Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK I. Đặt vấn đề: Với nội dung chơng trình hiện hành yêu cầu chứng minh định lí đối với học sinh đợc giảm nhiều. Việc tiếp cận định lí đối học sinh đợc thực hiện từ đo ,vẽ, trực quan. Song thời gian để vận dụng định lí, rèn kĩ năng có nhiều hơn. Nh- ng không phải học sinh nào cũng vân dụng thành thạo và ghi nhớ định lí tốt sau khi tiếp cận định lí. Với những học sinh trung bình trở nên nếu đợc vận đúng định lí vào một chuỗi những bài tập có mức độ khó dần thì chắc chắn t duy của học sinh xẽ đợc nâng nên. Học sinh khá giỏi sẽ có nhận thức tổng hợp, logicvề kiến thức toán, rèn đợc t duy sáng tạo. Với cách nhìn nhận nh vậy tôi thờng chuẩn bị một số bài tập vận dụng định lí, đối với những định lí quan trọng có tính thực hành thực tiễn nhiều. Bài viết sau đây là một ví dụ về cách dạy và rèn kĩ năng vận dụng định lí đối với học sinh. II. Cơ sở khoa học: Định lí Py-ta-go về liên hệ giữa độ dài các cạnh của một tam giác vuông là một định lí đẹp của Hình học. Theo chơng trình cũ học sinh học định lí vào cuối học kì 2 lớp 8. Theo chơng trình mới, định lí này đợc học ngay từ học kì 1 của lớp 7. Nên với câu hỏi " Nếu một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 1 thì cạnh huyền bằng bao nhiêu?" Với học sinh lớp 8 năm học 2003-2004 là lúng túng vì lớp 8 đó cha học căn bậc hai. Nhng nếu đặt câu hỏi đó cho học sinh lớp 7 từ cuối học kì 1 của năm học 2003-2004 thì em đó xẽ trả lời quá dễ. Đáp số là 2 . Định lí Py-ta-go và căn bậc hai trong sách toán 7 mới giúp học sinh 7, 8 có khả năng tiếp cân với nhiều bài toán tính độ dài, diện tích tam giác, tứ giác. Nét đẹp thứ hai: Định lí Py-ta-go là cầu nối giữa hình học và số học. Nếu các số tự nhiên a,b,c là độ dài tơng ứng của cạnh huyền và hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông thì bộ ba số tự nhiên (a,b,c) là nghiệm của phơng trình x 2 = y 2 + z 2 . Và đợc gọi là bộ ba số Py-ta-go. Phơng trình Py-ta-go có vô số nghiệm. Nếu (a,b,c) là bộ ba số Py-ta-go thì (ka, kb, kc) cũng là bộ ba số Py-ta-go, ( k là số tự nhiên). Sau đây là một số bộ ba số Py-ta-go (a,b,c) (5, 4, 3); (25, 24, 7); (41, 40, 9); (65, 56, 33); (85, 84, 13); (97, 72, 65). (13, 12, 5); (29, 21, 20); (53, 45, 28); (65, 63, 16); (85, 77, 36). (17, 15, 8); (37, 35, 12); (61, 60, 11); (73, 55, 48); (98, 80, 39). III. Phơng pháp dạy: Phát vấn- giải quyết vấn đề. Đã có tam giác vuông nào? Độ dài cần tính là cạnh tam giác vuông nào? Làm xuất hiện tam giác vuông bằng cách nào? vẽ nh thế nào? áp dụng định lí Py-ta-go vào những tam giác vuông nào ? đợc gì? Biến đổi nh thế nào để đợc phơng trình ẩn là độ dài cần tìm? Học sinh tham gia trình bàylời giải. 1V. Một số cách chứng minh định lí Py-ta-go: Năm học 2008-2009 1 Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK Định lí phát biểu với học sinh lớp 7 nh sau: a, Trong một tam giác vuông, bình phơng cạnh huyền bằng tổng bình phơng hai cạnh góc vuông. b, Nếu bình phơng cạnh lớn nhất của một tam giác không bằng tổng bình phơng các cạnh còn lại thì tam giác đó khôngphải là tam giác vuông. c, Trong một tam giác, nếu bình phơng cạnh lớn nhất bằng tổng bình phơng hai cạnh còn lại thì tam giác đó là vuông và góc vuông đối diện với cạnh lớn nhất. Việc chứng minh định lí Năm 1968, trong cuốn sách nói về định lí, Elisha Scott đã thống kê phân loại 367 cách chứng minh khác nhau về định lí . Đối với học sinh trong chơng trình lớp 7 đã là quen song vì lí do s phạm mà không giới thiệu cách chứng minh. Đối với đối tợng học sinh khá, giỏi thì có thể giới thệu một số cách chứng minh đơn giản. Cách 1: Từ xã xa, ở Hy lạp cũng nh ở Trung quốc, ngời ta đã quen với hình vẽ đợc gọi là "cối xay gió"dùng để chứng minh định lí . Nội dung nh sau: BFC = BAE nên diện tích cũng bằng nhau. Nhng : S BFC = 1/2 S ABFJ , S BAE = 1/2 S BIHE , => S ABFJ = S BIHE . Tơng tự S AKGC = S CIHD . Từ đó ta có định lí phát biểu bằng "ngôn ngữ diện tích"là diện tích hình vuông BCDE bằng tổng diện tích hai hình vuông ABFJ và ACGK. Cách 2: Hai hình vuông ABDE và GHIK cùng có cạnh bằng b + c. Gọi S a , S b , S c lần lợt là diện tích các hình vuông cạch a, b, c ( a là độ dài cạch huyền, b và c là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông). Ta có : S ABDE =(b + c) 2 = S b + S c +4.bc/2. (1). S GHIK = ( b+c) 2 = S a + 4. bc/2 (2). Từ (1) và (2) suy ra : S a = S b + S c . hay a 2 = b 2 +c 2 . Năm học 2008-2009 2 Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK Cách 3: Dựng hình vuông có độ dài cạnh là b +c; B thuộc AD, C thuộc AF. Lấy I thuộc EF; K thuộc DE sao cho IF= KE =b. Ta nhận thấy ABC = DKB = EIK = FCI. BCIK là hình vuông. => S BCIK +S ABC +S DKB +S EIK +S FCI =S ADEF tơng đơng S BCIK +4.S ABC = S ADEF . a 2 +4.bc/2 = (b+c) 2 . a 2 = b 2 +c 2 . Cách 4: Trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF = c; Dựng điểm D thuộc nửa mặt phẳng có bờ AE, chứa điểm B , DE vuông AE, DE = b. Ta nhận thấy ABDE là hình thang vuông có hai đáy AB = c, DE = b, đờng cao AE = b +c; ABC = ECD; BCD vuông cân tại C có cạnh a. => S ABDE = S BCD +S ABC +S ECD. . S ABDE = S BCD +2.S ABC. hay (b+c)(b+c)/2 = a 2 /2 + 2.bc/2. a 2 =b 2 +c 2 . Cách 5: Tiếp tục quan sát biểu thức cần chứng minh theo hớng khác , a 2 = b 2 +c 2 = ( b-c) 2 +2bc. a 2 = ( b-c) 2 +4.bc/2. Không mất tính tổng quát, giả sử b > c. Dựng hình chữ nhật ABA ' C; Hình vuông BCED ( chứa A ' ); trên BA ' lấy điểm B ' sao cho BB ' = c; trên DB ' lấy điểm C ' sao cho DC ' = c; CA ' cắt EC ' tại . D ' . Ta chứng minh đợc những kết quả sau : ABC = A ' CB = B'BD = C ' DE = D ' EC. Và A'B'C'D'là hình vuông cạnh b - c. => S BCED = S A'B'C' D' + S A'BC + S B'BD + S C'DE + S D'EC. <=> S BCDE = S A'B'C' 'D' + 4S ABC. <=> a 2 = (b-c) 2 +4.bc/2 <=> a 2 +b 2 +c 2 . V. bài tập rèn kĩ năng vân dụng định lí, phát triển t duy Logic giữa đại số và hình học Bài 1: Tìm độ dài x, y trên hình 1. Lời giải: Năm học 2008-2009 3 Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK áp dụng định lí Py-Ta-go vào các tam giác vuông AHC, AHB ta có: x 2 = 16 2 + AH 2; y 2 = 9 2 +AH 2. Do đó x 2 - y 2 = (16 2 + AH 2 )- ( 9 2 + AH 2 ) = 175 (1). áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuôngBAC: x 2 +y 2 = (9 +16) 2 = 625 (2). Từ (1) và (2) suy ra: x 2 = 400; y 2 = 225. Do đó x = 20, y = 15. (H 1 ) Bài 2: Một tam giác có độ dài cạnh bằng 3 và 8, góc xen giữa bằng 60 0 . Tính độ dài cạnh còn lại. Lời giải: ( hình 2). Xét tam giác ABC có Â = 60 0 ; AB = 8, AC = 3 . Kẻ đờng cao AH. Tam giác vuông AHB có Â = 60 0 nên AH = AB: 2 = 8: 2 = 4. Do AC = 3 nên C nằm giữa A và H và CH = AH - AC = 4- 3 = 1. áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông CHB, AHB ta có : BC 2 = BH 2 + CH 2 = (AB 2 -AH 2 ) + CH 2 = 8 2 - 4 2 +1 2 =49 Vậy BC = 7. (H 2 ) (Có thể kẻ đờng vuông góc từ C xuống AB.) Bài 3: Tính chu vi của đờng gấp khúc ABCDEA trên hình 3. Lời giải: Kéo dài AB và DE sao cho cắt nhau tại I. áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AIE, ta tính đợc AE = 5, do đó chu vi đờng gấp khúc ABCDEA bằng 12. (H 3 ) Bài 4: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1 dm. Tính diện tích tam giác ABC. Lời giải: Kẻ đờng cao AH. áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AHC ta có AH 2 = AC 2 -HC 2 = 1 2 -0,5 2 = 0,75. Suy ra AH = 75.0 0.866. S ABC = (AH.BC):2 0.433(dm 2 ). Năm học 2008-2009 4 Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK Bài 5: Tính diện tích một tam giác có 3 cạmh bằng .50;20,,10 Lời giải : Nhận thấy 10= 3 2 +1 2 . 20 = 2 2 +4 2 . 50 = (3+2) 2 +(1+4) 2 . vẽ thêm các điểm D,H,E nh trên hình5 ta tính đợc S ABD = 1,5; S BHC = 4; S BDEH = 2; S AEC =12,5. Do đó S ABC = 12,5 -1,5 - 4 -2 = 5(đvdt) (H 5 ) ( Có thể hạ đờng vuông góc từ C xuống AB hoặc từ A xuống BC ) Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 5 cm. Trung tuyến AM = 2 cm. Tính diện tích tam giác ABC. Lời giải : Gọi K là trung điểm của AC. Ta chứng minh đợc tam giác AMK thoả mãn định lí Py-ta- go đảo nên góc AMK = 90 0 . Ta tính đợc S AMK = 1,5 cm 2 . Từ đó S ABC = 6 cm 2 . Bài 7: Tính diện tích tam giác ABC biết độ dài 3 trung tuyến lần lợt là : 15cm. 36cm, 39cm. Lời giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC có đờng trung tuyến AD = 36 cm. Lấy K là trung điểm của GC. Tam giác DGK thoả mãn định lí Py-ta-go đảo nên góc GDK bẳng 90 0 . Ta tính đợc S DGK = 30cm 2 . Từ đó S ABC =360cm 2 . Bài 8: Tứ giác ABCD có AB = BC = 4, AD = DC = DB = 8. Các đờng chéo AC và BD cắt nhau ở I. Tính độ dài IB, ID. Hớng dẫn : Đặt ID = x ta có IB = 8-x. Ta có: BD là đờng trung trực của đoạn AC áp dụng định lí py-ta-go vào tam Năm học 2008-2009 5 Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK giác vuông AIB và AID. ta đợc 8 2 -x 2 = 4 2 -(8-x) 2 . Từ đó x = 7. Vậy ID = 7, IB = 1. Bài 9: Hình thang ABCD có AB//CD, AC BD, AC= 20, BD = 15. Tính độ dài đờng trung bình hình thang. Hớng dẫn : Qua B kẻ BE//AC cắt DC kéo dài ở E. Ta có DBE vuông , BD = 15, BE = 20. áp dụng định lí Py-ta-go tính đợc DE = 25. Bài 10: Tứ giác ABCD có I là giao điểm của hai đờng chéo . Tính AD biết rằng AB = 6, IA = 8, IB = 4, ID = 6. Hớng dẫn: Kẻ AH IB. Đặt BH = x, AH = y. Ta tính đợc: x = 3/2, y 2 =135/4. Độ dài AD= 166 . Bài11: Tam giác ABC có AC - AB = 7 cm, đờng cao AH ( H nằm giữa B và C). Tính độ dài AB, AC biết HC = 15cm, HB = 6cm. Lời giải: Đặt AB = y, AC = x . áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AHB, AHC ta đợc: AH 2 = x 2 - 15 2 , AH 2 = y 2 - 6 2 => x 2 - y 2 = 15 2 - 6 2 (1) Theo bài ra ta có : x - y = 7 (2). Từ (1) và (2) ta tính đợc x = 17, y = 10. Bài 12: Cho tam giác ABC có Â= 60 0 , AB = 6 cm, AC = 8cm. Tính độ dài BC, diện tích tam giác ABC? Lời giải: Kẻ đờng cao BH, ta có : AH = AB/2= 3 cm. Xét tam giác vuông ABH ta có : BH 2 = AB 2 - AH 2 = 6 2 - 3 2 = 27. Xét tam giác vuông BHC ta có : Năm học 2008-2009 6 Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK BC 2 = BH 2 + HC 2 = 27 + 5 2 = 52. => BC = 52 cm. Diện tích tam giác ABC: S ABC = (27.8):2 = 108 cm 2 . Bài 13: Tam giác ABC có Â = 120 0 , BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng: a 2 = b 2 + c 2 + bc. lời giải: Kẻ BH AC, xét BHA vuông: BH 2 = c 2 -(c/2) 2 = 3c 2 /4. Xét tam giác vuông BHC: BC 2 = CH 2 + BH 2 = ( b + c/2) 2 + 3c 2 /4= b 2 + bc + c 2 . hay a 2 = b 2 + bc + c 2 . Bài 14: Tam giác ABC cân tại A, có AB = AC = 9 cm, BC = 12 cm, đờng cao BH . Tính độ dài CH và AH? Lời giải: Đặt CH = x, AH = y. Ta có: x 2 - y 2 = ( BC 2 - BH 2 )- ( AB 2 - BH 2 ) = BC 2 - AB 2 = 12 2 - 9 2 = 63. Trờng hợp H nằm ngoài cạnh AC (H14b) không xảy ra, vì khi đó x- y = 9, suy ra x + y = =7, vô lí. Vậy điểm H nằm trên cạnh AC ( H14a). Ta có x + y = 9. do dó x - y = 7. Suy ra x = 8, y = 1 hay CH = 8 cm, AH =1cm. Bài 15: Cho tam giác ABC cân tạu A, đờng cao BK, AB = 9 cm và AK = 7 cm. Tính độ dài BC. Lời giải: Năm học 2008-2009 7 Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK Ta có AC = AB = 9 cm, suy ra KC = AC - AK = 2 cm. AKB vuông tại K nên theo định lí Py-ta-go ta có : BK 2 = AB 2 - AK 2 = 32 cm. AKC vuông tại K theo định lí Py-ta-go ta có : BC 2 = BK 2 + KC 2 = 36 hay BC = 6 cm. Nhận xét : Rất nhiều học sinh khi giải bài toán này thờng vẽ hình, bắt tay vào giải và vui mừng với " kết quả đẹp"mình tìm ra đợc mà quên mất một việc quan trong là phải xem lại bài toán có phụ thuộc vào hình vẽ hay không. Điều này dẫn đến việc xét thiếu trờng hợp nhiều bài toán, kể cả với những bài dễ. Trong bài toán trên, độ dài BC phụ thuộc vào độ dài của BK và KC, trong đó độ dài KC phụ thuộc vào độ dài của AK và AC. Tuy nhiên KC = AC - AK hay KC = AC + KA còn phụ thuộc vào K nằm trong hay nằm ngoài AC hay góc BAC nhọn hay tù( trờng hợp vuông A trùng với K không xảy ravì AK khác 0). Điều này rất quen rhuộc nhng nhỉều bạn vẫn bỏ qua. Nh vậy lời giả trên còn thiếu trờng hợp góc BAC tù , khi đó tơng tự trờng hợp trên ta tính đợc BC = 288 cm. BàI 16: Cho đờng tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạmh AB tại D tính số đo góc C biết rằng AC.BC = 2AD DB. T duy: Bài toán tính ssô đo góc mà gt không cho góc thì góc tính đợc xẽ đặc biết. Nhiều khả năng sủ dụng py-ta-go đảo. Giải: Gọi E,F là các tiếp điểm của (O) tren cạnh CB, CA. Ta có: AD = à, BD = BE, CE = CF. Dặt AD = AF = x, BD = BE = y. Theo gt ab = 2 xy. (1) ta có : AB + AC - BC = (x +y) =( x + CF)-( CE + y) = 2x nên 2x = b+c - a. Tơng tự: 2y = a +c -b. suy ra: 2x.2y = [c- (a-b)][c + ( a-b)]= c 2 - ( a-b) 2 = c 2 - a 2 + 2ab - b 2 (2) . Từ (1) và (2) suy ra 2ab = c 2 - a 2 +2ab - b 2 . hay a 2 + b 2 = c 2 . Theo định lý Py-t a-go đảo góc C = 90 o . VI. Bài tập tơng tự: Bài 1: Một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 2 cạnh huyền cuả tam giác có giá trị sát nhất với số nào trong các số sau: Năm học 2008-2009 8 Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK 2,6; 2,7; 2,8; 3. Bài 2: Một tam giác có độ dài hai cạnh bằng 5 và 7, góc xen giữa bằng 60 0 . Tính độ dài cạnh thứ ba. Bài 3: Một tam giác có độ dài hai cạnh bằng 5 và 6, góc xen giữa bằng 120 0 . Tính độ dài cạnh thứ ba. Bài 4: Tính các cạnh của một hình chữ nhật, bíêt rằng đờng vuông góc kẻ từ một đỉnh đến một đờng chéo chia đờng chéo đó thành hai đọan độ dài là 9 và 16. Bài 5: Cho hình vuông ABCD có đờng chéo bằng 2a. Gọi d là đờng thẳng bất kì đi qua giao điểm của hai đờng chéo. Tính tổng các bình phơng của các khoảng cách từ A, B, C, D đến đờng thẳng d. Bài 6: Tam giác ABC có góc B =60 0 , AB = 8 cm, AC = 13 cm. Tính độ dài BC. Bài 7: Hình thang ABCD có AB//CD, AB = 16 cm, CD = 44cm, AD = 17 cm, BC = 25 cm. a, Chứng minh rằng C và D là các góc nhọn. b, Tính diện tích hình thang. vIII. kết quả thực tiễn: 5 bài toán đầu với học sinh khối 7 đợc thực hiện trong 2 tiết có sự hớng dẫn của thầy, các em học tập tích cực. ở mỗi học sinh cũng thu đợc kết quả nhất định . Với học sinh trung bình bớc đầu vận dụng đợc định lí vào bài tập đòi hỏi t duy logíc và khả năng phân tích không nhiều và ứng dụng thực tế của định lí. Với học sinh khá ngoài kĩ năng vân dụng phân tích có đợc sau bài học các em thấy đợc mối liên hệ giữa đại số và hình học. Những bài toán còn lại cũng vữa sứcđối với học sinh giỏi khối 7. Học sinh đại trà khối 8 có sự hớng dẫn của thầy trong 4 tiết khả năng tiếp thu của các em cũng nhẹ nhàng. Tạo cơ hội cho các em tái hiện kiến thức cũ đồng thời thấy đợc khả năng thực tiễn lớn của định lí Py-ta-go và sự logic trong toán học. Đặc biệt t duy đại số, đại số hoá hình học của học sinh cũng đợc khắc sâu. Các em tự tin hơn trớc bài toán tính độ dài, diện tích. IX. Thay cho lời kết. Nhiệm vụ nâng cao chất lợng đại trà, bồi dỡng ơm mẫm học sinh giỏi không dễ chút nào. Nó phụ thuộc vào nhiều yếu tố. Trong đó việc thiết kế bài giảng để học sinh tiếp cận kiến thức mới, củng cố kiến thức đại trà với nội dung vừa sức lại logic đòi hỏi ngời thầy phải tìm tòi, làm việc nghiêm túc. Trên đây là những suy nghĩ và cách làm của cá nhân tôi, chắc không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong đợc sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học sinh. Năm học 2008-2009 9 Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK Vĩnh Bảo, ngày 20 tháng 01 năm 2009. Ngời viết bài Phạm Trung Lực Năm học 2008-2009 10 . dụng định lí đối với học sinh. II. Cơ sở khoa học: Định lí Py-ta-go về liên hệ giữa độ dài các cạnh của một tam giác vuông là một định lí đẹp của Hình học. Theo chơng trình cũ học sinh học định. Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK I. Đặt vấn đề: Với nội dung chơng trình hiện hành yêu cầu chứng minh định lí đối với học sinh đợc giảm. cách chứng minh định lí Py-ta-go: Năm học 2008-2009 1 Định lí Py-ta-go với học sinh THCS - Ngòi viét Phạm Trung Lực-GV THCS NBK Định lí phát biểu với học sinh lớp 7 nh sau: a, Trong một tam giác