + C . Qua A kẻ đờng vuông góc với AB ,đờng thẳng này cắt BC tại điểm D . Từ C kẻ đờng vuông góc với cạnh BC , đờng thẳng này cắt tia BA tại điểm E ; ED cắt cạnh AC tại điểm N . a/ C/m các tam giác ADC , AEC là tam giác cân . b/ C/m N là trung điểm của cạnh AC và ED AC c/ Cho B = 30 0 . Tính các góc A,C . Tam giác BAC là tam giác gì ? H ớng dẫn giải Bài 18: Cho tam giác ABC cân tại A và A = 120 0 . Đờng thẳng vuông góc với AB tại A cắt BC tại D . C/mr : BD = 2DC . H ớng dẫn giải Bài 19 : Cho tam giác ABC vuông tại A ,đờng cao AH . Biết HC HB = AB . Tìm liên hệ về độ dài giữa BC và AB . H ớng dẫn giải Bài 20: Cho tam giác ABC vuông tại A ; gọi M là trung điểm của BC . Qua A kẻ đờng thẳng d vuông góc với AM . Qua M kẻ đờng thẳng vuông góc với AB và AC chung cắt d tại D và E .C/m : a/ BD // CE b/ DE = BD + CE . H ớng dẫn giải Bài21*: Cho tam giác ABC cân tại A có A = 40 0 . Trên nửa mặt phẳng bờ là BC không cha A , vẽ tia Bx sao cho CBx = 10 0 . Trên tia Bx lấy điểm E sao cho EB = BA .Tính góc BEC . H ớng dẫn giải Bài 22*: Cho tam giác ABC vuông cân tại A , điểm D nằm trong tam giác sao cho DBC = DCA = 30 0 . C/m Tam giác ACD cân . H ớng dẫn giải Bài23:*Cho tam giác ABC có A= 60 0 .Tia phân giác của B cắt Ac tại D , tia phân giác của góc C cắt AB tại E . Các tia phân giác đó cắt nhau ở I . C/m tam giác IDE cân . H ớng dẫn giải Bài 24*: Cho tam giác ABC . M là trung điểm của BC C/m : a/ Nếu AM = 1 2 BC thì A = 90 0 b/ Nếu AM > 1 2 BC thì A < 90 0 c/ Nếu AM < 1 2 BC thì A > 90 0 H ớng dẫn giải Bài 25*: Cho tam giác cân ABC có A= 100 0 ,tia phân giác của B cắt AC ở D . C/m BC = BD + AD . H ớng dẫn giải Bài 26*: Cho tam giác vuông ABC tại A có AC = 3AB . Trên AC lấy D và điểm E sao cho AD = DE = EC . C/m AEB + ACB = 45 0 . H ớng dẫn giải GV : Đỗ Đình Thuần Gi¸o ¸n tù chän m«n to¸n líp 7 GV : §ç §×nh ThuÇn . các tam giác ADC , AEC là tam giác cân . b/ C/m N là trung điểm của cạnh AC và ED AC c/ Cho B = 30 0 . Tính các góc A,C . Tam giác BAC là tam giác gì ? H ớng dẫn giải Bài 18: Cho tam. giải F E D A B C a) để c/m tam giác Dè đều ta chỉ cần c/m cho ba tam giác AEF, BDE, CFD bằng nhau từ đó suy ra DE =EF = FD và suy ra tam giác DEF đều b) Để tam giác DEF đều chỉ cần d/k AE=BD=CF. b/ C/m: OFD và OBC là tam giác đều . c/ Tính số đo góc EOB ? d/C/m tam giác EFD = tam giác EOD . e/ Tính số đo BDE H ớng dẫn giải GV : Đỗ Đình Thuần a) do tam giác ABC vuông ở A nên