bài tập toán nâng cao có lời giải

Tổ hợp qua các định lý và bài toánTrần Nam Dũng Trường Đại học KHTN Tp HCM1. Các quy tắc đếmTa nói tập hợp A có n phần tử nếu tồn tại song ánh f: A > {1, 2, ..., n}. Ký hiệu | A | = n.Quy tắc cộng: Nếu công việc A có hai phương án thực hiện (loại trừ lẫn nhau), phương án 1 có n1 cách thực hiện, phương án 2 có n2 cách thực hiện thì công việc A có n1 + n2 cách thực hiện. Trên ngôn ngữ tập hợp: Nếu A  B =  thì |A  B| = | A | + | B |.Quy tắc nhân: Nếu công việc A có thể chia thành 2 công đoạn tiếp nối nhau, công đoạn 1 có n1 cách thực hiện, công đọa 2 có n2 cách thực hiện thì công việc A có n1n2 cách thực hiện. Trên ngôn ngữ tập hợp: |A × B| = | A |.| B |.Quy tắc phần bù: , trong đó là phần bù của A trong X.1. a) Có bao nhiêu số có 3 chữ số?b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau?c) Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau?2. a) Có bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 3b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số, chia hết cho 3 nhưng không chứa chữ số 3?c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?3. Trong một trường học mỗi một học sinh nam quen với 32 học sinh nữ và mỗi một học sinh nữ quen với 29 học sinh nam. Hỏi trong trường học đó nam nhiều hơn nữ hay nữ nhiều hơn nam, và nhiều hơn bao nhiêu lần. 4. Xét bảng chữ nhật m × n ô. Hỏi có tất cả bao nhiêu hình chữ nhật có cạnh song song với cạnh của bảng?5. Cho p là số nguyên tố và a là số nguyên dương. Một đường tròn được chia thành p quạt bằng nhau. a) Có bao nhiêu cách tô p quạt bằng a màu, nếu ta cố định đường tròn (không xoay).b) Nếu ta cho phép xoay đường tròn, và hai cách tô được coi là như nhau nếu có thể thu được từ nhau qua một phép quay thì có tất cả bao nhiêu cách tô?Xét các tập hợp A, B, C ... thuộc X. Ta định nghĩa hàm đặc trưng của A, B, C,... là các ánh xạ từ X vào {0, 1} được xác định như sau: Hàm đặc trưng hoàn toàn xác định tập hợp, và ta có các tính chất cơ bản sau:1) A = B A(x) = B(x) với mọi x thuộc X (và khi đó ta viết A = B)2) A  B A(x) ≤ B(x) với mọi x thuộc X (và khi đó ta viết A ≤ B)3) AB = A.B 4) 6. a) Chứng minh rằng AB = A + B A.B.b) Chứng minh rằng AB = A + B 2A.B.c) Áp dụng chứng minh A(BC) = (AB)C với mọi A, B, C.Hàm đặc trưng liên quan trực tiếp đến phép đếm thông qua công thức quan trọng (và hiển nhiên) sau: (1)7. Áp dụng các tính chất của hàm đặc trưng và công thức (1), hãy chứng minha) Quy tắc cộngb) Quy tắc nhânc) (Công thức bao hàm và loại trừ cho n = 3) |A  B  C| = |A| + |B| + |C| (|AB| + |BC| + |CA|) + |ABC|.d) (Quy tắc đếm theo phần tử) Cho F là một họ các tập con của X. Với mỗi k = 0, 1,...,|X| gọi nk là số tập con thuộc F có k phần tử, với mỗi x thuộc X, gọi c(x) là số các tập con thuộc F chứa x. Khi đó ta có

Tổ hợp qua các định lý và bài toán

Trần Nam Dũng Trường Đại học KHTN Tp HCM

1 Các quy tắc đếm

Ta nói tập hợp A có n phần tử nếu tồn tại song ánh f: A > {1, 2, , n} Ký hiệu | A | = n.

Quy tắc cộng: Nếu công việc A có hai phương án thực hiện (loại trừ lẫn nhau), phương án 1 có n1 cách thực hiện, phương án 2 có n2 cách thực hiện thì công việc A có n1 + n2 cách thực hiện Trên ngôn ngữ tập hợp: Nếu A ∩ B = ∅ thì |A ∪ B| = | A | + | B |.

Quy tắc nhân: Nếu công việc A có thể chia thành 2 công đoạn tiếp nối nhau, công đoạn 1 có n1 cách thực hiện, công đọa 2 có n2 cách thực hiện thì công việc A có n1n2 cách thực hiện Trên ngôn ngữ tập hợp: |

A × B| = | A |.| B |.

Quy tắc phần bù: |A|=|X |−|A|, trong đó | A| là phần bù của A trong X.

1 a) Có bao nhiêu số có 3 chữ số?

b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau?

c) Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau?

2 a) Có bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 3

b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số, chia hết cho 3 nhưng không chứa chữ số 3?

c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?

3 Trong một trường học mỗi một học sinh nam quen với 32 học sinh nữ và mỗi một học sinh nữ quen với 29 học sinh nam Hỏi trong trường học đó nam nhiều hơn nữ hay nữ nhiều hơn nam, và nhiều hơn bao nhiêu lần

4 Xét bảng chữ nhật m × n ô Hỏi có tất cả bao nhiêu hình chữ nhật có cạnh song song với cạnh của bảng?

5 Cho p là số nguyên tố và a là số nguyên dương Một đường tròn được chia thành p quạt bằng nhau

a) Có bao nhiêu cách tô p quạt bằng a màu, nếu ta cố định đường tròn (không xoay)

b) Nếu ta cho phép xoay đường tròn, và hai cách tô được coi là như nhau nếu có thể thu được từ nhau qua một phép quay thì có tất cả bao nhiêu cách tô?

Xét các tập hợp A, B, C thuộc X Ta định nghĩa hàm đặc trưng của A, B, C, là các ánh xạ từ X vào {0, 1} được xác định như sau:

A x neu x

1)

(

χ

Hàm đặc trưng hoàn toàn xác định tập hợp, và ta có các tính chất cơ bản sau:

1) A = B <=> χ A(x) = χ B(x) với mọi x thuộc X (và khi đó ta viết χ A = χ B)

2) A ⊆ B <=> χ A(x) ≤ χ B(x) với mọi x thuộc X (và khi đó ta viết χ A ≤ χ B)

3) χ A ∩ B = χ A χ B

4) χA =1−χA

6 a) Chứng minh rằng χA ∪ B = χA + χB - χA.χB

b) Chứng minh rằng χA ∆ B = χA + χB - 2χA.χB

c) Áp dụng chứng minh A∆(B∆C) = (A∆B)∆C với mọi A, B, C

Hàm đặc trưng liên quan trực tiếp đến phép đếm thông qua công thức quan trọng (và hiển nhiên) sau:

∑

∈

=

X x

.)(

|

k F

A

x c kn

A

e) (Áp dụng quy tắc đếm theo phần tử) Có 20 thí sinh tham gia cuộc thi Vietnam Idol BGK sẽ chọn ra 5 gương mặt xuất sắc nhất, còn khán giả cũng sẽ chọn ra 5 gương mặt được ưu thích nhất Nếu các danh sách được chọn một cách ngẫu nhiên thì trung bình sẽ

có bao nhiêu thí sinh được góp mặt trong cả hai danh sách?

Hướng dẫn: Gọi F là tập tất cả các cặp (A, B) với A,B ⊆ [20], |A| = |B| = 5 Bản chất của bài toán là tính giá trị của

|

|

|}

2 Các đối tượng tổ hợp cơ bản

Xét tập hợp X gồm n phần tử Từ tập hợp cơ bản này, ta có thể xây dựng các đối tượng tổ hợp phong phú.

Tập các tập con của tập X: Tập các tập con của X được ký hiệu là P(X) Dễ thấy |P(X)| = 2n Các tập con của một tập hợp là một đối tượng xuất hiện khá nhiều trong các bài toán đếm

Chỉnh hợp: Chỉnh hợp chập k của một tập hợp là một bộ k phần tử phân biệt được sắp thứ tự của tập hợp

ấy Ví dụ nếu X = {1, 2, 3} và k = 2 thì ta có các chỉnh hợp là (1, 2), (1,3), (2, 1), (2, 3),(3, 1),(3, 2) Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là A n k

Hoán vị: Hoán vị của n phần tử là chỉnh hợp chập n của n phần tử đó, nói cách khác, là một cách sắp thứ

tự các phần tử đó Hoán vị của X còn có thể định nghĩa như một song ánh từ X vào X Số các hoán vị của

n phần tử được ký hiệu là Pn.

Tổ hợp: Tổ hợp chập k của một tập hợp là một bộ k phần tử phân biệt không sắp thứ tự của tập hợp ấy

Nói cách khác, đó là một tập con k phần tử Ví dụ nếu X = {1, 2, 3} và k = 2 thì ta có các tổ hợp là {1, 2}, {1,3}, {2, 3} Số các tổ chập k của n phần tử được ký hiệu là C n k

Chỉnh hợp lặp: Chỉnh hợp lặp chập k của một tập hợp là một bộ k phần tử không nhất thiết phân biệt

được sắp thứ tự của tập hợp ấy Ví dụ nếu X = {1, 2, 3} và k = 2 thì ta có các chỉnh hợp lặp là (1, 1), (1, 2), (1,3), (2, 1), (2, 2), (2, 3),(3, 1),(3, 2), (3, 3) Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử được ký hiệu

là A k n

Tổ hợp lặp: Tổ hợp lặp chập k của một tập hợp là một bộ k phần tử không nhất thiết phân biệt không sắp

thứ tự của tập hợp ấy Ví dụ nếu X = {1, 2, 3} và k = 2 thì ta có các tổ hợp lặp là {1, 1}, {1, 2}, {1,3}, {2, 2}, {2, 3}, {3, 3} Số các tổ hợp lặp chập k của n phần tử được ký hiệu là C k n

Để tiện lợi, ta thường lấy X = {1, 2, ,n} và ta ký hiệu tập này là [n].

1 a) Dùng quy tắc nhân, hãy chứng minh rằng , ( 1) ( 1) ( ! )!

k n

n k

n n

n A n

n k k n

−

=+

−

−

=

y x

0

)

Hướng dẫn: Có thể chứng minh bằng quy nạp dựa vào a) hoặc chứng minh trực tiếp bằng cách xét (x+y) n

= (x+y)(x+y) (x+y) Để tạo ra một đơn thức x n-k y k , ta phải lấy x từ n-k dấu ngoặc và y từ k dấu ngoặc còn lại Có bao nhiêu cách lấy như vậy?

d) (Quy tắc lục giác) 1 1

1 1 1 1 1

1 + −

+

− + +

−

n

k n

k n

k n

k n

=+++

k

k r

r r

r k r r k

n

x x

x

2 1 2

1 2

1

2 1

2

1

), ,,()

, ,,

(

2 1 2

1

k k

r r r

n r

d)* A và B không chứa nhau

5 Phương trình x1 + x2 + x3 = 100 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm?

6 Bộ bài có 52 quân, trong đó có 13 giá trị: 2, 3, 4, , 10, J, Q, K, A với 4 chất: cơ, rô, chuồn (tép), bích Cơ, rô màu đỏ, chuồn, bích màu đen Chọn ra 5 quân từ bộ bài Ta biết rằng có 5

52

C cách chọn như vậy Hỏi trong các cách chọn đó, có bao nhiêu cách chọn trong đó:

a) Không có quân bài có giá trị giống nhau;

b) Có 3 quân bài giá trị giống nhau và hai quân bài khác giống nhau

Hướng dẫn: Giao điểm của hai đường chéo xác định một cách duy nhất bởi 4 đỉnh của đa giác Mối liên

hệ giữa số phần của đa giác được chia ra và số giao điểm như thế nào?

n k

C B

d) Từ đó suy ra | | 1

1

−

− +

n k

C A

Kết quả bài toán trên được gọi là bài toán chia kẹo Euler:

Định lý: Số nghiệm nguyên không âm của phương trình x1 + x2 + + xn = k bằng 1

1

−

− +

n n k

C Nhiều bài toán đếm có thể mô hình hóa để đưa về bài toán này Chú ý khi sử dụng, cần chứng minh lại như một bổ đề

2 a) (Số đường đi ngắn nhất trên lưới nguyên) Chứng minh rằng số đường đi ngắn nhất trên lưới nguyên từ điểm A(0; 0) đến điểm B(m, n) bằng m

n m

c) (Bài toán về số Catalan) Có 2n người xếp hàng mua vé Giá vé là 50.000, có n người

có tiền 50.000 và n người chỉ có tiền 100.000, trong quầy ban đầu không có tiền lẻ Mọi người vào mua vé theo một thứ tự ngẫu nhiên Tính xác suất để tất cả mọi người đều có thể mua vé mà không phải chờ để lấy tiền trả lại Nếu trong quầy đã có sẵn k tờ tiền 5.000 thì sao?

3 a) Có n người xếp thành một hàng dọc Có bao nhiêu cách chọn ra k người, sao cho không có hai người kề nhau được chọn?

b) Có n người xếp thành một vòng tròn Có bao nhiêu cách chọn ra k người, sao cho không có hai người kề nhau được chọn?

4 (VMO 2012) Cho một nhóm gồm 5 cô gái, kí hiệu là G1, G2, G3, G4, G5 và 12 chàng trai Có 17 chiếc ghế được xếp thành một hàng ngang Người ta xếp nhóm người đã cho ngồi vào các chiếc ghế đó sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:

1/ Mỗi ghế có đúng một người ngồi;

2/ Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái qua phải, là G1, G2, G3, G4, G5;

3/ Giữa G1 và G2 có ít nhất 3 chàng trai;

4/ Giữa G4 và G5 có ít nhất 1 chàng trai và nhiều nhất 4 chàng trai

Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy?

(Hai cách xếp được coi là khác nhau nếu tồn tại một chiếc ghế mà người ngồi ở chiếc ghế

đó trong hai cách xếp là khác nhau)

5* (MOP 2006) Cho các số nguyên dương n và d với d | n Gọi S là tập hợp các bộ n số 0

≤ x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ≤ n sao cho d | x1 + x2 + +xn Chứng minh rằng đúng một nửa số phần tử của S có tính chất xn = n

6 (Nghệ An 2009) Cho n là số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2 Kí hiệu A = {1, 2, …, n} Tập con B của tập A được gọi là 1 tập "tốt" nếu B khác rỗng và trung bình cộng của các phần tử của B là 1 số nguyên Gọi Tn là số các tập tốt của tập A Chứng minh rằng Tn

– n là 1 số chẵn

Hướng dẫn: Có n tập con tốt có 1 phần tử Chia các tập con tốt còn lại thành 2 loại, loại 1 là các tập tốt có chứa trung bình cộng, loại 2 là các tập tốt không chứa trung bình cộng Hãy chứng minh 2 loại này có số phần tử bằng nhau

7 (Mỹ, 1996) Gọi an là số các xâu nhị phân độ dài n không chứa chuỗi con 010, bn là số các xâu nhị phân độ dài n không chứa chuỗi con 0011 hoặc 1100 Chứng minh rằng bn+1 = 2an với mọi n nguyên dương

4 Công thức bao hàm và loại trừ

Khi ta cần tìm số các phần tử của một tập hợp X thỏa mãn một trong các tính chất P1,

P2, , Pk ta có thể đặt Ai = {x ∈ X| x thỏa mãn tính chất Pi} và tính | |

1

k

i k

A

= Để tính số phần tử của hợp này, ta cần đến công thức bao hàm và loại trừ

1 a) Cho A, B là hai tập hợp bất kỳ, chứng minh rằng |A ∪ B| = | A | +| B | - |A ∩ B|.b) Cho A, B, C là ba tập hợp bất kỳ, chứng minh rằng |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - (|

n k j

n j

1 1

|

|)1(

−

∩

∩+

∩

−

Hướng dẫn: Chứng minh bằng quy nạp hoặc bằng cách sử dụng hàm đặc trưng.

2 Trong 100 số nguyên dương đầu tiên có bao nhiêu số

a) Hoặc chia hết cho 2, hoặc chia hết cho 3, hoặc chia hết cho 5?

b) Chia hết cho đúng 2 trong 3 số 2, 3, 5?

3 Một lớp học có 20 học sinh Cô giáo muốn tổ chức 4 chuyến du khảo cho học sinh sao cho

a) Một học sinh tham dự ít nhất một chuyến du khảo;

b) Hai chuyến du khảo bất kỳ có ít nhất một thành viên chung

Hỏi có bao nhiêu cách tổ chức các chuyến du khảo như vậy?

Hướng dẫn: Hãy cho các học sinh đăng ký tham gia các chuyến đi Mỗi học sinh có bao nhiêu cách đăng ký?

4 (Bài toán về vé hạnh phúc) Vé xe buýt có dạng a1a2a3a4a5a6 trong đó a1, a2, a3, a4, a5, a6

là các chữ số thuộc E = {0, 1, 2, …, 9} Vé a1a2a3a4a5a6 được gọi là vé hạnh phúc nếu như

a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 Hãy tìm số vé hạnh phúc trong các vé từ 000000 đến 999999 theo sơ đồ sau:

a) Chứng minh rằng số nghiệm của phương trình

a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 (a1, a2, a3, a4, a5, a6) ∈ E6 (1)bằng số nghiệm của phương trình

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 27 (a1, a2, a3, a4, a5, a6) ∈ E6 (2)b) Chứng minh rằng số nghiệm của phương trình (2) bằng số nghiệm của phương trình

số cách đặt n quân xe đôi một không ăn nhau lên T \ B (tức là không được đặt vào các ô của B) có thể tính theo công thức

(

trong đó ta quy ước r0(B) = 1

6 Chứng minh rằng số các toàn ánh từ một tập hợp có m phần tử vào một tập hợp có n phần tử có thể tính được tính theo công thức

n

k C n k n

m

C

0

)()1(),

7 a) Trên mặt phẳng cho n hình Gọi S i i k

1 là diện tích phần giao của các hình với chỉ số

i1, , ik, còn S là diện tích phần mặt phẳng được phủ bởi các hình trên; Mk là tổng tất cả các số S i1 i k Chứng minh rằng

i) hai hình có diện tích phần chung không nhỏ hơn 3/20;

ii) hai hình có diện tích phân chung không nhỏ hơn 1/5;

iii) ba hình có diện tích phần chung không nhỏ hơn 1/20

5 Xây dựng công thức truy hồi

Một trong các kỹ thuật quan trọng để giải quyết các bài toán đếm là chia bài toán thành các bài toán nhỏ

hơn, giải các bài toán nhỏ rồi kết hợp lại Kỹ thuật như thế được gọi là chia để trị Và kỹ thuật này có thể

sử dụng để thiết lập các hệ thức truy hồi: Để giải bài toán đếm với tham số n, ta chia bài toán thành những bài toán nhỏ hơn với định hướng là các bài toán nhỏ này liên quan đến bài toán ban đầu với tham số nhỏ hơn.

Trong một số trường hợp, ta có thể đặt thêm các bài toán phụ để tạo ra các dãy số truy hồi lẫn nhau.

Chú ý, các hệ thức truy hồi thường sẽ có dạng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng mà ta đã biết cách giải.

1 a) Tìm số các xâu nhị phân độ dài n không chứa hai bit 1 kề nhau;

b) Có bao nhiêu cách lát đường đi kích thước 2 × n bằng các viên gạch kích thước 1 × 2 (viên gạch có thể xoay)

c) Cùng câu hỏi như trên với đường đi kích thước 3 × 2n

2 (PTNK 2009) Cho số nguyên dương n Có bao nhiêu số chia hết cho 3, có n chữ số và các chữ số đều thuộc {3, 4, 5, 6}?

3 Có bao nhiêu tập con khác rỗng của {1, 2, 3, , 2012} có tổng các phần tử chia hết cho 3?

4 Tìm số các dãy số (x1, x2, …, x2012) thỏa mãn điều kiện: xi∈ {1, 2, 3}, x1 = x2012 = 1, xi+1

≠ xi với mọi i = 1, 2, …, 2011

5 Có 2n người xếp thành 2 hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một số người (ít nhất 1) từ 2n người này, sao cho không có hai người nào đứng kề nhau được chọn Hai người đứng kề nhau là hai người có số thứ tự liên tiếp trong một hàng dọc hoặc có cùng

7 Có bao nhiêu số nguyên n, 0 ≤ n < 1011 có tổng các chữ số chia hết cho 11?

6 Đa thức và ứng dụng trong bài toán đếm

Một tính chất rất đơn giản của đa thức là x a1.x a2 x a n = x a1 +a2 + +a nlại có những ứng dụng rất hiệu quả để đưa một số bài toán đếm số nghiệm của phương trình tuyến tính về bài toán tìm hệ số của x n trong khai triển của một đa thức.

1 (Bài toán mở đầu) Chứng minh rằng số nghiệm của phương trình

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 27

với ai là các số nguyên 0 ≤ ai ≤ 9 bằng hệ số của x27 trong khai triển của đa thức

1 1

x

b) Áp dụng kết quả bài 1 và câu a), hãy tìm ra một lời giải khác cho bài toán 4.4

Một số bài toán đếm sẽ quy về việc tính tổng các hệ số của các lũy thừa là bội của một số tự nhiên n Trong những trường hợp như thế, căn bậc n của đơn vị sẽ rất hữu dụng.

Số phức ε được gọi là căn bậc n của đơn vị nếu ε n = 1 Ta có tính chất đơn giản nhưng hữu ích sau: Nếu ε ≠ 1 là căn bậc n của đơn vị thì 1 + ε + ε 2 + + ε n-1 = 0

n N

k kn

a

S có thể tính theo công thức sau

n

P P

P P

S

n )(

)()()1

ππ

ε =cos2 + sin2 là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị.

b) Chứng minh rằng số các số có n chữ số lập từ các chữ số {3, 4, 5, 6} và có tổng chia hết cho 3 bằng tổng các hệ số a3k trong khai triển của (x3 + x4+ x5 + x6)n Từ đó đưa ra một lời giải khác cho bài toán 5.2

4* (IMO 1995) Cho p là một số nguyên tố lẻ Tìm số các tập con A của tập hợp {1, 2,…, 2p}, biết rằng

(i) A chứa đúng phần tử;

(ii) tổng các phần tử của A chia hết cho p

Hướng dẫn: Xét đa thức Q(x) = (x- α )(x- α 2 ) (x- α 2p ) với α là nghiệm tùy ý của phương trình x p-1 +x p-2 + + x + 1 = 0

5 Với mỗi tập hợp A = {x1, x2, , xn} các số thực, ta gọi A(2) là bộ các tổng xi + xj với i <j được xếp theo thứ tự tăng dần (có thể có 1 số tổng bằng nhau) Chẳng hạn với A = {1, 2,

3, 4} thì A(2) = {3, 4, 5, 5, 6, 7} Chứng minh rằng nếu tồn tại các tập hợp số nguyên A và

B cùng có n phần tử sao cho A ≠ B nhưng A(2) = B(2) thì n = 2k

b A

a

x x

f( ) , ( ) thì f2 (x) - f(x 2 ) = g 2 (x) - g(x 2 ), f(1) = g(1) = n.

6 (IMOSL 2007) Với số nguyên dương n > 1 xét S = {1, 2, 3, …, n} Tô các số của S

bằng 2 màu, u số màu đỏ và v số màu xanh Hãy tìm số các bộ (x, y, z) thuộc S3 sao cho

a) x, y, z được tô cùng màu;

b) x + y + z chia hết cho n

Trong bài tập 4.5, ta thấy rằng số cách đặt n quân xe đôi một không ăn nhau lên T \ B sẽ hoàn toàn được xác định nếu ta tính được rk(B) Bài tập dưới đây cho chúng ta phương pháp để tính rk(B) thông qua khái

niệm và tính chất của đa thức xe.

Với rk(B) được định nghĩa trong bài 4.5, ta đặt ∑

=

= n

k

k k

r

0

)()

7 (Tính chất cơ bản của đa thức xe)

a) Cho B và C là hai bảng con "không ăn nhau" của T (bảng vuông n × n) (tức là một con

xe nằm ở một ô bất kỳ của B và một con xe nằm ở một ô bất kỳ của C không ăn nhau), khi đó ta có

rB∪C(x) = rB(x).rC(x)

b) Cho B là một bảng con của T, x là một ô thuộc B, C = B \ {x} và D là bảng thu được

từ B bằng cách xóa đi dòng chứa x và cột chứa x Khi đó ta có

rB(x) = rC(x) + xrD(x)

c) Áp dụng tìm số cách đặt 8 quân xe đôi một không ăn nhau lên bàn cờ 8 × 8, trong đó không được đặt xe lên hai đường chéo

7 Quy nạp trong các bài toán tổ hợp

Quy nạp là một phương pháp suy luận quan trọng trong giải toán Ở mục 5, chúng ta đã sử dụng ý tưởng quy nạp trong việc xây dựng các công thức truy hồi để giải bài toán đếm Dưới đây, chúng ta sẽ làm quen với một số ứng dụng của quy nạp trong việc chứng minh các định lý, tính chất, dự đoán các chiến thuật trong trò chơi.

1. Cho S = {(x, y) ∈ Z2 | 0 ≤ x ≤ m, 0 ≤ y ≤ n, x + y > 0} Chứng minh rằng để phủ tất cả các điểm của S bằng các đường thẳng không đi qua gốc tọa độ, ta cần ít nhất m + n đường thẳng

2 a) (Định lý Mantel – Turan) Chứng minh rằng đồ thị đơn bậc n không chứa tam giác

3 a) Chứng minh rằng bảng vuông 2n × 2n khuyết một ô bất kỳ luôn có thể phủ kín được bằng các quân trimino hình chữ L

b)* Chứng minh rằng nếu n ≠ 5 là số nguyên dương không chia hết cho 3 thì bảng vuông

n × n khuyết một ô bất kỳ có thể phủ kín được bằng các quân trimino hình chữ L

Hướng dẫn: Hãy quy nạp nhảy cách, từ n > n+6.

4 Mỗi một con đường ở Sikinia đều là một chiều Mỗi một cặp thành phố được nối bởi đúng một con đường trực tiếp Chứng minh rằng tồn tại một thành phố mà từ mọi thành phố khác ta có thể đến thành phố đó bằng con đường trực tiếp, hoặc đi qua nhiều nhất một thành phố khác

Ghi chú: Trên ngôn ngữ đồ thị, có thể phát biểu bài toán như sau - Chứng minh rằng trong một đồ thị có

hướng đầy đủ, tồn tại một đỉnh mà khoảng cách từ 1 đỉnh bất kỳ khác đến nó ≤ 2 Phát biểu một cách khác nữa: Có n đội bóng chuyền thi đấu vòng tròn một lượt Khi đó tồn tại một đội bóng A sao cho nếu A thắng B thì tồn tại C sao cho C thắng A và thua B.

Các bài toán trò chơi chính là dạng toán sử dụng đến quy nạp toán học nhiều nhất Chú ý là quy nạp toán học đầy đủ bao gồm hai phần: dự đoán công thức và chứng minh công thức và trong rất nhiều trường hợp, việc dự đoán công thức đóng vai trò then chốt.

5 Hai người A và B cùng chơi một trò chơi Ban đầu trên bàn có 100 viên kẹo Hai người thay phiên nhau bốc kẹo, mỗi lần được bốc k viên với k ∈ {1, 2, 6} Hỏi ai là người có chiến thuật thắng, người đi trước hay người đi sau?

6 a) Trên bảng có số 2010 Hai người A và B cùng luân phiên thực hiện trò chơi sau: Mỗi lần thực hiện, cho phép xoá đi số N đang có trên bảng và thay bằng N-1 hoặc [N/2]

Ai thu được số 0 trước là thắng cuộc Hỏi ai là người có chiến thuật thắng, người đi trước hay người đi sau

b) Cùng câu hỏi với luật chơi thay đổi như sau: Mỗi lần thực hiện, cho phép xoá đi số

N đang có trên bảng và thay bằng N-1 hoặc [(N+1)/2]

7 An và Bình chơi trò đoán số An nghĩ ra một số nào đó nằm trong tập hợp X = {1, 2,

…, 144} Bình có thể chọn ra một tập con bất kỳ A của X và hỏi « Số của bạn nghĩ có nằm trong A hay không ? » An sẽ trả lời Có hoặc Không theo đúng sự thật Nếu An trả lời có thì Bình phải trả cho An 2.000 đồng, nếu An trả lời Không thì Bình phải trả cho An 1.000 đồng Hỏi Bình phải tốt ít nhất bao nhiêu tiền để chắc chắn tìm ra được số mà An

đã nghĩ ?

8 Phản chứng trong các bài toán tổ hợp

Phương pháp phản chứng có 4 sơ đồ cơ bản như sau

1) A⇔ A→0 (chứng minh bằng mâu thuẫn)

2) A→B⇔B→A (chứng minh bằng mệnh đề phản đảo)

3) A→B⇔A∧B→0 (sơ đồ 1 áp dụng cho mệnh đề A > B)

4) A→B⇔ A∨B→ A (chứng minh bằng mâu thuẫn với giả thiết)

Phép phản chứng đặc biệt hiệu quả trong các bài toán tổ hợp, vì các bài toán này thường có cấu hình lỏng, phát sinh nhiều trường hợp, rẽ nhánh Phản chứng giúp chúng ta giảm bớt tối đa các rẽ nhánh

1 Chứng minh rằng từ 8 số nguyên dương tùy ý không lớn hơn 20, luôn chọn được 3 số

x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác

2 (IMO 1983) Các điểm trên chu vi tam giác đều ABC được tô bằng một trong hai màu xanh và đỏ Chứng minh rằng tồn tại một tam giác vuông có các đỉnh được tô cùng màu Trong việc chứng minh một số tính chất bằng phương pháp phản chứng, ta có thể có thêm một số thông

tin bổ sung quan trọng nếu sử dụng phản ví dụ nhỏ nhất Ý tưởng là để chứng minh một tính chất A cho

một cấu hình P, ta xét một đặc trưng f(P) của P là một hàm có giá trị nguyên dương Bây giờ giả sử tồn tại một cấu hình P không có tính chất A, khi đó sẽ tồn tại một cấu hình P 0 không có tính chất A với f(P0) nhỏ nhất Ta sẽ tìm cách suy ra điều mâu thuẫn Lúc này, ngoài việc chúng ta có cấu hình P 0 không có tính chất A, ta còn có mọi cấu hình P với f(P) < f(P0) đều có tính chất A

3 Cho ngũ giác lồi ABCDE trên mặt phẳng toạ độ có toạ độ các đỉnh đều nguyên

a) Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của ngũ giác (khác với A, B, C, D, E) có toạ độ nguyên

b) Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 điểm nằm trong ngũ giác có toạ độ nguyên

c) Các đường chéo của ngũ giác lồi cắt nhau tạo ra một ngũ giác lồi nhỏ A1B1C1D1E1 bên trong Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 điểm nằm trong hoặc trên biên ngũ giác lồi

A1B1C1D1E1