PHÒNG GD&ĐT NGHI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2010 - 2011 - MÔN TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4,5 điểm) a) Tìm n ∈ N để A là số nguyên tố biết A = n 3 - n 2 - n - 2 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m, n thì mn(m 2 – n 2 ) M 6 Bài 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức P = ( ) ( ) 3 1 2 5 4 2 2 3 1 2 3 1 x x x x x x x x − − + + − − + − + − a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để P = 4 3 Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải hệ phương trình : =−−+ +=−++ xyx xyx 2323 42323 b) Giải phương trình: 31x2x 3 =++− Bài 4: (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: F = 13 618 12 28 + − + + − x x x x Bài 5: (6,5 điểm) Cho điểm M thuộc đường tròn (O) đường kính AB (M ≠ A; M ≠ B) và MA < MB. Tia phân giác của góc AMB cắt AB ở C. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt các đường thẳng AM và BM lần lượt tại D và H. a) Chứng minh hai đường thẳng AH và BD cắt nhau tại điểm N nằm trên đường tròn (O). b) Chứng minh CA = CH. c) Gọi E là hình chiếu của H trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), F là hình chiếu của D trên tiếp tuyến tại B của đường tròn (O). Chứng minh 3 điểm E; M; F thẳng hàng. d) Gọi S 1 ; S 2 là diện tích các tứ giác ACHE và BCDF. Chứng minh CM < . HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM TOÁN 9 KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2010-2011 Bµi 1: (4,5 ®iÓm) C©u a) (2,0 ®) Ph©n tÝch A = n 3 - 2n 2 + n 2 - 2n + n - 2 = (n - 2) (n 2 + n + 1) Do n - 2 < n 2 + n + 1 ∀n ∈ N VËy A lµ sè nguyªn tè ⇔ ++ =− tènªnguysèlµ1nn 12n 2 ⇔ =++= = 13133A 3n 2 lµ sè nguyªn tè VËy víi n = 3 th× A lµ sè nguyªn tè 0,75® 0,25® 0,5® 0,5® Câu b) (2,5 đ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 . ( ) 1 1 1 1 1 1m n m n mn m n mn m m mn n n − = − − − = − + − − + 0.5 đ Vì m(m-1) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên M 2 ⇒ m(m – 1)(m + 1) M 2 0,5 đ m(m – 1)(m + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 mà (2;3)=1. Do đó m(m – 1)(m+1) M 6 ⇒ nm(m – 1)(m + 1) M 6 (1) 0,5 đ Tương tự n(n – 1)(n + 1) M 6 ⇒ mn(n – 1)(n +1) M 6 (2) 0,5 đ Từ (1)(2) ⇒ 2 2 ( ) 6mn m n − M với mọi số nguyên m, n 0,5 đ Bài 2: (3,0 điểm) ĐKXĐ của biểu thức P là: x › 0và x 9 1 ≠ 0,25 a) P = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 2 5 4 2 2 3 1 x x x x x x x − − − + − + + + − 0,5 P = ( ) ( ) 3 10 3 2 3 1 x x x x − + + − 0,5 P = 2 3 + − x x 0,75 b) P = 3 3 4 2 x x − ⇒ + = ( ) ( ) 3423 −=+⇒ xx 0,5 32418 =⇒= xx TMĐK 0,5 Bi 3: (4,0 im) a) (2,0 im)Vi iu kin 2 3 x ; 2 3 y 0,25 Tr v theo v ta c phng trỡnh 223 = y 3 2y = 4 y = 2 1 (t/món) 0,5 Cng hai phng trỡnh ca h ó cho ta c phng trỡnh x23+ = x+2 0,25 3+2x = (x +2) 2 x 2 +2x +1 = 0 0,5 (x+1) 2 = 0 x =-1(tha món) 0,25 Vy h phng trỡnh cú nghim l (x; y) = (-1 ; 2 1 ) 0,25 b) (2,0đ) Giải phơng trình a. 3 2 1 3 : 1x x dK x + + = Đặt )0v(v1x,u2x 3 =+= =>u 3 = x - 2, v 2 = x+1 => v 2 - u 3 = (x + 1) - (x - 2) = 3 => v 2 - u 3 = 3(1) u + v = 3 (2) Rút v = 3 - u từ (2) thay vào (1) => (3 - u) 2 - u 3 = 3 9 - 6u + u 2 - u 3 = 3 => u 3 - u 2 + 6u - 6 = 0 => u 2 (u - 1) + 6 (u - 1) = 0 => (u - 1) (u 2 + 6) = 0 u - 1 = 0 do u 2 + 6 > 0 u => u = 1; v = 2. Thay 12xu2x 33 ==>= x - 2 = 1 x = 3 (TMĐK) Vậy pt có 1 nghiệm x = 3; 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bi 4: (2,0 im) k : x 0 , 0,25 Ta cú: F- 5= ( 12 28 + x x - 2) +( 13 618 + x x - 3) 0,75 = 12 )1(4 2 + x x + 13 )1(9 2 + x x 0,5 Lớ lun i n F 5 0 kt lun F max = 5 ti x=1 0,5 Câu 5: 6,5 đ a)Do M ∈ (O) o BMA 90 ˆ =⇒ suy ra H là trực tâm ∆ AMB (0,75 đ) d) Hình chữ nhật ACHE có CA = CH nên ACHE là hình vuông Tam giác ANB vuông ở N có góc NAB = 45 0 0 45 ˆ =⇒ ABN suy ra BCDF là hình vuông 0,5 đ Suy ra tam giác ECF vuông ở C S 1 =1/2 CE 2 ; S 2 = ½ CF 2 0,25 đ 2222222 2 1 . 2 1 2 1 . 1 2 111 CBCACFCECFCECM =≥+= 21 21 1 2 1 . 2 1 2 SS SS == 0,5 đ Suy ra 21 2 21 2 11 SSCM SS CM ≤⇒≥ ( vì MA < MB nên dấu "=" không xảy ra). 0,25 đ Lu ý: ( Chö trªn h×nh viÕt tay) A O Do đó AN ⊥ BD ⇒ 0 90 ˆ =BNA vậy N ∈ (O) 0,75đ b) MC là phân giác của tam giác AMB nên ta có: MB MA CB CA = 0,75 đ Mặt khác ∆ BCH ∆ BMA nên ta có: CB CH MB MA MB BC MA CH =⇒= 0,75 đ vậy ⇒= CB CH CB CA CA =CH 0,5 đ c) MI = 0 90 ˆ 2 1 2 1 =⇒= EMCCEAH 0,75 đ MK = 0 90 ˆ 2 1 2 1 =⇒= FMCCFBD suy ra 3 điểm E; M; F thẳng hàng 0,75 . GD&ĐT NGHI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2010 - 2011 - MÔN TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4,5 điểm) a) Tìm n ∈ N để A là số nguyên tố biết A = n 3 - n 2 - n - 2 b) Chứng. VÀ THANG ĐIỂM TOÁN 9 KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 201 0- 2011 Bµi 1: (4,5 ®iÓm) C©u a) (2,0 ®) Ph©n tÝch A = n 3 - 2n 2 + n 2 - 2n + n - 2 = (n - 2) (n 2 + n + 1) Do n - 2 < n 2 . v 2 - u 3 = (x + 1) - (x - 2) = 3 => v 2 - u 3 = 3(1) u + v = 3 (2) Rút v = 3 - u từ (2) thay vào (1) => (3 - u) 2 - u 3 = 3 9 - 6u + u 2 - u 3 = 3 => u 3 - u 2 + 6u - 6 =