Người khiêm tốn không phải là người thờ ơ trước lời khen tặng mà là người chăm chỉ nghe lời nhận xét. M ai S ĩ K ỳ - maisi_ky@yahoo.com SĐT: 092 847 67 53 Trang Số 1 S S ử ử d d ụ ụ n n g g N N g g u u y y ê ê n n L L ý ý D D i i r r i i c c h h l l e e t t t t r r o o n n g g c c h h ứ ứ n n g g m m i i n n h h B B ấ ấ t t Đ Đ ẳ ẳ n n g g T T h h ứ ứ c c Trong chương trình đại số THPT thì đỉnh cao của sự sáng tạo và điểm nhấn của sự trưởng thành về “nghệ thuật” biến đổi đại số của học sinh phổ thông thể hiện ở những bài toán về bất đẳng thức. Có người đã nói bất đẳng thức là “bông hoa đẹp nhất trong vườn hoa toán học”. Thật vậy! Bất đẳng thức chẵng những chứa đựng cả một thứ nghệ thuật trong mình mà còn mang một vẻ đẹp triết học của riêng mình. Mọi thứ trong thế giới này đều có giá trị của nó nhưng con người ta không nhận ra rằng những thứ ấy chỉ nhận được giá trị của mình qua sự so sánh của nó với những thứ khác và cũng chính bỡi những quan hệ này đã làm nên những bất đẳng thức toán học. Ngoài ra ta lại có một Nguyên Lý toán học đã được làm quen từ thời còn học tiểu học, một nguyên lý làm nên vẽ đẹp của toán học_ Nguyên Lý Dirichlet. Nguyên lý này thực ra là một định lý vô cùng đơn giản mà phát biểu cơ sở nhất của nó là : “Nếu nhốt n con thỏ vào n + 1 cái lồng thì tồn tại ít nhất một lồng có từ 2 thỏ trở lên”. Thoạt nhìn thì nó thật đơn giản và dễ hiểu nhưng nó lại có không ít những ứng dụng kì diệu như có phép màu trong việc giải quyết những vấn đề nội tại của toán học và những vấn đề khác ngoài đời sống cũng như các đối tượng rời rạc của toán học nữa! Thử tưởng tượng, một ngày nào đó và lúc nữa đêm bạn nhận được một cuộc điện thoại cung cấp một thông tin gì đó mà điều đó khiến bạn phải đi ra ngoài. Những điều bạn cần là mang giày vào và đi ra ngoài nhưng hãy thật cẩn thận không khéo sẽ đánh thức những người xung quanh bạn dậy và lúc đó điều bạn nhận được sẽ là những câu nói lớn tiếng chẳng mấy dễ nghe. Nhưng làm sao được nếu như trong ngăn kéo của bạn có rất nhiều vớ mà chúng đều có 2 màu trắng và đen nhưng bạn lại không được bậc đèn vì điều đó có thể làm đánh thức những người xung quanh??? Một ý tưởng chợt lóe sáng là ta hãy mang ra ngoài 3 chiếc vớ bất kỳ, hiễn nhiên rồi, sẽ có 2 chiếc vớ cùng màu trong 3 chiếc vớ đó. Và hãy mang chúng ra ngoài mang vào rồi chạy thật nhanh kẻo trễ mất! Ví dụ trên thật thuyệt vời cho ta thấy ứng dụng của nguyên lý Dirichlet. Bây giờ ta hãy thay đổi một xíu! Giả sử như bạn được chọn lấy 3 số thực , ,a b c (không yêu cầu phải khác nhau) thì hãy chắc chắn rằng trong 3 số đó ít nhất có 2 số có tích không âm. Ta có thể chứng minh rất đơn giản như sau: Giả sử có ít nhất 1 trong 3 số đã cho là 0 thì mặc nhiên tích của số này với bất kì số nào trong 2 số còn lại sẽ là 0 (không âm). Vậy trường hợp này thì mệnh đề trên đúng! Giả sử như có không có số nào trong số 3 số đã cho nhận giá trị 0 thì thật dẽ dàng nhận ra rằng theo nguyên lý Dirichlet ít nhất có 2 số cùng dấu, 2 số này sẽ có tích dương (vì không có số nào bằng không cả). Mệnh đề cũng lại đúng với trường hợp này! Vậy ta đã chứng minh được mệnh đề trên! Nó thật sự quan trọng trong việc chứng minh bất đẳng thức khi mà bạn đã chọn được “điểm rơi” cho bài toán của mình rồi. Cụ thể chúng ta xét các ví dụ sau: Bài 1. (USA – 2001) Cho các số , , 0 a b c sao cho 2 2 2 4 a b c abc . Chứng minh 2 ab bc ca abc Giải Theo nguyên lí Dirichlet thì có 2 trong 3 số 1 , 1 , 1 a b c có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử 1 1 0 a b 1 1 0 2 c a b abc bc ca c ab bc ca abc ab c Mà 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 a b c abc ab c abc c ab c c ab ab c Người khiêm tốn không phải là người thờ ơ trước lời khen tặng mà là người chăm chỉ nghe lời nhận xét. M ai S ĩ K ỳ - maisi_ky@yahoo.com SĐT: 092 847 67 53 Trang Số 2 Từ hai BĐT trên ta suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1. a b c Với giả thiết 2 2 2 4 a b c abc , đại đa số chúng ta đều nghĩ đến việc lượng giác hóa bằng cách đặt : 2cos , 2cos , 2cos a A b B c C . Nhưng lời giải trên phức tạp vô cùng so với cách sữ dụng nguyên lý Dirichlet và đòi hỏi bạn phải tính toán rất nhiều. Bài 2. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 2( ) a b c abc ab bc ca Giải Dự đoán điểm rơi 1 a b c Theo nguyên lí Dirichlet thì có 2 trong 3 số 1 , 1 , 1 a b c có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử 1 1 0 a b thì 2 1 1 0 2 2 2 2 c a b abc bc ca c . Do đó ta chỉ cần chứng minh 2 2 2 2 2 1 2 2 1 0 a b c c ab a b c BĐT trên luôn đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1. a b c Bài 3. (IRAN – 2002) Cho các số , , 0 a b c sao cho 2 2 2 4 a b c abc . Chứng minh 3 a b c Giải Áp dụng bài 2, ta có 2 2 2 2 1 2 9 a b c abc a b c Từ đó, ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 a b c Bài 4. (UK TST – 2005) Cho các số thực dương , , a b c sao cho 1 abc . Chứng minh 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 a b c a b c Giải Trước tiên ta chứng minh 2 bổ đề sau: Bổ đề 1. 1 1 1 2 1 1 1 1 1a b c a b c Bổ đề 2. 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c a b c Chứng minh Bổ đề 1. BĐT tương đương với 2 2 2 3 2( ) 3 1 2 1 ab bc ca a b c a b c a b c ab bc ca a b c a b c Mà theo BĐT AM- GM thì 32 2 2 2 2 2 3 3 a b c a b c Vậy Bổ đề 1 được chứng minh. Chứng minh Bổ đề 2. Theo nguyên lí Dirichlet thì có 2 trong 3 số 1 , 1 , 1 a b c có tích không âm. Không mất tính tổng quát giả sử 1 1)( 1 0 1 c a b ab a b c . Người khiêm tốn không phải là người thờ ơ trước lời khen tặng mà là người chăm chỉ nghe lời nhận xét. M ai S ĩ K ỳ - maisi_ky@yahoo.com SĐT: 092 847 67 53 Trang Số 3 Ta có 2 2 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 ab a b ab a b (đúng) Nên 2 2 1 1 1 1 1 1 1 c ab c a b Do đó 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c c a b c c a b c c c c Vậy Bổ đề 2 được chứng minh. Trở lại bài toán. BĐT đã cho tương đương với 2 2 2 1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 a b b a b b Mà theo bổ đề trên ta có 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b b a b b 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 1 1 1 a b c a b b Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 a b c . Bài 5. (MOSKVA – 2000) Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 x y z x y z xy yz zx (1). Đẳng thức xảy ra khi nào ? Giải Theo nguyên lí Dirichlet thì có 2 trong 3 số 1 , 1 , 1 x y z có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sữ như: 1 1 0 1 0 x y xy x y xyz xz yz z Theo BĐT AM-GM : 3 3 3 x y z xyz BĐT (1) được chứng minh nếu ta chứng minh được: 2 2 2 3 2 x y z xy yz zx (2) Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 x y z x y z xyz x y z xz yz z 2 2 2 2 2 xy z xz yz z xy yz zx (đpcm). Bài 6. (VMO – 1996) Cho các số thực không âm a, b, c sao cho 4 ab bc ca abc . Chứng minh a b c ab bc ca Giải Theo nguyên lí Dirichlet thì có 2 trong 3 số 1 , 1 , 1 a b c có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử ta có 1 1 0 a b . Khi đó 1 1 0 c a b c ac bc abc . Do đó ta chỉ cần chứng minh a b ab abc Từ giả thiết 4 ab bc ca abc suy ra 4 ab c a b ab , Người khiêm tốn không phải là người thờ ơ trước lời khen tặng mà là người chăm chỉ nghe lời nhận xét. M ai S ĩ K ỳ - maisi_ky@yahoo.com SĐT: 092 847 67 53 Trang Số 4 Thay vào BĐT thức trên ta được BĐT thức tương đương là: 2 4 1 4 0 ab a b ab a b a b ab ab a b a b a b ab BĐT trên hiển nhiên đúng. Phép chứng minh hoàn tất. Nhận xét: Bài toán trên có thể giải được bằng phương pháp dồn biến Bài 7. (TRƯỜNG ĐHKHTN – ĐHQGTPHCM) Cho các số thực không âm bất kì a, b, c. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 2 [( 1) ( 1) ( 1) ] 2 abc a b c a b c Giải Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số 1 , 1 ,( 1) a b c cùng dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử 1 1 0 1 a b ab a b . Vì vậy để hoàn tất bài toán ta chỉ cần chứng minh 2 2 2 1 2 [( 1) ( 1) ( 11) ) ] 2 ( a b c a bc a b c Hay 2 2 2 1 [( 1) ( 1) ( 1) ] ( 2)(1 ) 2 a b c a b c Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 2 2 2 2 2 ( 2) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 ( 2)(1 ) 2( 2)(1 ) 2 a b a b c c a b c a b c Chứng minh xong! Bài 8. (APMO – 2004) Chứng minh rằng : 0,,,9222 222 zyxzxyzxyzyx Giải Theo nguyên lí Dirichlet trong ba số xy – 1; xz – 1; yz – 1 tồn tại hai số có tích không âm, chẳng hạn như xy – 1; yz – 1 có tích không âm, ta có: 1 1 0 xy yz Suy ra yzxyzxy 1 2 . Khi đó : yzxyzxyyzyx 2122 22222 BĐT cần chứng minh viết lại: )(9842 222222222222 zxyzxyzyxxzzyyxzyx Ta có )(22 2222 yzxyyzyx (1) ; )(33 222 zxyzxyzyx (2) Vì : xyyx 21 22 , nên )(462 222222 zxyzxyxzzyyx (3) và xzzx 2 22 (4) Cộng các BBDT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta có: )(9842 222222222222 zxyzxyzyxxzzyyxzyx Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Hết . nhanh kẻo trễ mất! Ví dụ trên thật thuyệt vời cho ta thấy ứng dụng của nguyên lý Dirichlet. Bây giờ ta hãy thay đổi một xíu! Giả sử như bạn được chọn lấy 3 số thực , ,a b c (không yêu. Giả sử có ít nhất 1 trong 3 số đã cho là 0 thì mặc nhiên tích của số này với bất kì số nào trong 2 số còn lại sẽ là 0 (không âm). Vậy trường hợp này thì mệnh đề trên đúng! Giả sử như có. 2 thỏ trở lên”. Thoạt nhìn thì nó thật đơn giản và dễ hiểu nhưng nó lại có không ít những ứng dụng kì diệu như có phép màu trong việc giải quyết những vấn đề nội tại của toán học và những vấn