De thi HSG toan 08-09

Đề thi olympic năm học 2008-2009 Môn toán 8 huyện hơng sơn Câu1 . Cho biểu thức A= + + + x x x xx x x x x 1004 . 1 14 1 1 1 1 2 2 a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A c) Với giá trị nào của x thì A< 2 1 Câu 2. Cho hai số dơng x,y thoả mãn x+y =1 a) Tính giá trị của biểu thức M= x(x+34) +y( y+ 34 ) +2xy +65 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 22 1 1. 1 1 yx Câu 3. Đa thức P(x) bậc 4 có hẹ số bậc cao nhất là 1 Giả sử P(1)= 0 ; P(3) =0 ; P(5) =0.Hãy tính giá trị của biểu thức : Q= P(-2) +7P(6) Câu 4. Tìm tất cả các số nguyên n thoả mãn : (n+5) 2 = ( ) [ ] 3 24 n Câu 5. Cho đoạn thẳng AB , gọi O là trung điểm của AB , vẽ về một phía của AB các tia Ax và By cùng vuông góc với AB . Lấy điểm C trên Ax , lấy điểm D trên By sao cho góc COD = 90 0 a) Chứng minh ACO đồng dạng với BOD b) Chứng minh CD= AC + BD c) Kẻ OM vuông góc với CD tại M. Gọi N là giao điểm của AD với BC . Chứng minh MN// AC. đáp án và biểu điểm Câu 1( 3,5 đ) a) (0,5đ) ĐKXĐ 0 1 x x b) (1,5đ) Rút gọn ta có A= x x 1004 c) (1,5đ) A< x x khi 1004 2 1 < 200800 2008 2 1 <<< x x x . Kết hợp với ĐKXĐ ta có khi << 1 20080 x x Thì A< 2 1 Câu 2 (4đ) a) (2đ) M= x(x+34) + y( y+34) +2xy +65= (x+y) 2 +34(x+y) +65 thay x+y =1 ta có M=100 b) (2đ) P= 22 1 1. 1 1 yx = ( )( ) 22 22 11 yx yx thay x+y =1 ta có P = ( )( ) xyxy xy xy xyyx xy yx 2 1 2111 += + = +++ = ++ Ta có P nhỏ nhất khi xy 2 nhỏ nhất do x,y >0 nên xy 2 nhỏ nhất khi x,y lớn nhất mà x+y =1 không đổi nên x,y lớn nhất khi x=y=1/2. Vậy 9 2 1 . 2 1 2 1 min =+=P Câu 3 ( 3 đ) Vì P(1) =0; P(3)= 0; P(5) =0 nên đa thứcP(x) nhận 1;3;5 làm nghiệm. Mà hệ số của bậc cao nhất bằng 1 nên P(x) = (x-1) (x-3) (x-5) (x-a) .Từ đó P(-2) =210+105a và 7P(6) = 630-105a. Vậy Q= P(-2) +7P(6) =840. Câu 4 (3,5đ) Vì (n+5) 2 0 với mọi n nên n 2 . Dễ thấy n=2 không thoả mãn nên n>2. Với n>2 ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32172852642645 2232 +=+ nnnnnnn Kết hợp với n>2 ta có n=3 .Vậy giá trị cần tìm là n=3 Câu 5 (6 đ) a) (2đ) Ta có OCABOD = cùng phụ với góc COA ACOVBA == 1 đồng dạng với BOD b) ( 2đ) Kéo dai CO cắt BD tại E ta có tam giác AOC bằng tam giác BOE Suy ra CA =BE và CO =OE . Từ AC =BE suy ra CA + BD=DE (1) Từ CO =OE và DO vuong góc với CE suy ra tam giác CDE cân tại D CD=DE (2) Từ (1) và (2 ) ta có AC+BD= CD c) (2đ) Từ AC//BD ta có AC BD NA ND = (3) vì tam giác CDE cân tại D nên DO cũng là phân giác của góc CDE .OBOM = Vậy BOEMOC = mà AOCBOE = Suy ra AOCMOC = Từ đó AC=CM (40 mà AC+BD= CD =CM+MD suy ra BD =MD (5) Từ (3),(4),(5) ta có NA ND MC MD = Vậy MN//AC . ra CA + BD =DE (1) Từ CO =OE và DO vuong góc với CE suy ra tam giác CDE cân tại D CD =DE (2) Từ (1) và (2 ) ta có AC+BD= CD c) (2đ) Từ AC//BD ta có AC BD NA ND = (3) vì tam giác CDE cân tại. Đề thi olympic năm học 2008-2009 Môn toán 8 huyện hơng sơn Câu1 . Cho biểu thức A= + + + x x x xx x x x x. Từ AC//BD ta có AC BD NA ND = (3) vì tam giác CDE cân tại D nên DO cũng là phân giác của góc CDE .OBOM = Vậy BOEMOC = mà AOCBOE = Suy ra AOCMOC = Từ đó AC=CM (40 mà AC+BD= CD =CM+MD suy