sở giáo dục và đào tạo quảng ninh kỳ thi tuyển sinh lớp 10 trờng thpt chuyên hạ long năm học 2009 2010 đề thi chính thức Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán và chuyên Tin) Ngày thi : 30/6/2009 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Chữ ký GT 1 : Chữ ký GT 2 : (Đề thi này có 01 trang) Bài 1. (2,0 điểm) Cho phơng trình: ( ) 2 x 2 m 2 x 6m 1 0 + + + = với x là ẩn, m là tham số. a) Chứng minh rằng phơng trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Tìm điều kiện của m để phơng trình trên có hai nghiệm lớn hơn 2. Bài 2. (3,0 điểm) a) Cho a, b là hai số dơng thỏa mn a ab 6b 0 = . Tính giá trị của biểu thức : a b P a ab b + = + + b) Giải hệ phơng trình: 2 2 x 3y 2 9y 8x 8 = = Bài 3. (1,0 điểm) Cho các số thực a, b thỏa mn a b 0 + . Chứng minh rằng 2 2 2 1 ab a b 2 a b + + + + Bài 4. (3,0 điểm) Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Vẽ đờng thẳng (d) qua A cắt (O) tại C và cắt (O) tại D sao cho A nằm giữa C và D. Tiếp tuyến của (O) tại C và tiếp tuyến của (O) tại D cắt nhau ở E. a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp. b) Chứng minh: BE.DC = CB.ED + BD.CE . Bài 5. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC, trên tia BA lấy M, trên tia đối của tia CA lấy N sao cho BM= CN. Chứng minh rằng đờng trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định. Hết (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Hớng dẫn chấm thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên Hạ Long năm học 2009 2010 Bài Lời giải sơ lợc điểm ( ) ( ) 2 2 ' m 2 6m 1 m 2m 3 = + + = + 0,25 ( ) 2 m 1 2 0 = + > với mọi m. 0,5 1.a 1,0đ Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 0,25 Đặt x 2 t = phơng trình ( ) 2 x 2 m 2 x 6m 1 0 + + + = (1) trở thành 2 t 2mt 2m 3 0 + = (2) vì PT (1) có nghiệm với mọi m nên PT (2) có nghiệm với mọi m. 0,25 Xét (2) có hai nghiệm 1 2 t ;t theo ĐL Vi- ét có: 1 1 1 1 t t 2m; t t 2m 3 + = = 0,25 (1) có hai nghiệm lớn hơn 2 (2) có hai nghiệm dơng 1 2 1 2 m 0 t t 2m 0 3 m 3 2 t t 2m 3 0 m 2 > + = > > = > > 0,25 1.b 1,0đ Vậy khi 3 m 2 > thì phơng trình ( ) 2 x 2 m 2 x 6m 1 0 + + + = có hai nghiệm lớn hơn 2 0,25 ( ) ( ) ( )( ) a ab 6b 0 a 3 ab 2 ab 6b 0 a a 3 b 2 b a 3 b 0 a 3 b a 2 b 0 = + = + = + = 0,5 vì a, b dơng a 2 b 0 + > a 3 b a 9b = = 0,5 2.a 1,5đ Thay a 9b = vào P, tính đợc 10 P 13 = 0,5 ( ) ( ) 2 2 2 2 x 3y 2 1 4x 12y 8 9y 8x 8 2 9y 8x 8 = = = = 2 2 4x 9y 12y 8x 0 + = 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2x 3y 2x 3y 4 2x 3y 0 2x 3y 2x 3y 4 0 + + = + + = 2x 3y 0 hoặc 2x 3y 4 0 = + + = 0,5 *) 2x 3y 0 = thay vào phơng trình (1) đợc 2 x 2x 2 0 = 1 1 2 2 2 2 3 x 1 3 y = ; 3 2 2 3 x 1 3 y 3 = + = + = 0,25 **) 2x 3y 4 0 + + = thay vào phơng trình (1) đợc 2 x 2x 2 0 + + = Phơng trình vô nghiệm. 0,25 2.b 1,5đ Vậy hệ có hai nghiệm: ( ) 1 1 2 2 3 x ;y 1 3; 3 = ; ( ) 2 2 2 2 3 x ;y 1 3; 3 + = + 0,25 Đặt a b u ; a.b v + = = Bất đẳng thức trở thành: 2 2 1 v u 2v 2 u + + 0,25 ( ) 2 2 2 2 2 1 v 1 v u 2v 2 u 2v 2 u u + + + + ( ) 2 4 2 2 u 2u v 1 v 2u 0 + + ( ) ( ) 2 4 2 u 2u 1 v 1 v 0 + + + ( ) 2 2 u 1 v 0 + 0,5 3 1,0đ BĐT cuối cùng đúng suy ra điều phải chứng minh 0,25 4 E D B A O O' C 1 ABD ADE sđAD 2 = = của (O); 1 ABC ACE sđAC 2 = = của (O) 0,5 0 CED CBD CED ABD ABC CED ACE ADE 180 + = + + = + + = ( tổng ba góc trong tam giác ECD) 0,5 4.a 1,5đ Vậy tứ giác BDEC nội tiếp 0,5 Vì tứ giác BCED nội tiếp CEB CDB = ; EBC EDC = mà EDC ABD = nên EBC ABD = 0,5 tam giác EBC và tam giác DBA đồng dạng EC DA EC.DB DA.EB EB DB = = (1) 0,25 tơng tự chứng minh đợc tam giác EBD và tam giác CBA đồng dạng ED CA ED.CB CA.EB EB CB = = (2) 0,25 4.b 1,5đ Từ (1) và (2) đợc ( ) EC.DB ED.CB DA.EB CA.EB DA CA EB CD.EB + = + = + = (Đpcm) 0,5 I O N B A C M Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC, Gọi I là điểm chính giữa của cung BC không chứa A 0,25 Xét hai tam giác MBI và NCI có: BM = CN (gt) MBI NCI = ( cùng bù với ACI ) IB = IC ( vì I là điểm chính giữa cung BC) ( ) MBI NCI c.g.c = 0,5 5 1,0đ IM IN = Vậy I thuộc trung trực của MN, mà I cố định => ĐPCM 0,25 Các chú ý khi chấm 1. Hớng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lợc một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới đợc cho điểm tối đa. Trong các phần có liên quan với nhau, nếu học sinh làm sai phần trớc thì phần sau liên quan với nó dù làm đúng cũng không cho điểm. Trờng hợp sai sót nhỏ có thể cho điểm nhng phải trừ điểm chỗ sai đó. Không cho điểm lời giải bài hình nếu học sinh không vẽ hình. 2. Với các cách giải đúng nhng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhng không đợc vợt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải đợc trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ. 3. Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đ chấm, không làm tròn điểm. . kỳ thi tuyển sinh lớp 10 trờng thpt chuyên hạ long năm học 2009 2010 đề thi chính thức Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán và chuyên Tin) Ngày thi : 30/6 /2009 Thời. cố định. Hết (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Hớng dẫn chấm thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên Hạ Long năm học 2009 2010 Bài Lời. cho điểm lời giải bài hình nếu học sinh không vẽ hình. 2. Với các cách giải đúng nhng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhng không đợc vợt quá số điểm dành cho câu