Các định lí hay

[...]... cạnh BC, CA, AB tương ứng Chứng minh rằng các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy Định lý Menelau là một định lý về các tam giác trong hình học phẳng Cho tam giác ABC D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB Khi đó định lý phát biểu rằng D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi Phần thuận: Sử dụng định lý sin trong các tam giác AGH, BFH, CGF, ta được : · · AH sin · AGH BF sin BHF CG... BD.(MA+MC) • Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra AB.CD + AD.BC ≥ AC.BD III Định lí Ptolemy tổng quát • Trong mặt phẳng định hướng cho đa giác thuộc cung (Không chứa • Khi đó: • Trong đó: • Đây là một định lí ko dễ dàng chứng minh được bằng kiến thức hình học THPT nội tiếp đường tròn ) M là một điểm • IV Ứng dụng của định lý Ptolemy Bài toán 1: (IMO SL 1997) Cho lục giác lồi ABCDEF có AB = BC, CD... có (XYZ), (XUY), (VZY), (TZU) là các bộ ba điểm thẳng hàng Nói cách khác (XU, XV, VY, TU, XZ, UV) l à một hình tứ giác tòan phần theo định lý về đường thẳng Gauss đối với tứ giác tòan phần ta suy ra N, P, Q thẳng hàng Định lý Gauxơ: Trong 1 tứ giác lồi, trung điểm đoạn thẳng nối giao điểm các cạnh đối và 2 trung điểm 2 đường chéo là 3 điểm thẳng hàng ( dễ dàng CM dc) I .Định lý Thales: • Hai đoạn thẳng... P2, ĐịnhP1,đảo:P3 Cho tam giác ABC.P là một điểm trong mặt phẳng tam giác không trùng với các đỉnh của tam giác.Gọi P1, P2, P3 là hình chiếu của P trên các cạnh BC, AC và AB Khi đó P thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi P1, P2, P3 thẳng hàng (Đường thẳng đi qua 3 điểm P1, P2, P3được gọi là đường thẳng Simson của tam giác ABC ứng với điểm P) Cách chứng minh tương tụ chứng minh định. .. toàn tương tự ta có được: AH BF ' CG AH BF CG = ( = − 1) HB F ' C GA HB FC GA BF ' BF = => F ' C FC F ≡ F ' hay Nhận xét Định lý Menelaus có rất nhiều ứng dụng trong giải toán Nhiều định lý nổi tiếng được chứng minh một cách dễ dàng nhờ định lý Menelaus như định lý Ceva, Pascal, Desargues (sẽ được nêu ở phần bài tập dưới đây) Ví dụ: Cho A, B, C, D, E, F là các điểm... DE(AC + AE) ≥ DA·CE hay DE CE ≥ DA (AC + AE) Tương tự và FA EA BC EA ≥ ≥ FC CE + CA BE EA + EC Cộng các bất đẳng thức lại và áp dụng bất đẳng thức Nesbit : BC DE FA CE EA CA 3 + + ≥ + + ≥ BE DA FC AC + AE CE + CA EA + EC 2 Dấu = xảy ra  dấu = ở 3BĐT Ptolemy và ở BĐT Nesbitt Dấu = ở BĐT Nesbit xảy ra đều ¼ ⇔ CAE = 60° Vì ACDE nội tiếp Tương ⇔ ∆ACE tự ¼ ¼ ¼ ¼ cân.) CDE = 120° (Các ABC = AFE = EDC =... EF(2) 2 BC MB AF ¼ ¼ = ⇔ ∆MBC : ∆AFE ⇔ MBC = AFE MC AE • • • • Chứng minh: Đặt Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho hai tứ giác nội tiếp và ta có: Từ (1) và (2) ta được: Mặt khác ta lại có: Tương tự : • • Từ (4), (5) và tính chất đường phân giác ta có: Chứng minh tương tự ta được: Từ (3), (6), (7) ta có điều phải chứng minh I .Định lý Simson Chứng minh: ¼ ¼ Tứ giác P1CPP 2 nội tiếp: ⇒ CP2P1 = P1PC ¼ ¼ Tứ giác... điểm thẳng hàng ( dễ dàng CM dc) I .Định lý Thales: • Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với 2 đoạn thẳng A’B’ và C’D’ nếu có biểu thức: AB A ' B ' hay AB = CD = A' B ' C ' D ' CD C ' D ' Định lý đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định trên hai cạnh này nhữ đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác Hệ quả: Nếu một đường thằng cắt hai... song với cạnh còn lại thì nó tao thành một tam giác mới có 3 cạnh tương ứng tỉ lệ với 3 cạnh của tam giác đã cho SGk lớp 8 ghi là định lý Thales chỉ thừa nhận chứ không chứng minh cho nên ta chỉ chứng minh hệ quả của nó • Hình vẽ: ABC có B’C’//BC • Vì B’C’//BC nên theo định lí Thales ta có: • AB ' AC ' (1) = • Từ C’ kẻ C’D//AB (D BC), AB AC theo đinh lý Thales ta có: (2) • AC ' BD = AC BC ' • Tứ giác... cung ) FN = 2VN (3) ⊥ ⊥ Từ (1), (2), (3) PE =FN • • • • • • • và • Gọi điểm M và N là các hình chiếu của O và O1 lên đường thẳng AB Khi đó: AO AM OM OK OI = = = = ‘ AO1 AN O1N O1H O1H ( Áp dụng định lý Talet cho ∆AO1N tính chất đường phân giác) => A,I, H thẳng hàng Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Một đường kính MN thay đổi Giả sử (d1), (d2) là 2 đường thẳng simson của tam giác ứng với M và N Hạ . • 1. Định lý Ceva • 2. Định lý Menelaus • 3. Định lý Ptolemy • 4. Định lý Simson • 5. Định lý Talet Định lí Ceva là một định lí phổ biến trong hình học cơ bản. Cho một tam giác ABC, các điểm. nằm trên các đường thẳng BC, CA, và AB. Định lí phát biểu rằng các đường thẳng AD, BE và CF là những đường thẳng đồng qui khi và chỉ khi: Ngoài ra, định lí Ceva còn được phát biểu một cách tương. BB1, CC1 đồng quy. Định lý Menelau là một định lý về các tam giác trong hình học phẳng. Cho tam giác ABC. D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó định lý phát biểu rằng