bat tap hinh hoc 12(toantap)

TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š BÀI TẬP ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC Năm 2010 Trần Sĩ Tùng Khối đa diện CHƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 I QUAN HỆ SONG SONG Hai đường thẳng song song a) Định nghĩa: ìa, b Ì (P ) aP b ợa ầ b = ặ b) Tớnh cht ì( P ) ¹ (Q) ¹ ( R) ï( P ) Ç (Q ) = a ï é a, b, c đồng qui · í Þê ëa P b P c ï( P ) Ç ( R) = b ï(Q) Ç ( R) = c ỵ ì( P ) Ç (Q ) = d ï éd P a P b · í( P ) É a,(Q) É b Þ ê ë d º a ( d º b) ïa P b ợ ỡa b Ãớ ị aP b ợ a P c, b P c Đường thẳng mặt phẳng song song a) Định nghĩa: d // (P) d ầ (P) = ặ b) Tớnh cht ỡd Ë ( P), d ' Ì ( P ) ìd P ( P ) ·í Þ d P (P) ·í Þd P a ỵd P d ' ỵ(Q) É d ,(Q ) Ç ( P) = a ì( P ) ầ (Q ) = d Ãớ ịd P a ợ( P ) P a,(Q) P a Hai mặt phẳng song song a) Định nghĩa: (P) // (Q) Û (P) Ç (Q) = Ỉ b) Tính chất ì( P ) É a, b ì( P ) ¹ (Q ) ì(Q) P ( R) ï ï ï · ía Ç b = M Þ ( P ) P (Q) · í( P ) P ( R) Þ ( P ) P (Q ) · í( P ) Ç (Q ) = a ị a P b ù( P ) ầ ( R) = b ïa P (Q ), b P (Q ) ï(Q) P ( R) ỵ ỵ ỵ Chứng minh quan hệ song song a) Chứng minh hai đường thẳng song song Có thể sử dụng cách sau: · Chứng minh đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …) · Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba · Áp dụng định lí giao tuyến song song b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh d P ( P ) , ta chứng minh d không nằm (P) song song với đường thẳng d¢ nằm (P) c) Chứng minh hai mặt phẳng song song Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng mặt phẳng Trang Khối đa diện Trần Sĩ Tùng II QUAN HỆ VNG GĨC Hai đường thẳng vng góc ( ) ¶ a) Định nghĩa: a ^ b Û a, b = 90 b) Tính chất r r rr · Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a ^ b u.v = ỡb ÔÔ c Ãớ ịa^b îa ^ c Đường thẳng mặt phẳng vuông góc d ^ (P) Û d ^ a, "a Ì (P) a) Định nghĩa: b) Tính chất ìa, b Ì (P ), a ầ b = O ị d ^ (P ) íd ^ a, d ^ b ỵ ìa b Ãớ ịaP b ợa ^ ( P ), b ^ ( P) ì( P ) ¹ (Q) · ị ( P ) P (Q ) ợ( P ) ^ a,(Q) ^ a · Điều kiện để đường thẳng ^ mặt phẳng: ìa P b · í ỵ( P ) ^ a ì( P ) P (Q ) Ãớ ợa ^ ( P ) ị (P) ^ b Þ a ^ (Q ) ìa P ( P ) ìa Ë (P ) · í Þb^a · í Þ a P ( P) ỵb ^ ( P ) ỵa ^ b,( P ) ^ b · Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng · Định lí ba đường vng góc Cho a ^ ( P), b Ì ( P ) , a¢ hình chiếu a (P) Khi b ^ a Û b ^ a¢ Hai mặt phẳng vng góc a) Định nghĩa: b) Tính chất ( ) (P) ^ (Q) Û · ) = 900 ( P ),(Q ì( P ) É a · Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với nhau: í Þ ( P ) ^ (Q ) ỵa ^ (Q) ì( P ) ^ (Q ) ï ì( P ) ^ (Q),( P) Ç (Q) = c · í Þ a ^ (Q ) à A ẻ (P) ị a è (P) ợa Ì (P ), a ^ c ïa ' A, a ^ (Q ) ợ ỡ( P ) ầ (Q ) = a ï Þ a ^ ( R) · í( P ) ^ ( R) ï(Q) ^ ( R) ỵ Chứng minh quan hệ vng góc a) Chứng minh hai đường thẳng vng góc Để chứng minh d ^ a , ta sử dụng cách sau: · Chứng minh góc a d 900 · Chứng minh vectơ phương a d vng góc với · Chứng minh d ^ b mà b P a · Chứng minh d vng góc với (P) (P) chứa a · Sử dụng định lí ba đường vng góc Trang Trần Sĩ Tùng Khối đa diện · Sử dụng tính chất hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …) b) Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Để chứng minh d ^ (P), ta chứng minh cách sau: · Chứng minh d vng góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P) · Chứng minh d vng góc với (Q) (Q) // (P) · Chứng minh d // a a ^ (P) · Chứng minh d Ì (Q) với (Q) ^ (P) d vng góc với giao tuyến c (P) (Q) · Chứng minh d = (Q) Ç (R) với (Q) ^ (P) (R) ^ (P) c) Chứng minh hai mặt phẳng vng góc Để chứng minh (P) ^ (Q), ta chứng minh cách sau: · Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a ^ (Q) · · Chứng minh ( P ),(Q ) = 90 ( ) III GÓC – KHOẢNG CÁCH Góc ( ) ( ¶ · a//a', b//b' Þ a, b = a ', b ' a) Góc hai đường thẳng: ¶ Chú ý: 00 £ a, b £ 900 ( ) ) b) Góc đường thẳng với mặt phẳng: · · Nếu d ^ (P) d ,( P ) = 900 ( ( ) ) ( ) · · · Nếu d ^ ( P) d ,( P ) = d , d ' với d¢ hình chiếu d (P) · Chú ý: 00 £ d ,( P ) £ 900 ( ) ( ) ìa ^ ( P ) à ả ớb ^ (Q) ị ( P ),(Q ) = ( a, b ) ỵ ìa Ì ( P), a ^ c · ¶ · Giả sử (P) ầ (Q) = c T I ẻ c, dng í Þ ( P ),(Q ) = ( a, b ) ỵb Ì (Q ), b ^ c · Chú ý: 00 £ (P ),(Q) £ 90 c) Góc hai mặt phẳng ( ( ) ) d) Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S¢ diện tích hình chiếu (H¢) (H) · (Q), j = ( P ),(Q) Khi đó: S¢ = S.cosj ( ) Khoảng cách a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) độ dài đoạn vng góc vẽ từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) b) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng c) Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d) Khoảng cách hai đường thẳng chéo bằng: · Độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng · Khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng thứ · Khoảng cách hai mặt phẳng, mà mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng Trang Khối đa diện Trần Sĩ Tùng IV Nhắc lại số cơng thức Hình học phẳng Hệ thức lượng tam giác a) Cho DABC vng A, có đường cao AH · AB + AC = BC · AB = BC.BH , AC = BC CH · 1 = + 2 AH AB AC · AB = BC.sin C = BC cos B = AC.tan C = AC cot B b) Cho DABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài trung tuyến ma, mb, mc; bán kính đường trịn ngoại tiếp R; bán kính đường trịn nội tiếp r; nửa chu vi p · Định lí hàm số cosin: a2 =b + c2 – 2bc.cosA; b = c + a - 2ca.cos B; c = a + b - 2ab.cos C a b c · Định lí hàm số sin: = = = 2R sin A sin B sin C · Công thức độ dài trung tuyến: b + c a2 c2 + a2 b2 a + b2 c 2 - ; mb = - ; mc = 4 Các công thức tính diện tích a) Tam giác: 1 1 1 · S = a.ha = b.hb = c.hc · S = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 2 2 abc · S= · S = pr · S = p ( p - a )( p - b )( p - c ) 4R · DABC vuông A: 2S = AB AC = BC AH ma = S= · DABC đều, cạnh a: b) Hình vng: c) Hình chữ nhật: S = a2 S = a.b a2 (a: cạnh hình vng) (a, b: hai kích thước) · d) Hình bình hành: S = đáy ´ cao = AB AD.sinBAD · e) Hình thoi: S = AB AD.sinBAD = AC.BD f) Hình thang: S = (a + b ).h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc: S = AC.BD Trang Trần Sĩ Tùng Khối đa diện CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc với a, b, c ba kích thước khối hộp chữ nhật Thể tích khối chóp: V = Sđáy h với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối chóp 3 Thể tích khối lăng trụ: V = Sđáy h với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối lăng trụ Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện a) Tính thể tích cơng thức · Tính yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, … · Sử dụng cơng thức để tính thể tích b) Tính thể tích cách chia nhỏ Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà dễ dàng tính thể tích chúng Sau đó, cộng kết ta thể tích khối đa diện cần tính c) Tính thể tích cách bổ sung Ta ghép thêm vào khối đa diện khối đa diện khác cho khối đa diện thêm vào khối đa diện tạo thành dễ tính thể tích d) Tính thể tích cơng thức tỉ số thể tích Ta vận dụng tính chất sau: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Với điểm A, A’ Ox; B, B' Oy; C, C' Oz, ta có: VOABC OA OB OC = VOA ' B 'C ' OA ' OB ' OC ' * Bổ sung · Diện tích xung quanh hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích mặt bên · Diện tích tồn phần hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích xung quanh với diện tích đáy Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Góc mặt bên mặt đáy a (450 < a < 900) Tính thể tích hình chóp HD: Tính h = 1 a tan a Þ V = a3 tan a Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, cạnh bên SA = a Một mặt phẳng (P) qua AB vng góc với mp(SCD) cắt SC SD C¢ D¢ Tính thể tích khối đa diện ADD¢.BCC¢ HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' khối SABCD 5a3 ÞV= Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, cạnh cịn lại Tính thể tích hình chóp theo x y HD: Chia khối SABC thành hai khối SIBC AIBC (I trung điểm SA) Trang Khối đa diện Trần Sĩ Tùng xy - x - y2 12 Baøi Cho tứ diện ABCD có cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c Tính thể tích tứ diện theo a, b, c HD: Trong mp(BCD) lấy điểm P, Q, R cho B, C, D trung điểm PQ, QR, RP Chú ý: VAPQR = 4VABCD = AP AQ AR ÞV= (a2 + b2 - c2 )(b2 + c2 - a2 )(c + a2 - b2 ) 12 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA ^ (ABC).Gọi M N hình chiếu A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM ÞV= V 3a3 SA SM SN æ SA 16 HD: SAMN = =ỗ = ị V= ữ VSABC SA SB SC ỗ SB ữ 25 50 è ø Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 7cm, SA ^ (ABCD), SB = cm Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A với AB = cm, AC = 4cm Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng đáy SA = 5cm Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài Cho hình tứ diện ABCD có AD ^ (ABC) Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) b) Tính thể tích tứ diện ABCD Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C¢ có mp(ABC¢) tạo với đáy góc 450 diện tích DABC¢ 49 cm2 Tính thể tích lăng trụ Bài 10 Cho hình vng ABCD cạnh a, nửa đường thẳng Bx, Dy vng góc với mp(ABCD) phía mặt phẳng Trên Bx Dy lấy điểm M, N gọi BM = x, DN = y Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB =a, AD = a , SA ^ (ABCD) Gọi M,N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC a) Chứng minh mp(SAC) ^ BM b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA ^ (ABC) Gọi M N hình chiếu A đường thẳng SB, SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Trang Trần Sĩ Tùng Khối đa diện ÔN TẬP KHỐI ĐA DIỆN Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD, có cạnh đáy a · = a ASB a) Tính diện tích xung quanh hình chóp b) Chứng minh chiều cao hình chóp a a cot - 2 c) Tính thể tích khối chóp HD: a) Sxq = a2 cot a c) V = a a cot - Bài Cho hình chóp SABC có mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với đáy Đáy ABC tam giác cân đỉnh A, trung tuyến AD = a Cạnh bên SB tạo với đáy góc a tạo với mp(SAD) góc b a) Xác định góc a, b b) Chứng minh: SB2 = SA2 + AD2 + BD2 c) Tính diện tích tồn phần thể tích khối chóp HD: a) · = a ; · = b SBA BSD c) Stp = V= a2 a sin b (sin 2a + sin 2b ) + cos a - sin b cos a - sin b a3 sin a sin b 3(cos2 a - sin b ) Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác vng góc với đáy Gọi H trung điểm AB M điểm di động đường thẳng BC a) Chứng minh SH ^ (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD b) Tìm tập hợp hình chiếu S lên DM c) Tìm khoảng cách từ S đến DM theo a x = CM HD: b) K thuộc đường trịn đường kính HD c) SK = a a - 4ax + x 2 a2 + x Baøi Trên đường thẳng vng góc A với mặt phẳng hình vng ABCD cạnh a ta lấy điểm S với SA = 2a Gọi B¢, D¢ hình chiếu A lên SB SD Mặt phẳng (AB¢D¢) cắt SC C¢ Tính thể tích khối chóp SAB¢C¢D¢ HD: VSABÂC  16a3 ị VSABÂCÂD = = VSABC 15 45 Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD A¢, B¢, C¢, D¢ Chứng minh: SA SC SB SD + = + SA¢ SC¢ SB¢ SD¢ HD: Sử dụng tính chất tỉ số thể tích hình chóp Bài Cho tứ diện SABC có cạnh a Dựng đường cao SH a) Chứng minh SA ^ BC b) Tính thể tích diện tích tồn phần hình chóp SABC Trang Khối đa diện Trần Sĩ Tùng c) Gọi O trung điểm SH Chứng minh OA, OB, OC đơi vng góc với a3 ; Stp = a2 12 Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh bên tạo với đáy góc 600 cạnh đáy a a) Tính thể tích khối chóp b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vng góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo (P) hình chóp HD: b) V = a3 a2 HD: a) V = b) S = Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao SH = h góc đáy mặt bên a a) Tính diện tích xung quanh thể tích khối chóp theo a h b) Cho điểm M di động cạnh SC Tìm tập hợp hình chiếu S xuống mp(MAB) HD: a) Sxq = 4h tan a tan a - ; V= 4h3 3(tan a - 1) Bài Trên cạnh AD hình vng ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0 £ x £ a) nửa đường thẳng Ax vng góc A với mặt phẳng hình vng, người ta lấy điểm S với SA = y (y > 0) a) Chứng minh hai mặt phẳng (SBA) (SBC) vng góc b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC) c) Tính thể tích khối chóp SABCM d) Với giả thiết x + y = a Tìm giá trị lớn thể tích với SABCM e) I trung điểm SC Tìm quĩ tích hình chiếu I xuống MC M di động đoạn AD x 1 c) V = ay( x + a) d) Vmax = a 24 Baøi 10 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc a hợp với mặt bên SAB góc b HD: b) d = a) Chứng minh: SC2 = a2 cos a - sin b b) Tính thể tích khối chóp HD: b) V = a3 sin a sin b 3(cos2 a - sin b ) Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA =2a vng góc với mặt phẳng đáy a) Tính diện tích tồn phần hình chóp b) Hạ AE ^ SB, AF ^ SD Chứng minh SC ^ (AEF) Baøi 12 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a SA = SB = SC = SD = a Tính diện tích tồn phần thể tích khối chóp S.ABCD Bài 13 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, AB = AD = a, CD = 2a Cạnh bên SD ^ (ABCD) SD = a a) Chứng minh DSBC vng Tính diện tích DSBC b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Trang Trần Sĩ Tùng Khối đa diện Bài 14 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB = AD = a, CD = 2a Cạnh bên SD ^ (ABCD), SD = a Từ trung điểm E DC dựng EK ^ SC (K Ỵ SC) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a chứng minh SC ^ (EBK) Bài 15 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D Biết AB = 2a, AD = CD = a (a > 0) Cạnh bên SA = 3a vng góc với đáy a) Tính diện tích tam giác SBD b) Tính thể tích tứ diện SBCD theo a Bài 16 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vng B Cạnh SA vng góc với đáy Từ A kẻ đoạn thẳng AD ^ SB AE ^ SC Biết AB = a, BC = b, SA = c a) Tính thể tích khối chóp S.ADE b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB) Baøi 17 Cho lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C¢, cạnh đáy a, đường chéo mặt bên BCC¢B¢ hợp với mặt bên ABB¢A¢ góc a a) Xác định góc a a3 sin 3a b) Chứng minh thể tích lăng trụ là: sin3 a HD: a) · ¢ với I¢ trung điểm A¢B¢ C ¢BI Bài 18 Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A¢B¢C¢D¢, chiều cao h Mặt phẳng (A¢BD) hợp với mặt bên ABB¢A¢ góc a Tính thể tích diện tích xung quanh lăng trụ HD: V = h3 tan a - , Sxq = 4h tan a - Bài 19 Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC vng A Khoảng cách từ AA¢ đến mặt bên BCC¢B¢ a, mp(ABC¢) cách C khoảng b hợp với đáy góc a a) Dựng AH ^ BC, CK ^ AC¢ Chứng minh: AH = a, · ¢ = a, CK = b CAC b) Tính thể tích lăng trụ c) Cho a = b khơng đổi, cịn a thay đổi Định a để thể tích lăng trụ nhỏ HD: ab3 b) V = c) a = arctan 2 sin 2a b2 - a sin a Baøi 20 Cho lăng trụ ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh đáy a Góc đường chéo AC¢ đáy 600 Tính thể tích diện tích xung quanh hình lăng trụ HD: V = a3 ; Sxq = 4a2 Baøi 21 Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên h Từ đỉnh vẽ đường chéo mặt bên kề Góc đường chéo a Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ - cos a cos a Baøi 22 Cho lăng trụ tam giác ABc.A¢B¢C¢, cạnh đáy a Mặt phẳng (ABC¢) hợp với mp(BCC¢B¢) góc a Gọi I, J hình chiếu A lên BC BC¢ a) Chứng minh · = a AJI HD: Sxq = 4h2 b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình lăng trụ HD: b) V = 3a3 ; Sxq = 3a2 tan a - tan a - Baøi 23 Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy tam giác cạnh a, AA¢ = A¢B = A¢C = b Trang Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học II PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Bài (TN 2002) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (a ) : x + y + z –1 = x y z -1 = = 1 -1 Viết phương trình tắc đường thẳng giao tuyến mặt phẳng (a ) với mặt phẳng tọa độ Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết A, B, C giao điểm tương ứng mặt phẳng (a ) với trục tọa độ Ox, Oy, Oz; D giao điểm (d) với mặt phẳng tọa độ Oxy Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A, B, C, D Xác định tọa độ tâm bán kính đường trịn giao tuyến mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD) ĐS: 1) 2) Bài (TN 2003) Trong khơng gian Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ xác định uuu r r r r uuur r r r hệ thức: A(2;4;-1), OB = i + j - k , C(2;4;3), OD = 2i + j - k đường thẳng (d): Chứng minh AB  AC, AC AD, AD AB Tính thể tích khối tứ diện ABCD Viết phương trình tham số đường vng góc chung  hai đường thẳng AB CD Tính góc  mặt phẳng (ABD) Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A, B, C, D Viết phương trình tiếp diện (a) (S) song song với mặt phẳng (ABD) ìx = ï ĐS: 1) V = 2) D: í y = - 2t ; sin j = ïz = -1 + t ỵ 21 - 21 + = 0; (a ) : z = 2 Bài (TN 2004) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; –1; 2), B(1; 3; 2), C4; 3; 2), D(4; –1; 2) Chứng minh A, B, C, D bốn điểm đồng phẳng Gọi A¢ hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng Oxy Hãy viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A¢, B, C, D Viết phương trình tiếp diện () mặt cầu (S) điểm A’ 3) x + y + z2 - x - y - z + = ; (a1 ) : z + ĐS: 2) x + y + z2 - x - y - z + = 3) x + y + z + = Baøi (TN 2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) hai đường thẳng phương trình: x -1 y z ìx + 2y - = (S): x + y + z2 - x + y + z - = , (D1): í , (D2): = = -1 -1 ỵ x - 2z = Chứng minh (∆1) (∆1) chéo Viết phương trình tiếp diện mặt cầu (S), biết tiếp diện song song với hai đường thẳng (∆1) (∆2) ĐS: 2) ( P ) : y + z + + = 0; ( P2 ) : y + z + - = Bài (TN 2006–kpb) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; −1), B(1; 2; 1), C(0; 2; 0) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Viết phương trình đường thẳng OG Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm O, A, B, C Viết phương trình mặt phẳng vng góc với đường thẳng OG tiếp xúc với mặt Trang 83 Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng cầu (S) x y z = = 2) x + y + z2 - x - y = 3) x + y - ± 10 = Baøi (TN 2006–pb) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6) a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Tính diện tích tam giác ABC b) Gọi G trọng tâm DABC Viết phương trình mặt cầu đường kính OG ĐS: 1) OG : ĐS: a) ( ABC ) : x + y + z - = ; SD ABC = 14 2 ỉ 1ư ỉ 1ư 49 b) ç x - ÷ + ç y - ÷ + ( z - 1)2 = è 3ø è 2ø 36 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(–1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4) a) Chứng minh DABC vng Viết phương trình tham số đường thẳng AB uuur uuur b) Gọi M điểm cho MB = -2 MC Viết phương trình mặt phẳng qua M vng góc với đường thẳng BC 28 ĐS: a) AB : { x = -1 + t; y = 1; z = - t b) x - y + 3z =0 Bài (TN 2007–kpb) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương x - y +1 z -1 = = mặt phẳng (P) có phương trình: x - y + 3z + = trình: Tìm toạ độ giao điểm M đường thẳng d với mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) ĐS: 1) M(1; –3; –2) 2) x - z - = Baøi (TN 2007–pb) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(–1; –1; 0) mặt phẳng (P) có phương trình: x + y - z - = a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M song song với mặt phẳng (P) b) Viết phương trình tham số đường thẳng d qua M vng góc với mặt phẳng (P) Tìm toạ độ giao điểm H đường thẳng d với mặt phẳng (P) ĐS: a) (Q): x + y - z + = b) { x = -1 + t; y = -1 + t; z = -2t ; H(0; 0; –2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) mặt phẳng (P) có phương trình: x + y - z + = a) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm gốc toạ độ O tiếp xúc với mặt phẳng (P) b) Viết phương trình tham số đường thẳng D qua điểm E vng góc với (P) ĐS: a) x + y + z2 = b) D : { x = + t; y = + 2t; z = - 2t Bài (TN 2007–kpb–lần 2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d ì x = -1 + t ï x -1 y + z -1 = = d ¢ : í y = - 2t ï z = -1 + 3t ỵ Chứng minh hai đường thẳng d d¢ vng góc với Viết phương trình mặt phẳng qua điểm K(1; –2; 1) vng góc với đường thẳng d¢ ĐS: 2) x - y + 3z - = Bài 10 (TN 2007–pb–lần 2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E(1; –4; 5) F(3; 2; 7) a) Viết phương trình mặt cầu qua điểm F có tâm E b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng EF d¢ có phương trình: d : ĐS: a) ( x - 1)2 + ( y + 4)2 + ( z - 5)2 = 44 b) x + 3y + z - = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2), N(3; 1; 5) đường Trang 84 Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học ì x = + 2t ï thẳng d có phương trình: í y = -3 + t ïz = - t ỵ a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M vng góc với đường thẳng d b) Viết phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm M N ĐS: a) x + y - z = b) { x = + 2t; y = t; z = + 3t Baøi 11 (TN 2008–kpb) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) mặt phẳng (P) có phương trình: x - y + z + 35 = Viết phương trình đường thẳng qua điểm M vng góc với mặt phẳng (P) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm N thuộc trục Ox cho độ dài đoạn thẳng NM khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) x -1 y - z - ĐS: 1) = = 2) d ( M ,( P)) = ; N(7; 0; 0) N(–5; 0; 0) -3 Baøi 12 (TN 2008–pb) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; –2; –2) mặt phẳng (P) có phương trình: x - y + z - = a) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A vng góc với mặt phẳng (P) b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng (Q) cho (Q) song song với (P) khoảng cách (P) (Q) khoảng cách từ A đến (P) ì x = + 2t ï ĐS: a) í y = -2 - 2t ïz = -2 + t î b) d ( A,( P)) = ; (Q) : x - y + z + = (Q) : x - y + z - = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; –1), B(2; 4; 3) C(2; 2; –1) a) Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng BC b) Tìm toạ độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành b) D(1; 2; –5) ĐS: a) y + z - = Baøi 13 (TN 2008–kpb–lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(–2; 1; –2) x -1 y +1 z đường thẳng d có phương trình: = = -1 Chứng minh đường thẳng OM song song với đường thẳng d Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M vng góc với đường thẳng d ĐS: 2) x - y + z + = Baøi 14 (TN 2008–pb–lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –2; 0), N(–3; 4; 2) mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z - = a) Viết phương trình đường thẳng MN b) Tính khoảng cách từ trung điểm đoạn thẳng MN đến mặt phẳng (P) x -1 y + z = = b) d (I ,(P )) = ĐS: a) MN : -2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; –1; 3) mặt phẳng (P) có phương trình: x - y - z - 10 = a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A vng góc với mặt phẳng (P) ĐS: a) d ( A,( P )) = b) { x = + t; y = -1 - 2t; z = - 2t Baøi 15 (TN 2009) Trang 85 Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình: (S): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 + (z - 2)2 = 36 (P): x + y + z + 18 = a) Xác định toạ độ tâm T bán kính mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T đến (P) b) Viết phương trình tham số đường thẳng d qua T vng góc với (P) Tìm toạ độ giao điểm d (P) ĐS: a) T(1; 2; 2), R = b) { x = + t; y = + 2t; z = + 2t ; H(–2; –4; –4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) đường thẳng d có x +1 y - z + phương trình: = = -1 a) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng qua điểm A vng góc với d b) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d ĐS: a) x + y - z + = b) d ( A, d ) = ; ( x - 1)2 + ( y + 2)2 + ( z - 3)2 = 50 Baøi 16 (TN 2010) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) C(0; 0; 3) a) Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng BC b) Tìm toạ độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC ỉ1 3ư ĐS: a) (P): -2 y + 3z = b) I ỗ ;1; ữ è2 2ø Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D có phương trình: x y +1 z -1 = = -2 a) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng D b) Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm O đường thẳng D ĐS: a) d (O, D) = b) (P): x + y + z = Baøi 17 (TN 2011) ĐS: Trang 86 Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học ĐỀ THI ĐẠI HỌC Bài (ĐH 2002A) Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz, cho hai đường ìx = 1+ t ï D2 : í y = + t ï z = + 2t ỵ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D1 song song với đường thẳng D2 Cho điểm M(2; 1; 4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng D2 cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ ĐS: 1) ( P ) : x - z = 2) H(2; 3; 3) Bài (ĐH 2002D) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – y + = thẳng: ì x - 2y + z - = D1 : í ỵ x + 2y - 2z + = ì(2m + 1) x + (1 - m ) y + m - = (m tham số) Xác định m để đường đường thẳng dm: í ỵmx + (2m + 1)z + 4m + = thẳng dm song song với mặt phẳng (P) ĐS: m=- Bài (ĐH 2002A–db1) Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz, cho đường ì2 x - y - z + = thẳng d: í mặt cầu (S): x + y + z2 + x - y + m = Tìm m để x + y - 2z - = ỵ đường thẳng d cắt (S) hai điểm M, N cho khoảng cách hai điểm ĐS: Bài (ĐH 2002A–db2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz, cho hai ì x - az - a = ìax + 3y - = đường thẳng d1 : í d2 : í y - z +1 = ỵ î x + 3z - = Tìm a để hai đường thẳng d1 d2 chéo Với a = 2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d2 song song với d1 Tính khoảng cách d1 d2 a = ĐS: Bài (ĐH 2002B–db1) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D mặt ì2 x + y + z + = , (P): x - y + z - = Viết phẳng (P) có phương trình: D: í ỵx + y + z + = phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng D mặt phẳng (P) ĐS: Baøi (ĐH 2002B–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình: x - y + z + = hai điểm A(-1; -3; -2), B(-5;7;12) Tìm toạ độ điểm C đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ ĐS: Baøi (ĐH 2003A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢ có A trùng với gốc hệ tọa độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A¢(0; 0; b) (a > 0, b > 0) Gọi M trung điểm cạnh CC¢ Tính thể tích khối tứ diện BDA¢M theo a b a Xác định tỷ số để hai mặt phẳng (A¢BD) (MBD) vng góc với b a2 b a ĐS: 1) VBDA¢M = 2) = b Bài (ĐH 2003B) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) Trang 87 Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng uuu r điểm C cho AC = (0; 6; 0) Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA ĐS: d(I, OA) = Baøi (ĐH 2003D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng dk có phương ì x + 3ky - z + = trình: í Tìm k để đường thẳng dk vng góc với mặt phẳng (P) có ỵkx - y + z + = phương trình: x - y - z + = ĐS: k = Baøi 10 (ĐH 2003A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 x y +1 z ì3 x - z + = có phương trình: d1 : = = d2 : í ỵ2 x + y - = Chứng minh d1, d2 chéo vuông góc với Viết phương trình tổng qt đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1, d2 song x -1 y - z - song với đường thẳng D: = = -2 ĐS: Bài 11 (ĐH 2003A–db2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2;3; 2) , B(6; -1; -2) , C(-1; -4;3) , D(1; 6; -5) Tính góc hai đường thẳng AB CD Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng CD cho tam giác ABM có chu vi nhỏ ĐS: Bài 12 (ĐH 2003B–db1) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện OABC với A ( 0; 0; a ) , B(a; 0; 0) , C ( 0; a 3; ) Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM ĐS: Baøi 13 (ĐH 2003B–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm I (0; 0;1) , K(3; 0; 0) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm I, K tạo với mặt phẳng Oxy góc 30 ĐS: Bài 14 (ĐH 2003D–db1) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z - m - 3m = mặt cầu (S): ( x - 1)2 + ( y + 1)2 + ( z - 1)2 = Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Với m vừa tìm xác định toạ độ tiếp điểm (P) (S) ĐS: Baøi 15 (ĐH 2003D–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;1) , ì3 x - y - 11 = B(0; -1;3) đường thẳng d: í ỵ y + 3z - = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm I đoạn AB vng góc với AB Gọi K giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P) Chứng minh d vng góc với IK Viết phương trình tổng qt hình chiếu vng góc đường thẳng d mặt phẳng (Q) có phương trình: x + y - z + = ĐS: Bài 16 (ĐH 2004A) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD gốc toạ độ O Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S ( 0; 0; 2 ) Gọi M trung điểm cạnh SC Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA BM Trang 88 Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN 2 + = 2) VS ABMN = VS ABM + VS AMN = 3 Bài 17 (ĐH 2004B) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) đường ì x = -3 + 2t ï thẳng d: í y = - t Viết phương trình đường thẳng D qua điểm A, cắt vuông góc ïz = -1 + 4t ỵ với đường thẳng d x +4 y+2 z-4 ĐS: D: = = -1 Bài 18 (ĐH 2004D) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 Biết A(a; 0; 0), B(–a; 0; 0), C(0; 1; 0), B1(–a; 0; b) với a > 0, b > a) Tính khoảng cách hai đường thẳng B1C AC1 theo a b b) Cho a, b, thay đổi, thoả mãn a + b = Tìm a, b để khoảng cách hai đường thẳng B1C AC1 lớn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) mặt phẳng (P): x + y + z - = Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) ab ĐS: 1a) d (B1C , AC1 ) = 1b) max d = a = b = 2 a +b ĐS: 1) d (SA, BM ) = 2) ( x - 1)2 + y2 + ( z - 1)2 = Baøi 19 (ĐH 2004A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có A trùng với gốc toạ độ O, B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A1 ( 0; 0; ) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A1, B, C viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng B1D1 mặt phẳng (P) Gọi (Q) mặt phẳng qua A vng góc với A1C Tính diện tích thiết diện hình chóp A1.ABCD với mặt phẳng (Q) ĐS: Bài 20 (ĐH 2004A–db2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AC cắt BD gốc toạ độ O Biết A ( - 2; -1; ) , B ( 2; -1; ) , S(0; 0; 3) Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M cạnh AB, song song với hai đường thẳng AD, SC Gọi (P) mặt phẳng qua điểm B vng góc với SC Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P) ĐS: Bài 21 (ĐH 2004B–db1) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(4; 2; 2), B(0; 0; 7) x - y - z -1 đường thẳng d: = = Chứng minh hai đường thẳng d AB -2 thuộc mặt phẳng Tìm điểm C đường thẳng d cho DABC cân đỉnh A ĐS: Baøi 22 (ĐH 2004B–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), M(1; 1; 1) Tìm toạ độ điểm O¢ đối xứng với O qua đường thẳng AM Gọi (P) mặt phẳng thay đổi qua đường thẳng AM, cắt trục Oy, Oz lần Trang 89 Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng lượt điểm B, C Giả sử B(0; b; 0), C(0; 0; c), với b > 0, c > Chứng minh rằng: bc b+c = Xác định b, c cho diện tích tam giác ABC nhỏ ĐS: Bài 23 (ĐH 2004D–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(2; 2; 0), C(0; 0; 2) Tìm toạ độ điểm O¢ đối xứng với gốc toạ độ O qua mặt phẳng (ABC) Cho điểm S di chuyển trục Oz, gọi H hình chiếu vng góc O đường thẳng SA Chứng minh diện tích tam giác OBH nhỏ ĐS: Bài 24 (ĐH 2004D–db2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 1) đường ìx + y = thẳng d: í Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với đường ỵ2 x - z - = thẳng d Tìm toạ độ hình chiếu vng góc B¢ điểm B(1; 1; 2) mặt phẳng (P) ĐS: Bài 25 (ĐH 2005A) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d mặt phẳng x -1 y + z - (P) có phương trình: d : = = , (P): x + y - z + = -1 Tìm toạ độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) 2 Tìm toạ độ giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng D nằm mặt phẳng (P), biết D qua A vng góc với d ìx = t ï 2) A(0; –1; 4), D: í y = -1 ĐS: 1) I1 (-3;5; 7), I (3; -7;1) ïz = + t ỵ Bài 26 (ĐH 2005B) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; –3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4) Tìm toạ độ đỉnh A1, C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1) Gọi M trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1 C1 điểm N Tính độ dài đoạn MN 576 ĐS: 1) A1(0; –3; 4), C1(0; 3; 4), (S): x + ( y + 3)2 + z2 = 25 17 2) (P): x + y - z + 12 = , MN = Bài 27 (ĐH 2005D) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: x -1 y + z +1 ìx + y - z - = d1: = = d2: í -1 ỵ x + y - 12 = Chứng minh d1 d2 song song với Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d1 d2 Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 điểm A, B Tính diện tích tam giác OAB (O gốc toạ độ) 2) S = ĐS: 1) (P): 15 x + 11y - 17z - 10 = Bài 28 (ĐH 2005A–db1) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O vng góc với BC Tìm tọa độ giao điểm AC với mặt phẳng (P) Chứng minh tam giác ABC tam giác vng Viết phương trình mặt cầu ngọai tiếp tứ diện OABC Trang 90 Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học ỉ2 2ư ĐS: 1) (P): y - z = , M ỗ ; ; ÷ 2) (S): x + ( y - 1)2 + ( z - 1)2 = è3 3ø Bài 29 (ĐH 2005A–db2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz cho điểm A(2; 0; 0), C(0; 4; 0), S(0; 0; 4) Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy cho tứ giác OABC hình chữ nhật Viết phương trình mặt cầu qua điểm O, B, C, S Tìm tọa độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua đường thẳng SC ĐS: 1) B(2; 4; 0), (S): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 + (z - 2)2 = 2) A1(–2; 4; 4) Bài 30 (ĐH 2005B–db1) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: ì x = -1 - t x y z ï d1 : = = d2 : í y = t ( t tham số ) 1 ïz = + t ỵ Xét vị trí tương đối d1 d2 Tìm tọa độ điểm M thuộc d1 N thuộc d2 cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P) : x - y + z = độ dài đọan MN = ỉ4 8ư ỉ1 3ư ĐS: 1) d1, d2 chộo 2) M ỗ ; ; ữ , N ỗ ; - ; ữ ố7 7ø è7 7ø Baøi 31 (ĐH 2005B–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(5;2; – 3) mặt phẳng (P) : x + y – z + = Gọi M1 hình chiếu M lên mặt phẳng (P) Xác định tọa độ điểm M1 tính độ dài đọan MM1 x -1 y -1 z - Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M chứa đường thẳng: = = -6 ĐS: 1) M1(1; –2; –1), MM1 = 2) (Q): x + y + z - 10 = Bài 32 (ĐH 2005D–db1) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1 với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O1(0; 0; 4) Tìm tọa độ điểm A1, B1 Viết phương trình mặt cầu qua điểm O, A, B, O1 Gọi M trung điểm AB Mặt phẳng (P) qua M vng góc với O1 A cắt OA, OA1 N, K Tính độ dài đọan KN Baøi 33 (ĐH 2005D–db2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 với A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2) Xác định tọa độ đỉnh lại hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Gọi M trung điểm BC Chứng minh hai mặt phẳng (AB1D1) (AMB1) vng góc với Chứng minh tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 (N ≠ A) tới mặt phẳng (AB1D1) (AMB1) khơng phụ thuộc vào vị trí điểm N d ĐS: 1) C(2; 2; 0), D(0; 2; 0), A1(0; 0; 2), B1(2; 0; 2), C1(2; 2; 2) 2) = d2 ĐS: 1) A1(2; 0; 4), B1(0; 4; 4), (S): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 + (z - 2)2 = 2) KN = Bài 34 (ĐH 2006A) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A¢(0; 0; 1) Gọi M, N trung điểm AB CD Tính khoảng cách hai đường thẳng A¢C MN Viết phương trình mặt phẳng chứa A¢C tạo với mặt phẳng Oxy góc a, biết cos a = Trang 91 Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng 2) (Q1): x - y + z - = , (Q2): x - y - z + = 2 Baøi 35 (ĐH 2006B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) hai đường ìx = + t ï x y -1 z +1 thẳng: d1: = = , d2: í y = -1 - 2t -1 ïz = + t ỵ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 d2 Tìm toạ độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho ba điểm A, M, N thẳng hàng ĐS: 1) (P): x + y + 5z - 13 = 2) M(0; 1; –1), N(0; 1; 1) Bài 36 (ĐH 2006D) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) hai đường x -2 y + z-3 x -1 y -1 z +1 thẳng: d1: = = , d2: = = -1 -1 2 1 Tìm toạ độ điểm A¢ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1 Viết phương trình đường thẳng D qua A, vng góc với d1 cắt d2 x -1 y - z - ĐS: 1) A¢(–1; –4; 1) 2) D: = = -3 -5 Bài 37 (ĐH 2006A–db1) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A¢(0; 0; 2) Chứng minh A¢C vng góc với BC Viết phương trình mặt phẳng (ABC¢) Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng B¢C¢ mp(ABC¢) ìx + y + z - = 2) í S: 1) (ABCÂ): y - z = ợy - z = Bài 38 (ĐH 2006A–db2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình: x + y - z + = hai điểm A(4; 0; 0), B(0; 4; 0) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng (P) Xác định toạ độ điểm K cho KI vng góc với mặt phẳng (P) đồng thời K cách gốc toạ độ O mặt phẳng (P) ỉ 1 3ư ĐS: 1) M(12; 16; 0) 2) K ỗ - ; ; ÷ è 4ø Baøi 39 (ĐH 2006B–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng D1, D2 có ìx = + t ï x - y -1 z phương trình: D1: í y = - - t , D2: = = -1 ïz = ỵ Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng D1 song song với đường thẳng D2 Xác định điểm A D1 điểm B D2 cho đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ ĐS: 1) (P): x + y - z + = 2) A(1; –1; 2), B(3; 1; 0) Baøi 40 (ĐH 2006B–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình: x + y - z + = điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng AB mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu qua O, A, B tiếp xúc với mặt phẳng (P) ì2 x - y + z + = ĐS: (A¢B¢): í 2) (S): x + y + z2 - x - y - z = x - 3y + z - = ỵ Bài 41 (ĐH 2006D–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình: x - 3y + 11z - 26 = hai đường thẳng có phương trình: ĐS: 1) d = d1: x y - z +1 = = , -1 d2: x - y z-3 = = 1 Trang 92 Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Chứng minh d1 d2 chéo Viết phương trình đường thẳng D nằm (P), đồng thời cắt d1 d2 x +2 y-7 z-5 ĐS: 2) D: = = -8 -4 Bài 42 (ĐH 2006D–db2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 2; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 3) Viết phương trình đường thẳng D qua O vng góc với mặt phẳng (ABC) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OA, cho khoảng cách từ B đến (P) khoảng cách từ C đến (P) x y z ĐS: 1) D: = = 2) (P1): -6 x + 3y + z = , (P2): x + 3y - z = Bài 43 (ĐH 2007A) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: ì x = -1 + 2t ï x y -1 z + d1: = = d2 : í y = + t -1 ïz = ỵ Chứng minh hai đường thẳng d1 d2 chéo Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P): x + y - z = cắt hai đường thẳng d1, d2 x - y z +1 ĐS: 2) = = -4 Bài 44 (ĐH 2007B) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình: (S): x + y + z2 - x + y + z - = , (P): x - y + z - 14 = Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường tròn có bán kính Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn ĐS: 1) y - z = 2) M(–1; –1; –3) Baøi 45 (ĐH 2007D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(–1; 2; x -1 y + z 4) đường thẳng D: = = -1 Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vng góc với mặt phẳng (OAB) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng D cho MA2 + MB2 nhỏ x y-2 z-2 ĐS: 1) d : = = 2) M(–1; 0; 4) -1 Bài 46 (ĐH 2007A–db1) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(–1; 3; –2), B (–3; 7; –18) mặt phẳng (P): x - y + z + = Viết phương trình mặt phẳng chứa AB vng góc với mặt phẳng (P) Tìm tọa độ điểm M Î (P) cho MA + MB nhỏ ĐS: 1) x + 5y + z - 11 = 2) M(2; 2; –3) Baøi 47 (ĐH 2007A–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 0; 0); B(0; ì6 x - y + z = 4; 0); C(2; 4; 6) đường thẳng (d): í ỵ6 x + 3y + z - 24 = Chứng minh đường thẳng AB OC chéo Viết phương trình đường thẳng D song song với (d) cắt đường AB, OC ì6 x + 3y + z - 12 = ĐS: 2) D: í î3 x - 3y + z = Baøi 48 (ĐH 2007B–db1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(–3; 5; –5), Trang 93 Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng B(5; –3; 7) mặt phẳng (P): x + y + z = Tìm giao điểm I đường thẳng AB với mặt phẳng (P) Tìm điểm M Î (P) cho MA2 + MB2 nhỏ ĐS: 1) I(–1; 3; –2) 2) M º O(0; 0; 0) Bài 49 (ĐH 2007B–db2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 0; 0); M(0; –3; 6) Chứng minh mặt phẳng (P): x + y – = tiếp xúc với mặt cầu tâm M, bán kính MO Tìm tọa độ tiếp điểm Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M cắt trục Oy, Oz điểm tương ứng B, C cho VOABC = x y z x 2y z ĐS: 1) I(3; 3; 6) 2) (Q1): + + = , (Q2): - = 3 Baøi 50 (ĐH 2007D–db1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d mặt x - y + z +1 phẳng (P) có phương trình: d: = = , (P): x + y + z + = -1 Tìm toạ độ giao điểm M d (P) Viết phương trình đường thẳng D nằm (P) cho D ^ d khoảng cách từ M đến D 42 x -5 y+2 z+5 x +3 y+4 z-5 ĐS: 1) M(1; –3; 0) 2) D1: = = , D2: = = 2 -3 -3 Bài 51 (ĐH 2007D–db2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x -1 y - z x -5 y z+5 x – y + z – = đường thẳng d1 : = = d2 : = = -3 -5 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 (Q) ^ (P) Tìm điểm M Ỵ d1, N Î d2 cho MN // (P) cách (P) khoảng ĐS: 1) (Q): x + y + z - = 2) M1(3; 0; 2), N1(–1; –4; 0) M2(1; 3; 0), N2(5; 0; –5) Bài 52 (ĐH 2008A) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) đường x -1 y z - thẳng d: = = 2 Tìm toạ độ hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng d Viết phương trình mặt phẳng (a) chứa d cho khoảng cách từ A đến (a) lớn ĐS: 1) H(3; 1; 4) 2) (a): x - y + z - = Baøi 53 (ĐH 2008B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x + y + z - = cho MA = MB = MC ĐS: 1) x + y - z + = 2) M(2; 3; –7) Baøi 54 (ĐH 2008D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D Tìm toạ độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS: 1) x + y + z2 - x - y - 3z = 2) H(2; 2; 2) Baøi 55 (ĐH 2008A–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O vng góc với BC Tìm tọa độ giao điểm AC với mặt phẳng (P) Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông Viết phương trình mặt cầu ngọai tiếp Trang 94 Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học tứ diện OABC æ2 2ö 2 ĐS: 1) ( P ) : y - z = , M ỗ , , ÷ 2) x + ( y - 1) + ( z - 1) = è3 3ø Bài 56 (ĐH 2008A–db2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 0; 0), C(0; 4; 0), S(0; 0; 4) Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy cho tứ giác OABC hình chữ nhật Viết phương trình mặt cầu qua điểm O, B, C, S Tìm tọa độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua đường thẳng SC ĐS: 1) B(2; 4; 0), ( x - 1)2 + ( y - 2)2 + (z - 2)2 = 2) A1 (-2; 4; 4) Baøi 57 (ĐH 2008B–db1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ì x = -1 - t x y z ï ( t tham số ) d1 : = = d2 : í y = t 1 ïz = + t ỵ Xét vị trí tương đối d1 d2 Tìm tọa độ điểm M thuộc d1 N thuộc d2 cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P): x - y + z = độ dài đọan MN = æ4 8ö æ1 3ö ĐS: 1) d1 d2 chộo 2) M ỗ ; ; ữ , N ỗ ; - ; ữ ố7 7ứ è7 7ø Bài 58 (ĐH 2008B–db2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(5; 2; – 3) mặt phẳng (P): x + y - z + = Gọi M1 hình chiếu M lên mặt phẳng ( P ) Xác định tọa độ điểm M1 tính độ dài đọan MM1 Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M chứa đường thẳng x -1 y -1 z - d: = = -6 ĐS: 1) M1 (1; -2; -1) , MM1 = 2) (Q): x + y + z - 10 = Bài 59 (ĐH 2008D–db1) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1 với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O1(0; 0; 4) Tìm tọa độ điểm A1, B1 Viết phương trình mặt cầu qua điểm O, A, B, O1 Gọi M trung điểm AB Mặt phẳng (P) qua M vng góc với O1 A cắt OA, OA1 N, K Tính độ dài đoạn KN Baøi 60 (ĐH 2008D–db2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 với A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2) Xác định tọa độ điểm cịn lại hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Gọi M trung điểm BC Chứng minh hai mặt phẳng (AB1D1) (AMB1) vng góc Chứng minh tỉ số khỏang cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 ( N ≠ A ) đến mặt phẳng (AB1D1) (AMB1) khơng phụ thuộc vào vị trí điểm N d ĐS: 1) C(2; 2; 0), D(0;2;0), A1(0; 0; 2), B1(2; 0; 2), C1(2; 2; 2) 2) = d2 ĐS: 1) A1(2; 0; 4), B1(0; 4; 4), (S ) : ( x - 1)2 + ( y - 2)2 + ( z - 2)2 = 2) KN = Baøi 61 (CĐ 2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 3) đường thẳng x y z -1 = = -1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với đường thẳng d Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác MOA cân đỉnh O d có phương trình: Trang 95 Đề thi Tốt nghiệp – Đại học ĐS: 1) (P): x - y + z - = Trần Sĩ Tùng ỉ 5 7ư 2) M(1; -1;3) M ç - ; ; - ÷ è 3 3ø Bài 62 (ĐH 2009A) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y - z - = mặt cầu (S): x + y + z2 - x - y - z - 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường trịn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y + z - = hai x +1 y z + x -1 y - z +1 = = , D2: = = Xác định toạ độ điểm M 1 -2 thuộc đường thẳng D1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) ỉ 18 53 ĐS: 1) H(3; 0; 2), r = 2) M(0; 1; –3), M ỗ ; ; ữ ố 35 35 35 ø Bài 63 (ĐH 2009B) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh A(1; 2; 1), B(–2; 1; 3), C(2; –1; 1) D(0; 3; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y + z - = hai điểm A(–3; 0; 1), B(1; –1; 3) Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ x + y z -1 ĐS: 1) ( P ) : x + y + z - 15 = , (P): x + 3z - = 2) D : = = 26 11 -2 Baøi 64 (ĐH 2009D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) mặt phẳng (P): x + y + z - 20 = Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) x +2 y-2 z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D: = = mặt 1 -1 phẳng (P): x + y - 3z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt vng góc với đường thẳng D ì x = -3 + t ỉ5 ù S: 1) D ỗ ; ; -1 ữ 2) d : í y = - 2t è2 ø ïz = - t ỵ Bài 65 (CĐ 2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P1): x + y + 3z + = (P2): x + y - z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1; 1; 1), vng góc với hai mặt phẳng (P1) (P2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 0), B(0; 2; 1) trọng tâm G(0; 2; –1) Viết phương trình đường thẳng D qua điểm C vng góc với mặt phẳng (ABC) ì x = -1 + t ï ĐS: 1) (P): x - 5y + z - = 2) D: í y = + t ïz = -4 ỵ Bài 66 (ĐH 2010A) x -1 y z + Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D: = = mặt -1 phẳng (P): x - y + z = Gọi C giao điểm D với (P), M điểm thuộc D Tính đường thẳng D1: Trang 96 Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học khoảng cách từ M đến (P), biết MC = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; –2) đường thẳng D có x +2 y-2 z+5 phương trình: = = Tính khoảng cách từ A đến D Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt D hai điểm B C cho BC = ĐS: 1) d ( M ,( P)) = 2) d ( A, D) = ; (S ) : x + y + ( z + 2)2 = 25 Bài 67 (ĐH 2010B) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), b, c dương mặt phẳng (P): y - z + = Xác định b, c biết mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) x y -1 z = = Xác định toạ 2 độ điểm M trục hoành cho khoảng cách từ M đến D OM 2) M(–1; 0; 0) M(2; 0; 0) ĐS: 1) b = c = Baøi 68 (ĐH 2010D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z - = (Q): x - y + z - = Viết phương trình mặt phẳng (R) vng góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) ìx = + t ï Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng D1: í y = t D2: ïz = t ỵ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D: x - y -1 z = = Xác định toạ độ điểm M thuộc D1 cho khoảng cách từ M đến D2 2 ĐS: 1) (R): x - z ± 2 = 2) M(4; 1; 1) M(7; 4; 4) Bài 69 (CĐ 2010) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –2; 3), B(–1; 0; 1) mặt phẳng (P): x + y + z + = a) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A (P) AB b) Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính , có tâm thuộc đường thẳng AB (S) tiếp xúc với (P) ĐS: a) H(-1; -4;1) b) (S1) : ( x + 4)2 + ( y – 3)2 + ( z + 2)2 = (S2): ( x + 6)2 + ( y - 5)2 + ( z + 4)2 = x y -1 z 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: = = mặt -2 1 phẳng (P): x - y + z - = a) Viết phương trình mặt phẳng chứa d vng góc với (P) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho M cách gốc tọa độ O mặt phẳng (P) ĐS: a) x + y – = b) M(0;1; 0) Trang 97 ... y để thể tích tứ diện ỉ ỉa a3 HD: a) MN = 2a + ( x - y )2 b) V = ( x + y ) , (x, y) = ỗ a; ữ hoc ỗ ; a ÷ è 2ø è2 ø Bài Trong mặt phẳng (P), cho hình vng ABCD cạnh a Gọi O giao điểm đường chéo