sử dụng đạo hàm giải pt chứa tham số

SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆPHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ.. Trong chương trình toán học ở bậc trung học phổ thông, bài toán tìm giá trị tham số để phương tr

SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ.

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn đề tài:

Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vị trí, vai trò hết sức quantrọng Là môn học cơ bản, môn học công cụ Nếu học tốt môn toán thì những trithức cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốtnhững môn học khác

Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho họcsinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết; môn toán còn rèn luyện chohọc sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, cótính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo và bồi dưỡng óc thẩm mĩ

Trong chương trình toán học ở bậc trung học phổ thông, bài toán tìm giá

trị tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm là bài

toán quan trọng và thường gặp trong kì thi tuyển sinh vào Đại học,Caođẳng Đây là bài toán mà học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn khi làm, nhất

là từ khi thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình thì các dạng toán phải

sử dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng vì định lí này đã

bỏ, do đó học sinh trong khi đọc sách tham khảo xuất bản trước đó có rất nhiềubài toán sử dụng định lý đó nên học sinh đọc sách rất hoang mang và không biếtphải giải quyết như thế nào

Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trungkhai thác các bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình ,

hệ phương trình có nghiệm bằng phương pháp đạo hàm.Với việc sử dụngphương pháp này, những bài toán về tìm giá trị của tham số để phương trình, bấtphương trình, hệ phương trình có nghiệm sẽ được giải quyết một cách rất tự

nhiên, thuần túy, ngắn gọn và đơn giản.Đó là lí do để tôi chọn đề tài: “Sử dụng

đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số”

II Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm:

Xuất phát từ mối liên hệ giữa số nghiệm của phương trình một ẩn với sốgiao điểm của hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của phương trình đó để giải quyếtcác bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình, hệ bấtphương trình có nghiệm

Trong khi giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệphương trình mà phải thực hiện việc đặt ẩn phụ thì việc tìm điều kiện của ẩn phụ

là rất cần thiết, việc tìm điều kiện của ẩn phụ thực ra là tìm tập giá trị của ẩn phụtrên tập xác định của bài toán đã cho bằng hàm số Sau khi tìm được điều kiệncủa ẩn phụ thì những yêu cầu của đề bài đối với bài toán theo ẩn chính phảiđược quy về những yêu cầu tương ứng cho bài toán theo ẩn phụ trên điều kiệncủa nó Đó là điều quan trọng để chọn đặt hàm số tương ứng trên tập giá trị của

ẩn phụ

Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các emhọc sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận bằng hàm số để giảibài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có chứa tham số

III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nóitrên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, bất phươngtrình , hệ phương trình có chứa tham số

- Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trìnhđại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là phương trình,bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình

mũ và logarit, hệ phương trình

IV.Phạm vi áp dụng: Áp dụng cho tất cả học sinh bậc THPT trên toàn tỉnh

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I.Cơ sở lý luận của vấn đề:

Để sử dụng phương pháp đạo hàm giải bài toán tìm giá trị tham số đểphương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm Ta cần nắm vững cácmệnh đề sau:

Cho hàm số yf x( )liên tục trên tập D

* Phương trình f(x) = m có nghiệm x D  min ( )x D f x mmax ( )x D f x

* Bất phương trình f x( ) mcó nghiệm x D  min ( )x D f x m

* Bất phương trình f x( ) mcó nghiệm x D  mmax ( )x D f x

* Bất phương trình f x( ) m, nghiệm đúng với mọi x D  mmax ( )x D f x

* Bất phương trình f x( ) m, nghiệm đúng với mọi x D  mmin ( )x D f x

* Cho hàm số yf x( )đơn điệu trên D

Khi đó: f u( ) f v( )  u v ( u v D,  )

* Cho hai hàm số yf x y g x( ),  ( ) có đồ thị lần lượt là   C1 , C2

Phương trình hoành độ giao điểm của  C1 và C2là : f x( ) g x( ) (1)

Số nghiệm phương trình (1) bằng số giao điểm của  C1 và C2

II.Thực trạng của vấn đề:

a.Thuận lợi: Đưa được bài toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất

phương, hệ phương trình có nghiệm vềdạng f x( ) g m( )hoặc f x( ) g m( ) sau đó

ta sử dụng các mệnh đề trên để giải quyết bài toán đơn giản

b.Khó khăn: Không phải mọi bài toán đều đưa được về dạng f x( ) g m( )

hoặc f x( ) g m f x( ); ( ) g m( ), nhất là khi g(m) là một đa thức theo m mà bậc của

* Vận dụng một trong các mệnh đề trên, để đưa ra kết luận cho bài toán

Chú ý: Trường hợp phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa

các biểu thức phức tạp ta làm như sau:

* Đặt ẩn số phụ t  ( )x

* Từ điều kiện ràng buộc của ẩn x, ta tìm điều kiện cho ẩn t

* Đưa phương trình, bất phương trình ẩn x về phương trình, bất phươngtrình ẩn t.Ta được h t( ) g m( ) hoặc h t( ) g m h t( ); ( ) g m( )

* Lập bảng biến thiên của hàm số f(t)

* Từ bảng biến thiên rút ra kết luận bài toán

2.Các bài toán minh họa:

2.1*Dạng 1: Phương trình.

Bài toán 1: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x2 mx 2 2  x 1

có hai nghiệm phân biệt

Lời giải:

Ta có: 2

2

1

3 4 1 (1)

x







     



Nếu x = 0 thì phương trình (1) vô nghiệm

Nếu 1; \ 0 

2

x  

 thì (1) m 3x 4 1 (2)

x

   

Phương trình (2) là phương trình hoành độ giao điểm của d y m:  và đồ thị

1 ( ) : ( ) 3C f x x 4

x

  

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 1; \ 0 

2

x   

 d y m:  cắt

1 ( ) : ( ) 3C f x x 4

x

   trên 1; \ 0 

2

 



2

2

x

      



Bảng biến thiên:

x 1

2  0 +

f’(x) + +

+ +

f(x)

9

2 -

Từ bảng biến thiên ta có: 9

2

m 

* Nhận xét :

Đưa về bài toán tìm số giao điểm đường thẳng và đồ thị.Nếu giải theo cách đưa

về phương trình bậc hai thì tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt thỏa điều kiện 1;

2

x  

.Khi đó dẫn đến so sánh hai nghiệm của phương trình bậc hai với 1

2

 , bài toán trở nên phức tạp

Bài toán 2: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm

x 9  x  x2  9x m (1)

Lời giải:

Điều kiện: 0  x 9

PT (1)  x  9 x 2 x(9  x) x2  9x m

 9 2  x2  9x x2  9x m (2)

Đặt t  x2  9x Ta có: ' 2 2 9 2 9 x t x x      ; ' 9 0 2 t   x x 0 9

2 9

t' + 0 

t 9

2

0 0

Do đó : 0 9 2 t   Phương trình (2) trở thành 9 2  t t  2 m t2  2t  9 m (3) Xét hàm số f t( ) t2  2t 9 , 0 9 2 t   Ta có : f t' ( )  2t 2 ; f t' ( ) 0   t 1 Bảng biến thiên : t 0 1 9

2

f t' ( ) + 0 

f t( ) 10

9 9

4  Phương trình (1) có nghiệm x 0;9  phương trình (3) có nghiệm 0;9 2 t     9 10 4 m     * Nhận xét : Nếu không đặt ẩn phụ thì ta được pt : 9 2  x2  9x x 2  9x m Khi đó xét hàm số f x( ) 9 2   x2  9x x 2  9xthì việc tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm để lập bảng biến thiên tương đối khó khăn Tuy nhiên khi đặt ẩn phụ thì phải tìm điều kiện của t Khi đó đưa về phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng song song với trục Ox và đồ thị (C ) Bài toán 3: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm 3 x 1 m x  1 2 4 x2  1 (1) Lời giải :

Điều kiện :x 1 PT (1) 2 4 1 4 1 3 2 1 1 x x m x x                (2)

Đặt 4 1

1

x

t

x





 , Do 4 1 4 2

x

t



Phương trình (2) trở thành : 3t2 m 2t  m 3t2  2t (3)

Xét hàm số f t( )  3t2  2t , t 0;1

( ) 6 2 ; ( ) 0

3

f t  t f t   t

Bảng biến thiên :

t 0 1

3 1

f t' ( ) + 0 

f t( ) 1

3 0 -1

Phương trình (1) có nghiệm x 1;   phương trình (3) có nghiệm t 0;1 1 1 3 m     * Nhận xét: Nếu không đặt được ẩn phụ mà giải trực tiếp thì đây là bài toán tương đối phức tạp Khi đặt ẩn phụ học sinh hay gặp sai lầm là chỉ nói được t 0, không chỉ ra được t<1 Bài toán 4: Cho phương trình 22 1 2 2 2 log x log x  3 m(log x 3) (1) Tìm m để phương trình có nghiệmx 32;  Lời giải : Từ điều kiện của x, ta có log 2x  5 log 2 x 3 2  nên m 0 PT (1) 2 2 2 2 log x 2log x 3 m(log x 3)      2 2 2   2 2 2 log x 2log x 3 m (log x 3) 2      Đặt t  log ; 2x t 5.PT (2) trở thành

t2  2t 3 m t2 (  3) 2 2 1 2 t m t     (3)

Xét hàm số ( ) 1 2 t f t t    , t 5 Ta có :   ' 2 4 ( ) 0 , 5 3 f t t t       Bảng biến thiên t 5 

f t' ( )

f t( ) 3

1

Phương trình (1) có nghiệm x 32;   phương trình (3) có nghiệm t 5;    1 m2  3 Kết hợp với điều kiện m 0, ta có : 1 m 3 * Nhận xét : Nếu ta đưa về phương trình bậc hai theo t thì khi phương trình (3) có nghiệm t phải kiểm tra nghiệm đó thỏa t 5 Trong khi đó ta giải theo cách trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản Đó là ưu điểm của cách giải trên Bài toán 5 :Cho phương trình 4 1 x 4 1 x (m 1)(2 2 x 2 2 x) 2m      (1) Tìm m để phương trình có nghiệm x 0;1 Lời giải : PT (1) 4(4x 4 ) ( x m 1)4(2x 2 ) 2 x m       (2)

Đặt t 2x 2 x 4x 4 x t2 2       Ta có : t' 2 ln 2 2 ln 2 0 ,x x t 0;1     

x 0 1

t' +

t 3

2

0

Do đó : 0 3 2 t   PT (2) trở thành : 2 2 2 2 4 2( 2) 2( 1) 2 1 t t t m t m m t          (3) Xét hàm số ( ) 2 2 2 4 , 0;3 2 1 2 t t f t t t            Ta có :   2 ' ' 2 1 11 4 4 10 2 ( ) ; ( ) 0 2 1 1 11 2 t t t f t f t t t                   Bảng biến thiên : t 0 3

2

f t' ( ) 

f t( ) 4

Bài toán 6 :Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực

Suy ra: f t( ) là hàm số đồng biến trên 3;9

Do đó phương trình đã có nghiệm khi và chỉ khi

Bài toán 7 : Cho phương trình 3 tanx 1 sin x 2cosxmsinx 3cosx (1)

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất 0;

 , khi đó sinx 0,cosx 0, tanx 0 ,sinx 3cosx 0

PT (1) 3 tan 1sin 2cos

Đặt t  tan ,x t 0

PT (2) trở thành 3 1 2

3

t

t



 , t >0 Xét hàm số ( ) 3 1 2 , 0

3

t

t





Ta có :

 

'

2

3

t



Bảng biến thiên

t 0 

f t' ( ) +

f t( ) 

2

Ứng mỗi t 0thỏa mãn PT (3), ta được đúng một nghiệm 0; 2 x     của PT (1) Do đó PT (1) có nghiệm duy nhất thỏa 0; 2 x      khi và chỉ khi PT (3) có duy nhất nghiệm t 0 Từ bảng biến thiên ta có : m 2 * Nhận xét : Đây là bài toán tương đối khó, sau khi đặt ẩn phụ ta vẫn được một phương trình chứa căn phức tạp.Cách giải trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản Đó là ưu điểm của cách giải trên Bài toán 8 : Cho phương trình 6  x x  3 mx(1) Tìm m để phương trình có nghiệm Lời giải : Điều kiện :    3 x 6 Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên (1) tương đương với 6 x 3 x m x x     Xét hàm số f x( ) 6 x 3 x x x     , x   3;6 Ta có : '( ) 2 12 2 6 2 6 2 3 x x f x x x x x       Với mọi x  3;6 x 12 0,  x  6 0 nên f x' ( ) 0 ,    x  3;6 Bảng biến thiên : x  3 0 6

f’(x)  

-1 +

f(x)

- 1

2 Từ bảng biến thiên ta có : Phương trình (1) có nghiệm 1 1 2 m m        * Nhận xét : Đây là bài toán mà ta không đặt được ẩn phụ, nếu dùng phép biến đổi mất căn thì dẫn đến một phương trình phức tạp Cách giải trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản Đó là ưu điểm của cách giải trên Bài toán 9 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 3 1 x2  2 x32x2  (1) trên 1 m 1 ;1 2        Lời giải: Xét hàm số f x  3 1  x2  2 x3  2x2  1 trên 1;1 2        Ta có 2 ' 2 3 2 2 3 2 3 3 4 3 3 4 ( ) 1 2 1 1 2 1 x x x x f x x x x x x x x                    Xét hàm số g x  x3  2x2  1 trên 1;1 2        Ta có g x 3x24x 0 x0 Ta có bảng biến thiên

x 1

2  0 1

g x' ( ) + 0 

g x( )

1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ( ) 1, 1;1 2 g x    x     và 1;1 2 x         ta có 3( 1) 4 3 4 3.1 4 5 3 4 7 2 x 2 x           Suy ra 3 2 33 42 0, 1;1 2 1 2 1 x x x x x               Do đó f x   0 x 0 Bảng biến thiên: x 1

2  0 1

f x' ( )  0 +

f x( ) 1

3 3 22 2   4

PT (1) là phương trình hoành độ giao điểm của d y m:  và (C ) : f x   3 1  x2  2 x3  2x2  1 Phương trình có nghiệm duy nhất khi 4 3 3 22 2 m     hoặc m 1 * Nhận xét :Đây là bài toán mà ta không đặt được ẩn phụ, nếu dùng phép biến đổi mất căn thì dẫn đến một phương trình phức tạp Cách giải trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản Đó là ưu điểm của cách giải trên Bài toán 10 : Chứng minh rằng m0, phương trình sau luôn có hai nghiệm thực phân biệt:x2 2x 8 m x(  2) Giải Do m 0 nên x 2 (1)  (x 2)(x 4)  m x(  2)  (x 2)(x 4)2 m x(  2) 2 3 2 2 ( 2) ( 2)( 4) 0 6 32 0(*) x x x x m x x m                    Yêu cầu bài toán quy về chứng minh phương trình (*) có một nghiệm trong (2;  ) Biến đổi (*) m x 36x2  32 Xét hàm số f x( )x3 6x2  32 với x 2 Ta có f x'( ) 3 x2 12x  0, x 2 và lim ( )x  f x  Bảng biến thiên: x 2 

f x' ( ) +

f x( ) 

0

Từ bảng biến thiên suy ra m0 phương trình (*) có đúng một nghiệm x 2 Vậy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt m0

* Nhận xét:

Sau khi tìm được điều kiện x 2 việc khảo sát hàm số f x( ) ở trên là rất dễ dàng chủ yếu là dùng đạo hàm tuy nhiên dùng định nghĩa cũng suy ra tính đồng biến của hàm số f x( )

2.2* Dạng 2: Bất phương trình.

Bài toán 1: Tìm m để bất phương trình 4x 2 2 4   x m có nghiệm

Lời giải:

Điều kiện: 1 4

2 x

Khi đó, bất phương trình 4x 2 2 4   x m có nghiệm 1; 4

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m  14

Bài toán 2: Tìm tham số m để bất phương trình sau có nghiệm:

2

t

f t t

1 3

2 2

1 3 2

t

t t

  1 3

1

x

f x

x



 dẫn đến việc tính đạo hàm, giải phương trình đạo hàm và xét dấu đạo hàm gặp khó khăn

Bài toán 3: Tìm m để bất phương trình 4 x 6  x x2 2x m (1) nghiệm đúng với mọi x   4;6

Lời giải:

Đặt t  x2  2x 24  x2  2x 24  t2

' 22 2 , ' 0 1

x

 

  

x  4 1 6

t'  0 +

t 5

0 0

Do đó 0  t 5 Bất phương trình (1) trở thành t 24  t2 m m t   2 t 24 (2)

Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x   4;6 Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi t0;5  mmax ( )0;5 f t Ta có 2 ' ' 1 ( ) 24 , ( ) 2 1 , ( ) 0 ( ) 2 f t   t t f t  t f t   t l Tính f(0) = -24, f(5) = 6 Do đó max ( ) 60;5 f t  Vậy m 6 Bài toán 4: Tìm m để bất phương trình m 2x2    9 x m có nghiệm với mọi x Lời giải Ta có 2 2 9 2 2 9 1 x m x x m m x        , vì 2x2   9 1 0,  x Khi đó, phương trình có nghiệm với mọi x 2 min 2 9 1 x m x            Xét hàm số   2 2 9 1 x f x x    trên  Ta có     2 2 2 2 2 6 9 2 9 0 9 2 9 0 6 2 9 2 9 1 x x f x x x x x                   Bảng biến thiên: x   -6 6 

f x  0 + 0