đồ án kỹ thuật cơ khí Mô hình phần tử hữu hạn nghiên cứu ứng xử cơ học của vật liệu composite nền cao su cốt sợi

 Trình bày các nghiên cứu thực nghiệm của vật liệu composite nền cao su cốt sợi CRC  Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn nghiên cứu ứng xử cơ học của vậtliệu composite nền cao su cốt sợi

1 Đề tài tốt nghiệp:

“Mô hình phần tử hữu hạn nghiên cứu ứng xử cơ học của vật liệu composite nền cao su cốt sợi”

2 Các số liệu ban đầu:

………

………

………

………

………

3 Nội dung các phần thuyết minh và tính toán: ………

………

………

………

………

4 Các bản vẽ và đồ thị: ………

………

………

………

………

5 Giáo viên hướng dẫn:

Họ và tên giáo viên hướng dẫn: Trần Hữu Nam

Phần hướng dẫn:

………

………

………

………

6 Ngày giao nhiệm vụ thiết kế: ………

7 Ngày hoàn thành nhiệm vụ thiết kế: ………

LỜI CẢM ƠN:

Chúng ta đang bước vào thế kỷ XXI, thế kỷ của những công nghệ hiệnđại, thế kỷ của những thách thức Tuy vậy, hiện nay Việt Nam vẫn đang làmột nước có nền công nghệ sản xuất ở mức độ thấp hơn so với các nước pháttriển trên thế giới Làm sao để có thể đuổi kịp được các nước tiên tiến trên thếgiới? Đó là một câu hỏi không hề dễ và đã đặt ra nhiều thách thức cho thầytrò trường Bách Khoa chúng ta Trong cuộc chiến tranh vệ quốc vĩ đại chống

đế quốc Mỹ, thầy trò trường Bách Khoa đã có nhiều đóng góp quan trọng cả

về nhân lực, vật lực và trí lực góp phần giải phóng đất nước Trong cuộcchiến tranh vệ quốc vĩ đại đó, trường đại học Bách Khoa xứng đáng là trườngđại học kỹ thuật hàng đầu của đất nước, những kiến thức về kỹ thuật đã đượcnhững sinh viên Bách Khoa đem ra ứng dụng trong thực tế làm cho kẻ địch

vô cùng kinh sợ góp phần đưa đất nước đến thắng lợi cuối cùng Điều đó cócông không nhỏ của những thầy cô giáo trường Bách Khoa đã ra sức giáo dục

và truyền thụ kiến thức của mình, đồng thời truyền thụ cả lòng yêu nước nồngnàn cho thế hệ trẻ Và trong công cuộc xây dựng đất nước ngày nay, các thầy

cô giáo trường đại học Bách Khoa nói chung và các thầy cô giáo khoa cơ khínói riêng vẫn âm thầm làm việc, đào tạo và bồi dưỡng cho sinh viên nhữngkiến thức khoa học kỹ thuật hiện đại để sau này xây dựng đất nước ngày cànggiàu đẹp hơn Paul Brulat – nhà văn Pháp – có nói: “Làm sao không lưu tâmđược đến những người hết sức làm việc? Chính bởi cái hùng khí trầm lặng vàkín đáo ấy mà thế giới vẫn tiếp diễn và vững chắc vậy” Vâng! Làm saokhông lưu tâm cho được cái hùng khí trầm lặng và kín đáo ấy, cái hùng khí ấy

sẽ giúp chúng em vững bước tiến lên Em xin cảm ơn toàn thể các thầy côgiáo trong trường Bách Khoa, những người anh hùng thầm lặng đã nhiệt tìnhdạy dỗ và chỉ bảo chúng em suốt những năm tháng sinh viên, dạy cho chúng

em những điều hay lẽ phải Em xin cảm ơn!

Đặc biệt, cho em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy giáo Trần Hữu Nam, người đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành đồ án tốt nghiệp này.

Và cuối cùng, em xin cảm ơn toàn thể bạn bè, anh em đã cùng được sống và giúp đỡ nhau trong những năm tháng sinh viên đầy ý nghĩa Xin cảm ơn tất cả

MỤC LỤC

MỤC TIÊU ĐỒ ÁN: 8

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU: 8

CÁC NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỒ ÁN: 8

DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU 10

Chương I : MỞ ĐẦU 13

1.1 Giới thiệu chung 13

1.2 Tình hình nghiên cứu hiện tại 14

Chương II : TỔNG QUAN VỀ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC 16

2.1 Động học của biến dạng hữu hạn 16

2.1.1 Chuyển động của vật thể liên tục 16

2.1.2 Trường chuyển vị 18

2.1.3 Tenxơ gradient biến dạng 19

2.1.4 Phân tích cực 21

2.1.5 Tenxơ biến dạng 21

2.2 Tenxơ ứng suất 25

2.2.1 Tenxơ ứng suất Cauchy - phương trình cân bằng 25

2.2.2 Tenxơ ứng suất thay đổi 26

2.2.3 Các cặp liên hợp tenxơ ứng suất - biến dạng 28

Chương III : MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 30

3.1 Các phương trình trạng thái cho vật liệu SĐH 30

3.1.1 Các dạng hàm năng lượng biến dạng 31

3.1.2 Những dạng được rút gọn của các phương trình trạng thái 32

3.2 Các phương trình trạng thái của vật liệu SĐH đẳng hướng 33

3.2.1 Hàm năng lượng biến dạng 33

3.2.2 Phương trình trạng thái dưới dạng các bất biến 35

3.2.3 Những phương trình trạng thái biểu diễn dưới dạng các độ giãn hính 37

3.3 Vật liệu SĐH đẳng hướng không nén được 38

3.3.1 Tính SĐH đẳng hướng không nén được 38

3.3.2 Mô hình Ogden 40

3.2.3 Mô hình Mooney-Rivlin 41

3.2.4 Mô hình Neo-Hookean 41

3.4 Vật liệu SĐH đẳng hướng nén được 43

3.4.1 Tính SĐH nén được 43

3.4.2 Tính SĐH đẳng hướng nén được biểu diễn dưới dạng của những bất biến 44

3.4.3 Mô hình Ogden 45

3.4.4 Mô hình Mooney-Rivlin 46

3.4.5 Mô hình Neo-Hookean 47

Chương IV: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM VÀ NHẬN DẠNG HẰNG SỐ VẬT LIỆU (Trần Hữu Nam, 2004) 48

4.1 Thực nghiệm nghiên cứu 50

4.2 Xác định những hằng số vật liệu 58

Chương V: MÔ HÌNH PTHH VÀ MÔ PHỎNG BIẾN DẠNG CỦA CRC 60

5.1 Giới thiệu phần mềm ANSYS 60

5.1.1 Giới thiệu chung 60

5.1.2 Các lệnh cơ bản 62

5.2 Mô hình phần tử hữu hạn của CRC 66

5.3 Mô phỏng số 67

5.4 Mô phỏng tính toán 68

KẾT LUẬN 75

TÀI LIỆU THAM KHẢO 76

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:

 Trình bày một số mô hình trạng thái của vật liệu siêu đàn hồi để mô tảứng xử cơ học của vật rắn đàn hồi biến dạng lớn

 Trình bày các nghiên cứu thực nghiệm của vật liệu composite nền cao

su cốt sợi (CRC)

 Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn nghiên cứu ứng xử cơ học của vậtliệu composite nền cao su cốt sợi của lò xo khí nén chịu biến dạng lớn

 So sánh kết quả tính toán với kết quả nghiên cứu thực nghiệm

CÁC NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỒ ÁN:

 Chương1: Mở đầu

 Chương 2: Giới thiệu tổng quát về cơ học môi trường liên tục nhằm

nghiên cứu những ứng suất, biến dạng của các môi trường liên tục.Chương này trình bày các định nghĩa động học và biểu diễn trong biếndạng hữu hạn, các ứng suất trong vật thể biến dạng, và cuối cùng trìnhbày một số cặp tenxơ ứng suất-biến dạng

 Chương 3: Chương này trình bày tổng quan ứng xử cơ học của vật liệu

SĐH chịu biến dạng hữu hạn Trong đó, các phương trình trạng thái của

cơ học vật rắn cho những phương pháp gần đúng, chẳng hạn phươngpháp PTHH Các phương trình biểu diễn quan hệ ứng suất-biến dạng

mô tả ứng xử cơ học vật liệu Trình bày một số mô hình tính toán cholớp vật liệu SĐH đẳng hướng nén được và không nén được.

 Chương 4: Chương này trình bày các nghiên cứu thực nghiệm về các

ứng xử cơ học của vật liệu composite trên nền cao su cốt sợi do thầyTrần Hữu Nam nghiên cứu Đồng thời nhận dạng hằng số vật liệu

 Chương 5: Chương này giới thiệu tổng quan về phần mềm ANSYS và

cách sử dụng Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn để nghiên cứu ứng

xử cơ học của vật liệu composite nền cao su cốt sợi Ứng dụng mô hìnhphần tử hữu hạn để mô phỏng biến dạng kéo một chiều và hai chiều củavật liệu CRC

 Kết luận

Tenxơ biến dạng Cauchy-Green trái sửa đổiThể tích

Tenxơ biến dạng Cauchy-Green phảiTenxơ biến dạng Cauchy-Green sửa đổiHình dạng tức thời (biến dạng)

Hình dạng tham chiếu (chưa biến dạng)Các hệ số trong mô hình vật liệu Mooney-Rivlin

Tenxơ biến dạng Green-LagrangeTenxơ biến dạng Biot

Gradient biến dạngGradient biến dạng sửa đổi

Lực thể tíchTenxơ đơn vịCác bất biến chính của Tenxơ biến dạng Cauchy-GreenCác bất biến chính của Tenxơ biến dạng Cauchy-Green sửa đổiĐịnh thức Jacobian

Chiều dài của phần tử trong hình dạng tức thờiChiều dài của phần tử trong hình dạng tham chiếuPháp tuyến ngoài

Véctơ pháp tuyến

Tenxơ ứng suất Piola-Kirchhoff thứ nhất

Áp suất thủy tinhTenxơ quay trực giaoTenxơ ứng suất Piola-Kirchhoff thứ haiThành phần lệch của tenxơ ứng suất Piola-Kirchhoff thứ haiThành phần đẳng tích của tenxơ ứng suất Piola-Kirchhoff thứ hai

Véctơ lực Piola-Kirchhoff thứ nhấtTenxơ ứng suất Biot

Véctơ lực bề mặtThời gian

Tenxơ giãn phảiVectơ chuyển vị (của U)Tenxơ giãn trái

Véctơ đơn vị trực giaoVéctơ vị trí trong hình dạng tức thờiVéctơ vị trí trong hình dạng tham chiếuCác hệ số trong mô hình vật liệu OdgenTenxơ biến dạng vi phân

Tenxơ biến dạng logarit ở hình dạng bị biến dạngTenxơ biến dạng logarit ở hình dạng không bị biến dạngModun khối

Các độ giãn chínhCác độ giãn chính sửa đổiModun cắt

Các hệ số trong mô hình vật liệu Odgen

Hệ số Poát-xông

Tỉ trọng vật liệu trong hình dạng tức thời

Tỉ trọng vật liệu trong hình dạng tham chiếu

Tenxơ ứng suất CauchyThành phần lệch của ứng suất CauchyThành phần đẳng tích của ứng suất CauchyTenxơ ứng suất Kirchhoff

Hàm giá trị vô hướngHàm năng lượng biến dạngThành phần lệch của hàm năng lượng biến dạngThành phần đẳng tích của hàm năng lượng biến dạngThể tích vật thể chưa bị biến dạng

Thể tích vật thể bị biến dạng

Chương I : MỞ ĐẦU

1.1 Giới thiệu chung

Trong thực tế lớp vật liệu đàn hồi (elastomer) chịu được biến dạng hữu hạn(biến dạng lớn) được xem như những vật liệu siêu đàn hồi (SĐH), chẳng hạn,vật liệu dạng cao su là một thí dụ điển hình cho lớp vật liệu SĐH Với khảnăng mô phỏng và xử lý các mô hình phức tạp trên máy tính điện tử ngàycàng tiến bộ và chính xác, kéo theo sự phát triển nhanh chóng và vượt bậc củalớp vật liệu này Các bài toán tĩnh học, động học và ứng xử của vật liệu…không còn là vấn đề quá khó giải quyết trong phương pháp phần tử hữu hạn(PTHH)

Trong công nghiệp, lớp vật liệu SĐH này được sử dụng bên cạnh kim loại

và trong một thời gian ngắn đã thay thế dần cho một số kim loại và hợp kim.Ngoài ra, một số vật liệu SĐH còn được đưa vào sử dụng trong các cấu trúcchịu cường độ áp lực cao Lớp vật liệu SĐH có các ứng dụng nổi bật sau :

 Phát triển trang thiết bị cho công nghiệp Được dùng trong các bộ phậntruyền chuyển động của máy móc, lớp vật liệu SĐH rất thích hợp cho nhữngcông việc có tính chất lặp lại nhanh

 Bảo vệ các trang thiết bị công nghiệp Sử dụng làm các giá, khung vàcác lớp đệm làm giảm các rung động cho máy móc thiết bị

 Thay thế cho các lò xo kim loại trong các hệ thống giảm xóc của xe vàmột số bộ phận khác, với tính năng nổi bật là nhẹ và mềm dẻo hơn

Đặc tính của vật liệu SĐH có tác động quan trọng tới sự phát triển của côngnghiệp và xây dựng Ngày nay, việc kết hợp các vật liệu đàn hồi với một sốvật liệu khác chúng ta thu được lớp vật liệu Composite có cấu trúc cứng vàbền vững hơn mọi vật liệu khác đã từng sử dụng

Kết cấu dạng tấm vỏ của cao su như màng hơi, săm xe ôtô, xe máy, vòithủy lực… thể hiện tính bền vững và tính chất dị hướng của vật liệu đàn hồi

có thể chịu được những biến dạng hữu hạn

1.2 Tình hình nghiên cứu hiện tại

Những nghiên cứu về vật liệu SĐH dạng như cao su đã được nhiều tác giảtrình bày theo hai hướng chính :

- Thứ nhất là dựa trên các lời giải giải tích mà được phát triển cho cáctrường hợp đơn giản, chẳng hạn, bài toán màng cầu và trụ hữu hạn đãđược Beatty (1987) trình bày trên cơ sở lý thuyết liên tục của Green vàAdkins Trong hầu hết các trường hợp thì bài toán đều đưa về hệphương trình vi phân bậc nhất phi tuyến với các điều kiện biên haiđiểm Guo (2001) đã phân tích bài toán biến dạng hữu hạn của màngtrụ SĐH của vật liệu dạng như cao su dưới tác dụng của áp suất bêntrong Gần đây Nam (2004) đã trình bày bài toán phân tích biến dạnghữu hạn của vỏ trụ căng phồng lò xo khí nén chịu áp suất bên trong

- Thứ hai dựa trên ứng dụng của phương pháp PTHH, chẳng hạn Shi vàMoita (1996) đã sử dụng phương pháp PTHH để nghiên cứu những ứng

xử phi tuyến của ống vật liệu dạng cao su chịu áp suất bên trong Phần

tử hữu hạn đối xứng đã được dùng để mô hình hóa vật liệu SĐH dạngcao su nhằm nghiên cứu ứng xử của màng căng phồng Verron vànhững người khác (2001) đã trình bày các phương trình trạng thái vậtliệu SĐH dưới dạng mạng lưới để nghiên cứu màng vật liệu dạng cao

su căng phồng Gần đây, Nam (2004) đã xây dựng chương trình PTHHcho việc phân tích biến dạng hữu hạn của vỏ trụ căng phồng lò xo khínén chịu áp suất bên trong

Các phương trình trạng thái cho nghiên cứu các vật thể dạng cao su thườngđược sử dụng thông qua các mô hình của Neo-Hookean, Mooney-Rivlin và

Ogden (Beatty, 1987; Holzapfel, 2000; Bonet, 2000 và Guo, 2001) Các môhình này ngày càng được thay thế cho các mô hình vật lý dựa trên cơ sở cácquan điểm thống kê Gần đây những tính toán số của các mô hình đẳnghướng, đẳng hướng ngang và trực hướng của vật liệu SĐH đã được một số tácgiả trình bày Hầu hết các tác giả đều trình bày thông qua hàm năng lượngbiến dạng tiêu biểu dưới dạng đa thức (Bonet, 1998) hoặc dạng hàm mũ(Ogden, 2000; Holzapfel, 2000, 2001) hoặc hàm logarit (Pozivilova, 2002).Trong đề tài đồ án tốt nghiệp này có sử dụng ba mô hình của Neo-Hookean, Mooney-Rivlin và Ogden để nghiên cứu ứng xử ứng suất và biếndạng của một số kết cấu dạng vỏ vật liệu SĐH dạng cao su chịu biến dạnghữu hạn

Chương II : TỔNG QUAN VỀ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

Cơ học môi trường liên tục nghiên cứu ứng xử của các đối tượng vật lý trên

cơ sở các vật thể liên tục Cụ thể là khảo sát chuyển động biến dạng và ứngsuất do lực và mômen gây ra trong vật thể Do đó, nghiên cứu chuyển động vàbiến dạng hữu hạn của cơ học môi trường liên tục là cần thiết và là nội dungchính trong chương này Phần đầu của chương trình bày các định nghĩa độnghọc và biểu diễn biến dạng hữu hạn Tenxơ biến dạng trong mô tả vật liệu(hay Lagrange) và mô tả không gian (Spatial) được trình bày Phần tiếp theotrình bày ứng suất trong vật thể biến dạng Phần cuối của chương trình bàymột số cặp tenxơ ứng suất và biến dạng

2.1 Động học của biến dạng hữu hạn

Trong phần này các khái niệm và nguyên lý biến dạng hữu hạn được trìnhbày Mục đích của phần này là mô tả một số khái niệm động học cơ bảnnghiên cứu chuyển động và biến dạng hữu hạn của vật thể

2.1.1 Chuyển động của vật thể liên tục

Nghiên cứu vĩ mô liên quan đến động học của vật thể trong đó khối lượng

và thể tích đều là các hàm liên tục của các toạ độ Vật thể này được gọi là vậtthể liên tục

Cho hệ toạ độ Đềcác vuông góc với gốc O cố định và vectơ đơn vị ei

(i=1,2,3) (hình vẽ 2.1) Một vật thể liên tục B chiếm một miền hình học ởtrạng thái chưa biến dạng ở thời điểm t=0 được ký hiệu là 0C Đó là hình dạngban đầu của vật thể và được gọi là hình dạng chưa biến dạng Trong hìnhdạng chưa biến dạng, một phần tử của vật thể đặt tại điểm P với vectơ định vị

X Giả sử hình 0C dịch chuyển đến vị trí mới tC thì điều gì sẽ xảy ra với vậtthể liên tục B tại thời điểm t>0 Hình dạng của B ở thời điểm t được gọi làhình dạng biến dạng Một điểm P đặc trưng cho vật thể ban đầu hay vật thểchưa biến dạng dịch chuyển đến điểm P’ đặc trưng cho vật thể biến dạng với

vectơ định vị x Chuyển động này có thể được mô tả bằng phương trình giữa

hai đại lượng vị trí của vật thể chưa biến dạng và biến dạng:

( , )t



Sự biến đổi của x kéo điểm P ở hình 0C dịch chuyển tới điểm P’ ở hình tC

Phương trình tham số (2.1) xác định vị trí x của phần tử P trong không gian Hàm x là quỹ đạo của điểm P

Hàm (2.1) là duy nhất và cũng tồn tại duy nhất một hàm ngược với nó là :

( , )t



Các bài toán vật liệu trong cơ học môi trường liên tục có thể được công

thức hóa qua các toạ độ như các biến độc lập và được gọi là sự mô tả vật liệu (Lagrange) hoặc qua các toạ độ không gian như các biến độc lập được gọi là

sự mô tả không gian (Euler) Đối với cơ học vật rắn biến dạng ta thường sử

dụng các mô tả vật liệu Còn với cơ học chất lỏng thường sử dụng các mô tảkhông gian

Cả hai phương trình động học (2.1) và (2.2) là tương đương nhưng khôngđồng nhất và chúng được mô tả bởi các hàm khác nhau Sự mô tả vật liệutrong phương trình (2.1) đặc trưng cho chuyển động đối với toạ độ vật liệu và

thời gian t, các biến độc lập (X,t) được coi là các biến vật liệu Mặt khác, sự

mô tả chuyển động được đưa ra ở (2.2) liên quan đến một điểm trong không gian Sự mô tả này được gọi là sự mô tả không gian và các biến độc lập (x,t)

là các biến số không gian Thực tế những ứng xử trạng thái của vật rắn thườngbiểu diễn qua các tọa độ vật liệu, nên sử dụng mô tả Lagrange

Trường chuyển vị trong mô tả không gian được kí hiệu là u, là hàm của chất điểm x và thời gian t, được cho bởi công thức :

( , )t   ( , )t

Véctơ U và véctơ u có cùng giá trị nhưng chúng trình bày cho các hàm có đối

số khác nhau

2.1.3 Tenxơ gradient biến dạng

Biến dạng của một vật thể liên tục (đó là sự thay đổi kích thước và hìnhdạng) xảy ra khi nó dịch chuyển từ hình dạng ban đầu 0C sang hình dạng biếndạng tC Để xác định sự biến dạng của một phần tử vật liệu P, cần phải phântích sự biến đổi của phần tử lân cận nó, gọi phần tử đó là Q (như hình 2.1)

Mối tương quan vị trí giữa P và Q được xác định bằng véctơ thành phần dX,

Một thành phần chính trong phép phân tích biến dạng hữu hạn là gradient

biến dạng F, nó liên quan đến tất cả các đại lượng trong các phương trình

trước khi biến dạng tương ứng với các đại lượng sau khi (hoặc trong quá

trình) biến dạng Tenxơ gradient biến dạng được định nghĩa như sau:

( , ) ( , )t  t

a) Tenxơ gradient chuyển vị

Tenxơ gradient chuyển vị trong mô tả vật liệu được xác định từ công thức(2.3) và (2.7)

gradUgradx X t  gradX F X t  I (2.10)Tenxơ gradient chuyển vị trong mô tả không gian được xác định từ côngthức (2.4) và (2.9)

trong đó, J là tỷ lệ của sự thay đổi thể tích giữa hình dạng ban đầu và hình

dạng biến dạng tại thời điểm t

trong đó, 0 là tỷ trọng của của thể tích dV trong hình dạng chưa biến dạng và

t là tỷ trọng của thể tích dv trong hình dạng biến dạng

Bởi vì F không suy biến nên J = det(F) ≠ 0 Vì các thành phần thể tích

không thể có giá trị âm, J<0 sẽ bị loại.Tóm lại, tỷ lệ thể tích phải lớn hơn 0

đối với tất cả các phần tử trong hình dạng chưa biến dạng với mọi thời gian t

phân tích nó ra thành phần quay và giãn Từ quan điểm thuần túy về mặt toánhọc, phân tích cực của F có thể được định nghĩa bằng công thức :



F RU, khi phân tích phải (2.16)



F VR, khi phân tích trái (2.17)

Với R là tenxơ quay trực giao và U, V là các tenxơ đối xứng dương được xem

như là các tenxơ giãn trái và phải trong hình dạng vật liệu và trong hình dạngkhông gian cho bởi công thức:

Ở trong phần trước gradient biến dạng được trình bày như tenxơ động học

cơ bản trong động học biến dạng hữu hạn Mục đích của phần này là xác định

sự thay đổi kích thước dưới dạng các tenxơ biến dạng có liên quan tới hìnhdạng biến dạng và hình dạng chưa biến dạng của vật thể

Tenxơ biến dạng vô cùng bé sử dụng trong phép phân tích biến dạng nhỏđược biểu diễn dưới dạng đạo hàm của trường chuyển vị

1 2

a) Tenxơ biến dạng vật liệu và không gian

Tenxơ biến dạng vật liệu được xác định bởi sự thay đổi chiều dài giữa hai

điểm lân cận P và Q với vectơ thành phần dX trong hình dạng vật liệu, điều

này xảy ra trong quá trình chuyển động đến hai điểm mới P’ và Q’ với vectơ

thành phần dx, trong hình dạng biến dạng Bình phương chiều dài trong các

thành phần không gian và vật liệu được cho bởi công thức (xem hình vẽ 2.1)

Sự thay đổi bình phương các chiều dài xảy ra khi một vật thể biến dạng từ

hình dạng ban đầu, được xác định bởi công thức của vectơ thành phần là dX:

Tenxơ C liên quan đến hình dạng chưa biến dạng oC và tenxơ B liên quan

đến hình dạng biến dạng tC Cả hai tenxơ B và C là đối xứng và xác định

dương

( ) ( )

T T

a a





 a a

Do tính đối xứng của C, nên các vectơ riêng v a (a=1,2,3) là vectơ đơn vị trực

giao Kết hợp hai phương trình (2.29) và (2.33) thì U có thể dễ dàng nhận

được :

1

a a

a a





 a a

b) Tenxơ biến dạng Biot

Độ giãn tự nhiên của tenxơ biến dạng nhỏ đối với cơ học phi tuyến chính làtenxơ biến dạng Biot Tenxơ này phù hợp với những biến dạng nhỏ nhưng nóbất biến với vật rắn quay Tenxơ này được tính bởi công thức :

B  

c) Tenxơ biến dạng logarit

Tenxơ biến dạng logarit có liên quan đến hình dạng chưa biến dạng đượcxác định bởi công thức :

Ngoài tenxơ biến dạng logarit trong công thức (2.40), còn có tenxơ biếndạng logarit trái liên quan tới hình dạng biến dạng được xác định bởi côngthức :

Trong mục này giới thiệu các tenxơ ứng suất đối với một vật thể biến dạng

hữu hạn Chuyển động và biến dạng được mô tả bởi các thuyết động họcthường gây ra do ngoại lực tác dụng lên vật thể Trước tiên ứng suất đượcđịnh nghĩa trong một hình dạng tức thời dưới dạng chuẩn bằng lực chia chodiện tích Đây chính là tenxơ ứng suất nổi tiếng Cauchy thường được sử dụngtrong các phép phân tích tuyến tính Ngược lại với phép phân tích tuyến tính,các đại lượng ứng suất liên quan đến hình dạng ban đầu của vật thể cũng cóthể được định nghĩa Điều này được sử dụng nhiều trong các khái niệm côngliên hợp và nó dẫn đến tenxơ ứng suất Piola-Kirchhoff

2.2.1 Tenxơ ứng suất Cauchy - phương trình cân bằng

Tồn tại duy nhất hàm tenxơ bậc hai  và t sao cho :

t σnn hoặc t i  ij n j (2.42)trong đó, t là véctơ lực kéo Cauchy (lực đo được trên mỗi đơn vị diện tích bềmặt trong hình dạng tức thời (hình 2.2)), khảo sát phần diện tích ds với véctơ

pháp tuyến n  là kí hiệu của tenxơ ứng suất Cauchy (hay ứng suất

Cauchy)

T



σn σn hoặc ij  ji (2.43)

Hình 2.2 : Véctơ lực trong hình dạng biến dạng và chưa biến dạngTrong toạ độ Đề các, tenxơ ứng suất Cauchy  bao gồm các thành phầncủa véctơ lực kéo trên ba mặt phẳng trực giao với nhau.

2.2.2 Tenxơ ứng suất thay đổi

Trong lý thuyết biến dạng hữu hạn phải kể đến sự biến đổi của hình học vậtthể và các ứng suất luôn liên quan tới biến dạng Vì thế nếu chúng ta sử dụngtenxơ Green-Lagrange chúng ta sẽ phải định nghĩa các ứng suất tương ứngvới hình dạng ban đầu

Phân tích phi tuyến thường thích hợp khi sử dụng tenxơ ứng suất Kirchhoff

, nó khác với tenxơ ứng suất Cauchy bởi tỷ lệ thể tích J Nó là tenxơ khônggian được biểu diễn tham số hóa bởi các toạ độ không gian với công thức :



τ σn hoặc ij Jij (2.46)Véctơ mô tả lực kéo Piola-Kirchhoff thứ nhất được cho bởi công thức :



T PN hoặc T i P N ij j (2.47)

trong đó, N là pháp tuyến ngoài, tenxơ P gọi là tenxơ ứng suất thứ nhất

Piola-Kirchhoff (hay ứng suất Piola), nói chung là nó không đối xứng

Trong phân tích biến dạng hữu hạn, tenxơ ứng suất Cauchy không phải làtenxơ ứng suất thích hợp nhất, tuy nhiên đó chỉ là một trong những quan điểm

về phương diện kỹ thuật Những quan hệ trạng thái của biến dạng hữu hạn làtheo những phương trình cân bằng và cân bằng năng lượng Quan hệ giữa

tenxơ ứng suất Cauchy  và tenxơ ứng suất thứ nhất Piola- Kirchhoff P được

biểu diễn dưới dạng :

Tenxơ ứng suất Cauchy mà liên hợp với biến dạng Green-Lagrange là ứng

suất thứ hai Piola- Kirchhoff S :

Từ phương trình (2.49), mối quan hệ cơ bản giữa tenxơ ứng suất thứ nhất

Piola-Kirchhoff P và tenxơ ứng suất đối xứng thứ hai Piola- Kirchhoff S được

Tenxơ ứng suất Biot nói chung là không đối xứng và luôn dương (Holzapfel,2000).

2.2.3 Các cặp liên hợp tenxơ ứng suất - biến dạng

Các cặp tenxơ ứng suất và tenxơ biến dạng đóng một vai trò quan trọngtrong biểu diễn năng lượng biến dạng bên trong của vật thể Các ứng suất tínhđược trước đây có thể biểu diễn được năng lượng bên trong của vật thể Tuynhiên, phải chọn các cặp tenxơ ứng suất và tenxơ biến dạng một cách thíchhợp

Kết hợp giữa tenxơ biến dạng Green-Lagrange E và tenxơ ứng suất thứ hai Piola- Kirchhoff S :

Trong những cặp tenxơ ứng suất - biến dạng được mô tả ở trên thì cặp

tenxơ biến dạng Green-Lagrange E và tenxơ ứng suất thứ hai Piola- Kirchhoff

S là đáng tin cậy nhất và được đánh giá cao nhất.

Chương III : MÔ HÌNH TRẠNG THÁI

Mục tiêu chính của lý thuyết trạng thái là phát triển những mô hình toánhọc cho việc nghiên cứu những ứng xử của vật liệu Lý thuyết trạng thái củavật liệu là rất quan trọng nhưng là một đề tài khó trong cơ học môi trường liêntục phi tuyến hiện đại Chương này giới thiệu lý thuyết trạng thái phi tuyến để

mô tả nhiều hiện tượng vật lý trong đó biến dạng được coi là lớn, nghĩa là hữuhạn Đối với vật liệu đàn hồi, lý thuyết này được gọi là thuyết SĐH hữu hạn.Những mô hình vật liệu đàn hồi chịu biến dạng hữu hạn đều dựa trên cơ sở sựtồn tại hàm năng lượng lượng biến dạng , hay còn gọi là hàm năng lượng tự

do Helmholtz

Trong chương này trình bày tổng quan ứng xử cơ học của vật liệu SĐHchịu biến dạng hữu hạn Trong đó, các phương trình trạng thái của cơ học vậtrắn cho những phương pháp gần đúng, chẳng hạn phương pháp PTHH Cácphương trình trạng thái biểu diễn quan hệ ứng suất – biến dạng mô tả ứng xử

cơ học vật liệu

3.1 Các phương trình trạng thái cho vật liệu SĐH

Vật liệu được gọi là SĐH (hoặc trong một số tài liệu thường gọi là vật liệuđàn hồi Green) khi có sự tồn tại của một hàm năng lượng tự do Helmholtz ,hay năng lượng biến dạng (năng lượng dự trữ) trên một đơn vị thể tích Với

trường hợp mà =(F), là hàm năng lượng của tenxơ biến dạng F, hay hàm

năng lượng tự do Helmholtz Khi đó chúng ta thường sử dụng các thuật ngữchung là năng lượngbiến dạng

Bây giờ chúng ta giới hạn khảo sát vật liệu đồng nhất và liên tục Với loạivật liệu lý tưởng này thì hàm năng lượng biến dạng  chỉ phụ thuộc vào

gradient biến dạng F Đối với vật liệu dị hướng (vật liệu không đồng nhất) thì

 sẽ phụ thuộc cả vào vị trí của điểm trong môi trường,  ( , )F X

Vật liệu SĐH được định nghĩa như một lớp con của vật liệu đàn hồi, trong

đó tenxơ ứng suất thứ nhất Piola-Kirchhoff có biểu thức vật lý dạng(Holzapfel, 2000):

F , hoặc aA

aA

P F

Các phương trình này là các phương trình trạng thái Chúng thiết lập một

mô hình kinh nghiệm dựa trên cơ sở ứng xử của vật liệu thực Một mô hìnhnhư thế được gọi là một mô hình vật liệu hoặc mô hình trạng thái Điều nàythể hiện rõ từ phương trình trạng thái (3.1) và (3.2), ứng xử ứng suất của vậtliệu SĐH được xác định từ hàm năng lượng giá trị vô hướng đã cho

Chúng ta qui định hàm năng lượng biến dạng triệt tiêu trong hình dạng ban

đầu, khi F = I Chúng ta biểu diễn giả thiết này bằng điều kiện :

=(I)=0 (3.3)

Từ sự quan sát vật lí ta biết rằng hàm năng lượngbiến dạng  tăng theo biến dạng Dựa vào (3.3), ta có :

=(F)0 (3.4)

3.1.1 Các dạng hàm năng lượng biến dạng

Hàm năng lượng biến dạng được định nghĩa là hàm của tenxơ gradient biến

dạng (F) hoặc tenxơ biến dạng Cauchy-Green (C) và tenxơ biến dạng Green-Lagrange (E) Những dạng cân bằng của hàm năng lượng biến dạng

(Holzapfel, 2000) :

 ( )F  ( )C  ( )E (3.5)

3.1.2 Những dạng được rút gọn của các phương trình trạng thái

Trong phần này chúng ta trình bày một số dạng rút gọn của các phươngtrình trạng thái đối với những vật liệu SĐH biến dạng hữu hạn

Đạo hàm của hàm năng lượng biến dạng (F)= (C) đối với thời gian t.

Bằng phép lấy vi phân với sự kết hợp của C 2E

Khi C là một tenxơ đối xứng thứ hai, gradient của hàm tenxơ giá trị vô hướng

(C), được sử dụng trong (3.6), cũng là đối xứng Từ biểu thức (3.6) chúng tasuy ra :

3.2 Các phương trình trạng thái của vật liệu SĐH đẳng hướng

Trong mục này chúng ta biểu diễn hàm năng lượng biến dạng cho vật liệuđẳng hướng Tính chất này dựa trên cơ sở vật lí rằng ứng xử của vật liệu (mà

đã được nghiên cứu trong thí nghiệm ứng suất biến dạng) là như nhau theomọi phương Một ví dụ điển hình cho vật liệu đẳng hướng với một phạm vi

ứng dụng rộng rãi là cao su Trong mục này chúng ta quan tâm đến biểu thức

toán học của vật liệu SĐH đẳng hướng

3.2.1 Hàm năng lượng biến dạng

Ta khảo sát một điểm X bất kì của vật thể liên tục đàn hồi trong miền 0

(hình dạng ban đầu) tại thời gian t=0 Một dịch chuyển  đưa điểm X0 tới

một điểm x=(X,t) thuộc miền  (hình dạng tức thời) tại thời điểm t.

Bây giờ ta nghiên cứu ảnh hưởng của sự dịch chuyển vật thể rắn được đặtvào hình dạng tham chiếu Chúng ta giả sử rằng vật thể chiếm miền 0 được

tịnh tiến bởi vectơ c và được quay bởi tenxơ trực giao Q theo :

 (hình dạng tham chiếu mới), và

điểm bất kì với vectơ vị trí X tới một vị trí mới được xác định bởi véc tơ vị trí

X*

*0

x X

X*

c,Q



time ttime t=0

Vì vậy, chúng ta nói rằng vật liệu SĐH đẳng hướng liên quan tới hình dạng

0 nếu giá trị của hàm năng lượng biến dạng  ( )F và  ( )F* là giống nhau

đối với tất cả tenxơ Q trực giao Với biểu thức (3.13) ta có thể viết :

( ) ( ) * ( T)

 F  F  FQ (3.14)Nói một cách khác, nếu chúng ta có thể chỉ ra rằng chuyển động tịnh tiếnhoặc quay hình dạng tham chiếu của một vật thể đàn hồi với cùng hàm nănglượng tại thời gian t, như thế vật liệu được gọi là đẳng hướng Tuy nhiên, nếumột chuyển động vật thể rắn được đặt vào làm thay đổi hàm năng lượng biếndạng theo nghĩa (3.14) thì không thỏa mãn ( *

( ) ( )

 F  F ), vật liệu SĐH đượcnói là dị hướng Bây giờ ta giả thiết rằng trong quá trình chuyển động

x=(X,t) hàm năng lượng biến dạng (F)= (C) Nếu chúng ta giới hạn vật

liệu SĐH với ứng xử SĐH đẳng hướng ta qui định rằng *



C F F

 C  QCQ (3.16)

3.2.2 Phương trình trạng thái dưới dạng các bất biến

Nếu một hàm năng lượng giá trị vô hướng là một đại lượng bất biến dướimột phép quay, theo phương trình (3.16), nó có thể được biểu diễn dưới dạng

những đại lượng bất biến chính của nó (ví dụ, C hoặc B ).

Những năng lượng biến dạng của vật liệu SĐH được đẳng hướng có thể

được biểu diễn :  ( )C  ( )B , được trình bày như một tập hợp của những đại

lượng bất biến biến dạng độc lập của tenxơ Cauchy-Green đối xứng C và B.

Nghĩa là, khi I a I a( )C và I a I a( )B (a=1,2,3) Ta có thể viết tương

đương :

  [ ( ), ( ), ( )]I1 C I2 C I3 C  [ ( ), ( ), ( )]I1 B I2 B I3 B (3.17)

Biểu thức (3.17) chỉ đúng đối với vật liệu SĐH đẳng hướng thỏa mãn điều

kiện (3.16) cho tất cả các tenxơ Q trực giao Khi C và B có cùng một giá trị

riêng, mà bình phương độ giãn chính bằng 2

Gradient của bất biến  ( )C  ( , , )I I I1 2 3 có sự trình bày đơn giản (3.22), đó

là mối quan hệ cơ bản trong lý thuyết của vật liệu SĐH hữu hạn Chú ý rằng

(3.22) trình bày tổng quát cho cả ba chiều, trong đó  có thể nhận hàm đẳnghướng giá trị vô hướng bất kì của một biến tenxơ đối xứng thứ hai TenxơCauchy được biểu diễn thông qua tenxơ ứng suất Piola-Kirchhoff thứ hai :

Ứng suất chính Cauchy a (a=1,2,3) là :

Bổ sung cho (3.26), chúng ta trình bày những mối liên hệ tương đương đối

với ứng suất Piola-Kirchhoff cơ bản P a và S a :

3.3 Vật liệu SĐH đẳng hướng không nén được

Nhiều vật liệu polyme có thể chịu được sự biến dạng hữu hạn mà không có

sự thay đổi thể tích đáng kể Những loại vật liệu như thế có thể được coi làkhông nén được Trong mục này chúng ta trình bày nền tảng cơ bản của vậtliệu SĐH đẳng hướng không nén được

3.3.1 Tính SĐH đẳng hướng không nén được

Với trường hợp đẳng hướng mà chúng ta đã chỉ ra sự phụ thuộc của  vào

tenxơ Cauchy-Green C hoặc B có thể được biểu diễn bởi ba bất biến của biến

dạng (3.17) Tuy nhiên, với trường hợp đẳng hướng không nén được, ta córàng buộc động học : I 3 detB detC 1 Do đó, hai bất biến cơ bản I1 và I2chỉ là những biến biến dạng độc lập

Một hàm năng lượng biến dạng thích hợp đối với vật liệu SĐH trong phạm

vi của phương trình (3.17), được cho bởi :

Để khảo sát phương trình trạng thái liên quan dưới dạng của hai bất biếnbiến dạng chính I1 và I2, chúng ta bắt đầu bằng việc chuyển hóa (3.30) có liên

quan với C Sử dụng nguyên lý ràng buộc (3.20), (3.21) và J=1, ta có :

   (Với : a=1,2,3), ta biểu

diễn 3 ứng suất Cauchy chính a và ứng suất Piola-Kirchhoff Pa và Sa :

Những mối liên hệ ứng suất này kết hợp với đại lượng vô hướng p chưa

biết, xác định được từ những phương trình cân bằng và những điều kiện biên

Tính không chịu nén J=1 cho ta dạng :

   1 2 3  1 (3.34)Biểu diễn ứng suất Piola-Kirchhoff đầu tiên và thứ hai dưới dạng của ứngsuất Cauchy (3.32), ta có :