Chuyên đề- Các phép toán về căn bậc hai –rút gọn biểu thức tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài...
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHÉP TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI –RÚT GỌN BIỂU THỨC
A Kiến thức cần nhớ.
1 Điều kiện để căn thức có nghĩa.
A có nghĩa khi A 0
2 Các công thức biến đổi căn thức.
a A2 A b AB A B (A 0;B 0)
c A A (A 0;B 0)
B B d A B2 A B (B 0)
e A B A B2 (A 0;B 0)
A B A B2 (A 0;B 0) f A 1 AB (AB 0;B 0)
i A A B (B 0)
B
2
( 0; )
A B
( 0; 0; )
A B
B.Kĩ năng cần đạt:
Tìm căn bậc hai của một số hoặc biểu thức
Tìm điều kiện của biến để biểu thức xác định
Thực hiện các phép tính về căn bậc hai, các phép biến đổi đơn giản =>Rút gọn và tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai
Giải phương trình chứa căn bậc hai
C.Các dạng bài tập cơ bản:
1.Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định:
2.Rút gọn biểu thức và một số dạng bài tập kèm theo.
*Các biểu thức chứa căn đơn giản trong sách bài tập để học sinh củng cố các công thức.
Bài 1 Tính
a) 2 5 125 80 605 b)
5 1
8 2
5
10 2 10
c) 15 216 33 12 6
d) 2188 4812 305 16227
e)
75
4 6 27
1 3 3
16
3 2
3 2 3 2
3 2
2
10
) 5 3
(
5
3
5
3 3
4 6 27
2 k) 8 3 2 25 12 4 192
l) 2 3 ( 5 2 ) m) 3 5 3 5 n) 4 10 2 5 4 10 2 5
p)
4 5
2
5 8 2
5 2
Bài 2 Chứng minh 5 2 649 20 6 5 2 6 9 3 11 2
*CÁC BIỂU THỨC PHỨC TẠP HƠN.
-Các dạng bài tập kèm theo có thể là:
Tính giá trị của biểu thức tại một giá trị của biến
Giải phương trình: Tìm x để giá trị của biểu thức bằng a
Giải bất phương trình: Tìm x để giá trị của biểu thức không âm, So sánh biểu thức với một số hoặc một biểu thức khác, chứng minh giá trị của biểu thức
Trang 2Tỡm GTLN, GTNN của biểu thức.
Tỡm x nguyờn, x hữu tỉ để giỏ trị của biểu thức nguyờn
Bài 1:
a)Rỳt gọn A
b)Tớnh A với a = 4 15 10 6 4 15
HD: a) A= 4a b) Xong
Bài 2: Cho A = 2 1 1
với x0 , x1
a Rỳt gọn A b Tỡm GTLN của A
HD: a)A =
1
x
b)Nếu x = 0 thì A = 0
1
x
Theo bất đẳng thức cauchy ta có: x min 2 x 1.Khi đó Amax =
3
x
x
Bài 3:
với x > 0 , x4
a)Rỳt gọn A b)So sỏnh A với 1
A HD: a) A = 9
6
x x
2
9
x b
x x
Bài 4:
a)Tỡm x để biểu thức A xỏc định b)Rỳt gọn A
c)với giỏ trị nào của x thỡ A < 1 d)Tỡm x Z để A Z
HD a) x0 , x9, x4 b)A= 3
2
Bài 5: Cho A = 15 11 3 2 2 3
với x0 , x1
a)Rỳt gọn A b)Tỡm GTLN của A c)Tỡm x để A = 1
3
HD:a) A = 2 5
3
x x
3 min x=0
x x
x
Trang 3Các bài tập luyện:
2
x x y y
x y
y x
x y x y với x0 , y0, xy
a)Rút gọn A b)CMR : A 0
HD: )
xy
a A
x xy y ) 2 3 0
Víi x,y 0
b A
x
Với x > 0 , x1
a) Rút gọn A b)Tìm x để A = 6 HD:a) A = 2x x 1
x
b)
Bài 8: Cho A = 4 3 : 2
x x x x x với x > 0 , x4
a)Rút gọn A b)Tính A với x = 6 2 5 HD:a)A = 1 x) b)
với x > 0 , x1
a)Rút gọn A b)Tính A với x = 6 2 5 HD: A = 3
2 x b)
x x x x x với x0 , x1
a)Rút gọn A b)Tìm x Z để A Z HD:a)A =
3
x
Bài 11: Cho A= 1 2 2 : 1 2
1
x
x
a)Rút gọn A b)Tìm x để A Z c)Tìm x để A đạt GTNN
HD:a)A = x x11
x
n
n
c)Xong: x = 0, Amin = -1
Bài 12: Cho A = 2 3 3 : 2 2 1
9
x
với x0 , x9
a)Rút gọn A b)Tìm x để A < -1
2 HD: a) A = 3
3
a
a)Rút gọn A b)Tính A với x = 6 2 5 c)CMR : A 1
HD: a)A = 4
4
x
x b) c)Xét hiệu A – 1
Trang 4Bài 14: Cho A = 1 1 : 1
x
với x > 0 , x1
a)Rút gọn A b) So sánh A với 1 HD:a)A = x x1 b)
x
Với 0, 1
9
x x
a)Rút gọn A b)Tìm x để A =6
5 c)Tìm x để A < 1 HD: a)A =
x x x
b,c)
Bài 16: Cho A =
2
.
với x0 , x1
a)Rút gọn A b)CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0
c)Tính A khi x =3+2 2 d)Tìm GTLN của A
HD:a) A = x(1 x) b,c,d(Quá cơ bản)
2
a)Rút gọn A b)CMR nếu x0, x1 thì A > 0
HD:a) A = 2
1
x x
Bài 18: Cho A = 1 4 1 : 2
1
x
với x > 0 , x1, x4
a)Rút gọn A b)Tìm x để A = 1
2
Bài 19
a)Rút gọn A b.)Tính A khi x= 0,36 c)Tìm x Z để A Z
x x x x x với x0 , x1
a) Rút gọn A b) CMR : 0 A 1
HD: a) A =x x x 1
a Rút gọn A b)Tìm x sao cho A nguyên
HD:a)A = x 5 3
3 3
n
n x
với a 0 , a9 , a4
a Rút gọn A b Tìm a để A < 1 c Tìm a Z để A Z
HD: a) A = a a13
Bài 22: Cho A= 1 x : x3 x2 x2 với x 0 , x9 , x4
Trang 5a)Rút gọn A b)Tìm x để A Z c)Tìm x để A < 0
HD:a) A = x x 21
b,c(Dạng cơ bản)
Bài 23 :Cho biểu thức:A =
1 2
2 2 1
x
x
x ( x 2; x 3) a) Rút gọn A b) Tính A khi x=6
1
1 1
1 1
2
x
x x
x
x x
x x
a) Rút gọn B b) CMR: 3B < 1 với điều kiện thích hợp của x
1
4 1
: 1
1 1
1 2
x x
x x
x x x
a) Rút gọn C b) Tìm x Z sao cho C Z
3
2 2 : 9
3 3 3 3
2
x
x x
x x
x x
x
( x 0; x 9) a) Rút gọn D b) Tìm x sao cho D< 13 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
x
x x
x x
x
x x
1
2 2
1 2
3 9 3
( x 0; x 1) a) Rút gọn E b) Tìm x Z sao cho E Z
1
3 : 1 1
3
2
x
x
x (-1< x < 1) a) Rút gọn F b) Tính giá trị của F khi x= 4 2 5
1 1
3 : 1 1 3 1
1 5 5
2
x
x x
x
x x
( x > 1; x 10) a) Rút gọn F b) CMR: F < 3
2
1 :
1
1 1 1
x x
x
x x
x
x
( x 0; x 9) a) Rút gọn H b) CMR H > 0 với điều kiện xác định của H
Bài 31 : Cho biểu thức: K =
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
x
x x
x x
x
x
( x 0; x 9) a) Rút gọn K b) Tìm x để K = 0,5
c) Tìm x để K nhận giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó
Bài 32: Cho biểu thức: L = 12 4
x
x x
( x 2; x 3) a) Tìm x để L đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó b) Tìm x sao cho L = 2x
Bài 33: Cho biểu thức: M=
1
1 1 1
2
x x
x
x x
x
x
a) Rút gọn M b) Tính giá trị của M khi x = 28-6 3 c) CMR : M<
3 1
1 1 1
1 : 1 1 1
1
xy
x xy xy
x xy
x xy xy
x
a) Rút gọn N b) Tính giá trị của N khi x= 4 2 3; y= 4 2 3
c) Biết x+ y =4 Tìm giá trị nhỏ nhất của N
Trang 6*Bài 35: Cho biểu thức: P x y x y x y y x x xy y
1 1 1
) )
1 )(
( a) Tìm điều kiện của x và y để P xác định Rút gọn P
b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2
HD:
a) Điều kiện để P xác định là :; x 0 ; y 0 ; y 1 ;x y 0 (*)
P
1 1
y
1
y
b) P = 2 x xy y.= 2 x1 y y 1 1 x 1 1 y 1
Ta có: 1 + y 1 x 1 1 0 x 4 x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay vào ta cócác cặp giá trị (4; 0) và (2 ; 2) thoả mãn
*B ài 36 : Cho hàm số f(x) = 2 4 4
x
a) Tính f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10 c) Rút gọn A =
4
) (
2
x
x f
khi x 2
HD:a)f(x) = 2 4 4 ( 2 ) 2 2
8
12 10
2
10 2 10
)
(
x
x x
x x
f
c)
) 2 )(
2 (
2 4
) (
2
x x
x x
x f
A
+)Với x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra 12
x
+)Với x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra
2
1
x A
Bài 37 Cho P = 2
1
x
x x
1
x
1
x x
a/ Rút gọn P b/ Chứng minh: P < 1
3 với x 0 và x 1
HD:a) Điều kiện: x 0 và x 1
P = x x x21
1
x
x
2 ( ) 1
x x
1
x
- x 1 1
= 2 ( 1)( 1) ( 1)
( 1)( 1)
x x
1
x
x x
b/ Với x 0 và x 1
Ta có: P < 13
1
x
x x < 13 3 x < x + x + 1 ; ( vì x + x + 1 > 0 )
Trang 7 x - 2 x + 1 > 0 ( x - 1)2 > 0 ( Đúng vì x 0 và x 1)
*Bài 38 : Tính giá trị của biểu thức:
A = 31 5+ 51 7 + 71 9+ + 971 99
HD: A = 31 5
+ 51 7
+ 71 9+ + 971 99
= 12( 5 3+ 7 5+ 9 7+ + 99 97) = 12( 99 3)
ab
b a ab
b a
1
ab
ab b a
1
2 1
a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D
b) Tính giá trị của D với a =
3 2
2
c) Tìm giá trị lớn nhất của D
ab
a b
a
1
2
2
:a1b abab =
1
2
a a
b) 2 2 2 3 2
1
c) Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có :2 a a 1 D 1 Vậy giá trị của D là 1