Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của C.. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC SD,.. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC của tam giác.. Chứng minh điểm I
Trang 1TRƯỜNG THPT NGA SƠN ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011 Môn: TOÁN ; Khối B - D
Thời gian làm bài : 180 phút không kể thời gian phát đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
1
1 2
−
−
=
x
x
1 Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số
2 Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại
M vuông góc với đường thẳng IM
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình:
x
x x
sin
2 cos 3 2 cot
2. Giải hệ phương trình:
−
−
= +
= + +
−
1 ) 2 4 ( log 1 log
1 3
6
3 2 8
2 2
2
y x
y x xy x
Câu III (1 điểm)
Tính tích phân∫2
0
2
cos
π
xdx
Câu IV (1 điểm)
Cho hình chóp S ABCD có SAvuông góc với mặt phẳng (ABCD SA a), = Đáy ABCD là hình bình hành
cóAB=b,BC=2b,∠ABC =60O Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC SD, Chứng minh //( )
MN SAB và tính thể tích của khối tứ diện AMNCtheo , a b
Câu V (1 điểm)
Chox ≥ 0 , y ≥ 0 x + y = 1 Tìm GTLN, GTNN của
1
+
=
x
y y
x P
I- PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a
1 Trong hệ trục toạ độ Oxycho tam giác ABC có ( 2;3)C − Đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A và đường phân giác trong góc B có phương trình lần lượt là: 3x−2y−25 0,= x y− =0 Hãy viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC của tam giác
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu ( ) :S x2+ y2+ −z2 2x+6y−4z− =11 0 và điểm
( 1; 2;3)
I − − Chứng minh điểm I nằm bên trong mặt cầu (S) Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm I đồng thời mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn tâm I
Câu VII.a Biết tổng các hệ số trong khai triển (1+2x) nbằng 6561 tìm hệ số của x4
B.Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b
1 Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết CD có phương trình 4x−3y+ =4 0 Điểm M(2;3) thuộc cạnh BC, (1;1)N thuộc cạnh AB Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AD
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường tròn (C) có tâm (1; 2;3)K − , nằm trên mặt phẳng
( ) : 3P x+2y+2z− =5 0, và đi qua điểm M(3;1; 3)− Viết phương trình mặt cầu (S) chứa đường tròn (C)
và có tâm thuộc mặt phẳng ( ) :Q x y z+ + + =5 0.
Câu VII.b Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Niu tơn của ( 1)12
x
x +
Trang 2
ĐÁP ÁN
I 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :
• TXĐ: D= R/{ }1
• Sự biến thiên: 2
,
) 1 (
1
−
−
=
x
y hàm số nghịch biến trên D
• x→ 1 + =+∞
Limy =−∞
− → 1 x Limy Đồ thị nhận đt x = 1 làm tiệm cận đứng • Limy x→+∞ =2 =2
−∞ → x Limy Đồ thị nhận đt y = 2 làm tiệm cận ngang • Bảng biến thiên: x 1
y' -
-y 2 +∞
−∞ 2
Đồ Thị :
4
2
-2
-4
h x ( ) = 2⋅ x-1 x-1
g y ( ) = 1
f x ( ) = 2
0,25
0,25
0,25
0,25
2 Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc IM
Gọi M(x0;y0)∈(C) Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là : 2
0
,
) 1 (
1 )
(
−
−
=
x x f
Hệ số góc của đường thẳng IM là k 2
0 1) (
1
−
=
x
Theo bài ra ta có : 2
0 1) (
1
−
0 1) (
1
−
=
=
⇔
2
0 0
0
x
x
⇒
=
=
3
1
0
0
y y
0,25 0,25 0,25 0,25
II 1 Giải phương trình với
ĐK: sinx≠0
Phương trình cho
+
=
=
⇔
= +
−
=
−
⇔
=
− +
+
−
⇔
− +
+
=
− +
+
⇔
+
=
−
⇔
π π
π
2 2 3
) ( 2 3
cos sin
1 cos
sin
0 ) 3 sin )(cos
sin cos
1 (
) sin )(cos
sin (cos
3 ) sin (cos
3 ) sin (cos
2 cos 3 sin 2 cos 4
k x
L k x VN x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
Vậy phương trình cho có nghiệm là π 2π
2
3
k
x = +
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 32 Giải hệ phương trình: Đk − 2 < y< 2
Hệ
= +
= + +
−
⇔
1
1 3
6
2 2
2
y x
y x xy x
= +
=
− +
−
⇔
1
0 ) 1 2 )(
1 3 (
2
2 y x
y x x
⇔
= +
+
=
= +
=
1
1 2 1 3 1
2 2
2 2
y x
x y
y x
x
Nghiệm của hệ là )
3
2 2
; 2
1
3
2 2
; 2
1
5
3
; 5
4 (− − ; (0;1)
0,25
0,5
0,25
III
Tính tích phân I = ∫2
0
2 cos
π
xdx
0
) 2 cos 1 ( 2 1
π
dx x
0
2 1
π
xdx + ∫2
0
2 cos 2 1
π
xdx x
0,25
Đặt
=
=
xdx dv
x u
2
=
=
⇒
xdx v
dx du
2 sin 2
1
,
J=
0 2 2 cos 8
1 0 2 2 sin 4
1 2
sin 4
1 0 2 2 sin 4
1 2
cos 2
0
2
0
π π
π
x x
x xdx x
x xdx
∫
I =
16
4 0
2 2 cos 8
1 0 2 2 sin 4
1 0
2 4
2 π + x xπ + xπ = π −
x
0,25
0,25
0,25
IV Cho hình chóp S ABCD có SAvuông góc với mặt phẳng ( ABCD SA a), = Đáy ABCD
là hình bình hành có AB b BC= , =2 ,b ABC· =600 Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC SD Chứng minh , MN P(SAB)và tính thể tích của khối tứ diện
AMNC theo a, b.
H N
M
S
C
D
B
A
+) Gọi H là trung điểm của AD
/ /
HM AB
HN AS
+) Có NH ⊥ AD H, ∈AD
Khi đó
2 2
SA
Mặt khác dễ thấy ABM∆ đều cạnh b Do M là trung điểm BC nên
0,25
0.25
Trang 42 3
4
a
dt MAC∆ =dt ABM∆ =
Vậy thể tắch của khối tứ diện AMCN là V với 1 ( ) 1 2 3 2 3
V = NH dt MAC∆ = = (đvtt)
0,25
0,25
V
Ta có :
xy
xy xy
xy y
x P
+
−
= +
+
− +
=
2
2 2 2
1 2 )
Đặt t=xy (t 0≥ ) thì P=f(t)=
t
t
+
− 2
2 2 Do 1=x+y
4
1 0
4
1
Ta có : + ≤ ∀ ∈
−
=
4
1
; 0 0
) 2 (
6 )
t t
f
⇒
4
1
; 0 / )
( NB t
f
Max P = f(0) = 1 khi x =0 ,y = 1 hoặc x = 1, y =0
Min P = f(
4
1 ) = 3
2 khi x = y =
2 1
0,25
0,25
0,25
VIa 1 Trong hệ trục toạ độ Oxycho tam giác ABC có ( 2;3) C − Đường cao của tam giác kẻ từ
đỉnh A và đường phân giác trong góc B có phương trình lần lượt là:
3x−2y−25 0,= x y− =0 Hãy viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC của tam
giác.
Gọi đường cao kẻ từ A là AH: 3x−2y−25 0=
Đường phân giác trong góc B là BE: x y− =0
BC có phương trình : 2x+3y− =5 0
Toạ độ B là nghiệm của hệ 2 3 5 0 1 (1;1)
B
Gọi F là điểm đối xứng của C qua BE Do BE là phân giác nên F thuộc AB
Xác định toạ độ F được F(3; -2)
Đường thẳng chứa cạnh AB là đường thẳng đi qua B, F
Phương trình AB là: 3x + 2y -5 = 0
Toạ độ A là nghiệm của hệ 3 2 5 0 5 (5; 5)
A
Vậy phương trình AC là: 8x + 7y - 5 = 0
0,25
0,25
0,25 0,25
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu
2 2 2
( ) :S x + y + −z 2x+6y−4z− =11 0 và điểm ( 1; 2;3) I − − Chứng minh điểm I nằm
bên trong mặt cầu (S) Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm I đồng thời mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn tâm I.
Mặt cầu (S) có tâm J(1; -3; 2) bán kắnh R = 5
IJ = + + − = <R Chứng tỏ I nằm bên trong hình cầu (S)
Mặt phẳng (P) thoả mãn ĐK của bài toán sẽ đi qua I và vuông góc với IJ
Mp(P) có vectơ pháp tuyến n IJr=uur=(2; 1; 1)− −
Vậy phương trình của mp(P) là: 2x Ờ y Ờ z + 3 = 0
0,25 0,5
0,25
VIIa Tìm hệ số của x 4
Ta có : (1+2x)n =C n0 +C n12x+ +C n n(2x)n
n n
C0 + 12+ + 2
Mà (1+x)n =C n0+C n1x+ +C n n x n
n
x C x
x đó Khi
n S
2 )
2 1 ( ) 2 1 (
8 6561
3
8
8 =∑
+
= +
=
⇒
=
=
K= 4 hệ số của x4 là 2 4 1120
8
4C =
0,25
0,25
0,25 0,25
VIb 1 Lập pt cạnh AD
N M
Trang 5: 3 4 0
AD CD⊥ ⇒AD x+ y C+ =
ABCD là hình vuông nên ( , d M AD)=d N CD( , ) tức là
| 6 12 | | 4 3 4 |
13; 23
C
C
ĐS: PT AD x: 3 +4y− =13 0;3x+4y−23 0=
0,25 0,25
0,5
2 Viết pt mặt cầu chứa (C) và có tâm thuộc (Q)
+ Tâm I của mặt cầu thuộc đt d qua K và vuông góc với (P)
+ Ptts của d là:
1 3
2 2
3 2
= +
= − +
= +
+ Mặt khác: ( ) 1 3 2 2 3 2 5 0
1 ( 2; 4;1)
⇒ = − ⇒ − − + Bán kính mặt cầu:
( ) (2 ) (2 )2
R IM= = ⇒ pt S x+ + +y + −z =
0,25
0,25
0,5
VIIb Tìm hệ số không chứa x
k
k k
k
k
x x C x
=
=
=
0
12 12
0
12 12
12 (1) )
1 (
Hệ số của số hạng không chứa x là : 12-2k = 0 ⇔k = 6
Vậy số hạng không chứa x là : 6
12
C
0,5
0,5
I