7. Ngày hoàn thành nhiệm vụ thiết kế:
2.2.2 Tenxơ ứng suất thay đổi
Trong lý thuyết biến dạng hữu hạn phải kể đến sự biến đổi của hình học vật thể và các ứng suất luôn liên quan tới biến dạng. Vì thế nếu chúng ta sử dụng tenxơ Green-Lagrange chúng ta sẽ phải định nghĩa các ứng suất tương ứng với hình dạng ban đầu.
Phân tích phi tuyến thường thích hợp khi sử dụng tenxơ ứng suất Kirchhoff τ, nó khác với tenxơ ứng suất Cauchy bởi tỷ lệ thể tích J. Nó là tenxơ không gian được biểu diễn tham số hóa bởi các toạ độ không gian với công thức :
J
=
τ σ hoặc τij =Jσij (2.46)
Véctơ mô tả lực kéo Piola-Kirchhoff thứ nhất được cho bởi công thức : =
T PN hoặc Ti =P Nij j (2.47)
trong đó, N là pháp tuyến ngoài, tenxơ P gọi là tenxơ ứng suất thứ nhất Piola- Kirchhoff (hay ứng suất Piola), nói chung là nó không đối xứng.
Trong phân tích biến dạng hữu hạn, tenxơ ứng suất Cauchy không phải là tenxơ ứng suất thích hợp nhất, tuy nhiên đó chỉ là một trong những quan điểm về phương diện kỹ thuật. Những quan hệ trạng thái của biến dạng hữu hạn là theo những phương trình cân bằng và cân bằng năng lượng. Quan hệ giữa tenxơ ứng suất Cauchy σ và tenxơ ứng suất thứ nhất Piola- Kirchhoff P được biểu diễn dưới dạng :
1 T J− = σ PF hay T J − = PσF (2.48)
Tenxơ ứng suất Cauchy mà liên hợp với biến dạng Green-Lagrange là ứng suất thứ hai Piola- Kirchhoff S :
1 T 1 T J − − − = = = S FσF F P S (2.49) Từ (2.49) ta có thể viết : 1 T J− = σ FSF (2.50)
Tenxơ ứng suất thứ hai Piola- Kirchhoff có ý nghĩa vật lý. Nó bất biến dưới chuyển động của vật rắn. Tuy nhiên, nó đóng một vai trò quan trọng trong việc biểu diễn những nguyên lý cơ bản trong cơ học môi trường liên tục.
Từ phương trình (2.49), mối quan hệ cơ bản giữa tenxơ ứng suất thứ nhất Piola-Kirchhoff P và tenxơ ứng suất đối xứng thứ hai Piola- Kirchhoff S được biểu diễn :
=
P FS (2.51)
Một tenxơ ứng suất quan trọng khác nữa là tenxơ ứng suất Biot :
T T T
B = =J −
Tenxơ ứng suất Biot nói chung là không đối xứng và luôn dương (Holzapfel, 2000).