Chuyên đề phương trình, hệ phương trình phòng giáo dục cam lâm

Phòng Giáo Dục Cam Lâm HSG Toán 9 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp. Bài 1:Gpt: 2 2 2 2 2 2 4 10. 11. 0. 1 1 1 x x x x x x − + −       + − =  ÷  ÷  ÷ + − −       Giải: Đặt 2 2 ; 1 1 x x u v x x − + = = + − (1). Ta có: 10.u 2 + v 2 -11.uv = 0 ⇔ (u-v).(10u-v)=0 ⇔ u=v hoặc 10u=v. Xét các trường hợp thay vào (1) ta tìm được x một cách dễ dàng. Bài 2:Gpt: (x 2 - 4x+3).(x 2 - 6x + 8)=15. Giải: Đặt x 2 - 5x + 5 = u (1). Ta có: (x 2 - 4x+3).(x 2 - 6x + 8)=15 ⇔ (x-1).(x-3).(x-2).(x-4)-15=0 ⇔ (x-1).(x-2).(x-3).(x-4)-15=0 ⇔ (x 2 -5x+4).(x 2 -5x+6)-15=0 ⇔ (u-1).(u+1)-15=0 ⇔ u 2 -16=0 ⇔ u= ± 4. Thay các giá trị của u vào (1) ta dễ dàng tìm được x. Bài 3:Gpt: 2 90. 1 1 x x x x     + =  ÷  ÷ + −     Giải:PT ⇔ 2 2 2 1 1 . 90 ( 1) ( 1) x x x   + =   + −   . 2 2 2 2 2 2 . 90 ( 1) x x x + ⇔ = − . Đặt u = x 2 ( u ≥ 0) (1). Ta có: 2 2 2 2 2 . 90 2 2 90.( 1) ( 1) u u u u u u + = ⇔ + = − − ( u ≠ 1). ⇔ 09018288 2 =+− uu . Từ đây ta dễ dàng tìm được u, thay vào (1) ta tìm được x. Bài 4:Gpt: 3 3 3 2 3 12.( 1)x x x+ − = − . Giải: Đặt 3 3 ; 2 3x u x v= − = (1). 1 Phòng Giáo Dục Cam Lâm HSG Toán 9 Có: ).(4).(3).(4 3333 3 33 vuvuuvvuvuvu +=+++⇔+=+    = −= ⇔=−+⇔=+−+⇔ vu vu vuvuvuvuvu 0)).(.(30)2).(.(3 222 Xét các trường hợp thay vào (1) ta dễ dàng tìm được x. Bài 5:Gpt: x x xxx 3 22 1 2335 2 23 +=+−++ (1). Giải: Từ (1) suy ra: 162335.2 223 −+=−++ xxxxx xxxxxxxx 122121368121220 232423 −−+++=−++⇒ 0924228 234 =+−+−⇒ xxxx (x ≠ 0). 0 924 228 2 2 =+−+−⇒ x x xx . Đặt y x x =+ 3 (*) ta có: y 2 - 8y + 16 = 0 suy ra y = 4 thay vào (*) ta dễ dàng tìm được x. Bài 6:Gpt: ( ) ).1(018 4 1 ).4.(3)4.(1 =− − + −+−+ x x xxx Giải: Điều kiện x > 4 hoặc x < -1. *Nếu x > 4, (1) trở thành: 018)4).(1(.3)4).(1( =−−++−+ xxxx Đặt 0)4).(1( ≥=−+ yxx (2) ta có: y 2 + 3y -18 = 0. Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (2) ta tìm được x. *Nếu x < -1, (1) trở thành: 018)4).(1(.3)4).(1( =−−+−−+ xxxx Đặt 0)4).(1( ≥=−+ yxx (3) ta có: y 2 - 3y -18 = 0. Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (3) ta tìm được x. Bài 7 Gpt:(2x 2 - 3x +1).(2x 2 + 5x + 1)=9x 2 (1). Giải: (1) 0122044 234 =++−+⇔ xxxx (x ≠ 0).Chia cả hai vế cho x 2 ta được : ⇔ 4x 2 + 4x -20 + 2 12 x x + = 0. ⇔ 024 1 2.2 1 2 2 =−       ++       + x x x x . Đặt y = x x 1 2 + .(2) Ta có: y 2 + 2y -24 = 0. Từ đó ta tìm được y,thay vào (2) ta dễ dàng tìm được x. 2 Phòng Giáo Dục Cam Lâm HSG Toán 9 Bài 8:Gpt: .0168.26416 222 =++−−+− xxxxx Giải:PT .04.28 =+−−−⇔ xxx Đến đây ta xét từng khoảng ,bài toán trở nên đơn giản. Bài 9:Gpt: (1 + x + x 2 ) 2 = 5.(1 + x 2 + x 4 ). Giải: 423242 5552221 xxxxxxx ++=+++++⇔ 4 3 2 4 3 2 4 2 2 2 4 0 2 2 0x x x x x x x x⇔ − + − + = ⇔ − + − + = Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, vậy x ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình trên cho x 2 ta được: 2x 2 - x + 1 - 0 21 2 =+ x x . Đặt y = x x 1 + (*). Ta có: 2y 2 - y - 3 = 0.Từ đó ta dễ dàng tìm được y, thay vào (*) ta tìm được x. Bài 10: Gpt: (6-x) 4 + (8-x) 4 = 16. Giải: Đặt 7 - x = y (*). Ta có: (y-1) 4 + (y + 1) 4 =16 ⇔ 2y 4 +12 y 2 +2 = 16 ⇔ 2.(y-1).(y+1).(y 2 +7)=0 ⇔ y =1 hoặc y = -1. Thay các giá trị của y tìm được ở trên thay vào (*) ta dễ dàng tìm được các giá trị của x.  Tìm các nghiệm nguyên (x;y) hoặc (x;y;z) của các phương trình sau: Bài 1: x 2 = y.(y+1).(y+2).(y+3) Giải: Đặt y 2 + 3y = t. Ta có: x 2 = y.(y+1).(y+2).(y+3) = (y 2 + 3y).(y 2 + 3y +2) = t 2 + 2t. *Nếu t > 0 thì t 2 < x 2 = t 2 + 2t < (t+1) 2 suy ra không tồn tại x thỏa mãn. *Nếu t < -2 thì 2t + 4 < 0 nên t 2 + 2t > t 2 + 4t + 4 suy ra t 2 + 2t > t 2 + 4t + 4 = (t+2) 2 . Suy ra: x 2 = t 2 + 2t > (t + 2) 2 (*). Lại có: t 2 +2t < t 2 suy ra x 2 < t 2 (**). Từ (*)&(**) suy ra (t + 2) 2 < x 2 < t 2 suy ra x 2 = (t+1) 2 suy ra t 2 +2t = (t +1) 2 (=x 2 ) Suy ra : t 2 +2t = t 2 +2t +1 (Vô lý). *Nếu t = -1 suy ra x 2 = t 2 +2t = -1 <0 (Vô lý). 3 x -∞ 0 4 8 +∞ x-8 - - - 0 + x-4 - - 0 + + x - 0 + + + Phòng Giáo Dục Cam Lâm HSG Toán 9 *Nếu t = 0 suy ra x = 0 ⇒ y = 0 hoặc -1 hoặc -2 hoặc -3 . Bài 2: 2 2 (1) 2 2 1 (2) x y z x xy x z − + =   − + − =  Giải: Từ (2) ta có: 2x 2 - xy+x-2z =1 kết hợp với (1) ta có: 2x 2 - xy+x-2.(2 - x + y)=1 ⇔ 2x 2 -xy +3x-2y-5=0 .7,1227 2 7 1 2 53 2 ±±=+⇒+⇒Ζ∈ + −+= + −+ =⇔ xx x x x xx y  Từ đó ta tìm được x ⇒ tìm được y ⇒ tìm được z. Bài 3:    =−− =−− )2(1 )1(3 222 zyx zyx Giải: Thay (1) vào (2) ta được: (y + z -3) 2 -y 2 -z 2 =1 ⇔ yz - 3y - 3z = -4 ⇔ (y-3).(z-3) = 5 = 1.5 = (-1).(-5) = 5.1=(-5).(-1. Từ đó ta tìm được y và z ⇒ tìm được x. Bài 4: 2xy + x + y = 83. Giải:PT ⇔ .167,11212167 12 167 1 12 2166 2 12 83 ±±=+⇒+⇒Ζ∈ + +−= + − =⇔ + − = yy yy y x y y x  Từ đó ta tìm được y ⇒ tìm được x. Bài 5: .3=++ y zx x yz z xy Giải:Điều kiện : x,y,z ≠ 0. Nhận xét:Trong ba số x,y,z luôn tồn tại hai số cùng dấu (Theo nguyên tắc Đirichlê có 3 số -3 thỏ mà chỉ có hai chuồng-mọi số nguyên khác 0 chỉ mang dấu âm hoặc dấu dương) Ta có thể giả sử x,y cùng dấu với nhau.Suy ra x.y = xy > 0 và .0, > x y y x Đặt A= .3=++ y zx x yz z xy Giả sử z <0 khi đó 3 = A = 0000 =++<++ y zx x yz z xy (Vô lý). Vậy z >0.Ta có: A = 3 3 .3 3 3 zxy x y z y x z z xy y x z x y z z xy y zx x yz z xy =≥++==++    −=== === ⇒==⇒≥⇒ 1,1 1,1 1,1.1 yxz yxz xyzzxy Bài 6: 2x 2 - 2xy = 5x + y - 19. Giải:Từ bài ra ta có: .17,1121217 12 17 2 12 1952 2 ±±=+⇒+⇒Ζ∈ + ++= + ++ = xx x x x xx y  Từ đó ta tìm được x ⇒ tìm được y. B. Giải hệ phương trình và các phương trình khác. 4 Phòng Giáo Dục Cam Lâm HSG Toán 9 Bài 1: .2 2 11 2 = − + x x Giải:Điều kiện : 2,0 <≠ xx . -Nếu x < 0 thì < − + 2 2 11 x x .2 2 1 2 1 2 <≤ − x Vậy ta xét x > 0: Đặt x = a và bx =− 2 2 (a,b > 0). Ta có:      =+ =+ 2 2 11 22 ba ba Có: 1 1 .2 11 2 ≥⇒≥+= ab abba (1). Lại có: 2 = a 2 + b 2 ≥ 2ab suy ra 1 ≥ ab (2). Từ (1)&(2) suy ra ab = 1 mà a 2 + b 2 =2 nên suy ra (a+b) 2 = 4 suy ra a + b = 2. Vậy ta có: 11 2 1 =⇒==⇒    =+ = xba ba ab . Bài 2: .51632414 4222 +−−=−−++++− yxyyxxx Giải: Điều kiện:        ≥− ≥−−+ ≥+ ≥− )4(016 )3(032 )2(041 )1(04 4 22 2 x yyx x x Từ (4) suy ra x 2 ≥ 4 kết hợp với (1) suy ra x 2 = 4 kết hợp với (2) suy ra x = 2. Phương trình đã cho trở thành: 51 +−=− yy . Lúc này việc tìm y không còn khó khăn gì nữa (Lập bảng xét dấu). Bài 3: 2x 4 -21x 3 + 74x 2 -105x +50 =0. Giải: Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Vậy x ≠ 0.Chia cả hai vế của phương trình đã cho cho x 2 ta được: 026 25 .21 25 .20 50105 74212 2 2 2 =−       +−       +⇔=+−+− x x x x x x xx Đặt y x x =+ 25 ta có: 2y 2 -21.y - 26 = 0.Từ đó ta tìm được y ⇒ tìm ra x. 5 Phòng Giáo Dục Cam Lâm HSG Toán 9 Bài 4:      =−++ =−−+ 71.41 511.2 xx xx Giải: Đặt :      ≥−= ≥+= 01 01 xb xa Hệ đã cho trở thành:    =+ =− 74 52 ba ba Từ đó tìm được a =3,b =1. Đến đây việc tìm ra x không còn khó khăn nữa. Bài 5:      −+= =−+− )2(15 )1(151 xy yx Giải: Thay biểu thức (2) vào phương trình (1) ta có: 11.215151 =−⇔=−−++− xxx . Từ đó ta tìm được x.Việc tìm giá trị của y cũng không có gì khó khan nữa. Bài 6:      =+−+− =−+−+− )2(0332 )1(02445124152 22 22 xyxyyx yxyxyx Giải: Phương trình (2) phân tích được như sau: (x - y).(x -3 + 2y) = 0    −= = ⇔ yx yx 23 Xét các trường hợp thay vào phương trình (1) ta dễ dàng tìm được x và y. Bài 7: x 3 + (3-m).x 2 + (m-9).x + m 2 -6m + 5 = 0. Giải: Phương trình đã cho phân tích được như sau: [ ] [ ] 0)1(2.)5( 2 =−−−−− mxxmx . Đến đây việc giải và biện luận phương trình không còn khó khăn gì nữa. Bài 8:    =++ =++ xyzzyx zyx 444 1 Giải: Bổ đề: .:,, 222 cabcabcbaRcba ++≥++∈∀ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. (Dễ dàng chứng minh được bổ đề trên). Sử dụng bổ đề ta có: xyz = x 4 + y 4 + z 4 ≥ x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ≥ xyz.(x + y + z) = xyz. 6 Phòng Giáo Dục Cam Lâm HSG Toán 9 Suy ra các dấu bất đẳng thức ở trên đều phải trở thành đẳng thức tức là ta phải có: x = y =z kết hợp với giả thiết ban đầu :x + y + z =1 ta được: 3 1 === zyx . Bài 9: ( )      +++−=− =+ )2)(2001.( )1(1 2000 20001999 1999 22 xyyxxyyx yx Giải: Điều kiện: x,y .0≥ Nhìn nhận phương trình (2) ta thấy: -Nếu x > y thì: VT > 0, VP < 0 suy ra: VT > VP. -Nếu y > x thì: VT <0, VP >0 suy ra: VT < VP. -Nếu x = y khi đó: VT =VP =0. Kết hợp với (1) (Chú ý:x,y .0 ≥ ) ta được: 2 1 == yx . Bài 10: 2.2252.3252 =+−−+−−+ xxxx (1). Giải: (1) ( ) ( ) 2.2332. 2 1 152. 2 1 22 =−−++−⇔ xx 4352152 =−−++−⇔ xx Ta có: .41525231525234 =+−+−−≥+−+−−= xxxx Vậy dấu bất đẳng thức ở trên phải trở thành dấu đẳng thức tức là: 2 5 7 529 052 0523 ≥≥⇔    −≥ ≥− ⇔≥−− x x x x Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:       ∈ 7; 2 5 x . C. Các bài toán hay Bài toán 1 : Giải phương trình 2 2 10 12 40x x x x− + − = − + Bổ đề : Với 0; 0a b≥ ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2a b a b a b a b a b a b+ = + ≤ + + − ⇒ + ≤ + Giải: Điều kiện : 2 10x ≤ ≤ , Ta có ( ) 2 10 2 2 10 4x x x x− + − ≤ − + − = mà ( ) ( ) 2 2 2 12 40 12 36 4 6 4 4x x x x x− + = − + + = − + ≥ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 10 6 6 0 x x x x − = −  ⇔ =  − =  . Vậy phương trình có nghiệm x = 6 Hoặc: Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có ( ) ( ) 2 .4 10 .4 2 4 10 4 2 10 4 2 2 4 4 x x x x x x − − − + − + − + − = + ≤ + = . 7 Phòng Giáo Dục Cam Lâm HSG Toán 9 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 4 6 10 4 x x x − =  ⇔ =  − =  . Bài toán 2: Giải phương trình: 2 2 2 1 1 2x x x x x x+ − + − + = − + Vì 2 1 0x x+ − ≥ và 2 1 0x x− + ≥ nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si mỗi số hạng của vế trái ta được: ( ) 2 2 2 1 1 1 .1 2 2 x x x x x x + − + + + − ≤ = (1) ( ) 2 2 2 1 1 2 1 .1 2 2 x x x x x x − + + − + − + ≤ = (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có: 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 x x x x x x x x x + − + + − + − + ≤ + = + nên theo đề ta có : ( ) 2 2 2 1 1 0x x x x− + ≤ + ⇒ − ≤ . Đẳng thức xảy ra khi x = 1 . Thử lại ta thấy x = 1 thoả . Vậy phương trình có nghiệm là x = 1. Bài toán 3 : Giải phương trình: 2 2 3 5 2 3 12 14x x x x− + − = − + (1) Điều kiện tồn tại phương trình: 3 2 3 0 3 5 2 5 2 0 5 2 2 2 x x x x x  ≥  − ≥   ⇔ ⇔ ≤ ≤   − ≥   ≤   (*) Vế phải của (1): ( ) ( ) 2 2 2 3 12 14 3 4 4 2 3 2 2 2x x x x x− + = − + + = − + ≥ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 2. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki thoả mãn (*) thì vế trái của phương trình (1): ( ) ( ) 2 2 2 3 5 2 1 1 2 3 5 2 4 2x x x x− + − ≤ + − + − = = . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 3 5 2 2x x x− = − ⇔ = . Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của phương trình. Hoặc Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có: ( ) ( ) 2 3 1 5 2 1 2 3 .1 5 2 .1 2 2 2 x x x x − + − + − + − ≤ + = . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 3 1 2 5 2 1 x x x − =  ⇔ =  − =  . Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của phương trình. Bài toán 4 : Giải phương trình: 2 2 2 2 3 2 1 3 3x x x x x x− + = − + + − . (1) Giải: Điều kiện 2 2 2 0 1 3 3 0 x x x x  − ≥   + − ≥   (2). Vế trái của phương trình (1): ( ) 2 2 2 3 1 2 2x x x− + = − + ≥ với mọi x ∈R . đẳng thức xảy ra khi x = 1. Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki với mọi x thoả mãn (2) thì vế phải của phương trình (1) thoả: 8 Phòng Giáo Dục Cam Lâm HSG Toán 9 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 3 1 1 2 1 3 3 2 4 2 4 1 2x x x x x x x x x x x− + + − < + − + + − = + − = − − ≤ . đẳng thức xảy ra khi 2 2 2 1 3 3x x x x− = + − . Để đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) thì cả hai vế của phương trình (1) đều bằng 2. Nên x = 1. Thử lại thấy x = 1 là nghiệm của phương trình. Bài toán 5 : Giải phương trình: ( ) 3 2 5 1 2 2x x+ = + (1) Giải: Điều kiện ( ) ( ) 3 2 1 0 1 1 0x x x x+ ≥ ⇔ + − + ≥ Do 2 1 0x x− + ≥ với mọi x nên 1 0 1x x + ≥ ⇔ ≥ − Đặt 1a x= + ; 2 1b x x= − + với 0 ; 0a b≥ > . Nên phương trình (1) trở thành : ( ) 2 2 2 5 2 2 5 2 0. a a ab a b b b     = + ⇔ − + =  ÷  ÷     Giải phương trình này được 2 a b = hoặc 1 2 a b = Với 2 a b = thì phương trình (1) vô nghiệm Với 1 2 a b = thì 2 2 1 2 1 1 5 3 0 x x x x x x ≥ −  + = − + ⇔  − − =  . Phương trình có hai nghiệm thoả điều kiện 1 5 37 2 x − = ; 2 5 37 2 x + = . Bài toán 6: Giải phương trình: 42 60 6 5 7x x + = − − (1) Phương trình (1) có nghĩa khi x < 5 nên ( ) 42 60 1 3 3 0 5 7x x     ⇔ − + − =  ÷  ÷  ÷  ÷ − −     42 42 60 60 3 3 3 3 5 5 7 7 0 42 60 3 3 5 7 x x x x x x       − + − +  ÷ ÷  ÷ ÷ − − − −       ⇔ + =     + +  ÷  ÷ − −     42 60 9 9 5 7 0 42 60 3 3 5 7 x x x x − − − − ⇔ + =     + +  ÷  ÷ − −     ( ) ( ) ( ) ( ) 9 5 42 9 7 60 0 42 60 5 3 7 3 5 7 x x x x x x − − − − ⇔ + =     − + − +  ÷  ÷ − −     ( ) ( ) ( ) 1 1 3 1 3 0 42 60 5 3 7 3 5 7 x x x x x       ⇔ − + =         − + − +  ÷  ÷ − −         ( ) 3 1 3 0x⇔ − = vì ( ) ( ) 1 1 42 60 5 3 7 3 5 7 x x x x +     − + − +  ÷  ÷ − −     > 0 nên 1 3 x = . Thử lại đúng nên nghiệm của phương trình là 1 3 x = . 9 Phòng Giáo Dục Cam Lâm HSG Toán 9 Bài toán 7: Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 5 3x x x x x x− + − = + (1) Điều kiện để phương trình có nghĩa là : 3 0 ;0 5x x− < < < < . Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 5 2 2 5 3x x x x x x x x x− + − + − − = + ( ) ( ) 2 2 2 2 5 10x x x x x⇔ − − = − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 5 10x x x x x⇔ − − = − ( ) ( ) ( ) 2 2 3 4 2 2 2 3 4 3 2 4 2 5 100 20 4 7 10 100 20 3 8 60 0x x x x x x x x x x x x x x x⇔ − − = − + ⇔ − + = − + ⇔ − − = ( ) 2 2 3 8 60 0x x x⇔ − − = . Giải phương trình này được 10 ;0;6 3 x   ∈ −     . Thử lai chỉ có hai nghiệm x = 0; x = 6 thoả mãn đề cho. Bài toán 8: Giải phương trình: ( ) ( ) 2 5 2 1 7 10 3x x x x+ − + + + + = (1) Điều kiện x > -2 và ( ) ( ) 2 7 10 2 5x x x x+ + = + + . Nhân hai vế của phương trình (1) với ( ) 2 5x x− + + ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 1 2 5 3x x x x   + − + + + + =   ( ) 2 5x x− + + ( ) ( ) ( ) 3 1 2 5 3x x⇔ + + + = ( ) 2 5x x− + + ( ) ( ) 2 5 2 5 1 0x x x x⇔ + + + − + + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 5 1 2 1 2 0 5 1 1 2 0x x x x x⇔ + − + − − + = ⇔ + − − + = 5 1 0 5 1 4 2 1 1 1 2 0 x x x x x x  + − = + = = −   ⇔ ⇔ ⇔    + = = − − + =     Do x > -2 nên x = -4 (loại). Vậy nghiệm của phương trình x = -1. Cách giải khác: Đặt 2 2 2a x a x= + ⇒ = + ; 2 5 5b x b x= + ⇒ = + nên 2 2 5 2 3b a x x− = + − − = .Do đó phương trình (1) trở thành: 2 2 3 ( )(1 ) 3 b a b a ab  − =  − + =  (*) Từ hệ (*) suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 0b a b a ab b a a b ab− = − + ⇔ − + − − = ( ) ( ) 0 1 1 1 0 1 0 a b b a a b a b a b ab =  − =  ⇔ ⇔ = =   − − = + − − =   khi đó ta cũng có x = -1. Bài toán 9 : Giải phương trình: 2 2 25 10 3x x− − − = (1) Giải: Điều kiện 2 2 2 2 2 25 0 25 10 10 10 10 0 10 x x x x x x   − ≥ ≤   ⇔ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤   − ≥ ≤     (*). Đặt 2 0 25a x< = − ; 2 10 0x b− = > 2 2 2 2 25 10 15a b x x⇒ − = − − + = . Nên phương trình (1) trở thành 2 2 3 3 4 5 1 15 a b a b a a b b a b − = − = =    ⇔ ⇔    + = = − =    Nếu b = 1 thì 2 2 10 1 9 3x x x− = ⇔ = ⇔ = ± so với điều kiên (*) 3x = ± thoả Nếu a = 4 thì 2 2 25 16 9 3x x x− = ⇔ = ⇔ = ± so với điều kiên (*) 3x = ± thoả. Vậy phương trình có nghiệm là 3x = ± . 10 [...]... lý Viet cho 1 2 b 4a + c phương trình (2) y1 + y2 = − ; y1 y2 = Thay vào (3) và biến đổi ta được 5a 2 = 2b2 + ac a a Phương trình (2) có hai nghiệm y1; y2 Nếu y1 = y2 ⇔ x1 = x2 mới chỉ là một nghiệm của phương trình (2) vậy ta phải xét thêm các trường hợp 1) 2) như cách giải 2: 20 Phòng Giáo Dục Cam Lâm Bài tập về nhà về phương trình và hệ phương trình 1)Giải các phương trình sau: a) ( x + 3 x +... 4 = 0  y = − 13  5  x + y − 2 = 0 x = 1 Giải hệ phương trình  2 2 có nghiệm  y =1 x + y + x + y − 4 = 0   Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) = ( 1;1) ;  − ; −  4  5 13   ÷ 5  2 x y + y x = 3 4 y − 3  Bài toán 27: Giải hệ phương trình  2 y x + x y = 3 4 x − 3  16 Phòng Giáo Dục Cam Lâm HSG Toán 9 3 4 Điều kiện của hệ: x ≥ ; y ≥ 3 4  2 x y + y x = 3 4 y − 3  2 x... Thay x = y vào hệ ta có phương trình: 3x x = 3 4 x − 3 ⇔ x3 = 4 x − 3 ⇔ x3 − 4 x + 3 = 0 17 Phòng Giáo Dục Cam Lâm HSG Toán 9 x =1  x −1 = 0 ⇔ ( x − 1) x + x − 3 = 0 ⇔  2 ⇔  x = −1 ± 13 x + x − 3 = 0  1,2  2 ( ) 2 x = y = 1  −1 − 13 So với điều kiện x = (loaị) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  −1 + 13 2 x = y =  2  x + y = 4 z − 1 (1)   Bài toán 28: Giải hệ phương trình:  y + z... ± 85 10 15 Phòng Giáo Dục Cam Lâm Nếu y = HSG Toán 9 −5 + 85 15 + 3 85 −5 − 85 15 − 3 85 thì x = 3 ( y + 1) = ; Nếu y = thì x = 3 ( y + 1) = 10 10 10 10  15 + 3 85 −5 + 85   15 − 3 85 −5 − 85    ; ; ÷;  ÷ ÷ ÷ 10 10 10 10        Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) =   2 x3 + 3x 2 y = 5  Bài toán 25: Giải hệ phương trình:  3 (*) 2  y + 6 xy = 7  Hệ phương trình (*) tương... toán 26: Giải hệ phương trình  2 2 (2) x + y + x + y − 4 = 0  Giải: Từ phương trình (1) suy ra y − ( x + 1) y − 2 x + 5 x − 2 = 0 Giải phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 = 2 x − 1 ; y2 = − x + 2 Nên hệ phương trình trên tương đương: 2 2  y − 2x +1 = 0 x + y − 2 = 0 hoặc  2 2  2 2 x + y + x + y − 4 = 0 x + y + x + y − 4 = 0 4  x = − 5  y − 2x +1 = 0  ⇔ Giải hệ phương trình : ... Giải phương trình x 2 + 6 x − 24 = 0 ta được nghiệm: x1,2 = −3 ± 33 Vậy phương trình có hai nghiệm là x1,2 = −3 ± 33  y  20 x 2 + 11y = 2009 (1)  z  Bài toán 19: Giải hệ phương trình: 20 2 + 11z = 2009 (2)  y  x  20 2 + 11x = 2009 (3)  z 13 Phòng Giáo Dục Cam Lâm  Giải: Từ (1) suy ra y  20  HSG Toán 9 1  + 11÷ = 2009 ⇒ y > 0 Tương tự từ (2) và (3) suy ra x > 0 ; z > 0 Vì 2 x  hệ số... thức xảy ra x 4 + y 2 = 81 3 3 3 3 Do 0 ≤ x ≤ (2) vô nghiệm Nên hệ đã cho vô nghiệm ( )( )  x 2 + y 2 x 2 − y 2 = 144  Bài toán 21 : Giải hệ phương trình:  2  x + y 2 − x2 − y 2 = y  (*) Giải: Từ hệ phương trình suy ra y > 0 ( )( )  x 2 + y 2 x 2 − y 2 = 144 (1)  (*) ⇔  2 2 (2)  y = 2 x − 24  Thế phương trình (2) vào phương trình (1) ta có: (x 2 )( ) ( )( ) + 2 x 2 − 24 x 2 − 2 x 2 + 24 =... Suy ra 2 x 1 + x2 11 Phòng Giáo Dục Cam Lâm HSG Toán 9 1 là nghiệm của phương trình 2 Vậy x = Bài toán 14: Giải phương trình : 3 3x 2 − x + 2001 − 3 3 x 2 − 7 x + 2002 − 3 6 x − 2003 = 3 2002 Giải: Đ ặt : 3 3x 2 − x + 2001 = a ⇒ a3 = 3x 2 − x + 2001 − 3 3 x 2 − 7 x + 2002 = b ⇒ b3 = −3 x 2 + 7 x − 2002 − 3 6 x − 2003 = c ⇒ c3 = −6 x + 2003 Suy ra a 3 + b3 + c3 = 2002 Do đó phương trình đã cho sẽ là... 19 Phòng Giáo Dục Cam Lâm Khi m . = -1 suy ra x 2 = t 2 +2t = -1 <0 (Vô lý). 3 x - 0 4 8 +∞ x-8 - - - 0 + x-4 - - 0 + + x - 0 + + + Phòng Giáo Dục Cam Lâm HSG Toán 9 *Nếu t = 0 suy ra x = 0 ⇒ y = 0 hoặc -1 hoặc -2 hoặc -3 . 5 = u (1). Ta có: (x 2 - 4x+3).(x 2 - 6x + 8)=15 ⇔ (x-1).(x-3).(x-2).(x-4 )-1 5=0 ⇔ (x-1).(x-2).(x-3).(x-4 )-1 5=0 ⇔ (x 2 -5 x+4).(x 2 -5 x+6 )-1 5=0 ⇔ (u-1).(u+1 )-1 5=0 ⇔ u 2 -1 6=0 ⇔ u= ± 4. Thay các. Phòng Giáo Dục Cam Lâm HSG Toán 9 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp. Bài 1:Gpt: 2