Thông tin tài liệu
GV Lê Văn Thẩn VẤN ĐỀ 11 : ĐẠO HÀM A./ KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1./ Đònh nghóa đạo hàm tại một điểm : ( ) ( ) ( ) 0 0 xx 0 xx xfxf limx'f 0 − − = → . Lưu ý nếu đặt ( ) ( ) 0 xfxfy −=∆ , 0 xxx −=∆ thì ta có : ( ) ( ) ( ) x xfxxf lim x y limx'f 00 0x0x 0 ∆ −∆+ = ∆ ∆ = →∆→∆ . 2./ Ý nghóa hình học của đạo hàm : Giả sử hàm số ( ) xfy = có đồ thò (C). Đạo hàm của hàm số ( ) xfy = tại điểm 0 x bằng hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm ( )( ) 000 xf;xM . Khi đó phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm ( )( ) ( ) Cxf;xM 000 ∈ có dạng : ( ) ( )( ) 000 xxxfxfy − ′ =− . 3./ Đạo hàm cấp n của hàm số ( ) xfy = : ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ′ = − xfxf 1nn 4./ Ý nghóa vật lý của đạo hàm : Cho chuyển động có phương trình ( ) tss = . Khi đó : a./ Vận tốc tại thời điểm 0 t là ( ) )t('stv 00 = b./ Gia tốc tại thời điểm 0 t là ( ) )t(sta 00 ′′ = 5./ Đònh nghóa vi phân : ( ) ( ) dxxfxdf ′ = 6./ Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng : ( ) ( ) ( ) x.xfxfxxf 000 ∆ ′ +≈∆+ 7./ Các quy tắc tính đạo hàm : a./ ( ) vuvu ′ ± ′ = ′ ± • Lưu ý : ( ) ′ ±± ′ ± ′ = ′ ±±± n21n11 uuuuuu b./ ( ) vuvuv.u ′ + ′ = ′ ; ( ) u.ku.k ′ = ′ • Lưu ý: ( ) wuvwvuvwuw.v.u ′ + ′ + ′ = ′ c./ 2 v vuvu v u ′ − ′ = ′ ; 2 v 'v v 1 −= ′ d./ Nếu ( ) xuu = có đạo hàm theo x là ′ x u , ( ) ufy = có đạo hàm theo u là ′ u f thì ( ) [ ] xufy = có đạo hàm theo x là ′ x y được tính bởi ′′ = ′ xux u.fy 8./ Đạo hàm một số hàm số : Đạo hàm theo x Đạo hàm theo hàm số hợp ( ) xuu = • ( ) 0C = ′ ; C là hằng số. ( ) 1x = ′ • • ( ) 1nn nxx − = ′ ( ) x2 1 x = ′ • ( x > 0) • ( ) xcosxsin = ′ ( ) xsinxcos −= ′ • • ( ) xcos 1 xtan 2 = ′ ( ) xsin 1 xcot 2 −= ′ • • ( ) u.nuu 1nn ′ = ′ − ( ) u2 u u ′ = ′ • • ( ) ucos.uusin ′ = ′ ( ) usin.uucos ′ −= ′ • • ( ) ucos u utan 2 ′ = ′ ( ) usin u ucot 2 ′ −= ′ • B./ BÀI TẬP : BT1 : Tính đạo hàm tại điểm 0 x bất kỳ thuộc tập xác đònh của các hàm số sau bằng đònh nghóa: 1./ ( ) x3xxfy 2 +== 2./ ( ) 1x 2 xfy + − == 3./ ( ) 1x 3xx xfy 2 + −− == 4./ ( ) 1xxfy 3 +== 5./ ( ) 1x 2x xfy + − == 6./ ( ) 2xxfy +== BT2 : Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng đònh nghóa: 1./ f(x)= 2x 1x2 + − tại điểm x 0 = 0 2./ f(x)= 1x x 2 − tại điểm x 0 = 2 3./ f(x)= x−2 tại điểm x 0 = 1 1 GV Lê Văn Thẩn BT3 : Cho hàm số 3 xy = . Chứng minh rằng ( ) 3 2 x.3 1 xy = ′ với 0x ≠ . BT4: Chứng minh hàm số sau liên tục tại điểm x = -3 nhưng không có đạo hàm tại điểm này y=f(x)= 1x3 3x2x 2 − +− BT5: Cho hàm số f(x)= -1x nếu -1x nếu ≥− <+ 2 2 xb axx . Xác đònh a,b để hàm số có đạo hàm tại điểm x= -1 BT6: Xét tính liên tục và tính có đạo hàm tại x 0 . 0xxy/.1 0 == tại 0xy/.2 0 3 == tại x 2 0x x 1 y/.3 0 == tại 1x 1x 1x y/.4 0 = + − = tại BT7 : Đònh giá trò các tham số a và b để hàm số có đạo hàm tại điểm x 0 . ( ) ( ) 0 x x11 bax xfy/.2;1 baxx x xfy/.1 2 2 = < −− ≥+ === <++− ≥ == 00 x 0 x khi 0x khi x 1 x khi 1x khi BT8 : Cho Parabol (P): 2 xy = . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với (P) thỏa : 1./ Tại điểm (-2;4) 2./ Tại giao điểm của (P) và đường thẳng 2x3y −= BT9: Cho hàm số x 1 y = . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò hàm số : 1./ Tại điểm có hoành độ 1x 0 = . 2./ Tại điểm có tung độ 2y 0 = . 3./ Song song với đường thẳng x 4 1 y −= 4./ Vuông góc với đường thẳng y = x + 3 BT10: Cho hàm số 2x5xy 23 +−= . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò hàm số : 1./ Đi qua điểm A(0;2) 2./ Tại điểm có tung độ 2y 0 = . 3./ Song song với đường thẳng 1x3y +−= 4./ Vuông góc với đường thẳng 4x 7 1 y −= BT11: Cho hàm số ( ) ( ) C;xxfy 3 == . 1./ Tại những điểm nào của (C) thì tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng 1. 2./ Liệu có tiếp tuyến nào của (C) mà tiếp tuyến đó có hệ số góc âm ? BT12 : Cho hàm số xsiny = . 1./ Tính đạo hàm của hàm số tại x 0 = 0. 2./ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò hàm số tại điểm có hoành độ 0x 0 = . BT13: Cho (C) là đồ thò của hàm số : ( ) xx2xxfy 24 ++−== . Chứng minh rằng tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1;0) cũng là tiếp tuyến của (C) tại một tiếp điểm khác. Tìm tọa độ tiếp điểm đó. BT14: Cho (C) là đồ thò của hàm số : ( ) 1x2xxfy 24 −+== . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau : 1./ Tung độ tiếp điểm bằng 2 2./ Biết rằng tiếp tuyến song song với trục Ox. 3./ Tiếp tuyến vuông góc với đ/thẳng 3x 8 1 y +−= 4./ Tiếp tuyến đi qua điểm A(0;6). BT15: Cho (C) là đồ thò của hàm số : ( ) 2x3xxfy 23 −+== . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau : 2 GV Lê Văn Thẩn 1./ Tung độ tiếp điểm bằng -2 2./ Biết rằng tiếp tuyến song song với đt 3x9y += 3./ Tiếp tuyến vuông góc với đ/thẳng 01y24x =−+ 4./ Tiếp tuyến đi qua điểm A(-4;2). BT16: Tìm một điểm trên đồ thò của hàm số 1x 1 y − = sao cho tiếp tuyến đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. BT17: Cho (C) là đồ thò của hàm số ( ) 3x2x 3 1 xfy 23 −+== . 1./ Tìm tọa độ điểm ( ) CM ∈ sao cho hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm M là nhỏ nhất. Viết phương trình tiếp tuyến đó. 2./ Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đi qua điềm A(2;-3). BT18: Một chất điểm chuyển động có phương trình 2t9t3tS 23 +−−= , ở đó t > 0, t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m). 1./ Tính vận tốc tại thời điểm t = 2. 2./ Tính gia tốc tại thời điểm t = 3. 3./ Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng 0 4./ Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bằng 0 BT19: Cho hypebol (H) có phương trình x 1 y = . 1./ Tìm tiếp tuyến (T) của (H) tại điểm A có hoành độ a ( với 0a ≠ ). 2./ Giả sử (T) cắt trục Ox tại điểm I và cắt trục tung tại J. Chứng minh rằng A là trung điểm đoạn IJ. Từ đó suy ra cách vẽ tiếp tuyến (T). 3./ Chứng minh rằng diện tích tam giác OIJ không phụ thuộc vào vò trí điểm A. BT20: Cho hàm số xsinmxcosy 2 += (m là tham số ) có đồ thò (C). Tìm m trong mỗi trường hợp sau : 1./ Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ π=x có hệ số góc bằng 1. 2./ Hai tiếp tuyến của (C) tại các hòanh độ 4 x π −= và 3 x π = song song hoặc trùng nhau. BT21: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò hàm số tại điểm có hoành độ 0 x cho dưới đây : 13xxy/.1 3 −=++= 0 x tại 2 1x 1x2 y/.2 = − + = 0 x tại 22x3y/.3 =−= 0 x tại 32x2xy/.4 2 −=+−= 0 x tại 5./ 1x 1x y + − = tại x 0 = 0 6./ 22xy =+= 0 x tại BT22: 1./ Cho h/số f : ( ) >+ ≤ = 1x khibax 1x khi 2 x xf . Xác đònh a, b để hàm số có đạo hàm tại x =1. 2./ Cho h/số f : ( ) x ( a x ( x-1 = ≠ − = )0 )0 x 1 xf Xác đònh a để hàm số có đạo hàm tại x = 0. Tính f’(0). BT23: 1./ Cho hàm số ( ) xx3xf −= . Tính : ( ) ( ) ( ) ( ) 22 af;af,4f;4f ′′ với a là hằng số khác 0. 2./ Cho hàm số ( ) 8x2xxf 2 −−= . Giải bất phương trình ( ) 1xf ≤ ′ 3./ Cho hàm số ( ) x2xxf 2 −= . Giải bất phương trình ( ) ( ) xfxf ≤ ′ BT24: Tính đạo hàm theo x của các hàm số sau, biết f và g là hai hàm số có đạo hàm trên R. 1./ ( ) 2 xfy = 2./ ( ) ( ) 22 xgxfy += 3./ ( ) ( ) ( ) 22 2 xgxf xf y + = BT25: Tính đạo hàm các hàm số sau : 3 GV Lê Văn Thẩn x 4 xy/.1 3 += 32 x 1 x 1 y/.2 −= 2 24 x x3x4x y/.3 ++− = x x2x3 y/.4 3 + = ( )( ) 1x2 x432x y/.5 − −+ = ( ) ( ) 23 x345x3y/.6 −+= BT26: Tính đạo hàm các hàm số sau : 2 2 x m m x x m m x y/.1 +++= ( ) 1xxxy/.2 3 +−= ( )( )( ) 9x4x1xy/.3 222 −−−= 1xx x2x y/.4 2 3 ++ − = 1x3x 1 y/.5 2 +− = 1x2x2 1x y/.6 2 ++ + = BT27: Tính đạo hàm các hàm số sau : ( )( ) 22 x231xy)a −+= ( ) ( ) x211x3xy)b 3 −+−= 2xxy)c 2 −= ( )( )( ) 3x2x1xy)d −−−= ( )( ) ( ) 3 4 2 32 3x2x1xy)e −−−= 1x3.2xy)f 33 2 −+= BT28: Tính đạo hàm các hàm số sau : x1 2x3 y)a − + = 3x x41 y)b + − = 1x 1x2x y)c 2 + −− = x21 x2x31 y)d 2 − −+ = 2xx 5x6x2 y)e 2 2 ++ −+− = 2x 3x5x y)f 2 2 +− −+ = BT29: Tính đạo hàm các hàm số sau : x3cosx2siny)a += ( )( ) x2cosx2x4siny)b ++= 1xcos 2xcosxsin y)c 2 + +− = xsin x4cos y)d = xtan x3cosx4sin y)e = x4cos xx2sin y)f + = BT30: Tính đạo hàm các hàm số sau : 1xx 1 y)a 24 ++ = x3xx 1 y)b 2 ++ = 1x 1x y)c 2 + + = ( ) 2 xtg21 4 y)d + = 3 xcosxsin 2 y)e + − = 20x3x 1 y)f 2 ++ = BT31: Tính đạo hàm các hàm số sau : 1x x y)a 2 + = 2x2x 1 y)b ++ = 1x 2x tan2y)c − + += x2cosx2siny)d 44 += 1xxxy)e 22 +++= 1x x2cot y)f 2 + = BT32: Tính đạo hàm các hàm số sau : 2 1x tany)a + = 1xcoty)b 2 += x2cotxtany)c 3 += x3cotx3tany)d −= x2tan21y)e += xcotxy)f = BT33: Tính đạo hàm các hàm số sau : x3cos4x5sin4y)a += ( ) 2x3xsiny)b 2 +−= 1x2cosy)c += x5cos.x3sin2y)d = xcosxsin xcosxsin y)e − + = x2cosy)f = BT34: Tính đạo hàm các hàm số sau : 4 GV Lê Văn Thẩn xsin x x xsin y)a += x2tan1 xsin y)b 2 + = ( ) xsintany)c = x21cosy)d 2 −= ( ) 1xcotxy)e 2 −= x3sinxy)f = BT35: Tính đạo hàm các hàm số sau : ( ) ( ) 1xsinxxy)a 232 ++= ( ) ( ) x2sincos3x2xy)b 2 +−= 3 2 xsinx 1 y)c = ( ) ( ) 2 )xtansinxsin(tany)d += ( ) 2 x7cosx5sinx3siny)e = ( ) 3 66 xcosxsiny)f += BT36: Tính đạo hàm các hàm số sau : ( ) ( ) xx1xxy)a 22 +++= x1 xx siny)b 2 − + = x2sin2 1 x2cosy)c 2 −= xsin x2cos xy)d 2 −= x 11xx y)e 2 −++ = ( ) 3 x3x2sinxtany)f ++= BT37: Tính đạo hàm các hàm số sau : = x xcos siny)a ( ) x3sintany)b 2 = ( ) ( ) xcoscot.xsintany)c = ( ) x 1xcos y)d 2 + = ( ) 1x3cos.x2coty)e 5 += ( ) 20 x2cosxsiny)f += BT38: Tính đạo hàm các hàm số sau : ( ) 20 3x2y)a += ( ) 7 4x3y)b += 5 3 3 x 1 x3xy)c −+= ( ) x1 x1 y)d 3 − + = 22 2 ax x y)e + = (a là hằng số ) 10 x 1 xy)f += BT39: Cho hàm số ( ) 3mxx2xxf 23 −+−= . Tìm m để : 1./ ( ) xf ′ bằng bình phương của nhò thức bậc nhất. 2./ ( ) 0xf ≥ ′ với mọi x. 3./ ( ) 0xf < ′ với mọi ( ) 2;0x ∈ 4./ ( ) 0xf > ′ với mọi x > 0. BT40: Giải các phương trình ( ) 0xf = ′ , biết : 1./ ( ) 5x2xsinxcos3xf −−+= 2./ ( ) 2 5 x5cos 5 x5sin3 17 x17cos2 xf ++−= 3./ ( ) xcos2x2sinxf −= 4./ ( ) x10x2cos4x2sin3xf ++= 5./ ( ) xsinxcosxf 2 += 6./ ( ) xcotxtanxf += BT41: 1./ Tìm a để phương trình ( ) 0xf = ′ có nghiệm, biết rằng ( ) 1x3xsin2xcosaxf +−+= . 2./ Giải và biện luận phương trình ( ) 0xf = ′ , biết rằng ( ) ( ) mx2xcosm212x2sinxf −−+= BT42: Cho hai hàm số ( ) xcosxsinxf 44 += và ( ) x4cos 4 1 xg = . Chứng minh rằng ( ) ( ) xgxf ′ = ′ , Rx ∈ . BT43: Chứng minh các công thức sau ( 2n,Nn ≥∈ ) : 1./ ( ) ( ) x1ncos.xsinnnxcos.xsin 1nn += ′ − 2./ ( ) ( ) x1nsin.xsinnnxsin.xsin 1nn += ′ − BT44: Tính vi phân các hàm số sau : 1./ 2 x2 1 x 1 y −= 2./ 3 x 3 x 2 y += 3./ 1x 1x y 3 3 − + = 5 GV Lê Văn Thẩn 4./ 2 x1 xcos y − = 5./ )x2sinx(cosx4siny += 6./ x3cos x2sin y = BT45: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau : 1./ x2sinxy = ( ) y ′′ 2./ x2cosy 2 = ( ) y ′′′ 3./ 1xx3xy 234 −+−= ( ) y ′′′ 4./ 1x 1x y − + = ( ) ( ) n y 5./ x4siny = ( ) ( ) n y 6./ x2cosy = ( ) ( ) n y 7./ x2cosxy 4 −= ( ) ( ) 4 y 8./ xsiny 2 = ( ) ( ) 5 y 9./ ( ) 6 10xy += ( ) ( ) n y BT46: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau : 1./ xsiny = ( ) y ′′′ 2./ x5sinxsiny = ( ) 4 y 3./ ( ) 5 x4y −= ( ) ( ) n y 4./ x2 1 y + = ( ) ( ) n y 5./ 1x2 1 y + = ( ) ( ) n y 6./ xcosy 2 = ( ) ( ) n2 y BT47: Cho hai số A, B thỏa mãn ( ) 1x B 1x A 1x 5x xf 2 − + + = − − = ( mọi 1x ±≠ ) 1./ Tìm A, B. 2./ Tính ( ) ( ) ( ) *Nnxf n ∈ BT48: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã chỉ ra : 1./ 01yy;xtany 2 =−− ′ = 2./ 02y2y;x2coty 2 =++ ′ = 3./ ( ) ( ) 0y9yxy.x1;1xxy 2 3 2 =− ′ + ′′ +++= . 4./ ( ) ( ) y.2.1y;x2siny n2 n n2 −== 5./ ( ) ( ) ϕ+ω+ϕ+ω= tcosBtsinAy ; 0yy 2 =ω+ ′′ 6./ 2 xx2y −= ; 01y.y 3 =+ ′′ BT49: Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm bằng 0 với mọi x : 1./ xcosxsin3xcosxsiny 2266 ++= . 2./ xsin2x 3 2 cosx 3 2 cosx 3 cosx 3 cosy 22222 − + π + − π + + π + − π = BT50: Dùng vi phân để tính gần đúng : 1./ 3,20 1 2./ '3029tan 0 3./ 0 61sin 4./ '3044cos 0 5./ 01,9 6./ 3 9,7 7./ '2060cot 0 8./ '3045tan 0 BT51 :1./ Tìm giá trò của a để tồn tại hàm số ( ) 223 a1a2a6sina2sinx3a2cosx6x4xf −−++−= ( a là hằng số ). Với giá trò của số a đó, hãy xét dấu của ′ 2 1 f . 2./ Tìm giá trò m để đồ thò hàm số x3x4y 3 −= tiếp xúc với đường thẳng 1mxy −= . BT52 : 1./ Cho các hàm số ( ) 2x 1 xfy == và ( ) 2 x xgy 2 == . Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thò hai hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tìm góc giữa hai tiếp tuyến kể trên. 2./ Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm bất kỳ của đồ thò hàm số 2 xx 2 1 y −= (C), cắt trục tung tại một điểm cách đều tiếp điểm và gốc tọa độ. BT53 : Gọi (P) và (P’) lần lượt là đồ thò của hai h/số ( ) 1x2xxfy 2 +−−== và ( ) 3x2xxgy 2 +−== . 1./ Vẽ đồ thò (P) và (P’) trên cùng một hệ trục tọa độ. 2./ Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (P) tại điểm A đồng thời cũng là tiếp tuyến của (P’) tại điểm B ( đường thẳng (d) nếu có, được gọi là tiếp tuyến chung của (P) và (P’)). =====&&&===== 6 . 0xy/.2 0 3 == tại x 2 0x x 1 y/.3 0 == tại 1x 1x 1x y/.4 0 = + − = tại BT7 : Đònh giá trò các tham số a và b để hàm số có đạo hàm tại điểm x 0 . ( ) ( ) 0 x x11 bax xfy/.2;1 baxx x xfy/.1 2 2 = < −− ≥+ === <++− ≥ == 00 x. tích tam giác OIJ không phụ thuộc vào vò trí điểm A. BT20: Cho hàm số xsinmxcosy 2 += (m là tham số ) có đồ thò (C). Tìm m trong mỗi trường hợp sau : 1./ Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành
Ngày đăng: 16/05/2015, 19:00
Xem thêm: BAITAP DAO HAM
