Toán khối A năm 2002-2012

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 1.. Theo chương trình THPT không phân ban 2 điểm 1.. Theo chương trình THPT phân ban thí điểm 2 điểm... Tìm m để h

bộ giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh đại học, cao ĐẳnG năm 2002 - Môn thi : toán

Đề chính thức (Thời gian làm bài: 180 phút)

3 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

Câu II.(ĐH : 1,5 điểm; CĐ: 2,0 điểm)

Cho phương trình : log log2 1 2 1 0

3

2

3 x+ x+ ư mư = (2) (m là tham số)

1 Giải phương trình (2) khi m=2

2 Tìm m để phương trình (2) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1 ; 3 3]

Câu III (ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 2,0 điểm )

1 Tìm nghiệm thuộc khoảng (0 ; 2π) của phương trình: cos2 3

2sin21

3sin3cos

x

5

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y =|x2 ư4x+3| , y=x+3

Câu IV.( ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 3,0 điểm)

1 Cho hình chóp tam giác đều S ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M và Nlần lượt

là các trung điểm của các cạnh SB và SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

2 Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:

ư+

=

ư+

ư

0422

042

:

z y x

t y

t x

212

1:

n x x

n n x

n x n

n x n

n x x

C C

1 1 3

1 2

1 1 2

1 0 3

2

1

22

22

22

Ghi chú: 1) Thí sinh chỉ thi cao đẳng không làm Câu V

2) Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

bộ giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2002

10

"

,066

"=− x+ = y = ⇔ x=

y

Bảng biến thiên

∞+

∞

x

−'

y

≠

⇔

0 2 1

3 0 0

) 4 4 )(

1 (

3 0

2

k k

k k

31

k k

k

Cách II Ta có

)(03

−+

>

++

31

033

0963

2 2

2

2

k k

k k

k k k k

k k

∑0 đ,50,25 đ0,25 đ

-0,25đ

0,25 đ

∑0 đ,50,25 đ0,25 đ

2

1 '

m x

m x y

Ta thấy x1 ≠ x2 và 'y đổi dấu khi qua x và 1 x2 ⇒ hàm số đạt cực trị tại

1

x và x 2

23)

m x

m m x

y=2 − 2 +

Cách II y' =−3x2 +6mx+3(1−m2)=−3(x−m)2 +3, Ta thấy

0'09)1(99

m m x m mx

-0,25 đ

0,25 đ0,25 đ0,25 đ

∑1,0 đ

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ0,25 đ

-0,25 đ

0,25đ0,25 đ0,25 đ

∑0 đ,50,25 đ

∑1 đ,00,5 đ

x thỏa mãn điều kiện x>0.

(Thí sinh có thể giải trực tiếp hoặc đặt ẩn phụ kiểu khác)

0,25 đ 0,5 đ

2.

0121log

3log

0]3,1

3 3

22222)2(

22)1(

f

m f

0,25 đ -

3sin3cos

2

12

x

x x

x

2sin21

3sin3cos

+

x

x x

x x x

2sin21

3sin3cos2sinsin2sin

−+

x

x x

x x

x

2sin21

3sin3cos3coscos

sin

x

x x

cos52

sin21

cos)12sin2

Vậy ta có: 5cosx=cos2x+3⇔2cos2 x−5cosx+2=0

cosx=2 (loại) hoặc 2 ( )

32

1cosx= ⇒ x=±π + kπ k∈Z

∑1,0 đ

0,25 đ

0,25 đ0,25 đ

∑1,0 đ

0,25 đ

0,25 đ0,25 đ

2.

V×x∈(0;2 nªn lÊy π)

31

sin x≠− VËy c¸c nghiÖm cÇn t×m lµ:

31

2 2

5 0

| 3

1 2 1

0

5 3

2 3 3

1

2 3 1

0

2 3

2

53

16

2

33

12

53

223

266

10-1

y

3

32

18

-1

1

=

=

Ta cã ∆SAB=∆SAC⇒ hai trung tuyÕn t−¬ng øng AM = AN

AMN AI

MN AMN

SBC

AMN SBC

244

2 2

BK SB

4

108

4

32

2 2 2

2 2

SA SI

2

AI MN

a C

a B

6

3

;0,0

;2

3

;0,0

;0

;2,0

;0

;2),

u

n P

2 2

2 2

01

;2

;1

2'3

'2:

'

t z

t y

t x t

21

21

;12

11

;22

12

0,25 ®

-0,25 ®0,25 ®

∑1 ®,00,5 ®

0,5 ®

-0,5 ®0,5 ®

-0,25 ®0,25 ®

∑1 ®,00,5 ®0,5 ®

-0,5 ®0,5 ®

Ta cã BCIOx=B( )1;0 §Æt x A = ta cã a A ( o a; ) vµ

.3

=

++

=

C B A G

C B A G

y y y y

x x x x

;3

( )212

3

|3

|1

|3

13

−+

−

−

=++

=

a a

a BC

AC AB

S

13

|1

|

=+

;3

1341

.30: y=tg 0 x− = x− ⇒x I = ±

TH1 Nếu A và O khác phía đối với B⇒x I =1+2 3 Từ d(I,AC)=2

.323

2= ++

;3

1342

)2)(

1(

!1

!5

n n

n

⇒ n1 =−4 (lo¹i) hoÆc n2 =7

Víi n=7 ta cã

.44

21402

.2.351402

3 3

0,25 ®0,25 ®

0,5 ®

Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003

- Môn thi : toán khối A

đề chính thức Thời gian làm bài : 180 phút

x

m x mx

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = ư1

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành

2cos1

11

3

x y

y

y x

x

Câu 3 (3 điểm)

1) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Tính số đo của góc phẳng nhị diện [B ,A'C,D]

2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Ox cho hình hộp chữ nhật

có trùng với gốc của hệ tọa độ,

yz

; 0; 0 ' ' ' '

ABCD A B C D A B a( ), (0; ; 0), '(0; 0; )D a A b

Gọi (a>0, b>0) M là trung điểm cạnh CC'

a) Tính thể tích khối tứ diện BDA M theo ' a và b

1

1

1

2

2 2

2 2

z

z y

y x

x

ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư HếT ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ……… …… Số báo danh: ………

x x

−1

x

m x mx

y cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương ⇔ phương trình f x( ) =mx2 + + = có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1 x m 0

2

0

1 4 0 (1) 2 1 0

1

m m

1 2

0

2 0

m m

m m

tg 1

x x x

sin cos

1 sin

x x x x

x

x x

1 5 2

Trường hợp này hệ vô nghiệm

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

Cách 1 Đặt AB = Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên A’C, suy ra BH ⊥ a

A’C, mà BD ⊥ (A’AC) ⇒ BD ⊥ A’C, do đó A’C ⊥ (BHD) ⇒ A’C ⊥ DH Vậy góc

phẳng nhị diện [B A C D là góc n, ' , ] BHD

Xét ∆A DC' vuông tại D có DH là đường cao, ta có DH A C CD A D ' = '

' '

Cách 2 Ta có BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ A’C (Định lý ba đường vuông góc)

Tương tự, BC’⊥ A’C ⇒ (BC’D) ⊥ A’C Gọi H là giao điểm của A C và (' BC D ' )

0, 25đ 0,25 đ 0,5 đ

a) Tõ gi¶ thiÕt ta cã

) 2 ; ; ( ) ; ; ( ' 0);

; ; (a a C a a b M a a b

! 12

a = 

→

y y

9

 

 

  1

0,5 ®

Bộ giáo dục và đào tạo đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004 - Môn thi : Toán , Khối A

Đề chính thức Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu III (3 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A 0; 2( ) và B(ư 3; 1ư Tìm tọa độ trực )

tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,

AC cắt BD tại gốc tọa độ O Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2) Gọi M là trung điểm của cạnh SC

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM

b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Câu IV (2 điểm)

1) Tính tích phân I =

2 1

xdx

1+ x 1ư

2) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của ⎡⎣1 x (1 x)+ 2 ư ⎤⎦8

Câu V (1 điểm)

Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện cos2A + 2 2cosB + 2 2cosC = 3

Tính ba góc của tam giác ABC

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh Số báo danh

Bộ giáo dục và đào tạo Đáp án - Thang điểm

đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004

Đề chính thức Môn: Toán, Khối A

(Đáp án - thang điểm có 4 trang)

2

−

−+

−

=

x

xx

b) Sự biến thiên:

x(2 x)2

y '2(x 1)

c) Đồ thị:

0,25

I.2 ( 1,0 điểm)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y = m là :

xx

=

ư

ư+

ư

12

33

2

⇔ x2 +(2mư3)x+3ư2m=0 (*) 0,25 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

2 x ư16 > 10 2xư ⇔x ư20x 66 0+ < ⇔ ư10 34 x 10< < + 34 Kết hợp với điều kiện 4 x 5≤ ≤ ta có: 10ư 34 x 5< ≤ Đáp số: x 10> ư 34 0,25

y ⇔ ưlog4( ư )ưlog4 1 =1

yx

So sánh với điều kiện , ta được y = 4, suy ra x= 3 (thỏa mãn y > x)

III.1 (1,0 điểm)

+ Đường thẳng qua O, vuông góc với BA( 3 ; 3)JJJG

có phương trình 3x+3y 0= Đường thẳng qua B, vuông góc với OA(0; 2)JJJG

có phương trình y = 1ư ( Đường thẳng qua A, vuông góc với BO( 3 ; 1)

JJJG

có phương trình 3x+ ư = ) y 2 0 0,25Giải hệ hai (trong ba) phương trình trên ta được trực tâm H( 3 ; ư 1) 0,25 + Đường trung trực cạnh OA có phương trình y = 1

Đường trung trực cạnh OB có phương trình 3x+ + = y 2 0( Đường trung trực cạnh AB có phương trình 3x 3y+ = ) 0 0,25

JJJG JJJJG ⇒ α = °30

0,25+ Ta cã: ⎡⎣SA, BMJJJG JJJJG⎤ = −⎦ ( 2 2; 0; 2− ), ABJJJG= −( 2; 1; 0) 0,25 VËy:

1

;0

2sin242sin21

−

2sin22

12cos

coscos2

A

CB

AA

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

-

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2005

Môn: TOÁN, khối A

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

2

C©u II (2 điểm)

1) Giải bất phương trình 5x 1− − x 1− > 2x − 4

2) Giải phương trình cos 3x cos 2x cos x2 − 2 = 0

C©u III (3 ®iÓm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng

1

d : x y 0− = và d : 2x y 1 0.2 + − = Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d , đỉnh C thuộc 1 d 2

C + −2.2C + +3.2 C + −4.2 C + + +L (2n 1).2 C+ ++ =2005 (C là số tổ hợp chập kn k của n phần tử)

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh …… số báo danh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Môn: TOÁN, Khối A

(Đáp án – thang điểm gồm 4 trang)

y −1 + ∞ + ∞

− ∞ −∞ 1

0,25

d) Đồ thị

0,25

0,25

Mặt phẳng ( )P có vectơ pháp tuyến nG=(2;1; 2 − )

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương uG= −( 1;2;1)

Vì ∆ ⊂( )P và ∆ ⊥d nên ∆ có vectơ chỉ phương uJJG∆ =⎡⎣n, uG G⎤⎦=(5;0;5)

2 0

Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi

x y z.= = Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Môn thi: TOÁN, khối A

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH

Câu I (2 điểm)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 2x3−9x2+12x 4.−

2 Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2 x3−9x2+12 x = m

Câu III (2 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A 'B'C 'D ' với

A 0; 0; 0 , B 1; 0; 0 , D 0; 1; 0 , A ' 0; 0; 1 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB

và CD

1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A 'C và MN

2 Viết phương trình mặt phẳng chứa A 'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biết cos 1

2 Cho hai số thực x 0, y 0≠ ≠ thay đổi và thỏa mãn điều kiện: (x y xy+ ) = x2+y2−xy

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 13 13

PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b

Câu V.a Theo chương trình THPT không phân ban (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng:

d : x y 3+ + = 0, d : x y 4− − = 0, d : x 2y− = 0

Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 3

1

d bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d 2

2 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của 26

n 7 4

(n nguyên dương, Ckn là số tổ hợp chập k của n phần tử)

Câu V.b Theo chương trình THPT phân ban thí điểm (2 điểm)

1/5

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2006

Môn: TOÁN, khối A

(Đáp án - Thang điểm gồm 05 trang)

+ _

+

+ ∞

- ∞

0 1

0,25

2 Tìm m để phương trình có 6 nghiệm phân biệt (1,00 điểm)

Phương trình đã cho tương đương với: 2 x3−9 x2+12 x 4 m 4− = −

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

y 2 x= −9 x +12 x 4− với đường thẳng y m 4.= − 0,25 Hàm số y 2 x= 3−9 x2+12 x 4− là hàm chẵn, nên đồ thị nhận Oy làm trục

Từ đồ thị của hàm số đã cho suy ra đồ thị hàm số:

y 2 x= −9x +12 x 4−

0,25

Từ đồ thị suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

0 m 4 1< − < ⇔ < <4 m 5 0,25

1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)

Điều kiện: sin x 2 ( )1

2 Giải hệ phương trình (1,00 điểm)

Điều kiện: x≥ −1, y≥ −1, xy 0.≥ Đặt t= xy t 0 ( ≥ ) Từ phương trình thứ

Bình phương hai vế của phương trình thứ hai ta được:

( )

x y 2 2 xy x y 1 16+ + + + + + = 2 Thay xy t , x y 3 t= 2 + = + vào (2) ta được:

3/5

1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A 'C và MN (1,00 điểm)

Gọi ( )P là mặt phẳng chứa A 'C và song song với MN Khi đó:

⎩

Do đó, phương trình của ( )Q có dạng: ax by+ + +(a b z) (− +a b)=0 0,25 Mặt phẳng ( )Q có vectơ pháp tuyến nG =(a; b;a b+ ), mặt phẳng Oxy có

1 dtI

4 1

2 Tìm giá trị lớn nhất của A (1,00 điểm)

Từ giả thiết suy ra: 1 1 12 12 1

x+ =y x +y −xy Đặt 1 a, 1 b

Với y= − được điểm 11 M1(−22; 11 − )

2 Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niutơn (1,00 điểm) 26

5/5

1 Giải phương trình mũ (1,00 điểm)

Phương trình đã cho tương đương với: 3 2 3x 4 2 2x 2 x 2 0 ( )1

Kẻ đường sinh AA ' Gọi D là điểm đối xứng với A ' qua O ' và H là hình chiếu của B trên đường thẳng A 'D

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m= − 1

2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa

độ O tạo thành một tam giác vuông tại O

Câu II (2 điểm)

1 Giải phương trình: (1 sin x cos x+ 2 ) + +(1 cos x sin x 1 sin 2x.2 ) = +

2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 3 x 1 m x 1 2 x− + + = 4 2−1

Câu III (2 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1 Chứng minh rằng d và 1 d chéo nhau 2

2 Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )P : 7x y 4z 0+ − = và cắt hai đường thẳng d ,1 d 2

Câu IV (2 điểm)

1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y= +(e 1 x,) y= +( )1 e x.x

2 Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz 1.= Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x (y z) y (z x) z (x y)P

y y 2z z z z 2x x x x 2y y

PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chỉ được chọn làm câu V.a hoặc câu V.b

Câu V.a Theo chương trình THPT không phân ban (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(−2; −2) và C(4; −2) Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N

Câu V.b Theo chương trình THPT phân ban thí điểm (2 điểm)

1/4

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2007

Môn: TOÁN, khối A

(Đáp án - Thang điểm gồm 04 trang)

1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)

Phương trình đã cho ⇔ (sinx + cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx + cosx)2

⇔ (sinx + cosx)(1−sinx)(1−cosx) = 0 0,50

⇔ x π kπ, x π k2π, x k2π

2 Tìm m để phương trình có nghiệm (1,00 điểm)

Điều kiện: x 1≥ Phương trình đã cho ⇔ x 1 4 x 1

23t 2t m (2)

1 Chứng minh d1 và d2 chéo nhau (1,00 điểm)

+) d1 qua M(0; 1; −2), có véctơ chỉ phương uJJG1= (2; −1; 1),

d2 qua N(−1; 1; 3), có véctơ chỉ phương uJJG2= (2; 1; 0) 0,25 +) [u , u ]JJG JJG1 2 = (−1; 2; 4) và MNJJJJG = (−1; 0; 5) 0,50 +) [u , u ]JJG JJG1 2 MNJJJJG= 21 ≠ 0 ⇒ d1 và d2 chéo nhau 0,25

2 Viết phương trình đường thẳng d (1,00 điểm)

Giả sử d cắt d1 và d2 lần lượt tại A, B Vì A ∈ d1, B ∈ d2 nên

0 f(t)

t

0

1/3

-1

1 x 0

e xdx∫ =

2 1ex0

2 Chứng minh AM ⊥ BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP (1,00 điểm)

Gọi H là trung điểm của AD

Do ∆SAD đều nên SH⊥AD

Do(SAD) (⊥ ABCD)nên

Vì MN // SC và AN // CH nên (AMN // SHC) ( ) Suy ra

3aV

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2008

Môn thi: TOÁN, khối A

Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1=

2 Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45 o

Câu III (2 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 2;5;3 và đường thẳng ( )

1 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d

2 Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất

Câu IV (2 điểm)

1 Tính tích phân

π 4 6 0

PHẦN RIÊNG Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu: V.a hoặc V.b

Câu V.a Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elíp (E) biết rằng (E) có tâm sai bằng 5

3 và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20

1 2x+ = +a a x a x ,+ + trong đó *

n∈` và các hệ số a ,a , ,a 0 1 nthỏa mãn hệ thức 1 n

2 Cho lăng trụ ABC.A 'B'C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,

AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A ' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A '.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA ', B'C '

Hết

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN, khối A

(Đáp án - thang điểm gồm 05 trang)

Góc giữa d1 và d2 bằng 45 khi và chỉ khi o

1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)

Điều kiện sin x 0≠ và sin(x 3π) 0

y16

1 Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên d (1,00 điểm)

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u 2;1; 2 G( ) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d, suy ra H(1 + 2t ; t ; 2 + 2t) và AH (2t 1; t 5; 2t 1).JJJG= − − − 0,50

Vì AH ⊥ d nên AH u 0JJJG G= ⇔ 2(2t – 1 ) + t – 5 + 2(2t – 1) = 0 ⇔ t = 1

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( ).α

Ta có d(A, (α) ) = AK ≤ AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên) Do đó khoảng cách từ A đến ( )α lớn nhất khi và chỉ khi AK = AH, hay K ≡ H

Ta thấy u 2( ) ( )=v 2 =0 ⇒ f '(2) 0.= Hơn nữa u(x), v(x) cùng dương trên

khoảng ( )0; 2 và cùng âm trên khoảng ( )2;6

0,50

Ta có bảng biến thiên:

0,50 f’(x) + 0 −

x 0 2 6

4