một số bài toánPTMP 12/2011

Trường THPT Long Hữu Ơn tập Hình khơng gian tọa độ 12 PHẦN II MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN I.ĐIỂM VÀ VÉC TƠ: 1)Tọa độ của 1 điểm và của 1 véctơ: ( ; ; ) . .M x y z OM x i y j zk⇔ = + + uuuur r r r 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ) .a a a a a a i a j a k ⇔ = + + r r r r r 2) Công thức : * ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z = − − − uuur , ( ngọn trừ gốc) *AB= 2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB x x y y z z = − + − + − uuur * 2 3 2 2 2 1 aaaa ++= *      = = = ⇔= 33 22 11 ba ba ba ba *Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1          − − = − − = − − = ⇔= k kzz z k kyy y k kxx x MBkMA BA M BA M BA M 1 1 1 . *M là trung điểm AB          + = + = + = ⇔ 2 2 2 BA M BA M BA M zz z yy y xx x TTP 1 Trường THPT Long Hữu Ơn tập Hình khơng gian tọa độ 12 *G là trọng tâm ∆ ABC          ++ = ++ = ++ = ⇔ 3 3 3 CBA G CBA G CBA G zzz z yyy y xxx x *K là trọng tâm tứ diện ABCD          +++ = +++ = +++ = ⇔ 4 4 4 DCBA K DCBA K DCBA K zzzz z yyyy y xxxx x * ba , cùng phương 3 3 2 2 1 1 b a b a b a bka ==⇔=⇔ ( A, B, C thẳng hàng ACAB ,⇔ cùng phương) * 332211 cos bababaAbaba ++== ( tổng các tọa độ nhân với nhau) * 332211 0. bababababa ++⇔=⇔⊥ = 0 * 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 332211 . . . ),cos( bbbaaa bababa ba ba ba ++++ ++ == *         == 21 21 13 13 32 32 ;;],[ bb aa bb aa bb aa ban * ϕ sin ],[ baba = ( nâng cao) * ba, cùng phương ⇔ 0],[ =ba * ba, , c đồng phẳng ⇔ 0].,[ =cba * Diện tích ∆ ABC S ABC = ],[ ACAB *Thể tích tứ diện ABCD V = 6 1 ADACAB ].,[ *Thể tích hình hộp ABCD.A / B / C / D / V = / ].,[ AAADAB TTP 2 Trường THPT Long Hữu Ơn tập Hình khơng gian tọa độ 12 II -PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG-PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. * Mp ( α ) đi qua M 0 (x 0 ;y 0 ,z 0 ) có véctơ pháp tuyến n =(A;B,C) có pt tổng quát là ( α ):A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0 Hay ( α ):Ax + By + Cz + D = 0 ( Thế tọa độ của M 0 vào để xác đònh D ) *Các trường hợp đặc biệt : +(Oxy) : z = 0 có n =(0;0;1) +(Oyz) : x = 0 có n =(1;0;0) +(Oxz) : y = 0 có n =(0;1;0) Chú ý: + Mất chữ nào ( x hoặc y hoặc z ) thì song song với trục đó (// Ox hoặc Oy hoặc Oz ) +Chỉ có 1 chữ ( x hoặc y hoặc z ) thì vuông góc với trục đo ù( ⊥ Ox hoặc Oy hoặc Oz ) *Pt mặt phẳng theo đoạn chắn : α cắt Ox tại A(a;0;0), cắt Oy tại B(0;b;0), Cắt Oz tại C(0;0;c) có pt: ( α ): 1 =++ c z b y a x 1)Vò trí tương đối của 2 mp: ( α ): A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ( β ): A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 + 2 1 2 1 2 1 C C B B A A ≠≠ (Chỉ cần 1) ⇔ α cắt β + 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A ≠== ⇔ α // β + 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A === ⇔ α ≡ β Ghi nhớ : Để viết được pt của 1 mp ta cần 1 pháp véc tơ và 1 điểm thuộc mp. 2. Tìm giao điểm của đt và mp a/ ( ∆ ): 0 1 0 2 0 3 x x a t y y a t z z a t = +   = +   = +  và ( α ): Ax + By + Cz + D = 0 thì thế x, y, z từ ptts của đt vào pttq của mp ta được một pt bậc nhất theo biến t, +Nếu pt có 1 nghiệm thì ∆ cắt α . Tọa độ giao điểm là thế giá trò t vào ptts của đt +Nếu pt có dạng 0t = m ≠ 0 vô nghiệm ⇔ ∆ // α +Nếu pt có dạng 0t = 0 có vô số nghiệm ⇔ ∆ ⊂ α b/Đt có pt chính tắc thì chuyển về tham số ( như dạng a) TTP 3 Trường THPT Long Hữu Ơn tập Hình khơng gian tọa độ 12 c/*Pt tổng quát : ( Dạng bài tập của nâng cao) ( ∆ ) : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 thì cóthể đưa về tham số ( như dạng a) hoặc giải hệ Ax + By + Cz + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm 3.Vò trí tương đối giữa 2 đt ( Nâng cao) ( ∆ 1 ): 1 1 1 1 2 3 x x y y z z a a a − − − = = đi qua M 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ) có VTCP a = r (a 1 ;a 2 ;a 3 ) ( ∆ 2 ): 2 2 2 1 2 3 x x y y z z b b b − − − = = đi qua M 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ) có VTCP b = r (b 1 ;b 2 ;b 3 ) + ∆ 1 và ∆ 2 chéo nhau ⇔ a r , b r , 21 MM không đồng phẳng ⇔ [ a r , b r ]. 21 MM ≠ 0 + ∆ 1 và ∆ 2 đồng phẳng ⇔ a r , b r , 21 MM đồng phẳng ⇔ [ a r , b r ]. 21 MM = 0 + ∆ 1 cắt ∆ 2 ⇔ 1 2 1 2 3 1 2 3 [ , ] . 0 : : : : a b M M a a a b b b  =   ≠   uuuuuur r r + ∆ 1 // ∆ 2 ⇔ 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 , . 0 : : : : a b M M a a a b b b M    =     =   ∉∆   r r uuuuuur + ∆ 1 ≡ ∆ 2 ⇔ 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 , . 0 : : : : a b M M a a a b b b M    =     =   ∈∆   r r uuuuuur 3.Vò trí tương đối giữa 2 đt ( Cơ bản) ( ∆ 1 ): 1 1 2 2 3 3 x x a t y y a t z z a t = +   = +   = +  đi qua M 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ) có VTCP a = r (a 1 ;a 2 ;a 3 ) ( ∆ 2 ): / 2 1 / 2 2 / 2 3 x x b t y y b t z z b t  = +  = +   = +  đi qua M 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ) có VTCP b = r (b 1 ;b 2 ;b 3 ) Khi đó: TTP 4 Trường THPT Long Hữu Ơn tập Hình khơng gian tọa độ 12 + ∆ 1 // ∆ 2 ⇔ 1 2 3 1 2 3 1 2 : : : :a a a b b b M =   ∉∆  + ∆ 1 ≡ ∆ 2 ⇔ 1 2 3 1 2 3 1 2 : : : :a a a b b b M =   ∈∆  + ∆ 1 cắt ∆ 2 / 1 1 1 1 / 2 2 2 2 / 3 3 2 3 x a t y b t y a t y b t z a t z b t  + = +  ⇔ + = +   + = +  có đúng một nghiệm + ∆ 1 chéo ∆ 2 / 1 1 1 1 / 2 2 2 2 / 3 3 2 3 x a t y b t y a t y b t z a t z b t  + = +  ⇔ + = +   + = +  vơ nghiệm MỘT SỐ BÀI TỐN THƯỜNG GẶP Bài toán 1 Lập phương trình mp α qua ba điểm A,B,C. HD + Tính [ , ]n AB AC α = uur uuur uuur + Pt tổng quát Mp ( α ) có dạng: ( α ):A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0 Hay ( α ):Ax + By + Cz + D = 0 ( Thế tọa độ của A hoặc B hoặc C vào để xác đònh D ) Bài toán 2 : Viết pt mp α chứa đường thẳng d và song song với đt ∆ ? HD: + [ , ] d n a a α ∆ = uur uur uur và α đi qua A ∈ d ( làm tiếp tục bước 2 như bài tốn 1) Bài toán 3: : Viết pt mp α chứa đường thẳng d và vng góc với mp ( P) cho trước? HD: + ( ) [ , ] d P n a n α = uur uur uuur và α đi qua A ∈ d ( làm tiếp tục bước 2 như bài tốn 1) (Bài tốn Viết pt mp α qua hai điểm A,B và vng góc với mp ( P) cho trước cũng làm tương tự) Bài toán 4: Tìm hình chiếu của M 0 lên đt ∆ ? TTP 5 Trường THPT Long Hữu Ơn tập Hình khơng gian tọa độ 12 HD: +Viết pt mp α đi qua M 0 và vuông góc với ∆ .( mp α nhận vtcp của ∆ làm vec tơ pháp tuyến n α uur . và α đi qua M 0 ( làm tiếp tục bước 2 như bài tốn 1) + Thế x, y, z từ ptts của đt ∆ vào pttq của mp α ta tìm được t, thay t vào ptts ta tìm được giao điểm H .Hình chiếu H của M 0 chính là giao của α và ∆ Bài toán 5:Tìm điểm đối xứng của M 0 qua ∆ ? HD: + Tìm hình chiếu H của M 0 trên ∆ ( bài tốn 4) + N là điểm đối xứng của M 0 qua ∆ ⇔ H là trung điểm M 0 N , áp dụng công thức trung điểm tìm N. Bài toán 6: Tìm hình chiếu của đt ∆ lên mp α ? HD: + Viết pt mp β chứa ∆ và vuông góc với α . [ ,n n a β α ∆ = uur uur uur ] và β đi qua điểm M 9 ∈ ∆ + Hình chiếu ∆ / của ∆ chính là giao của α và β Bài toán 7: Tìm hình chiếu của M 0 lên mp α ? HD: +Viết pt đt ∆ đi qua M 0 và vuông góc với α ,( pt đt ∆ nhận vec tơ pháp tuyến của α làm véc tơ chỉ phương ).Khi đó suy ra phương trình tham số của ∆ . + Thế x, y, z từ ptts của đt ∆ vào pttq của mp α ta tìm được t, thay t vào ptts ta tìm được hình chiếu H của M 0 chính là giao của α và ∆ . Bài toán 8: Tìm điểm đối xứng của M 0 qua α ? HD: + Tìm hình chiếu H của M 0 trên α ( bài tốn 7) + N là điểm đối xứng của M 0 qua α ⇔ H là trung điểm M 0 N , áp dụng công thức trung điểm tìm N. Bài toán 9: ( Dạng bài tốn NC)Viết pt đt ∆ đi qua M 0 vuông góc với đt d và cắt đt / d ? HD: +Viết ptmp α qua M 0 và vuông góc với d + Tìm giao điểm N = α ∩ d + ∆ là đt qua 2 điểm M 0 và N Bài toán 10: ( Dạng bài tốn NC ).Viết pt đt ∆ đi qua M 0 vuông góc và cắt đt d ? HD: Tìm hình chiếu H của M 0 trên d, ∆ chính là đt qua 2 điểm M 0 ,H. Bài toán 11: ( Dạng bài tốn NC ). Viết pt đường vuông góc chung của 2 đt chéo nhau ∆ 1 và ∆ 2 ? HD:+Gọi ∆ là đường vuông góc chung thì vec tơ chỉ phương của ∆ là 1 2 [ , ]a u u = r ur uur + Gọi α là mp chứa ∆ và ∆ 1 thì 1 [ , ]n a u α = uur r r , M 1 ∈ α + Gọi β là mp chứa ∆ và ∆ 2 thì 2 [ , ]n a u β = uur r r , M 2 ∈ β Khi đó ∆ = α ∩ β TTP 6 Trường THPT Long Hữu Ơn tập Hình khơng gian tọa độ 12 III.MẶT CẦU 1) ĐN: M ∈ S (I,R) ⇔ IM = R 2) Pt mặt cầu: * Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R có pt : (S): (x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = R 2 *Dạng khai triển : (S): x 2 + y 2 + z 2 - 2ax – 2by –2cz + d = 0 với a 2 +b 2 +c 2 -d ≥ 0 có bán kính R = dcba −++ 222 Ứng dụng : Bài toán 1:Viết pt mặt cầu qua 4 điểm A,B,C,D HD: Lần lượt thế các tọa độ của 4 điểm A,B,C,D vào pt mặt cầu ta được 1 hệ 4 pt bậc nhất a,b, c, d ( giải bằng phương pháp cộng đại số hoặc bấm máy vinacal tìm a,b, c, d) Bài toán 2:Viết pt mặt cầu biết tâm I và tiếp xúc với 1mp HD: Khoảng cách từ tâm I đến mp chính là bán kính mặt cầu : ),( α Id = R Bài toán 3: Viết pt tiếp diện của mặt cầu tại M 0 ∈ (S) HD: IM 0 là pháp véc tơ của mp tiếp diện và M 0 là điểm mp đi qua Bài toán 4:Viết pt đường tròn qua 3 điểm A, B, C . HD: + Viết pt măt phẳng qua 3 điểm A,B,C + Tìm 1 mặt cầu qua 3 điểm A,B,C ( Thường là mặt cầu đã có sẳn, chẳng hạn mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, …. ) 3)Vò trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu * ),( α Id > R ⇔ ( α ) và( S) không có điểm chung * ),( α Id = R ⇔ ( α ) tiếp xúc với ( S) , tiếp điểm T là hình chiếu của I lên ( α ) * ),( α Id < R ⇔ ( α ) cắt ( S) , giao tuyến là đường tròn (C) có tâm H là hình chiếu của I lên ( α ) và bán kính 22 dRr −= với d = ),( α Id 4) Vò trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu: * ),( ∆Id > R ⇔ ( ∆ ) và( S) không có điểm chung * ),( ∆Id = R ⇔ ( ∆ ) tiếp xúc với ( S) , tiếp điểm H là hình chiếu của I lên ( ∆ ) * ),( ∆Id < R ⇔ ( ∆ ) cắt ( S) tại điểm. Để tìm tọa độ giao điểm ta thế x,y,z từ pt tham số của ( ∆ ) vào pt của (S), ta được một pt bậc 2 theo t, giải tìm t, thế t vào pt tham số của ( ∆ ) , được tọa độ giao điểm. TTP 7 Trường THPT Long Hữu Ôn tập Hình không gian tọa độ 12 TTP 8 . = +  có đúng một nghiệm + ∆ 1 chéo ∆ 2 / 1 1 1 1 / 2 2 2 2 / 3 3 2 3 x a t y b t y a t y b t z a t z b t  + = +  ⇔ + = +   + = +  vơ nghiệm MỘT SỐ BÀI TỐN THƯỜNG GẶP Bài toán 1 Lập. M 0 và N Bài toán 10: ( Dạng bài tốn NC ).Viết pt đt ∆ đi qua M 0 vuông góc và cắt đt d ? HD: Tìm hình chiếu H của M 0 trên d, ∆ chính là đt qua 2 điểm M 0 ,H. Bài toán 11: ( Dạng bài tốn. xác đònh D ) Bài toán 2 : Viết pt mp α chứa đường thẳng d và song song với đt ∆ ? HD: + [ , ] d n a a α ∆ = uur uur uur và α đi qua A ∈ d ( làm tiếp tục bước 2 như bài tốn 1) Bài toán 3: