A. c¸c Hµm sè lîng gi¸c vµ liªn hÖ gi÷a chóng 1. H·y tÝnh c¸c hµm sè lîng gi¸c cßn l¹i cña α biÕt r»ng: a) 5 3 sin = α vµ πα π << 2 b) 12 5 = α tg vµ 2 3 π απ << c) 13 5 cos −= α vµ 180 o < α < 270 o d) 3cot −= α g vµ 270 o < α < 360 o . 2.a) Cho sina + cosa = m. H·y biÓu diÔn c¸c biÓu thøc sau theo m: sina.cosa; sin 3 a + cos 3 a; sin 4 a + cos 4 a; sin 6 a + cos 6 a. b) Cho tga + cotga = m. H·y biÓu diÔn c¸c biÓu thøc sau theo m: tg 2 a + cotg 2 a; tg 3 a + cotg 3 a; tg 4 a + cotg 4 a. 3. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau: a) cos 4 a – sin 4 a = 1 – 2sin 2 a b) cotg 2 a + cos 2 a = cotg 2 a.cos 2 a c) tga(cotg 2 a – 1) = cotga(1 – tg 2 a) d) 1 + sina + cosa + tga = (1 + cosa)(1 + tga) e) tga + a a sin1 cos + = acos 1 f) atg a a a a 2 42 sin1 sin1 sin1 sin1 =− − + + + − g) gbga tgbtga cotcot + + = tga.tgb h) ba ba btgatg btgatg 22 22 22 22 sin.sin sinsin . = . 4. Rút gọn các biểu thức sau: a) A = (tga + cotga) 2 (tga cotga) 2 b) B = cotg 2 a(1 sin 2 a) +1 cotg 2 a c) C = a a a a sin1 sin1 sin1 sin1 + + + d) D = )1(cos)cot1(sin 22 tgaagaa +++ . 5. Chứng mỉnh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x và y: a) A = 2(sin 6 x + cos 6 x) 3(sin 4 x + cos 4 x) b) B = sin 8 x + cos 8 x 2(sin 4 x + cos 4 x + sin 2 xcos 2 x) 2 c) C = 3(sin 8 x cos 8 x) + 4(cos 6 x 2sin 6 x) + 6sin 4 x d) D = ygxg yx yx 22 22 22 cot.cot sin.sin sincos . 6. Tính giá trị các hàm số lợng giác của góc với: a) = 600 o ; b) = 3 35 ; c) = 1020 o ; d) = 3 13 . 7. Tính giá trị các biểu thức lợng giác sau đây: a) A = tg1 o tg2 o tg3 o tg87 o tg88 o tg89 o b) B = sin 2 1 o + sin 2 2 o + + sin 2 88 o + sin 2 89 o c) C = cos20 o + cos40 o + + cos160 o + cos180 o d) D = sin 2 10 o + sin 2 20 o + + sin 2 170 o + sin 2 180 o . 8. Cho A, B, C lµ sè ®o c¸c gãc trong cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng: a) sin(B + C) = sinA, cos(B + C) = – cosA, tg(B + C) = – tgA, cotg(B + C) = – cotgA; b) sin 2 CB + = cos 2 A , cos 2 CB + = sin 2 A , tg 2 CB + = cotg 2 A , cotg 2 CB + = tg 2 A ; c) sin2(B + C) = – sin2A, cos2(B + C) = cos2A, tg2(B + C) = – tg2A, cotg2(B + C) = – cotg2A; d) sin3(B + C) = sin3A, cos3(B + C) = – cos3A, tg3(B + C) = – tg3A, cotg3(B + C) = – cotg3A. B. c«ng thøc lîng gi¸c I. C«ng thøc céng gãc 1. TÝnh gi¸ trÞ c¸c hµm sè lîng gi¸c cña gãc α víi: a) α = 15 o ; b) α = 12 5 π ; c) α = 105 o ; d) α = 12 103 π . 2. TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc lîng gi¸c sau ®©y: a) A = ° − ° 10cos 3 10sin 1 , b) B = ° + ° 250sin3 1 290cos 1 . 3.a) Cho cosa = 3 1 (0 < a < π ) vµ sinb = 4 1 − ( π < b < 2 3 π ). TÝnh sin(a + b), cos(a – b) b) Cho sina = 3 1 , tgb = 3 1 vµ 0 o < a, b <90 o . TÝnh sin(a – b), cos(a + b), tg(a – b). 4. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau: a) cos(a + b)cos(a – b) = cos 2 a – sin 2 b b) sin(45 o + a) – sin(45 o – a) = 2 sina c) btgatg ba baba 22 22 coscos )sin()sin( −= −+ d) sin(a+b+c) = sinacosbcosc + cosasinbcosc + + cosacosbsinc + sinasinbsinc e) tg(a + b) – tga – tgb = tgatgbtg(a + b) f) 2cosacosbcos(a + b) + sin 2 (a + b) = cos 2 a + cos 2 b g) atgatg atgatg atgatg 3 .21 2 22 22 = − − . 5. Rót gän c¸c biÓu thøc sau: a) A = )cos()cos( )cos()cos( baba baba −−+ −++ b) B = ba baba sinsin )sin()sin( + −+ c) C = tga + tg(a+60 o ) + tg(a+120 o ) d) D = sin4acotg2a – cos4a. 6. Cho A, B, C lµ sè ®o c¸c gãc trong cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng: a) sinAcosB + cosAsinB = sinC b) cos 2 A cos 2 B – sin 2 A sin 2 B = sin 2 C c) tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC d) tg 2 A tg 2 B + tg 2 B tg 2 C + tg 2 C tg 2 A = 1 e) cotgAcotgB + cotgBcotgC + cotgCcotgA = 1 f) cotg 2 A + cotg 2 B + cotg 2 C = cotg 2 A cotg 2 B cotg 2 C g) cos 2 A sin 2 B sin 2 C + sin 2 A cos 2 B sin 2 C + sin 2 A sin 2 B cos 2 C = = cos 2 A cos 2 B cos 2 C . II. C«ng thøc nh©n gãc 1.a) TÝnh c¸c gi¸ trÞ hµm sè lîng gi¸c sin 24 π , cos165 o , sin18 o b) TÝnh gi¸ trÞ c¸c hµm sè lîng gi¸c cña gãc α víi: α = 22 o 30’ α = 7 o 30’. 2. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau: a) sin 4 a + cos 4 a = 4 1 4 3 + cos4a b) sin 6 a + cos 6 a = 8 3 8 5 + cos4a c) sin 8 a + cos 8 a = 64 28 64 35 + cos4a + 64 1 cos8a d) −= + 24 cot cos sin1 a g a a π e) cotga – tga = 2cotg2a f) tga + cotga = a2sin 2 g) sin3acos 3 a + cos3asin 3 a = 4 3 sin4a h) sinacos 3 a – cosasin 3 a = 4 1 sin4a i) cos3acos 3 a + sin3asin 3 a = cos 3 2a k) sinasin(60 o + a)sin(60 o – a) = 4 1 sin3a l) cosacos(60 o + a)cos(60 o – a) = 4 1 cos3a m) tgatg(60 o + a)tg(60 o – a) = tg3a n) tg3a = atg atgtga 2 3 31 3 − − . 3. TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc lîng gi¸c sau ®©y: a) A 1 = sin15 o cos75 o A 2 = sin36 o cos72 o A 3 = cos20 o cos40 o cos80 o A 4 = cos 7 π cos 7 2 π cos 7 4 π b) B 1 = sin20 o sin40 o sin60 o sin80 o B 2 = tg20 o tg40 o tg60 o tg80 o B 3 = tg36 o tg72 o c) C 1 = sin 2 12 π + sin 2 12 3 π + sin 2 12 5 π + sin 2 12 7 π + sin 2 12 9 π C 2 = sin 4 8 π + sin 4 8 3 π + sin 4 8 5 π + sin 4 8 7 π C 3 = sin 6 16 π + sin 6 16 3 π + sin 6 16 5 π + sin 6 16 7 π + sin 6 16 9 π + + sin 6 16 11 π + sin 6 16 13 π + sin 6 16 15 π . III. C«ng thøc biÕn ®æi 1. TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc lîng gi¸c sau ®©y: a) A 1 = cos 5 π + cos 5 3 π A 2 = cos 7 2 π + cos 7 4 π + cos 7 6 π A 3 = cos 7 π + cos 7 2 π + cos 7 3 π +cos 7 4 π + cos 7 5 π + cos 7 6 π A 4 = cos 11 π + cos 11 3 π + cos 11 5 π + cos 11 7 π + cos 11 9 π b) B = cos 2 73 o + cos 2 47 o + cos73 o cos47 o c) C = tg9 o – tg27 o – tg63 o + tg81 o d) D = tg 2 12 π + tg 2 12 5 π . 2. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau: a) cosasin(b – c) + cosbsin(c – a) + coscsin(a – b) = 0 b) cos(a+b)sin(a–b) + cos(b+c)sin(b–c) + cos(c+a)sin(c–a) = 0 c) cos(a+b+c) + cos(a+b–c) + cos(b+c–a) + cos(c+a–b) = = 4cosacosbcosc d) sina(1 + 2cos2a + 2cos4a + 2cos6a) = sin7a e) sina + sin2a + sin3a + sin4a + sin5a = 2 sin 2 9 sin3sin a a a g) 2 1 + cosa + cos2a + cos3a + cos4a = 2 sin2 2 9 sin a a . 3. Rót gän c¸c biÓu thøc sau: a) A 1 = 4cos 3 x cos 3 x+ π cos 3 x− π A 2 = 4sin 3 x sin 3 x+ π sin 3 x− π b) B = aaa aaa 7cos4coscos 7sin4sinsin ++ ++ c) C = baba baba 222 222 coscos)(cos sinsin)(sin −−+ −−+ d) D = ac ac cb cb ba ba coscos )sin( coscos )sin( coscos )sin( − + − + − e) E = tga + 2tg2a + 4tg4a + + 2 n – 1 tg2 n – 1 a. 4. Víi α + β + γ = π . H·y biÕn ®æi c¸c tæng sau ®©y thµnh tÝch: a) sin3 α + sin3 β + sin3 γ b) sin4 α + sin4 β + sin4 γ c) sin5 α + sin5 β + sin5 γ d) 1 + cos4 α + cos4 β + cos4 γ . 5. Chøng minh r»ng a) 8sin 3 18 o + 8sin 2 18 o = 1 b) cotg 32 π – tg 32 π – 2tg 16 π – 4tg 8 π = 8 c) tg30 o + tg40 o + tg50 o + tg60 o = 3 38 cos20 o d) cos 2 a + cos 2 (a + b) – 2cosacosbcos(a + b) = sin 2 b e) )cos()cos( )sin(2 baba ba ++ + = tga + tgb f) cos 2 a + cos 2 b cos 2 c cos 2 d = 2cos(a+b)sin(a+c)sin(a+d), ở đó a + b + c + d = g) sin 2 a + sin 2 b + sin 2 c = 2 + ( 1) k+1 2cosacosbcosc, ở đó a + b + c = k , (k Z) 6. Chứng minh rằng a) Nếu cos = cosacosb, a k2 2 + , b )12( + h (k, h Z) thì 22 a tg a tg + = 2 2 b tg ; b) Nếu b a x x = )sin( )sin( , B A x x = )cos( )cos( , b 0, B 0, aB + bA 0 thì cos bAaB bBaA + + = )( ; c) Nếu msin(a + b) = cos(a b), a b k (k Z), m 1 thì biểu thức F = bmam 2sin1 1 2sin1 1 + không phụ thuộc vào a và b. 7. Rút gọn các biểu thức sau: a) A = cosa + cos(a+b) + cos(a+2b) + + cos(a+nb) b) B = cos22 22 2 1 ++++ )0( , n dấu căn c) C = tgatg2a + tg2atg3a + tg3atg4a + + tg(n1)atgna . víi: a) α = 15 o ; b) α = 12 5 π ; c) α = 105 o ; d) α = 12 103 π . 2. TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc lîng gi¸c sau ®©y: a) A = ° − ° 10cos 3 10sin 1 , b) B = ° + ° 250sin3 1 290cos 1 . 3.a). sin 2 2 o + + sin 2 88 o + sin 2 89 o c) C = cos20 o + cos40 o + + cos160 o + cos180 o d) D = sin 2 10 o + sin 2 20 o + + sin 2 170 o + sin 2 180 o . 8. Cho A, B, C lµ sè ®o c¸c gãc trong cña mét. ygxg yx yx 22 22 22 cot.cot sin.sin sincos . 6. Tính giá trị các hàm số lợng giác của góc với: a) = 600 o ; b) = 3 35 ; c) = 102 0 o ; d) = 3 13 . 7. Tính giá trị các biểu thức lợng giác sau đây: a) A = tg1 o tg2 o