CHUYÊN ĐỀ CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LỰỢNG GIÁC tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập...
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1 CHƢƠNG VI. CUNG VÀ GÓC LƢỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC 1. Các hệ thức lƣợng giác cơ bản 22 sin cos 1aa+= sin tan cos a a a = cos cot sin a a a = 2 2 1 1 tan cos a a += 2 2 1 1 cot sin a a += tan .cot 1aa= 2. Giá trị lƣợng giác của cung góc có liên quan đặc biệt 2.1 Cung đối nhau: a và a- cos( ) cosaa-= sin( ) sinaa- = - tan( ) tanaa- = - cot( ) cotaa- = - 2.2 Cung bù nhau: a và pa- sin( ) sinp a a-= cos( ) cosp a a- = - tan( ) tanp a a- = - cot( ) cotp a a- = - 2.3 Cung hơn kém p : a và ap+ sin( ) sina p a+ = - cos( ) cosa p a+ = - tan( ) tana p a+= cot( ) cota p a+= 2.4 Cung phụ nhau: a và 2 p a- sin cos 2 p aa æö ÷ ç ÷ -= ç ÷ ç ÷ ç èø cos sin 2 p aa æö ÷ ç ÷ -= ç ÷ ç ÷ ç èø tan cot 2 p aa æö ÷ ç ÷ -= ç ÷ ç ÷ ç èø cot tan 2 p aa æö ÷ ç ÷ -= ç ÷ ç ÷ ç èø 3. Công thức lƣợng giác 3.1 Công thức cộng sin( ) sin cos sin cosa b a b b a+ = + sin( ) sin cos sin cosa b a b b a- = - cos( ) cos cos sin sina b a b a b+ = - cos( ) cos cos sin sina b a b a b- = + tan tan tan( ) 1 tan tan ab ab ab + += - tan tan tan( ) 1 tan tan ab ab ab - -= + 3.2 Công thức nhân đôi, nhân ba sin2 2sin cosa a a= 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin a a a a a = - = - =- 2 2tan tan 2 1 tan a a a = - 3 sin 3 3sin 4sina a a=- 3 cos3 4cos 3cosa a a=- 3.3 Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos .cos 22 a b a b ab +- += cos cos 2sin .sin 22 a b a b ab +- - = - sin sin 2sin .cos 22 a b a b ab +- += sin sin 2cos .sin 22 a b a b ab +- -= 3.4 Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b éù = + + - êú ëû 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b éù = - + - - êú ëû 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b éù = + + - êú ëû 3.5 Công thức hạ bậc 2 1 cos2 cos 2 a a + = 2 1 cos2 sin 2 a a - = Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 2 2 1 cos2 tan 1 cos2 a a a - = + Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 3 BÀI TẬP GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG Ví dụ 1. Cho << Tính , , .sin 0,8 . cos tan cot 2 p a a p a a a æö ÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç èø Giải: Áp dụng công thức: 22 sin cos 1aa+= 2 2 2 cos 1 sin 1 0,8 0,36aaÞ = - = - = cos 0,6aÞ = ± Vì 2 p ap<< nên cos 0a < Do đó cos 0,6a =- sin 0,8 4 tan cos 0,6 3 a a a = = = - - cos 0,6 3 cot sin 0,8 4 a a a - = = = - Ví dụ 2. Tính 2sin 3cos 3sin 2cos xx B xx + = - biết tan 2x =- Giải: sin 2 tan 2 sin 2cos cos cos 0 x x x x x x í ï ï =- ï ï = - Û Û = - ì ï ï ¹ ï ï î 2sin 3cos 2cos 3cos cos 1 3sin 2cos 2cos 2cos 4cos 4 x x x x x B x x x x x + - + - = = = = - - - - Ví dụ 3. Đơn giản biểu thức: 2 2cos 1 sin cos x A xx - = + Giải: 2 2 2 2 2 2cos (sin cos ) cos sin (cos sin )(cos sin ) cos sin sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x A x x x x x x x x - + - - + = = = = - + + + GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT Ví dụ 1. Tính GTLG của các cung (góc): 0 315 Giải: 0 0 0 0 0 2 sin 315 sin( 45 360 ) sin( 45 ) sin 45 2 = - + = - = - = - 0 0 0 0 0 2 cos315 cos( 45 360 ) cos( 45 ) cos45 2 = - + = - = = 00 0 00 sin 315 sin 45 tan 315 1 cos315 cos45 - = = = - 0 0 1 cot 315 1 tan 315 = = - Ví dụ 2. Tính 0 0 0 0 0 cos0 cos20 cos40 cos160 cos180A = + + + + +L Giải: Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 4 Ta có: 00 cos180 cos0=- 00 cos160 cos20=- 00 cos140 cos40=- Do đó: 0A = MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐƠN VỊ ĐỘ VÀ RADIAN Điền các giá trị thích hợp vào ô trống Độ 0 0 0 15 0 30 0 45 0 60 0 75 0 90 0 120 0 150 0 180 Radian Radian 16 p 5 p 3 8 p - 7 4 p 5 6 p - 11 8 p 13 24 p - 4 3 p 12 p - 3 2 p - Độ BIỂU DIỄN CUNG LƢỢNG GIÁC Bài 1. Biểu diễn các cung sau trên đường tròn lượng giác gốc A: 0 30 ; 0 45- ; 0 750 ; 3 p - ; 15 2 p ; 2010 4 p Bài 2. Xác định điểm cuối của cung có số đo: 2k p ; kp ; 2 k p ; 3 k p ; 4 k p ; 2 33 kpp + ; 22 kpp + ; 3 44 kpp -+ ( k Î ¢ ) Bài 3. Cho hai điểm M và N sao cho 6 sd AM p = Ð và 798 k sd AN p = Ð với k Î ¢ . Tìm k Î ¥ sao cho: a) M và N trùng nhau b) M và N đối xứng nhau qua O. GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG Bài 1. Xác định dấu của các giá trị lượng giác hoặc biểu thức: a) sin 4 x p æö ÷ ç ÷ + ç ÷ ç ÷ ç èø ; 3 cos 2 x p æö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç èø ; tan 2 x p æö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç èø ; cot 2 x p æö ÷ ç ÷ + ç ÷ ç ÷ ç èø với 0 2 x p << b) 00 sin 40 .cos( 290 )A =- c) 00 sin( 25 ).cos170B =- d) 32 cot .sin 53 C pp æö ÷ ç ÷ =- ç ÷ ç ÷ ç èø e) 4 4 9 cos .sin .tan .cot 5 3 3 5 D p p p p = Bài 2. Tính các giá trị lượng giác còn lại biết: a) 3 sin 5 a =- với 3 2 p pa<< b) 5 cos 13 x =- với 00 180 270x<< c) tan 3b =- với 3 2 2 p bp<< d) cot 3x =- với 00 90 180x<< Bài 3. Tính giá trị của các biếu thức lượng giác sau: a) Cho tan 2x =- . Tính 1 5cot 4 tan 5cot 4tan xx A xx + = - và 2 2sin cos cos 3sin xx A xx + = - b) Cho cot 2x = . Tính 1 3sin cos sin cos xx B xx - = + và 2 sin 3cos sin 3cos xx B xx - = + c) Cho 3 sin 5 x = với 0 2 x p << . Tính 1 cot tan cot tan xx C xx + = - và 2 tan cos cot xx C x - = Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 5 d) 4 cos 5 x =- với 2 x p p<< . Tính 1 cot tan cot tan xx D xx + = - và 2 sin cot 1 cos x Dx x =+ + Bài 4. Cho 5 sin cos 4 xx+= . Hãy tính giá trị của biểu thức sau: a) sin .cosA x x= b) sin cosB x x=- c) 33 sin cosC x x=- Bài 5. Cho tan cot 3xx-= . Hãy tính giá trị của biểu thức sau: a) 22 tan cotA x x=+ b) tan cotB x x=+ c) 44 tan cotC x x=- Bài 6. Tính sin ,cos , tan ,cotx x x x . Biết rằng: a) sin cos 2xx+= b) sin cos 2xx-= c) tan cot 4xx+= Bài 7. Dùng cung liên kết (không dùng máy tính), hãy tính các giá trị sau: a) 0 sin150 b) 0 cot135 c) cos11p d) sin13p e) 7 cot 6 p f) 16 cos 3 p æö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç èø g) 19 cot 4 p æö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç èø h) 159 tan 4 p æö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç èø i) 115 sin 6 p æö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç èø Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau: a) cos sin cos sin 2 2 2 2 A p p p p a a a a æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ = - + - - + - + ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø b) 3 3 7 7 cos sin cos sin 2 2 2 2 B p p p p a a a a æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ = - - - + - - - ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø c) 73 2cos 3cos( ) sin tan 22 C x x x x pp p æ ö æ ö ÷÷ çç ÷÷ = + - - - + - çç ÷÷ çç ÷÷ çç è ø è ø d) 3 2sin sin(5 ) sin cos 2 2 2 D x x x x p p p p æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ = + + - + + + + ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø Bài 9. Chứng minh các đẳng thức sau: a) 2 2 2 cos sin 1 2sina a a- = - b) 22 2cos 1 1 2sinaa- = - c) 22 3 4sin 4cos 1aa- = - d) sin cot cos tan sin cosa a a a a a+ = + e) 4 4 2 2 sin cos 1 2sin cosa a a a+ = - f) 4 4 2 2 cos sin cos sina a a a- = - g) 33 sin cos sin cos sin cosa a a a a a+= h) 4 4 2 2 sin cos 1 2cos 2sin 1a a a a- = - = - Bài 10. Chứng minh các đẳng thức sau: a) 1 tan cot sin cos xx xx += b) 1 cos sin sin 1 cos xx xx - = + c) 11 1 1 tan 1 cotxx += ++ d) 2 11 1 1 tan 0 cos cos x xx æ öæ ö ÷÷ çç ÷÷ - + + = çç ÷÷ çç ÷÷ çç è øè ø e) 2 2 2 1 sin 1 2tan 1 sin x x x + =+ - f) tan tan tan tan cot cot xy xy xy + = + g) 4 24 21 1 cot sin sin x xx - = - h) cos 1 tan 1 sin cos x x xx += + i) sin 1 cos 2 1 cos sin sin xx x x x + += + Bài 11. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x : a) 4 4 2 cos sin 2sinA x x x= - + b) 4 2 2 2 sin sin cos cosB x x x x= + + c) 4 2 2 2 cos sin cos sinC x x x x= + + d) ( ) ( ) 4 2 4 2 cos 2cos 3 sin 2sin 3D x x x x= - + - e) 6 6 4 4 2 sin cos 2sin cos sinE x x x x x= + - - + f) 2 2 2 2 2 cos cot 5cos cot 4sinF x x x x x= + - + Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 6 Bài 12. Chứng minh rằng nếu A, B,C là ba góc của một tam giác thì: a) sin sin( )B A C=+ b) cos( ) cosA B C+ = - c) sin cos 22 A B C+ = d) cos( ) cos( 2 )B C A C- = - + e) cos( ) cos2A B C C+ - = - f) sin( 2 ) sinA B C B+ + = - g) cot( ) cot 2A B C B- + = - h) 3 cos sin 2 2 A B C A - + + =- Bài 13. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức (không dùng máy tính) a) 0 0 0 0 0 cos0 cos20 cos40 cos160 cos180A = + + + + +L b) 0 0 0 0 0 cos10 cos40 cos70 cos140 cos170B = + + + + +L c) 0 0 0 0 0 tan20 tan 40 tan60 tan160 tan180C = + + + + +L d) 0 0 0 0 0 cot15 cot 30 cot 45 cot150 cot165D = + + + + +L e) 0 0 0 0 0 sin5 sin10 sin15 sin 355 sin 360E = + + + + +L f) 0 0 0 0 cot15 .cot 35 .cot 55 .cot 7 5F = g) 0 0 0 0 tan1 .tan2 .tan3 . .tan 89G = K h) 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 10 sin 20 sin 30 sin 80 sin 90H = + + + + +L i) 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 cos 10 cos 20 cos 30 cos 170 cos 180I = + + + + +L CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC Bài 1. Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của các biểu thức: a) 0 0 0 0 sin12 .cos48 cos12 .sin 48A =+ b) 0 0 0 0 cos38 .cos22 sin 38 .cos22B =- c) 0 0 0 0 sin10 .cos55 cos10 .sin 45C =- d) 0 0 0 0 sin200 .sin 310 cos340 .cos50D =+ e) 0 0 0 0 0 cos11 .cos21 cos69 .cos79 cos10E = + - f) 0 0 0 0 0 cos68 .cos78 cos22 cos12 sin100F = + - Bài 2. Tính giá trị của biểu thức: a) 0 0 1 tan 15 1 tan15 A + = - b) 00 00 tan 25 tan20 1 ta n 25 .tan 20 B + = - c) 0 0 0 0 0 0 0 0 sin10 .cos20 sin20 .cos10 cos17 cos13 sin17 .sin13 C + = - d) 0 0 0 0 0 0 0 0 sin 73 .cos3 sin 87 .cos17 cos132 .cos13 cos42 .cos28 D - = + e) 2 0 2 0 2 0 sin 20 sin 100 sin 140E = + + f) 2 0 2 0 2 0 cos 10 cos 110 cos 130F = + + g) 0 0 0 0 0 0 tan20 .tan 80 tan 80 .tan140 tan140 .tan20G = + + h) 0 0 0 0 0 0 tan10 .tan 70 tan70 .tan130 tan130 .tan190H = + + Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) cos 3 A p a æö ÷ ç ÷ =+ ç ÷ ç ÷ ç èø biết 1 sin 3 a = và 0 2 p a<< b) sin 3 B p a æö ÷ ç ÷ =- ç ÷ ç ÷ ç èø biết 12 cos 13 a =- và 3 2 p pa<< c) tan 3 C p a æö ÷ ç ÷ =+ ç ÷ ç ÷ ç èø biết 3 sin 5 a = và 2 p ap<< d) cot 4 D p a æö ÷ ç ÷ =- ç ÷ ç ÷ ç èø biết 4 sin 5 a =- và 3 2 p pa<< Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 7 Bài 4. Biết 4 sin 5 a = , ( ) 00 0 90a<< và 8 sin 17 b = , ( ) 00 90 180b<< . Hãy tính giá trị của biểu thức cos( )A ab=+ và sin( )B ab=- . Bài 5. Biết 8 sin 17 a = , 5 tan 12 b = và a , b là các góc nhọn. Hãy tính giá trị của các biểu thức sin( )A ab=- , c os( )B ab=+ và tan( )C ab=+ . Bài 6. Rút gọn các biểu thức sau: a) sin( )cos( ) sin( )cos( )A x y x y x y x y= + - + - + b) 0 0 0 0 cos(40 )cos( 20 ) sin(40 )sin( 20 )B x x x x= - + - - + c) 0 0 0 0 sin( 10 )cos(2 80 ) sin( 100 )cos(2 10 )C x x x x= + - + + + d) sin cos sin cos 3 4 4 3 D x x x x p p p p æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ = - - + - - ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø e) 3 cos cos cos cos 3 4 6 4 E x x x x p p p p æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ = - + + + + ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø f) 9 5 5 sin cos sin cos 3 4 4 3 F x x x x p p p p æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ = - - - - + ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø Bài 7. Chứng minh các đẳng thức sau: a) cos sin 2 cos 2 sin 44 x x x x pp æ ö æ ö ÷÷ çç ÷÷ + = - = + çç ÷÷ çç ÷÷ çç è ø è ø b) cos sin 2 cos 2 sin 44 x x x x pp æ ö æ ö ÷÷ çç ÷÷ - = + = - - çç ÷÷ çç ÷÷ çç è ø è ø c) 2 2 2 2 sin( )sin( ) sin sin cos cosx y x y x y y x+ - = - = - d) 2 2 2 2 cos( )cos( ) cos sin cos sinx y x y x y y x+ - = - = - Bài 8. Chứng minh các đẳng thức sau: a) sin sin 2 sin 44 x x x pp æ ö æ ö ÷÷ çç ÷÷ + - - = çç ÷÷ çç ÷÷ çç è ø è ø b) 2 4sin sin 4sin 3 33 x x x pp æ ö æ ö ÷÷ çç ÷÷ + - = - çç ÷÷ çç ÷÷ çç è ø è ø c) 22 tan .tan tan .tan tan .tan 3 3 3 3 3 x x x x x x p p p p æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + = - ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø d) ( ) 32 cos .cos cos .cos 1 3 3 4 6 4 4 x x x x p p p p æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ - + + + + = - ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø Bài 9. Chứng minh các đẳng thức sau: a) cos( ) cot cot 1 cos( ) cot cot 1 a b a b a b a b -+ = +- b) sin( ) sin( ) sin( ) 0 cos cos cos cos cos cos a b b c c a a b b c c a - - - + + = c) 22 22 sin( )sin( ) tan tan cos cos a b a b ab ab +- =- d) 22 22 cos( )cos( ) 1 tan tan cos cos a b a b ab ab +- =- Bài 10. Chứng minh các biểu thức sau độc lập với biến x a) 2 sin cos cos 33 A x x x pp æ ö æ ö ÷÷ çç ÷÷ = + - + çç ÷÷ çç ÷÷ çç è ø è ø b) 2 2 2 cos cos cos 33 B x x x pp æ ö æ ö ÷÷ çç ÷÷ = + - + + çç ÷÷ çç ÷÷ çç è ø è ø b) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 8 c) 2 2 2 22 sin sin sin 33 C x x x pp æ ö æ ö ÷÷ çç ÷÷ = + - + + çç ÷÷ çç ÷÷ çç è ø è ø d) 2 2 2 22 cos cos cos 33 D x x x pp æ ö æ ö ÷÷ çç ÷÷ = + + + - çç ÷÷ çç ÷÷ çç è ø è ø Bài 11. Tính giá trị các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi) a) 00 cos36 cos72A = b) 2 cos cos 55 B pp = c) sin cos cos 884 C ppp = d) sin cos cos 16 16 8 D p p p = e) 000 sin10 sin50 sin 70E = f) 24 cos cos cos 7 7 7 F p p p = g) 45 cos cos cos 7 7 7 G p p p = h) 0 0 0 0 sin6 cos12 cos24 cos48H = Bài 12. Biến đổi thành tích các biểu thức sau: a) 1 cos cos2 cos3x x x+ + + b) sin sin3 sin7 sin5x x x x- + - c) sin sin2 sin5 sin8x x x x- + + d) cos10 cos8 cos6 1x x x + e) cos9 cos7 cos3 cosx x x x- + - f) cos7 sin 3 sin2 cos3x x x x+ + - . Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1 CHƢƠNG VI. CUNG VÀ GÓC LƢỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC 1. Các hệ thức lƣợng giác cơ bản 22 sin cos 1aa+= sin tan cos a a a = cos cot sin a a a = . lƣợng giác của cung góc có liên quan đặc biệt 2.1 Cung đối nhau: a và a- cos( ) cosaa-= sin( ) sinaa- = - tan( ) tanaa- = - cot( ) cotaa- = - 2.2 Cung bù nhau: a và pa- . BIỂU DIỄN CUNG LƢỢNG GIÁC Bài 1. Biểu diễn các cung sau trên đường tròn lượng giác gốc A: 0 30 ; 0 45- ; 0 750 ; 3 p - ; 15 2 p ; 2010 4 p Bài 2. Xác định điểm cuối của cung có số đo: