CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1) Hệ thức cơ bản: ; ; ; sin2x + cos2x = 1; tanx.cotx = 1 2) Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biệt: Cos đối sin bù phụ chéo khác pi tan và cotan Cung đối nhau: cos(x) = cosx sin(x) = sinx tan(x) = tanx cot(x) = cotx Cung bù nhau: cos( x) = cosx sin( x) = sinx tan( x) = tanx cot( x) = cotx Cung phụ nhau: cos( ) = sinx sin( ) = cosx tan( ) = cotx cot( ) = tanx Cung hơn kém nhau : cos( + x) = cosx sin( + x) = sinx tan( x) = tanx cot( x) = cotx
Trang 1CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1) Hệ thức cơ bản:
tan x sin x
cos x
= ; cot x cos x
sin x
1 tan x ; 1 cot x
+ = + = ; sin2x + cos2x = 1; tanx.cotx = 1
2) Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung - góc có liên quan đặc biệt:
Cos đối sin bù phụ chéo khác pi tan và cotan
Cung đối nhau:
cos(-x) = cosx sin(-x) = -sinx
tan(-x) = - tanx cot(-x) = - cotx
Cung bù nhau:
cos( π - x) = - cosx sin( π - x) = sinx
tan( π - x) = - tanx cot( π - x) = -cotx
Cung phụ nhau:
cos( x
2
π− ) = sinx sin( x
2
π − ) = cosx tan( x
2
π− ) = cotx cot( x
2
π− ) = tanx
Cung hơn kém nhau π :
cos( π + x) = - cosx sin( π + x) = - sinx tan( π - x) = tanx cot( π - x) = cotx
3) Công thức lượng giác
Công thức cộng:
cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb
cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb
sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa
sin(a - b) = sina cosb - sinb cosa
tan(a + b) = tan a tan b
1 tan a.tan b
+
− ; tan(a - b) = tan a tan b
1 tan a.tan b
−
+
Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina cosa cos2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a = cos2a - sin2a tan2a = 2
2 tan a
1 tan a−
Công thức hạ bậc:
) a 2 cos 1 ( 2
1 a
) a 2 cos 1 ( 2
1 a
a
a a
2 cos 1
2 cos 1 tan2
+
−
=
Công thức biến đổi tổng thành tích:
2
b a cos 2
b a cos 2 b cos a
2
b a sin 2
b a sin 2 b cos a
2
b a cos 2
b a sin 2 b sin a
2
b a sin 2
b a cos 2 b sin a
Công thức biến đổi tích thành tổng:
cosacosb= 1
2[cos(a - b) + cos(a + b)]
Trang 2sinasinb= 1
2[cos(a - b) - cos(a + b)]
sinacosb = 1
2[sin(a - b) + sin(a + b)]
Bài tập:
I BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC:
Bài tập: CMR:
a sin(a + b).sin(a – b) = sin2a – sin2b = cos2b – cos2a; b cos(a + b).cos(a - b) = cos2a – sin2b = cos2b – sin2a
Bài tập: CMR:
a cotx + tanx =
x
2 sin
2
; b Cotx – tanx = 2cot2x; c x
x
x
tan 2
cos 1
2 sin =
x x
tan 2
cos
1
2
cos
+
−
Bài tập: CMR:
a cos4a = 8cos4a – 8cos2a + 1; b Sin4a + cos4a =
4
3 4 cos 4
1 a+ ; c Sin6a + cos6a =
8
5 4
cos
8
3
+
a
Bài tập: CMR:
a cos5x.cos3x + sin7x.sinx = cos2x.cos4x; b Sin5x – 2sinx(cos2x + cos4x) = sinx
Bài 1: Chứng minh:
a) cosx + cos(1200 - x) + cos(1200 + x) = 0
gx cot x
sin
x sin 1 2
x 4
tg
=
+
−π
x sin 2 x 4 sin 2
x 4 cos 2 x cos 2
=
−
+π
+π
−
d) cos3asina - sin3acosa =
4
a 4 sin
a 2 tg 1
a 2 tg 2 2 ) tga 1
+
− +
g) sin x−2sinx(cos x+cos2x)=sinx h)
x 2 cos x cos 2
x sin 2
x sin 2
x cos 2
x
Bài 2: Rút gọn:
a 7 cos a 5 cos a 3 cos a cos
a 7 sin a 5 sin a 3 sin a sin
A
+ +
+
+ +
+
x 7 cos x cos x cos
x sin x sin x sin
+ +
+ +
2
x cos 4
2
x 0 45 2 sin 2 x sin 1
C
−
−
+
x 2 sin 4 x 2 2 sin 4
x 4 sin 4 x 2 2 sin D
−
−
+
=
Trang 3E =
a 2 2 sin 2 a cos
1
a 3 sin a 5 sin a
2
sin
− +
− +
F =
) x 2 2 g cot 1 ( x 2 sin
2 2
x 2 cos 3 2
x 2 sin 2
+
− +
Bài 3: Rút gọn các biểu thức:
P =
3
x cos 3
x cos 3
x
cos
2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2
x
0< < π
)
S = sin 2x cos x cos 2 x cos 2x
Bài 4:
a) Cho cos2a = 1 (0 2a )
π
< < Tính cosa, cota b) Cho sin2a = 1 (0 2a )
π
Tinh sina, tana