phương pháp quay lui và một số bài tập áp DỤNG

PHƯƠNG PHÁP QUAY LUI VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG I. LÝ THUYẾT Quay lui (tiếng Anh: backtracking) là một chiến lược tìm kiếm lời giải cho các bài toán thỏa mãn ràng buộc. Người đầu tiên đề ra thuật ngữ này (backtrack) là nhà toán học người Mỹ D. H. Lehmer vào những năm 1950. Các bài toán thỏa mãn ràng buộc là các bài toán có một lời giải đầy đủ, trong đó thứ tự của các phần tử không quan trọng. Các bài toán này bao gồm một tập các biến mà mỗi biến cần được gán một giá trị tùy theo các ràng buộc cụ thể của bài toán. Việc quay lui là để thử tất cả các tổ hợp để tìm được một lời giải. Thế mạnh của phương pháp này là nhiều cài đặt tránh được việc phải thử nhiều tổ hợp chưa hoàn chỉnh, và nhờ đó giảm thời gian chạy. Nội dung chính của phương pháp này là việc xây dựng dần các thành phần của cấu hình bằng cách thử tất cả các khả năng. Giả thiết cấu hình cần được tìm được mô tả bằng một bộ giá trị (x 1 ,x 2 , ,x N ).Giả sử đã xác định được i - 1 thành phần (x 1 ,x 2 , ,x i-1 ),bây giờ ta xác định thành phần x i bằng cách duyệt tất cả các khả năng có thể đề cử cho nó (đánh số từ 1 đến n i ). Với mỗi khả năng j, kiểm tra xem j có được chấp nhận hay không. Có thể có hai trường hợp có thể xảy ra: - Nếu j được chấp nhận thì xác định x i theo j, sau đó nếu j = N thì ta được một cấu hình, trái lại ta tiếp tục tiến hành việc xác định x i+1 . - Nếu thử tất cả các khả năng mà mà không có khả năng nào được chấp nhận thì ta sẽ lùi lại bước trước để xác định x i-1 . Thông thường ta phân tích quá trình tìm kiếm thành cây tìm kiếm. Không gian tìm kiếm càng lớn hay càng nhiều khả năng tìm kiếm thì cây tìm kiếm càng lớn, càng nhiều nhánh. Vì vậy, hạn chế và bỏ bớt các nhánh vô nghiệm của cây tìm kiếm thì sẽ tiết kiệm được thời gian và bộ nhớ, tránh bị tràn dữ liệu. Quá trình tìm kiếm lời giải theo thuật toán quay lui có thể được mô tả bởi mô hình cây tìm dưới đây: Cần phải lưu ý là ta phải ghi nhớ tại mỗi bước đã đi qua, những khả năng nào đã thử để tránh trùng lặp. Những thông tin này được lưu trữ theo kiểu dữ liệu ngăn xếp - Stack ( vào sau ra trước) - vì thế nên thuật toán này phù hợp thể hiện bởi thủ tục đệ quy. Ta có thể mô tả bước xác định x i bởi thủ tục đệ quy sau: Procedure Try (i: integer); Var j : integer; Begin For j:= 1 to n i do If <chấp nhận j> then Begin <xác định x i theo j > if i = N then <ghi nhận một cấu hình> else try(i+1); End; End; Trong thủ tục mô tả trên, điều quan trọng nhất là đưa ra được một danh sách các khả năng đề cử và xác định được giá trị của biểu thức logic <chấp nhận j>. Ngoài việc phụ thuộc j, giá trị này còn phụ thuộc vào việc đã chọn các khả năng tại i – 1 bước trước đó. Trong những trường hợp như vậy, cần ghi nhớ trạng thái mới của quá trìnhsau khi <xác định x i theo j> và trả lại trạng thái cũ sau lời gọi Try(i+1). Các trạng thái này được ghi nhận nhờ một số biến tổng thể (global), gọi là các biến trạng thái. Dễ thấy rằng bài toán vô nghiệm khi ta đã duyệt hết mọi khả năng mà không có khả năng nào thoả mãn yêu cầu. Ta nói rằng là đã vét cạn mọi trường hợp. Chú ý rằng là đến một lúc nào đó ta phải lùi liên tiếp nhiều lần.Từ đó suy ra rằng, thông thường bài toán vô nghiệm khi không thể lùi được nữa. Thuật toán này sẽ không có tính khả thi cao bởi dùng thủ tục đệ quy dễ bị lỗi tràn Stack. II. BÀI TẬP 1. Bài 1: Xếp hậu Liệt kê tất cả các cách sắp xếp những con hậu trên bàn cờ NxN sao cho chúng không ăn được nhau. Hướng dẫn: Ta xếp n con hậu trên n dòng, Theo nguyên lý nhân ta có n n cách sắp xếp thoả mãn điều kiện đầu bài. Để làm điều đó ta dùng thủ tục đệ quy mô tả ở trên để giải. Ta đánh ghi số cột và dòng của bàn cờ từ 1 đến n, mỗi cách sắp xếp ứng với 1 bộ gồm a 1 ,a 2 , ,a n với a i = j (j=1,2, ,n) có nghĩa là con hậu thứ i đặt vào cột j. Giả sử ta chọn được i-1 con hậu bằng cách duyệt tất cả các khả năng của nó. Quan trọng nhất là ta tìm điều kiện chấp nhận j, một con hậu đứng ở một ô trong bàn cờ nó có nhiều nhất bốn hướng đi (đường dọc, đường ngang và hai đường chéo). 2 Vậy điều kiện chấp nhận thứ i thoả mãn không nằm trên đường đi của tất cả i-1 con hậu đã xếp. Bởi vì n con hậu xếp ở hàng nên đường đi ngang của chúng là không chiếu nhau, do đó khi chọn con hậu thứ i chỉ cần kiểm tra xem trên 2 đường chéo và đường dọc của chúng có chiếu vào những con hậu đã xếp không? Để kiểm tra điều này mỗi đường ta dùng một biến trạng thái. * Đường dọc kiểm soát bằng biến b[j],(j=1,2, ,n). * Một đường chéo kiểm soát bằng biến c[i+j],i+j={2, ,2n}. * Còn đường chéo kia kiểm soát bằng biến d[i-j],i-j={1-n, ,n-1}. Các biến trạng thái này khởi gán giá trị True trong thủ tục Init. Như vậy con hậu thứ i được chấp nhận xếp vào cột j nếu nó thoả mãn cả ba biến b[j],c[i+j],d[i-j] đều có giá trị True. Các biến này gán giá trị False khi xếp xong con hậu thứ i, và trả lại giá trị true sau khi gọi Result hay Try(i+1). Ta có chương trình Pascal sau : Program XepHau; Uses crt; var n : integer; a:array[1 30] of integer; b:array[1 30] of boolean; c:array[2 60]of boolean; count,d:word; Procedure Init; Var i:integer; Begin Write('Cho do rong ban co n= '); Readln(n); Count:=0; d:=0; For i:=1 to n do b[i]:=true; For i:=2 to 2*n do c[i]:=true; For i:=1-n to n-1 do d[i]:=true; End; Procedure Result; Var i:integer; Begin d:=d+1; 3 count:=count+1; Write('Cach xep thu',count:5,'.'); for i:=1 to n do write(a[i]:2); Writeln; if d = 24 then begin readln; d : = 0; end; end; Procedure try(i:integer); Var j : integer; Begin For j:=1 to n do If (b[j]) and (c[i + j]) and (d[i - j]) then Begin a [i] : = j; b [j] : = false; c[i + j]: = false; d [i] : = false; if i = n then Result else try (i+1); b [j] : = true; c[i + j]: = true; d[i + j]: = true; end; end; begin clrscr; Init; Try(1); Write ('An Enter de ket thuc:'); Readln; End. 2. Bài 2 Hành trình ký tự 4 Cho tệp văn bản HT_KITU.INP chứa các dòng ký tự chiều dài không quá 32. Hãy lập trình thực hiện các công việc sau: Lần lượt đọc các dòng vào một xâu, sau đó từ xâu xây dựng lưới ô vuông dạng tam giác như sau: ví dụ xâu =’Vinh’, lưới ô vuông có dạng như hình 1. Xuất phát từ ô góc trên trái (chữ V), đi theo các hướng có thể để xây dựng lại xâu đã cho. Với mỗi hành trình thành công hãy in ra số thứ tự của hành trình và chỉ ra hành trình trên lưới, mỗi ký tự của hành trình thay bằng một dấu ’*’. Ví dụ: Sau mỗi lời giải phải ấn ENTER để in lời giải tiếp. Hướng dẫn giải Tổ chức hai mảng hai chiều F, Kt[1 32,1 32] of Char. Mảng Kt dùng để tạo ra ma trận kí tự dạng tam giác như trên gồm các kí tự từ xâu S đọc từ file dữ liệu. Mảng F dùng để ghi nhận các hành trình thành công, nếu ô (i,j) thuộc hành trình thì F[i,j] = ’*’. Sau khi xây dựng xong ma trận kí tự, ta dùng thủ tục đệ quy Try(i,j,h: byte) để tìm tất cả các hành trình. Giả sử ta đang ở ô (i,j) nào đó trên hành trình và đã được một xâu kí tự độ dài h ≤ length(S ). Nếu h = length(S )thì ta đã được một hành trình và ta sẽ ghi nhận nó, in ra màn hình hành trình đó. Còn nếu h < length(S ) thì từ ô (i,j) ta sẽ có thể đi theo hai hướng đó là đến ô (i,j+1) hoặclà ô (i+1,j). Từ mỗi ô đó ta lại tiếp tục đến các ô khác để tìm hành trình. Quá trình đó được tiếp tục thực hiện các ô đó cho đến khi duyệt được hết nghiệm của bài toán. Ban đầu ta xuất phát tại ô (1,1) và độ dài của xâu ta đang có là 1 nên ở chương trình chính ta gọi thủ tục Try(1,1,1). Để ý rằng nếu độ dài xâu S là L thì ta sẽ có tất cả 2 L-1 hành trình. Văn bản chương trình Program Hanh_trinh_ki_tu; Uses Crt; Const D : Array[1 2] of shortint= (0,1); C : Array[1 2] of shortint= (1,0); Fi = ’HT_KITU.INP’; Var Kt,F : Array[1 32,1 32] of Char; S : string; t : word; dem : longint; 5 Procedure Init; Var k,i,j : byte; G : Text; Begin Assign(G,Fi); Reset(G); Read(G,S); t:= length(S); Fillchar(F,sizeof(F),’ ’); F[1,1]:=’*’; k:= 0; For i:= 1 to t do begin For j:=1 to t do begin Kt[i,j]:= S[j+k]; If Kt[i,j] = #0 then Kt[i,j]:= ’ ’; end; inc(k); end; Close(G); End; Procedure Write_Out; Var i,j : Byte; Begin Inc(dem); TextColor(Red); Writeln(’Hanh trinh thu:’,dem); For i:=1 to t do begin For j:=1 to t do If F[i,j]=’*’ then begin TextColor(White); Write(’* ’) end Else begin TextColor(Green);Write(Kt[i,j],’ ’); end; Writeln; end; Readln; End; Procedure Try(i,j,h: byte); Var k,x,y: byte; Begin 6 If h = t then Write_Out else begin For k:=1 to 2 do begin x:= i + D[k]; y:= j + C[k]; F[x,y]:=’*’; Try(x,y,h+1); F[x,y]:=’ ’; end; end; End; BEGIN Clrscr; Init; Try(1,1,1); END. 3. Bài 3: Biểu thức zero Cho một số tự nhiên N ≤ 9. Giữa các số từ 1 đến N hãy thêm vào các dấu + và - sao cho kết quả thu được bằng 0. Hãy viết chương trình tìm tất cả các khả năng có thể. Dữ liệu vào: Lấy từ file văn bản ZERO.INP với một dòng ghi số N. Dữ liệu ra: Ghi vào file văn bản có tên ZERO.OUT có cấu trúc như sau: - Dòng đầu ghi số lượng kết quả tìm được. - Các dòng sau mỗi dòng ghi một kết quả tìm được. Ví dụ Hướng dẫn giải Áp dụng thuật toán đệ quy quay lui để giải quyết bài toán này, ta sẽ dùng thủ tục đệ quy Try(i). Giả sử ta đã điền các dấu’+’ và ’-’ vào các số từ 1 đến i, bây giờ cần điền các dấu giữa i và i + 1. Ta có thể chọn một trong ba khả năng: hoặc là điền dấu ’+’, hoặc là điền dấu ’-’, hoặc là không điền dấu nào cả. Khi đã chọn một trong ba khả năng trên, ta tiếp tục lựa chọn dấu để điền vào giữa i + 1 và i + 2 bằng cách gọi đệ quy Try(i+1). Ta sẽ lần lượt duyệt tất cả các khả năng 7 đó để tìm tất cả các nghiệm của bài toán, như vậy bài toán sẽ không bị thiếu nghiệm. Nếu i = N ta sẽ kiểm tra xem cách điền đó có thoả mãn kết quả bằng 0 hay không. Để kiểm tra ta dùng thủ tục Test trong chương trình. Nếu tổng đúng bằng 0 thì cách điền đó là một nghiệm của bài toán, ta ghi nhận nó. Nếu i < N thì tiếp tục gọi Try(i+1). Trong chương trình ta dùng biến dem để đếm các cách điền thoả mãn, còn mảng M kiểu string sẽ ghi nhận mọi cách điền dấu thoả mãn yêu cầu bài toán. Văn bản chương trình Program Zero_sum; Type MangStr = array[1 15] of string; Const Fi =’ZERO.INP’; Fo =’ZERO.OUT’; Dau : array[1 3] of string[1] = (’-’,’+’,’’); S : array[1 9] of char =(’1’,’2’,’3’,’4’,’5’,’6’,’7’,’8’,’9’); ChuSo = [’1’ ’9’]; Var N,k,dem: byte; D : array[2 9] of string[1]; F : Text; St : String; M : MangStr; Procedure Write_out; Var i : byte; Begin Assign(F,Fo); Rewrite(F); Writeln(F,dem); For i:= 1 to dem do writeln(F,M[i],’ = 0’); Close(F); Halt; End; Procedure Read_inp; Begin Assign(F,Fi); Reset(F); Read(F,N); Close(F); If N < 3 then write_out; End; Function DocSo(S : String): longint; Var M : longint; t : byte; Begin M:= 0; t:= 0; 8 If S[k] in [’+’,’-’] then begin t:= k; Inc(k); end; While (k<= length(S)) and (s[k] in ChuSo) do begin m:= m*10 + ord(s[k]) - ord(’0’); Inc(k); end; If (t <> 0) and (S[t] = ’-’) then DocSo:= -M else DocSo:= M; End; Procedure Test; Var St : string; i : byte; T : longint; Begin St:= ’1’; k:= 1; T:= 0; For i:= 2 to N do St:= St + D[i] + S[i]; While k < length(St) + 1 do T:= T + DocSo(St); If T = 0 then begin Inc(dem); M[dem]:= St; end; End; Procedure Try(i: byte); Var j : byte; Begin For j:= 1 to 3 do begin D[i]:= Dau[j]; If i = N then Test else try(i+1); end; End; BEGIN Read_inp; Try(2); Write_out; END. 4. Bài 4: Xổ số điện toán 9 Có N người (đánh số từ 1 đến N) tham gia một đợt xổ số điện toán. Mỗi người nhận được một thẻ gồm M ô (đánh số từ 1 đến M). Người chơi được chọn K ô trong số các ô đã cho bằng cách đánh dấu các ô được chọn. Sau đó các thẻ này được đưa vào máy tính để xử lý. Máy tính chọn ra K ô ngẫu nhiên (gọi là các ô kết quả) và chấm điểm từng thẻ dựa vào kết quả đã sinh. Cứ mỗi ô chọn đúng với ô kết quả thì thẻ chơi được tính 1 điểm. Giả thiết biết các ô chọn cũng như các điểm tương ứng của từng thẻ chơi, hãy xác định tất cả các kết quả có thể có mà máy sinh ra. Dữ liệu vào đọc từ file vănbản XOSO.INP gồm: - Dòng đầu ghi các số N, M, K - Dòng thứ i trong N dòng tiếp ghi thẻ chơi của người i gồm K+1 số: K số đầu là các số hiệu của các ô chọn, cuối cùng là điểm tương ứng. Ghi kết quả ra file văn bản XOSO.OUT, mỗi dòng là một kết quả gồm K số ghi số hiệu các ô mà máy đã sinh. Ghi chú: - Các số trên cùng một dòng trong các file vào/ ra, được ghi cách nhau ít nhất một dấu trắng. - Giới hạn kích thước:N ≤ 100, M ≤50, K ≤10. - Dữ liệu vào trong cáctest là hợp lệ và đảm bảo có ít nhất một đáp án. Ví dụ: Hướng dẫn giải Ta nhận thấy rằng mỗi nghiệm của bài toán chính là một cấu hình của tổ hợp chập K của M phần tử. Ta áp dụng thuật toán quay lui để duyệt mọi cấu hình tổ hợp để tìm ra cấu hình thoả mãn. Tuy nhiên để giảm bớt số lần duyệt ta cần phải loại những thẻ mà chúng có tổng điểm bằng 0 và cần đánh dấu những thẻ đã được chọn. Dùng mảng ok[0 51] of boolean để phân biệt giữa ô có điểm và những ô không có điểm. Nếu ok[i]= false thì cho biết thẻ thứ i không có điểm. Còn logic[i,j] = true cho ta biết người thứ i đánh dấu vào thứ j của thẻ. Văn bản chương trình Program Xoso_dien_toan; Type MangA = array[0 100,0 11] of byte; 10 [...]... toán tối ưu duy nhất là vét cạn Tuy nhiên, nhược điểm của phương pháp vét cạn là độ phức tạp tính toán rất lớn do hiện tượng bùng nổ tổ hợp Có 2 giải pháp khắc phục vấn đề này Trong đó có phương pháp vét cạn bằng kỹ thuật nhánh cận, tức là loại bỏ ngay các hướng đi chắc chắn không dẫn đến phương án tối ưu Đó cũng là vấn đề hay của phương pháp này và tôi sẽ giới thiệu cho các bạn kỹ thuật này trong thời... End; BEGIN Init; Read_inp; Run; End 5 Bài 5: Bộ bài Domino với bản đồ số Bộ bài domino gồm 28 quân đánh số từ 1 đến 28 Mỗi quân bài là một thanh hình chữ nhật được chia làm hai hình vuông bằng nhau Trong đó người ta ghi các số từ 0 (để trống) đến 6 bằng cách trổ các dấu tròn trắng Dưới đây liệt kê 28 quân bài domino: Sắp xếp 28 quân bài domino ta có thể tạo ra một hìmh chữ nhật kích thước 7*8 ô vuông... 22 09 09 21 04 Bài toán đặt ra là cho trước một bảnng số, hãy liệt kê tất cả các cách xếp có thể tạo ra từ nó Dữ liệu vào từ file DOMINO.INP là ma trận 7*8 mô tả bản đồ số ban đầu Kết quả ghi ra file DOMINO.OUT dòng đầu là số lượng p cách xếp tìm được Tiếp theo là p nhóm dòng, mỗi nhóm gồm 7 dòng ghi các dòng của các bảng tương ứng với một bảng số tìm được Hướng dẫn giải Với mỗi quân bài domino ta có... phòng đang có mầu xanh thì quét mầu vàng - Nếu phòng đang có mầu vàng thì quét mầu trắng Cần phải gọi lần lượt một số các rôbôt ra quét vôi (mỗi lần một rôbôt, một rôbôt có thể gọi nhiều lần và có thể có rôbôt không được gọi Rôbôt được gọi sẽ quét vôi tất cả các phòng mà nó phụ trách) để cuối cùng các phòng đều có mầu trắng Hãy tìm một phương án như vậy sao cho lượng vôi phải quét là ít nhất Giả thiết... Write_out; END Bài 5: Robot quét vôi Có 9 căn phòng (đánh số từ 1 đến 9) đã được quét vôi với mầu trắng, xanh hoặc vàng Có 9 rôbôt (đánh số từ 1 đến 9) phụ trách việc quét vôi các phòng Mỗi rôbôt chỉ quét vôi một số phòng nhất định Việc quét vôi được thực hiện nhờ một chương trình cài sẵn theo qui tắc: - Nếu phòng đang có mầu trắng thì quét mầu xanh 16 - Nếu phòng đang có mầu xanh thì quét mầu vàng - Nếu... Do bài toán đòi hỏi là lượng vôi ít nhất nên ta sẽ tìm cách gọi nào là tối ưu nhất Để giảm bớt số lần duyệt ta có thể dùng thêm cận để kiểm tra điều kiện có thực hiện tiếp hay không Nếu ở bước thứ i ta cần gọi là S robot là số lần gọi tối ưu lúc đó là Min thì nếu S > min thì ta có thể 17 nhánh này của cây và quay lại bước thứ i − 1, nếu S < min thì ta có thể tiếp tục duyệt Bài 6: Nhà du hành vũ trụ Một. .. DUHANH.INP có cấu trúc: - Dòng đầu tiên chứa hai số M và N, - Trong M dòng tiếp theo chứa bản đồ của hành tinh: mỗi dòng chứa một xâu văn bản (đặt ngay từ đầu dòng) gồm các kí tự ’0’, ’1’, ’2’ với ý nghĩa sau: ’0’: ô rỗng ’1’: ô có một robot ’2’: ô có nhà du hành Kết quả được in ra màn hình và ghi vào văn bản DUHANH.OUT có nội dung như sau: - Dòng đầu ghi số đơn vị thời gian nhà du hành tồn tại trên hành... domino ta có thể tạo ra một hìmh chữ nhật kích thước 7*8 ô vuông Mỗi cách sắp xếp như vậy sẽ tạo ra một bản đồ số Ngược lại, mỗi bản đồ số có thể tương ứng với một số cách xếp Ví dụ bản đồ số: 42526354 50431411 12302222 14013565 40603665 40164030 65362153 13 tương ứng với hai cách xếp mô tả bởi hai bảng số sau: 16 16 24 18 18 20 12 11 06 06 24 10 10 20 12 11 08 15 15 03 03 17 14 14 08 05 05 02 19 17... con robot cùng đến một ô thì cả hai con robot này bị nổ tung và để lại trên ô đó một nhiệt độ huỷ diệt được duy trì mãi và nhiệt độ này đủ để phá huỷ các con robot hoặc nhà du hành chẳng may đặt chân lên ô đó Ô này trở thành nguy hiểm Tất cả các con robot không được lập trình để tránh các ô nguy hiểm hoặc tránh đụng độ nhau mà chỉ được lập trình để gần nhà du hành một cách máy móc Khi một hoặc nhiều robot... cùng du hành ở cùng một ô vuông thì nhà du hành bị tiêu diệt Nhà du hành không thể đi tới một ô đang có robot Bài toán đặt ra:cho bản đồ của hành tinh (có vị trí của nhà du hành và các con robot), hãy tìm cách di chuyển nhà du hành theo một lịch trình sao cho nhà du hành có thể tồn tại lâu nhất trên hành tinh (thông báo trường hợp nhà du hành tồn tại mãi mãi trên hành tinh) Dữ liệu vào có trong file . PHƯƠNG PHÁP QUAY LUI VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG I. LÝ THUYẾT Quay lui (tiếng Anh: backtracking) là một chiến lược tìm kiếm lời giải cho các bài toán thỏa mãn ràng buộc ghi một kết quả tìm được. Ví dụ Hướng dẫn giải Áp dụng thuật toán đệ quy quay lui để giải quyết bài toán này, ta sẽ dùng thủ tục đệ quy Try(i). Giả sử ta đã điền các dấu’+’ và ’-’ vào các số từ. mỗi biến cần được gán một giá trị tùy theo các ràng buộc cụ thể của bài toán. Việc quay lui là để thử tất cả các tổ hợp để tìm được một lời giải. Thế mạnh của phương pháp này là nhiều cài đặt