Ngày soạn: 07/03/2011 Tiết 66. KIỂM TRA 45 PHÚT I. Mục đích bài dạy: Kiểm tra đánh giá học sinh về: Các phép toán trên tập số phức Giải phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai trên tập số phức. Biểu diễn hình học số phức Số phức liên hợp và môđun của số phức. II. Phương pháp Phương pháp kiểm tra đánh giá. III. Tiến trình lên lớp 1. Ổn định tổ chức lớp 2. Phát đề kiểm tra: Gồm 3 đề, với nội dung và mức độ khó tương đương. Ma trận đề: Kiến thức Mức độ Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Các phép toán 2 1 Phương trình 1 1 1 Biểu diễn hình học 1 1 0 Tìm số phức 0 1 1 ĐỀ I Câu 1 (3 điểm) 1. Thực hiện các phép tính sau: a) ( ) ( ) 1 3 3i i+ + − b) ( ) ( ) 3 2 3 3 3i i− − + c) 3 4 2 i i + + 2. Tìm số phức liên hợp và tính môđun của số phức ( ) 3 1 2 i z i i + = + + Câu 2 (3 điểm) 1. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) ( ) ( ) 1 2 3 5 2i z i i+ − + = − b) 2 5 1 0x x− + = 2. Cho 1 z và 2 z là nghiệm phương trình 2 2 6 0z z− + = . Hãy tính 3 3 1 2 z z+ Câu 3 (2 điểm) 1. Xác định các điểm biểu diễn các số phức sau và vẽ các điểm đó trên cùng mặt phẳng tọa độ: 1 3z = ; 2 3z i= − ; 3 3 3z i= − 2. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điền kiện: ( ) 3 3z i− + ≤ Câu 4 (2 điểm) 1. Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 1 và tích của chúng bằng 5. 2. Tìm số phức z biết 1z = và điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường thẳng 2 1 0x y+ − = ĐÁP ÁN Câu 1 (3 điểm) 1. Thực hiện các phép tính sau: a) ( ) ( ) 1 3 3 4 2i i i+ + − = + 1 điểm b) ( ) ( ) 3 2 3 3 3 2 3 5i i i− − + = − − 0,5 điểm c) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 2 3 4 2 4 2 4 2 i i i i i i + − + = + + − 0,25 điểm 2 2 12 6 4 2 14 2 7 1 16 4 20 10 10 i i i i i i − + − − = = = − − 0,25 điểm 2. Tìm số phức liên hợp và tính môđun của số phức ( ) 3 1 2 i z i i + = + + Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 1 1 2 2 . 2 i i i z i i i i i + − + = + + = + + − (có thể nhân cả tử và mẫu với i ) 0,25 điểm ( ) ( ) ( ) 2 2 6 2 2 6 1 3 3 1 1 1 1 4 4 2 2 2 2 i i i i i i i i i − − − = + + = + + = + + − = − ÷ − 0,25 điểm Từ đó: 3 1 2 2 z i= + 0,25 điểm 2 2 3 1 3 1 9 1 10 10 2 2 2 2 4 4 4 2 z i = − = + − = + = = ÷ ÷ 0,25 điểm Câu 2 (3 điểm) 1. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) ( ) ( ) 1 2 3 5 2i z i i+ − + = − Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 5 2 1 2 2 3 5 1 2 5 4i z i i i z i i i z i+ − + = − ⇔ + = − + + ⇔ + = + 0,5 điểm 5 4 1 2 i z i + ⇔ = + 0,25 điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 5 4 1 2 5 10 4 8 13 6 1 2 1 2 1 4 5 5 i i i i i z z z i i i i + − − + − ⇔ = ⇔ = ⇔ = − + − − 0,25 điểm b) 2 5 1 0x x− + = Ta có: 2 1 4.5 19 0∆ = − = − < 0,5 điểm Từ đó, phương trình có hai nghiệm phức phân biệt: 1,2 1 19 10 i x ± = 0,5 điểm 2. Cho 1 z và 2 z là nghiệm phương trình 2 2 6 0z z− + = . Hãy tính 3 3 1 2 z z+ Khi 1 2 z , z là nghiệm phương trình 2 2 6 0z z− + = ta có: 1 2 1 2 2 . 6 z z z z + = = 0,5 điểm Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 . 2 6z z z z z z z z z z+ = + − + = + − ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 2 2 . 6 2 2 2.6 6 28z z z z = + − − = − − = − 0,5 điểm Câu 3 (2 điểm) 1. Xác định các điểm biểu diễn các số phức sau và vẽ các điểm đó trên cùng mặt phẳng tọa độ: 1 3z = ; 2 3z i= − ; 3 3 3z i= − Ta có: 1 3z = được biểu diễn bởi ( ) 1 3;0M 0,25 điểm 2 3z i= − được biểu diễn bởi ( ) 2 0; 3M − 0,25 điểm 3 3 3z i= − được biểu diễn bởi ( ) 3 3; 3M − 0,25 điểm Biểu diễn 1 2 3 , ,M M M trên cùng mặt phẳng tọa độ. 0,25 điểm 2. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điền kiện: ( ) 3 3z i− + ≤ Giả sử ( ) , ,z a bi a b= + ∈¡ . Số phức z được biểu diễn bởi điểm ( ) ;M a b 0,25 điểm Theo bài ra ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 1 3z i a bi i a b i− + ≤ ⇔ + − + ≤ ⇔ − + − ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 3 3 1 9a b a b⇔ − + − ≤ ⇔ − + − ≤ . 0,25 điểm Từ đó, M nằm trên hoặc nằm trong đường tròn ( ) C tâm ( ) 3;1I , bán kính 3R = 0,25 điểm Vậy tập hợp điểm cần tìm là phần mặt phẳng giới hạn bởi đường tròn ( ) C (bao gồm cả đường tròn ( ) C ) 0,25 điểm Câu 4 (2 điểm) 1. Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 1 và tích của chúng bằng 5. Gọi hai số cần tìm là 1 2 ,z z . Theo bài ra ta có: 1 2 1 2 1 . 5 z z z z + = = 0,5 điểm Từ đó, 1 2 ,z z là nghiệm phương trình: 2 5 0z z− + = 0,25 điểm Phương trình có hai nghiệm là 1,2 1 19 2 i z ± = Vậy hai số cần tìm là 1,2 1 19 2 i z ± = ` 0,25 điểm 2. Tìm số phức z biết 1z = và điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường thẳng 2 1 0x y+ − = Gọi số phức cần tìm là ( ) , ,z a bi a b= + ∈¡ Theo bài ra ta có: • 2 2 2 2 1 1 1z a b a b= ⇔ + = ⇔ + = 0,25 điểm • Số phức z được biểu diễn bởi điểm ( ) ;M a b . Theo bài ra ta có: 2 1 0a b+ − = 0,25 điểm Vậy ta có hệ: ( ) 2 2 2 2 2 0 1 1 2 1 2 1 4 2 1 0 5 4 0 1 2 1 5 3 5 a b b a b a a b a a b a a a a b = = = − = − + = ⇔ ⇔ ⇔ = + − = − = + − = = − 0,25 điểm Có hai số phức cần tìm là: z i= và 4 3 5 5 z i= − 0,25 điểm ĐỀ II Câu 1 (3 điểm) 1. Thực hiện các phép tính sau: a) ( ) ( ) 1 5 3 2i i+ + − b) ( ) ( ) 2 3 5 3i i− − + c) 3 2 1 3 i i + + 2. Tìm số phức liên hợp và tính môđun của số phức ( ) 2 1 2 3 i z i i + = + + Câu 2 (3 điểm) 1. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) ( ) ( ) 1 3 2 4 3 2i z i i+ + − = − b) 2 7 1 0x x− + = 2. Cho 1 z và 2 z là nghiệm phương trình 2 2 7 0z z− + = . Hãy tính 3 3 1 2 z z+ Câu 3 (2 điểm) 1. Xác định các điểm biểu diễn các số phức sau và vẽ các điểm đó trên cùng mặt phẳng tọa độ: 1 5 5z i= − ; 2 5z = ; 3 5z i= − ; 2. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điền kiện: ( ) 2 2z i+ + ≤ Câu 4 (2 điểm) 1. Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4. 2. Tìm số phức z biết 2z = và điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường thẳng 2 0x y+ − = ĐÁP ÁN Câu 1 (3 điểm) 1. Thực hiện các phép tính sau: a) ( ) ( ) 1 5 3 2 4 3i i i+ + − = + 1 điểm b) ( ) ( ) 2 3 5 3 3 6i i i− − + = − 0,5 điểm c) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 3 2 1 3 1 3 1 3 i i i i i i + − + = + + − 0,25 điểm 2 2 3 9 2 6 9 7 9 7 1 9 10 10 10 i i i i i i − + − − = = = − − 0,25 điểm 2. Tìm số phức liên hợp và tính môđun của số phức ( ) 2 1 2 3 i z i i + = + + Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 2 1 2 3 3 . 3 i i i z i i i i i + − + = + + = + + − (có thể nhân cả tử và mẫu với i ) 0,25 điểm ( ) ( ) ( ) 2 2 6 3 3 6 1 2 4 4 1 2 1 2 1 2 9 9 3 3 3 3 i i i i i i i i i − − − = + + = + + = + + − = + ÷ − 0,25 điểm Từ đó: 4 4 3 3 z i= − 0,25 điểm 2 2 4 4 4 4 16 16 32 4 2 3 3 3 3 9 9 9 3 z i = − = + = + = = ÷ ÷ 0,25 điểm Câu 2 (3 điểm) 1. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) ( ) ( ) 1 3 2 4 3 2i z i i+ + − = − Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 4 3 2 1 3 3 2 2 4 1 3 1 2i z i i i z i i i z i+ + − = − ⇔ + = − − − ⇔ + = + 0,5 điểm 1 2 1 3 i z i + ⇔ = + 0,25 điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 3 1 2 1 3 2 6 7 1 1 3 1 3 1 3 1 9 10 10 i i i i i i z i i i i i + − + − + − ⇔ = = = = − + + − − 0,25 điểm b) 2 7 1 0x x− + = Ta có: 2 1 4.7 27 0∆ = − = − < 0,5 điểm Từ đó, phương trình có hai nghiệm phức phân biệt: 1,2 1 3 3 14 i x ± = 0,5 điểm 2. Cho 1 z và 2 z là nghiệm phương trình 2 2 7 0z z− + = . Hãy tính 3 3 1 2 z z+ Khi 1 2 z , z là nghiệm phương trình 2 2 7 0z z− + = ta có: 1 2 1 2 2 . 7 z z z z + = = 0,5 điểm Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 . 2 7z z z z z z z z z z+ = + − + = + − ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 2 2 . 7 2 2 2.7 7 34z z z z = + − − = − − = − 0,5 điểm Câu 3 (2 điểm) 1. Xác định các điểm biểu diễn các số phức sau và vẽ các điểm đó trên cùng mặt phẳng tọa độ: 1 5 5z i= − ; 2 5z = ; 3 5z i= − Ta có: 1 5 5z i= − được biểu diễn bởi ( ) 1 5; 5M − 0,25 điểm 2 5z = được biểu diễn bởi ( ) 2 5;0M 0,25 điểm 3 5z i= − được biểu diễn bởi ( ) 3 0; 5M − 0,25 điểm Biểu diễn 1 2 3 , ,M M M trên cùng mặt phẳng tọa độ. 0,25 điểm 2. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điền kiện: ( ) 2 2z i+ + ≤ Giả sử ( ) , ,z a bi a b= + ∈¡ . Số phức z được biểu diễn bởi điểm ( ) ;M a b 0,25 điểm Theo bài ra ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2z i a bi i a b i+ + ≤ ⇔ + + + ≤ ⇔ + + + ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1 4a b a b⇔ + + + ≤ ⇔ + + + ≤ . 0,25 điểm Từ đó, M nằm trên hoặc nằm trong đường tròn ( ) C tâm ( ) 2; 1I − − , bán kính 2R = 0,25 điểm Vậy tập hợp điểm cần tìm là phần mặt phẳng giới hạn bởi đường tròn ( ) C (bao gồm cả đường tròn ( ) C ) 0,25 điểm Câu 4 (2 điểm) 1. Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4. Gọi hai số cần tìm là 1 2 ,z z . Theo bài ra ta có: 1 2 1 2 3 . 4 z z z z + = = 0,5 điểm Từ đó, 1 2 ,z z là nghiệm phương trình: 2 3 4 0z z− + = 0,25 điểm Phương trình có hai nghiệm là 1,2 3 7 2 i z ± = Vậy hai số cần tìm là 1,2 3 7 2 i z ± = ` 0,25 điểm 2. Tìm số phức z biết 2z = và điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường thẳng 2 0x y+ − = Gọi số phức cần tìm là ( ) , ,z a bi a b= + ∈¡ Theo bài ra ta có: • 2 2 2 2 2 2 4z a b a b= ⇔ + = ⇔ + = 0,25 điểm • Số phức z được biểu diễn bởi điểm ( ) ;M a b . Theo bài ra ta có: 2 0a b+ − = 0,25 điểm Vậy ta có hệ: ( ) 2 2 2 2 2 0 2 2 2 4 2 0 2 4 0 2 2 4 0 a b a b b a a b a b a a a a a b = = − = = − + = ⇔ ⇔ ⇔ + − = − = = + − = = 0,25 điểm Có hai số phức cần tìm là: 2z i = và 2z = 0,25 điểm ĐỀ III Câu 1 (3 điểm) 1. Thực hiện các phép tính sau: a) ( ) ( ) 1 5 7i i+ + − b) ( ) ( ) 5 3 3 5 2i i− − + c) 3 2 4 3 i i + − 2. Tìm số phức liên hợp và tính môđun của số phức ( ) 5 2 1 2 6 i z i i + = + + Câu 2 (3 điểm) 1. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) ( ) ( ) 1 3 3 2 2 2i z i i− − + = + b) 2 5 3 1 0x x− + = 2. Cho 1 z và 2 z là nghiệm phương trình 2 2 7 0z z− + = . Hãy tính 3 3 1 2 z z+ Câu 3 (2 điểm) 1. Xác định các điểm biểu diễn các số phức sau và vẽ các điểm đó trên cùng mặt phẳng tọa độ: 1 7z = ; 2 7z i= − ; 3 7 7z i= − 2. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điền kiện: ( ) 5 4 4z i− + ≤ Câu 4 (2 điểm) 1. Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 7. 2. Tìm số phức z biết 3z = và điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường thẳng 3 3 0x y+ − = ĐÁP ÁN Câu 1 (3 điểm) 1. Thực hiện các phép tính sau: a) ( ) ( ) 1 5 7 8 4i i i+ + − = + 1 điểm b) ( ) ( ) 5 3 3 5 2 2 5 5i i i− − + = − − 0,5 điểm c) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 4 3 3 2 4 3 4 3 4 3 i i i i i i + + + = − − + 0,25 điểm 2 2 12 9 8 6 6 17 6 17 16 9 25 25 25 i i i i i i + + + + = = = + − 0,25 điểm 2. Tìm số phức liên hợp và tính môđun của số phức ( ) 5 2 1 2 6 i z i i + = + + Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 6 5 2 1 2 1 2 6 6 6 i i i z i i i i i + − + = + + = + + − (có thể nhân cả tử và mẫu với i ) 0,25 điểm ( ) ( ) ( ) 2 2 30 12 12 30 1 5 4 7 1 2 1 2 1 2 36 36 3 6 3 6 i i i i i i i i i − − − = + + = + + = + + − = + ÷ − 0,25 điểm Từ đó: 4 7 3 6 z i= − 0,25 điểm 2 2 4 7 4 7 16 49 113 113 3 6 3 6 9 36 36 6 z i = + = + = + = = ÷ ÷ 0,25 điểm Câu 2 (3 điểm) 1. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) ( ) ( ) 1 3 3 2 2 2i z i i− − + = + Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 2 2 2 1 3 2 2 3 2 1 3 5 4i z i i i z i i i z i− − + = + ⇔ − = + + + ⇔ − = + 0,5 điểm 5 4 1 3 i z i + ⇔ = − 0,25 điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 5 4 1 3 5 15 4 12 7 19 1 3 1 3 1 9 10 10 i i i i i z z z i i i i + + + + + ⇔ = ⇔ = ⇔ = − + − + − 0,25 điểm b) 2 5 3 1 0x x− + = Ta có: 2 3 4.5 11 0∆ = − = − < 0,5 điểm Từ đó, phương trình có hai nghiệm phức phân biệt: 1,2 3 11 10 i x ± = 0,5 điểm 2. Cho 1 z và 2 z là nghiệm phương trình 2 2 7 0z z− + = . Hãy tính 3 3 1 2 z z+ Khi 1 2 z , z là nghiệm phương trình 2 2 7 0z z− + = ta có: 1 2 1 2 2 . 7 z z z z + = = 0,5 điểm Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 . 2 7z z z z z z z z z z+ = + − + = + − ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 2 2 . 7 2 2 2.7 7 34z z z z = + − − = − − = − 0,5 điểm Câu 3 (2 điểm) 1. Xác định các điểm biểu diễn các số phức sau và vẽ các điểm đó trên cùng mặt phẳng tọa độ: 1 7z = ; 2 7z i= − ; 3 7 7z i= − Ta có: 1 7z = được biểu diễn bởi ( ) 1 7;0M 0,25 điểm 2 7z i= − được biểu diễn bởi ( ) 2 0; 7M − 0,25 điểm 3 7 7z i= − được biểu diễn bởi ( ) 3 7; 7M − 0,25 điểm Biểu diễn 1 2 3 , ,M M M trên cùng mặt phẳng tọa độ. 0,25 điểm 2. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điền kiện: ( ) 3 3z i− + ≤ Giả sử ( ) , ,z a bi a b= + ∈¡ . Số phức z được biểu diễn bởi điểm ( ) ;M a b 0,25 điểm Theo bài ra ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 1 3z i a bi i a b i− + ≤ ⇔ + − + ≤ ⇔ − + − ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 3 3 1 9a b a b⇔ − + − ≤ ⇔ − + − ≤ . 0,25 điểm Từ đó, M nằm trên hoặc nằm trong đường tròn ( ) C tâm ( ) 3;1I , bán kính 3R = 0,25 điểm Vậy tập hợp điểm cần tìm là phần mặt phẳng giới hạn bởi đường tròn ( ) C (bao gồm cả đường tròn ( ) C ) 0,25 điểm Câu 4 (2 điểm) 1. Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 7. Gọi hai số cần tìm là 1 2 ,z z . Theo bài ra ta có: 1 2 1 2 3 . 7 z z z z + = = 0,5 điểm Từ đó, 1 2 ,z z là nghiệm phương trình: 2 3 7 0z z− + = 0,25 điểm Phương trình có hai nghiệm là 1,2 3 19 2 i z ± = Vậy hai số cần tìm là 1,2 3 19 2 i z ± = ` 0,25 điểm 2. Tìm số phức z biết 3z = và điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường thẳng 3 3 0x y+ − = Gọi số phức cần tìm là ( ) , ,z a bi a b= + ∈¡ Theo bài ra ta có: • 2 2 2 2 3 3 9z a b a b= ⇔ + = ⇔ + = 0,25 điểm • Số phức z được biểu diễn bởi điểm ( ) ;M a b . Theo bài ra ta có: 3 3 0a b+ − = 0,25 điểm Vậy ta có hệ: ( ) 2 2 2 2 2 0 3 3 3 3 3 9 9 3 3 0 10 18 0 3 3 1 5 12 5 a b b a b a a b a a b a a a a b = = = − = − + = ⇔ ⇔ ⇔ = + − = − = + − = = − 0,25 điểm Có hai số phức cần tìm là: 3z i= và 9 12 5 5 z i= − 0,25 điểm . i i i i + − + = + + = + + − (có thể nhân cả tử và mẫu với i ) 0,25 điểm ( ) ( ) ( ) 2 2 30 12 12 30 1 5 4 7 1 2 1 2 1 2 36 36 3 6 3 6 i i i i i i i i i − − − = + + = + + = + + − = + . − − 0,5 điểm c) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 2 3 4 2 4 2 4 2 i i i i i i + − + = + + − 0,25 điểm 2 2 12 6 4 2 14 2 7 1 16 4 20 10 10 i i i i i i − + − − = = = − − 0,25 điểm 2. Tìm số phức liên hợp. − 0,5 điểm c) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 4 3 3 2 4 3 4 3 4 3 i i i i i i + + + = − − + 0,25 điểm 2 2 12 9 8 6 6 17 6 17 16 9 25 25 25 i i i i i i + + + + = = = + − 0,25 điểm 2. Tìm số phức liên hợp