Tổ hợp qua các định lý và bài toánTrần Nam Dũng Trường Đại học KHTN Tp HCM1. Các quy tắc đếmTa nói tập hợp A có n phần tử nếu tồn tại song ánh f: A > {1, 2, ..., n}. Ký hiệu | A | = n.Quy tắc cộng: Nếu công việc A có hai phương án thực hiện (loại trừ lẫn nhau), phương án 1 có n1 cách thực hiện, phương án 2 có n2 cách thực hiện thì công việc A có n1 + n2 cách thực hiện. Trên ngôn ngữ tập hợp: Nếu A B = thì |A B| = | A | + | B |.Quy tắc nhân: Nếu công việc A có thể chia thành 2 công đoạn tiếp nối nhau, công đoạn 1 có n1 cách thực hiện, công đọa 2 có n2 cách thực hiện thì công việc A có n1n2 cách thực hiện. Trên ngôn ngữ tập hợp: |A × B| = | A |.| B |.Quy tắc phần bù: , trong đó là phần bù của A trong X.1. a) Có bao nhiêu số có 3 chữ số?b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau?c) Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau?2. a) Có bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 3b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số, chia hết cho 3 nhưng không chứa chữ số 3?c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?3. Trong một trường học mỗi một học sinh nam quen với 32 học sinh nữ và mỗi một học sinh nữ quen với 29 học sinh nam. Hỏi trong trường học đó nam nhiều hơn nữ hay nữ nhiều hơn nam, và nhiều hơn bao nhiêu lần. 4. Xét bảng chữ nhật m × n ô. Hỏi có tất cả bao nhiêu hình chữ nhật có cạnh song song với cạnh của bảng?5. Cho p là số nguyên tố và a là số nguyên dương. Một đường tròn được chia thành p quạt bằng nhau. a) Có bao nhiêu cách tô p quạt bằng a màu, nếu ta cố định đường tròn (không xoay).b) Nếu ta cho phép xoay đường tròn, và hai cách tô được coi là như nhau nếu có thể thu được từ nhau qua một phép quay thì có tất cả bao nhiêu cách tô?Xét các tập hợp A, B, C ... thuộc X. Ta định nghĩa hàm đặc trưng của A, B, C,... là các ánh xạ từ X vào {0, 1} được xác định như sau: Hàm đặc trưng hoàn toàn xác định tập hợp, và ta có các tính chất cơ bản sau:1) A = B A(x) = B(x) với mọi x thuộc X (và khi đó ta viết A = B)2) A B A(x) ≤ B(x) với mọi x thuộc X (và khi đó ta viết A ≤ B)3) AB = A.B 4) 6. a) Chứng minh rằng AB = A + B A.B.b) Chứng minh rằng AB = A + B 2A.B.c) Áp dụng chứng minh A(BC) = (AB)C với mọi A, B, C.Hàm đặc trưng liên quan trực tiếp đến phép đếm thông qua công thức quan trọng (và hiển nhiên) sau: (1)7. Áp dụng các tính chất của hàm đặc trưng và công thức (1), hãy chứng minha) Quy tắc cộngb) Quy tắc nhânc) (Công thức bao hàm và loại trừ cho n = 3) |A B C| = |A| + |B| + |C| (|AB| + |BC| + |CA|) + |ABC|.d) (Quy tắc đếm theo phần tử) Cho F là một họ các tập con của X. Với mỗi k = 0, 1,...,|X| gọi nk là số tập con thuộc F có k phần tử, với mỗi x thuộc X, gọi c(x) là số các tập con thuộc F chứa x. Khi đó ta có
Tổ hợp qua các định lý và bài toán Trần Nam Dũng Trường Đại học KHTN Tp HCM 1. Các quy tắc đếm Ta nói tập hợp A có n phần tử nếu tồn tại song ánh f: A > {1, 2, , n}. Ký hiệu | A | = n. Quy tắc cộng: Nếu công việc A có hai phương án thực hiện (loại trừ lẫn nhau), phương án 1 có n 1 cách thực hiện, phương án 2 có n 2 cách thực hiện thì công việc A có n 1 + n 2 cách thực hiện. Trên ngôn ngữ tập hợp: Nếu A ∩ B = ∅ thì |A ∪ B| = | A | + | B |. Quy tắc nhân: Nếu công việc A có thể chia thành 2 công đoạn tiếp nối nhau, công đoạn 1 có n 1 cách thực hiện, công đọa 2 có n 2 cách thực hiện thì công việc A có n 1 n 2 cách thực hiện. Trên ngôn ngữ tập hợp: | A × B| = | A |.| B |. Quy tắc phần bù: |||||| AXA −= , trong đó || A là phần bù của A trong X. 1. a) Có bao nhiêu số có 3 chữ số? b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau? c) Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau? 2. a) Có bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 3 b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số, chia hết cho 3 nhưng không chứa chữ số 3? c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3? 3. Trong một trường học mỗi một học sinh nam quen với 32 học sinh nữ và mỗi một học sinh nữ quen với 29 học sinh nam. Hỏi trong trường học đó nam nhiều hơn nữ hay nữ nhiều hơn nam, và nhiều hơn bao nhiêu lần. 4. Xét bảng chữ nhật m × n ô. Hỏi có tất cả bao nhiêu hình chữ nhật có cạnh song song với cạnh của bảng? 5. Cho p là số nguyên tố và a là số nguyên dương. Một đường tròn được chia thành p quạt bằng nhau. a) Có bao nhiêu cách tô p quạt bằng a màu, nếu ta cố định đường tròn (không xoay). b) Nếu ta cho phép xoay đường tròn, và hai cách tô được coi là như nhau nếu có thể thu được từ nhau qua một phép quay thì có tất cả bao nhiêu cách tô? Xét các tập hợp A, B, C thuộc X. Ta định nghĩa hàm đặc trưng của A, B, C, là các ánh xạ từ X vào {0, 1} được xác định như sau: ∉ ∈ = Axneu Axneu x A 0 1 )( χ Hàm đặc trưng hoàn toàn xác định tập hợp, và ta có các tính chất cơ bản sau: 1) A = B <=> χ A (x) = χ B (x) với mọi x thuộc X (và khi đó ta viết χ A = χ B ) 2) A ⊆ B <=> χ A (x) ≤ χ B (x) với mọi x thuộc X (và khi đó ta viết χ A ≤ χ B ) 3) χ A ∩ B = χ A .χ B 4) A A χχ −= 1 6. a) Chứng minh rằng χ A ∪ B = χ A + χ B - χ A .χ B . b) Chứng minh rằng χ A ∆ B = χ A + χ B - 2χ A .χ B . c) Áp dụng chứng minh A∆(B∆C) = (A∆B)∆C với mọi A, B, C. Hàm đặc trưng liên quan trực tiếp đến phép đếm thông qua công thức quan trọng (và hiển nhiên) sau: ∑ ∈ = Xx A xA )(|| χ (1) 7. Áp dụng các tính chất của hàm đặc trưng và công thức (1), hãy chứng minh a) Quy tắc cộng b) Quy tắc nhân c) (Công thức bao hàm và loại trừ cho n = 3) |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - (|A∩B| + | B∩C| + |C∩A|) + |A∩B∩C|. d) (Quy tắc đếm theo phần tử) Cho F là một họ các tập con của X. Với mỗi k = 0, 1, ,|X| gọi nk là số tập con thuộc F có k phần tử, với mỗi x thuộc X, gọi c(x) là số các tập con thuộc F chứa x. Khi đó ta có ∑ ∑∑ = ∈∈ == || 1 .)(|| X k Xx k FA xcknA e) (Áp dụng quy tắc đếm theo phần tử) Có 20 thí sinh tham gia cuộc thi Vietnam Idol. BGK sẽ chọn ra 5 gương mặt xuất sắc nhất, còn khán giả cũng sẽ chọn ra 5 gương mặt được ưu thích nhất. Nếu các danh sách được chọn một cách ngẫu nhiên thì trung bình sẽ có bao nhiêu thí sinh được góp mặt trong cả hai danh sách? Hướng dẫn: Gọi F là tập tất cả các cặp (A, B) với A,B ⊆ [20], |A| = |B| = 5. Bản chất của bài toán là tính giá trị của || |}| ),( F BA FBA ∑ ∈ ∩ . 2. Các đối tượng tổ hợp cơ bản Xét tập hợp X gồm n phần tử. Từ tập hợp cơ bản này, ta có thể xây dựng các đối tượng tổ hợp phong phú. Tập các tập con của tập X: Tập các tập con của X được ký hiệu là P(X). Dễ thấy |P(X)| = 2 n . Các tập con của một tập hợp là một đối tượng xuất hiện khá nhiều trong các bài toán đếm. Chỉnh hợp: Chỉnh hợp chập k của một tập hợp là một bộ k phần tử phân biệt được sắp thứ tự của tập hợp ấy. Ví dụ nếu X = {1, 2, 3} và k = 2 thì ta có các chỉnh hợp là (1, 2), (1,3), (2, 1), (2, 3),(3, 1),(3, 2). Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là k n A . Hoán vị: Hoán vị của n phần tử là chỉnh hợp chập n của n phần tử đó, nói cách khác, là một cách sắp thứ tự các phần tử đó. Hoán vị của X còn có thể định nghĩa như một song ánh từ X vào X. Số các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là P n . Tổ hợp: Tổ hợp chập k của một tập hợp là một bộ k phần tử phân biệt không sắp thứ tự của tập hợp ấy. Nói cách khác, đó là một tập con k phần tử. Ví dụ nếu X = {1, 2, 3} và k = 2 thì ta có các tổ hợp là {1, 2}, {1,3}, {2, 3}. Số các tổ chập k của n phần tử được ký hiệu là k n C . Chỉnh hợp lặp: Chỉnh hợp lặp chập k của một tập hợp là một bộ k phần tử không nhất thiết phân biệt được sắp thứ tự của tập hợp ấy. Ví dụ nếu X = {1, 2, 3} và k = 2 thì ta có các chỉnh hợp lặp là (1, 1), (1, 2), (1,3), (2, 1), (2, 2), (2, 3),(3, 1),(3, 2), (3, 3). Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử được ký hiệu là k n A . Tổ hợp lặp: Tổ hợp lặp chập k của một tập hợp là một bộ k phần tử không nhất thiết phân biệt không sắp thứ tự của tập hợp ấy. Ví dụ nếu X = {1, 2, 3} và k = 2 thì ta có các tổ hợp lặp là {1, 1}, {1, 2}, {1,3}, {2, 2}, {2, 3}, {3, 3}. Số các tổ hợp lặp chập k của n phần tử được ký hiệu là k n C . Để tiện lợi, ta thường lấy X = {1, 2, ,n} và ta ký hiệu tập này là [n]. 1. a) Dùng quy tắc nhân, hãy chứng minh rằng )!( ! )1) (1(, kn n knnnAnA k n k k n − =+−−== . b) Chứng minh rằng )!(! ! ! knk n k A C k n k n − == . 2. Dùng định nghĩa tổ hợp của k n C hãy chứng minh các đẳng thức sau: a) k n k n k n CCC 1 1 + − =+ Hướng dẫn: Chia các tập con k phần tử của [n+1] thành 2 loại: chứa n+1 và không chứa n+1. b) .2 210 1 nn nnn CCCC =++++ Hướng dẫn: Hãy trả lời câu hỏi: Có bao nhiêu tập con k phần tử của [n]. Và tổng cộng [n] có bao nhiêu tập con kể cả ∅ và chính nó? c) (Công thức nhị thức Newton) ∑ = − =+ n k kknk n n yxCyx 0 )( . Hướng dẫn: Có thể chứng minh bằng quy nạp dựa vào a) hoặc chứng minh trực tiếp bằng cách xét (x+y) n = (x+y)(x+y) (x+y). Để tạo ra một đơn thức x n-k y k , ta phải lấy x từ n-k dấu ngoặc và y từ k dấu ngoặc còn lại. Có bao nhiêu cách lấy như vậy? d) (Quy tắc lục giác) 11 111 11 1 −+ +−+ +− − = k n k n k n k n k n k n CCCCCC 3. Hoán vị lặp và định lý đa thức a) Bảng chữ cái có k ký tự 1, 2, , k. Chữ cái thứ i có r i phiên bản. Biết r 1 + r 2 + + r k = n. Hỏi có bao nhiêu từ khác nhau có độ dài n? b) Chứng minh rằng ∑ +++ =+++ k k rrr r k rr k n k xxxrrrCxxx 212121 21 21 ), ,,() ( , trong đó !! ! ! ), ,,( 21 21 k k rrr n rrrC = . 4. Cho tập hợp X có n phần tử. Có bao nhiêu cách chọn các cặp có thứ tự (A, B) các tập con của X sao cho: a) A ∩ B = ∅; b) A ∪ B = X; c) A ⊆ B; d)* A và B không chứa nhau. 5. Phương trình x 1 + x 2 + x 3 = 100 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm? 6. Bộ bài có 52 quân, trong đó có 13 giá trị: 2, 3, 4, , 10, J, Q, K, A với 4 chất: cơ, rô, chuồn (tép), bích. Cơ, rô màu đỏ, chuồn, bích màu đen. Chọn ra 5 quân từ bộ bài. Ta biết rằng có 5 52 C cách chọn như vậy. Hỏi trong các cách chọn đó, có bao nhiêu cách chọn trong đó: a) Không có quân bài có giá trị giống nhau; b) Có 3 quân bài giá trị giống nhau và hai quân bài khác giống nhau. c) Cả 5 quân cùng chất; d) Có đủ 2 màu; e) Có đủ 4 chất. 7*. Trong n giác lồi kẻ tất cả các đường chéo. Biết rằng không có ba đường chéo nào đồng quy tại một điểm. Hỏi đa giác lồi được chia ra thành bao nhiêu phần? Các đường chéo cắt nhau tại bao nhiêu điểm? Hướng dẫn: Giao điểm của hai đường chéo xác định một cách duy nhất bởi 4 đỉnh của đa giác. Mối liên hệ giữa số phần của đa giác được chia ra và số giao điểm như thế nào? 3. Phương pháp song ánh Nếu tồn tại song ánh f: A > B thì | A | = | B |. Nguyên lý đơn giản này rất có ích trong các bài toán đếm. Chúng ta sẽ thường xuyên gặp tình huống sau: Để đếm số phần tử của tập hợp A, ta xây dựng một tập hợp B có cấu trúc quen thuộc (và có thể đếm dễ dàng) và thiết lập một song ánh từ A vào B, từ đó | A | = | B |. 1. Xét các tập hợp A = {(x 1 , x 2 , , x n ) ∈ N n | x 1 + x 2 + + x n = k} và B = { (y 1 , y 2 , , y n ) ∈ N* n | 1 ≤ y 1 < y 2 < < y n-1 ≤ k + n - 1}. Xét tương ứng f(x 1 , x 2 , ,x n ) = (x 1 +1,x 1 +x 2 +2, ,x 1 +x 2 + +x n-1 +n-1) a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ từ A vào B; b) Chứng minh rằng f là song ánh; c) Kiểm tra lại rằng 1 1 || − −+ = n nk CB d) Từ đó suy ra .|| 1 1 − −+ = n nk CA Kết quả bài toán trên được gọi là bài toán chia kẹo Euler: Định lý: Số nghiệm nguyên không âm của phương trình x 1 + x 2 + + x n = k bằng . 1 1 − −+ n nk C Nhiều bài toán đếm có thể mô hình hóa để đưa về bài toán này. Chú ý khi sử dụng, cần chứng minh lại như một bổ đề. 2. a) (Số đường đi ngắn nhất trên lưới nguyên) Chứng minh rằng số đường đi ngắn nhất trên lưới nguyên từ điểm A(0; 0) đến điểm B(m, n) bằng . m nm C + b) Cho m ≥ n, tìm số đường đi ngắn nhất từ điểm A(0, 0) đến điểm B(m, n) và đi qua các điểm có hoành độ không nhỏ hơn tung độ. Hướng dẫn: Hãy chứng minh rằng số đường đi ngắn nhất từ điểm A(0, 0) đến điểm B(m, n) và đi qua ít nhất một điểm có hoành độ nhỏ hơn tung độ bằng số đường đi ngắn nhất từ điểm (-1, 1) đến B. c) (Bài toán về số Catalan) Có 2n người xếp hàng mua vé. Giá vé là 50.000, có n người có tiền 50.000 và n người chỉ có tiền 100.000, trong quầy ban đầu không có tiền lẻ. Mọi người vào mua vé theo một thứ tự ngẫu nhiên. Tính xác suất để tất cả mọi người đều có thể mua vé mà không phải chờ để lấy tiền trả lại. Nếu trong quầy đã có sẵn k tờ tiền 5.000 thì sao? 3. a) Có n người xếp thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách chọn ra k người, sao cho không có hai người kề nhau được chọn? b) Có n người xếp thành một vòng tròn. Có bao nhiêu cách chọn ra k người, sao cho không có hai người kề nhau được chọn? 4. (VMO 2012) Cho một nhóm gồm 5 cô gái, kí hiệu là G 1 , G 2 , G 3 , G 4 , G 5 và 12 chàng trai. Có 17 chiếc ghế được xếp thành một hàng ngang. Người ta xếp nhóm người đã cho ngồi vào các chiếc ghế đó sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn: 1/ Mỗi ghế có đúng một người ngồi; 2/ Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái qua phải, là G 1 , G 2 , G 3 , G 4 , G 5 ; 3/ Giữa G 1 và G 2 có ít nhất 3 chàng trai; 4/ Giữa G 4 và G 5 có ít nhất 1 chàng trai và nhiều nhất 4 chàng trai. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy? (Hai cách xếp được coi là khác nhau nếu tồn tại một chiếc ghế mà người ngồi ở chiếc ghế đó trong hai cách xếp là khác nhau). 5*. (MOP 2006) Cho các số nguyên dương n và d với d | n. Gọi S là tập hợp các bộ n số 0 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ ≤ x n ≤ n sao cho d | x 1 + x 2 + +x n . Chứng minh rằng đúng một nửa số phần tử của S có tính chất x n = n. 6. (Nghệ An 2009) Cho n là số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2. Kí hiệu A = {1, 2, …, n}. Tập con B của tập A được gọi là 1 tập "tốt" nếu B khác rỗng và trung bình cộng của các phần tử của B là 1 số nguyên. Gọi T n là số các tập tốt của tập A. Chứng minh rằng T n – n là 1 số chẵn. Hướng dẫn: Có n tập con tốt có 1 phần tử. Chia các tập con tốt còn lại thành 2 loại, loại 1 là các tập tốt có chứa trung bình cộng, loại 2 là các tập tốt không chứa trung bình cộng. Hãy chứng minh 2 loại này có số phần tử bằng nhau. 7. (Mỹ, 1996) Gọi a n là số các xâu nhị phân độ dài n không chứa chuỗi con 010, b n là số các xâu nhị phân độ dài n không chứa chuỗi con 0011 hoặc 1100. Chứng minh rằng b n+1 = 2a n với mọi n nguyên dương. 4. Công thức bao hàm và loại trừ Khi ta cần tìm số các phần tử của một tập hợp X thỏa mãn một trong các tính chất P 1 , P 2 , , P k ta có thể đặt A i = {x ∈ X| x thỏa mãn tính chất P i } và tính || 1 k i k A = . Để tính số phần tử của hợp này, ta cần đến công thức bao hàm và loại trừ. 1. a) Cho A, B là hai tập hợp bất kỳ, chứng minh rằng |A ∪ B| = | A | +| B | - |A ∩ B|. b) Cho A, B, C là ba tập hợp bất kỳ, chứng minh rằng |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - (| A∩B| + |B∩C| + |C∩A|) + |A∩B∩C|. c) (Công thức bao hàm và loại trừ) Cho A 1 , A 2 , , A n là các tập hợp bất kỳ, khi đó ta có n i n n nkji kji nji ji n i ii AAAAAAAAAA 1 21 1 111 .| |)1( |||||||| = − ≤<<≤≤<≤= ∩∩∩−+−∩∩+∩−= ∑∑∑ Hướng dẫn: Chứng minh bằng quy nạp hoặc bằng cách sử dụng hàm đặc trưng. 2. Trong 100 số nguyên dương đầu tiên có bao nhiêu số a) Hoặc chia hết cho 2, hoặc chia hết cho 3, hoặc chia hết cho 5? b) Chia hết cho đúng 2 trong 3 số 2, 3, 5? 3. Một lớp học có 20 học sinh. Cô giáo muốn tổ chức 4 chuyến du khảo cho học sinh sao cho a) Một học sinh tham dự ít nhất một chuyến du khảo; b) Hai chuyến du khảo bất kỳ có ít nhất một thành viên chung. Hỏi có bao nhiêu cách tổ chức các chuyến du khảo như vậy? Hướng dẫn: Hãy cho các học sinh đăng ký tham gia các chuyến đi. Mỗi học sinh có bao nhiêu cách đăng ký? 4. (Bài toán về vé hạnh phúc) Vé xe buýt có dạng a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 trong đó a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 là các chữ số thuộc E = {0, 1, 2, …, 9}. Vé a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 được gọi là vé hạnh phúc nếu như a 1 + a 2 + a 3 = a 4 + a 5 + a 6 . Hãy tìm số vé hạnh phúc trong các vé từ 000000 đến 999999 theo sơ đồ sau: a) Chứng minh rằng số nghiệm của phương trình a 1 + a 2 + a 3 = a 4 + a 5 + a 6 (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ) ∈ E 6 (1) bằng số nghiệm của phương trình a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 = 27 (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ) ∈ E 6 (2) b) Chứng minh rằng số nghiệm của phương trình (2) bằng số nghiệm của phương trình a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 = 27 (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ) ∈ N 6 trừ đi số phần tử của 6 1= = i i MM , trong đó M i = { (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ) ∈ N 6 , a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 = 27, a i ≥ 10} c) Dùng công thức bao hàm và loại trừ và bài toán chia kẹo Euler, hãy tìm số vé hạnh phúc trong các vé từ 000000 đến 999999. 5. a) Cho E = {1, 2, ,n}. Có bao nhiêu song ánh f: E > E thỏa mãn điều kiện f(i) ≠ i với mọi i ∈ E. b) Cho bảng vuông T gồm n × n ô, B là một bảng con của T (một tập con các ô của bảng). Gọi r k (B) là số cách đặt k quân xe đôi một không ăn nhau lên B. Chứng minh rằng số cách đặt n quân xe đôi một không ăn nhau lên T \ B (tức là không được đặt vào các ô của B) có thể tính theo công thức ∑ = −−= n k k k knBrBN 0 )!)(()1()( trong đó ta quy ước r 0 (B) = 1. 6. Chứng minh rằng số các toàn ánh từ một tập hợp có m phần tử vào một tập hợp có n phần tử có thể tính được tính theo công thức ∑ = −−= n k mk n k knCnmC 0 )()1(),( . 7. a) Trên mặt phẳng cho n hình. Gọi k ii S 1 là diện tích phần giao của các hình với chỉ số i 1 , , i k , còn S là diện tích phần mặt phẳng được phủ bởi các hình trên; M k là tổng tất cả các số k ii S 1 . Chứng minh rằng i) S = M 1 - M 2 + M 3 - + (-1) n+1 M n ; ii) S ≥ M 1 - M 2 + M 3 - + (-1) m+1 M m với m chẵn và iii) S ≤ M 1 - M 2 + M 3 - + (-1) m+1 M m với m lẻ. b) Trong hình chữ nhật diện tích 1 có 5 hình có diện tích 1/2 mỗi hình. Chứng minh rằng tìm được i) hai hình có diện tích phần chung không nhỏ hơn 3/20; ii) hai hình có diện tích phân chung không nhỏ hơn 1/5; iii) ba hình có diện tích phần chung không nhỏ hơn 1/20. 5. Xây dựng công thức truy hồi Một trong các kỹ thuật quan trọng để giải quyết các bài toán đếm là chia bài toán thành các bài toán nhỏ hơn, giải các bài toán nhỏ rồi kết hợp lại. Kỹ thuật như thế được gọi là chia để trị. Và kỹ thuật này có thể sử dụng để thiết lập các hệ thức truy hồi: Để giải bài toán đếm với tham số n, ta chia bài toán thành những bài toán nhỏ hơn với định hướng là các bài toán nhỏ này liên quan đến bài toán ban đầu với tham số nhỏ hơn. Trong một số trường hợp, ta có thể đặt thêm các bài toán phụ để tạo ra các dãy số truy hồi lẫn nhau. Chú ý, các hệ thức truy hồi thường sẽ có dạng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng mà ta đã biết cách giải. 1. a) Tìm số các xâu nhị phân độ dài n không chứa hai bit 1 kề nhau; b) Có bao nhiêu cách lát đường đi kích thước 2 × n bằng các viên gạch kích thước 1 × 2 (viên gạch có thể xoay). c) Cùng câu hỏi như trên với đường đi kích thước 3 × 2n. 2. (PTNK 2009) Cho số nguyên dương n. Có bao nhiêu số chia hết cho 3, có n chữ số và các chữ số đều thuộc {3, 4, 5, 6}? 3. Có bao nhiêu tập con khác rỗng của {1, 2, 3, , 2012} có tổng các phần tử chia hết cho 3? 4. Tìm số các dãy số (x 1 , x 2 , …, x 2012 ) thỏa mãn điều kiện: x i ∈ {1, 2, 3}, x 1 = x 2012 = 1, x i+1 ≠ x i với mọi i = 1, 2, …, 2011. 5. Có 2n người xếp thành 2 hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một số người (ít nhất 1) từ 2n người này, sao cho không có hai người nào đứng kề nhau được chọn. Hai người đứng kề nhau là hai người có số thứ tự liên tiếp trong một hàng dọc hoặc có cùng số thứ tự ở hai hàng. 6. Tìm số tất cả các bộ n số (x 1 , x 2 , …, x n ) sao cho (i) x i = ± 1 với i = 1, 2, …, n. (ii) 0 ≤ x 1 + x 2 + … + x r < 4 với r = 1, 2, …, n-1 ; (iii) x 1 + x 2 + … + x n = 4. 7. Có bao nhiêu số nguyên n, 0 ≤ n < 10 11 có tổng các chữ số chia hết cho 11? 6. Đa thức và ứng dụng trong bài toán đếm Một tính chất rất đơn giản của đa thức là nn aaaaaa xxxx +++ = 21 21 lại có những ứng dụng rất hiệu quả để đưa một số bài toán đếm số nghiệm của phương trình tuyến tính về bài toán tìm hệ số của x n trong khai triển của một đa thức. 1. (Bài toán mở đầu) Chứng minh rằng số nghiệm của phương trình a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 = 27 với a i là các số nguyên 0 ≤ a i ≤ 9 bằng hệ số của x 27 trong khai triển của đa thức [...]... minh rằng nếu Cj ≥ Ri khi aij = 1 thì r ≥ c 6 (IMC 2002) 200 học sinh tham dự một cuộc thi giải toán Họ giải 6 bài toán Biết rằng mỗi một bài toán có ít nhất 120 học sinh giải được Chứng minh rằng tồn tại hai học sinh mà hợp lại giải hết cả 6 bài toán 7* Cho X là tập hợp với | X | = n và A1, A2, …, Am là các tập con của X sao cho i) ii) | Ai | = 3 với mọi i = 1, 2, …, m | Ai ∩ Aj | ≤ 1 với mọi i ≠... đầy đủ bậc n Trong nhiều bài toán, sử dụng ý nghĩa tổ hợp này cùng với cách đếm bằng hai cách giúp chúng ta tìm ra chìa khoá cho lời giải 3 (Bulgarian MO 2006) Một quốc gia có 16 thành phố và có 36 tuyến bay nối giữa chúng Chứng minh rằng ta có thể tổ chức một chuyến bay vòng quanh giữa 4 thành phố 4 a) Có 8 cái hộp, mỗi cái hộp có 6 viên bi thuộc một trong n màu Biết rằng không có hai viên bi cùng màu... chọn ra một tập con bất kỳ A của X và hỏi « Số của bạn nghĩ có nằm trong A hay không ? » An sẽ trả lời Có hoặc Không theo đúng sự thật Nếu An trả lời có thì Bình phải trả cho An 2.000 đồng, nếu An trả lời Không thì Bình phải trả cho An 1.000 đồng Hỏi Bình phải tốt ít nhất bao nhiêu tiền để chắc chắn tìm ra được số mà An đã nghĩ ? 8 Phản chứng trong các bài toán tổ hợp Phương pháp phản chứng có 4 sơ đồ... hai bài tập trên thì R(3, 3) = 6, R(3, 4) = 9 c) Chứng minh rằng R(3, 5) = 14, R(4, 4) = 18, R(3, 6) = 18 r −1 d) (Erdos) Chứng minh rằng R(r, s) ≤ R(r-1,s) + R(r, s-1), từ đó suy ra R( r, s ) ≤ C r + s −2 3 (IMO 1972) Chứng minh rằng từ 10 số có hai chữ số, ta luôn có thể chọn được hai tập con khác rỗng rời nhau có tổng các phần tử bằng nhau Khi ứng dụng Nguyên lý Dirichlet trong các bài toán có yếu... thẳng 4 (Trận đấu toán học Nga 2010) Một quốc gia có 210 thành phố Ban đầu giữa các thành phố chưa có đường Người ta muốn xây dựng một số con đường một chiều nối giữa các thành phố sao cho: Nếu có đường đi từ A đến B và từ B đến C thì không có đường đi từ A đến C Hỏi có thể xây dựng được nhiều nhất bao nhiêu đường? 5 Trong quốc hội Mỹ, mỗi một nghị sĩ có không quá 3 kẻ thù Chứng minh rằng có thể chia quốc... vào 21 phòng Chứng minh rằng có một phòng nào đó không chứa một cặp nào quen nhau k Bản chất tổ hợp của Cn chính là số cách chọn ra k phần tử (không sắp thứ tự) từ một tập hợp gồm n phần tử, hay nói cách khác số tập con k phần tử của một tập hợp gồm n phần tử Hiểu rõ bản chất này, chúng ta k có thể chứng minh hàng loạt các công thức chứa Cn bằng cách giải cùng một bài toán bằng hai cách khác nhau...(1+x+x2+ +x9)6 ∞ 1 = ∑ x k đúng với mọi x có | x | < 1, hãy chứng minh rằng 2 a) Sử dụng đẳng thức 1 − x k =0 ∞ 1 −1 = ∑ C kn+n −1 x k (1 − x ) n k =0 b) Áp dụng kết quả bài 1 và câu a), hãy tìm ra một lời giải khác cho bài toán 4.4 Một số bài toán đếm sẽ quy về việc tính tổng các hệ số của các lũy thừa là bội của một số tự nhiên n Trong những... có thể phát biểu bài toán như sau - Chứng minh rằng trong một đồ thị có hướng đầy đủ, tồn tại một đỉnh mà khoảng cách từ 1 đỉnh bất kỳ khác đến nó ≤ 2 Phát biểu một cách khác nữa: Có n đội bóng chuyền thi đấu vòng tròn một lượt Khi đó tồn tại một đội bóng A sao cho nếu A thắng B thì tồn tại C sao cho C thắng A và thua B Các bài toán trò chơi chính là dạng toán sử dụng đến quy nạp toán học nhiều nhất... không chứa Ai với mọi i = 1, 2, …, m 12 Bất biến và đơn biến Nhiều bài toán trò chơi hay biến đổi trạng thái được giải quyết một cách khá hiệu quả nhờ khái niệm bất biến, đơn biến Cho tập hợp Ω (tập hợp các trạng thái) và tập hợp T (tập hợp các phép biến đổi) các ánh xạ từ Ω Ω Hàm số f: Ω R được gọi là bất biến đối với cặp (Ω, T) nếu ta có f(t(ω)) = f(ω) với mọi ω thuộc Ω và với mọi t thuộc T Nguyên... mỗi ô của bảng vuông có chứa dấu “+” hoặc dấu “-” Mỗi một lần thực hiện, cho phép đổi dấu của tất cả các ô trên cùng một hàng hoặc cùng một cột a) Giả sử bảng vuông ban đầu có 1 dấu “+” và 15 dấu “-” Hỏi có thể đưa bảng ban đầu về bảng có toàn dấu cộng được không? b) Giả sử bảng vuông có toàn dấu "+" Hỏi có thể đưa bảng ban đầu về bảng có 2 dấu được không? c) Giả sử bảng vuông có toàn dấu "+" Với những . trong các kỹ thuật quan trọng để giải quyết các bài toán đếm là chia bài toán thành các bài toán nhỏ hơn, giải các bài toán nhỏ rồi kết hợp lại. Kỹ thuật như thế được gọi là chia để trị. Và kỹ. dụng để thiết lập các hệ thức truy hồi: Để giải bài toán đếm với tham số n, ta chia bài toán thành những bài toán nhỏ hơn với định hướng là các bài toán nhỏ này liên quan đến bài toán ban đầu với. Tổ hợp qua các định lý và bài toán Trần Nam Dũng Trường Đại học KHTN Tp HCM 1. Các quy tắc đếm Ta nói tập hợp A có n phần tử nếu tồn tại song ánh f: