BÀI TẬP SỐ PHỨC TÓM TẮC LÝ THUYẾT 1.Hai số phức bằng nhau: a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d Hai số phức liên hợp: cho z = a + bi thì z = a – bi 2.Môđun của số phức: cho z = a + bi thì |z| = 3.Các phép toán với số phức (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i 2121 zzzz ±=± (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i ; 21 z.z = 1 z . 2 z ; z. z = |z| 2 = ; = z 1 . 2 1 2 1 z z z z = 4.Căn bậc hai của một số phức: Cho số phức z = a + bi *nếu b ≥ 0 thì = ± *nếu b < 0 thì = ± 4.Dạng lượng giác của số phức *Cho z = a + bi thì môđun r và argument ϕ được tính bởi công thức sau: r = ; cosϕ = ; sinϕ = * Cho z = a + bi thì có thể viết z = r(cosϕ + i.sinϕ) 5.Công thức MOAVRƠ Cho hai số phức z 1 = r 1 (cosϕ 1 + i.sinϕ 1 ) và z 2 = r 2 (cosϕ 2 + i.sinϕ 2 ) khi đó: z 1 .z 2 = r 1 .r 2 [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i.sin(ϕ 1 + ϕ 2 )] = [cos(– ϕ) + i.sin(– ϕ)] = [cos(ϕ 1 – ϕ 2 ) + i.sin(ϕ 1 – ϕ 2 )] Công thức MOAVRƠ: Cho z = r(cosϕ + i.sinϕ) thì z n = r n (cosnϕ + i.sinnϕ) căn bậc n của z có n giá trị là n số phức được xác định như sau: z k = (cos+ i.sin) với k = 0,1,….n – 1 BÀI TẬP 1.Thực hiện các phép tính sau: a) (3 – 5i) + (2 + 4i) b) (11 – 6i) – (2 – 4i) c) (2 – 4i)(3 + i) d) – 2i(3 – 8i) e) (3 + 2i)(1 – i) + (3 – 2i)(1 + i) f) g) h) g) + h) g) + 4 – 3i 2.Tính các biểu thức sau: a) i 15 ,i 30 ,i 37 ,i 28 . Từ đó suy ra cách tính i n với n ∈ N b) (1 + i) 2 ,(1 + i) 3 ,(1 + i) 4 ,(1 + i) 5 , (1 + i) 2006 , (1 – i) 2006 c) () 33 + (1 – i) 10 + (2 + 3i)(2 – 3i) + e) (– 4i) f) 4.Giải các phương trình sau: a) (3 + 4i)x = (1 + 2i)(4 + i) b) 2ix + 3 = 5x + 4 c) 3x(2 – i) + 1 = 2ix(1 + i) + 3i d) x = e) [(2 – i) + 3 + i](iz + ) = 0 f) x + 2 = 2 – 4i 4.a)Chứng minh rằng số phức z là số thực ⇔ z = b)không thực hiện các phép tính,hãy giải thích vì sao các số phức sau là số thực: + và – 3.Giải các phương trình sau trong C: a) z 2 + |z| = 0 b) z 2 + = 0 c) z 2 + 2 = 0 b) 2ix 2 – 3x + 4 + i = 0 c) x 2 – x + 3 = 0 d) x 6 – 9x 3 + 8 = 0 e) x 2 + 2(1 + i)x – (3 + 2i) = 0 f) 2x 2 + 3x + 5 = 0 g) x 2 – (2 + i)x + (7i – 1) = 0 h) x 2 + (3 – 2i)x + (5 – 5i) = 0 i) x 4 – 3x 2 + 4 = 0 j) x 3 – 2(1 + i)x 2 + 3ix + 1 – i = 0 k) z 2 + ( – 1 – i)z – (1 + i) = 0 l) z 4 – 8(1 – i)z 2 + 63 – 16i = 0 m) z 4 – 24(1 – i)z 2 + 308 – 144i = 0 n)z 4 – z 3 + + z + 1 = 0 o)z 3 + + – = 0 p) 8z 4 + 8z 3 – z – 1 = 0 p) 1 iz iz 4 = − + 3.a) Cho z = Tính |z| b) Tìm số phức z sao cho z 2 = 4.Tính z = và tìm căn bậc 5 của – i 5.Cho z 1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình : x 2 + (2 – i)x + 3 + 5i = 0 Không giải phương trình ,hãy tính: a) z 1 2 + z 2 2 b) z 1 4 + z 2 4 c) d) z 1 4 z 2 + z 2 4 z 1 6.Tính căn bậc hai của các số phức sau: a) 8 + 6i b) – 1 + 2i c) 16 – 30i d) i e) 1 – i 7.Tính các giá trị của các căn thức sau trong C a) b) c) d) 7.Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: a) – 1 + i b) – 1 – i c) 1 – i d) 1 e) 8i f) 3+ 4i g) 1 + i h) 4 – 4i i) – 125i 8.Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: a) (cos– i.sin) b)– (cos+ i.sin) c)3(– cos+ i.sin) d) – cos+ i.sin e) 2(sin+ i.cos) f) – sin– i.cos)g) sinϕ + 2i.sin 2 h) cosϕ + i(1+ sinϕ) i) ( – i) 100 j) [] 6 k) l) () 20 m) 9.Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: a) (1 – i) 6 .( + i) 8 b) (cos – i.sin).i 5 .(1 + i) 6 c) d) e) z 2006 + biết z + = 1 10.Cho số phức z có mođun bằng 1,biết một acgumen của z là ϕ Hãy tìm một acgumen của số phức sau: a) 2z 2 b) – c) d) – z 2 . e) z + f) z 2 + z g) z 2 – z h) z 2 + 11. Tìm số nguyên n để cácsố phức sau là số thực hoặc số ảo: a) n i33 i33 − − b) n i34 i7 − + 12.Giải hệ phương trình sau: a) −=− =− 1ziz zi2z b) −=+ +=+ i25zz i4zz 2 2 2 1 21 13.a)Tìm các số thực a, b sao cho: z 4 – 4z 2 – 16z – 16 = (z 2 – 2z – 4)(z 2 + az + b) , ∀ z ∈C b) Giải phương trình : z 4 – 4z 2 – 16z – 16 = 0 14.Tìm số nguyên dương n sao cho n i33 i.33 − − a) là một số thực b) là một số ảo 15.Cho z = cosϕ + sinϕ a) Hãy tìm z n + n ; z n – n n ∈Z + b)Dùng các khai triển của (z + ) 3 và (z – ) 3 để tìm sin3ϕ và cos3ϕ theo sinϕ và cosϕ c)Tìm các biểu diễn của sin4ϕ , cos4ϕ , sin5ϕ , cos5ϕ theo sinϕ và cosϕ 16.a) Cho z = cosϕ + sinϕ, chứng minh rằng ∀ n ∈Z + ta có: z n + = 2cosnϕ z n – = 2isinnϕ b)Chứng minh rằng: cos 4 ϕ = (cos4ϕ + 4cos2ϕ + 3) sin 5 ϕ = (sin5ϕ – 5sin3ϕ + 10sinϕ) 17.Tính các tổng sau: a) f(x) = 1 + cosx + cos2x + … + cosnx n ∈ Z b) f(x) = sinx + sin2x + sin3x + … + sinnx c) f(x) = cosx + cos3x + cos5x + … + cos(2n – 1)x d) f(x) = sinx + sin3x + sin5x + … + sin(2n – 1)x e) f(x) = cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x + … + cos 2 nx f) f(x) = sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x + … + sin 2 nx