SKKN BÀI TẬP VỀ TỈ LỆ THỨC

Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa Phần thứ nhất Lời nói đầu I/ Lý do chọn đề tài: 1/ Cơ sở lý luận: Đi đôi với việc đổi mới chơng trình là đổi mới phơng pháp dạy học. Cốt lõi của phơng pháp mới là phát huy tính tích cực, chủ động của ngời học. Dạy học phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh là phù hợp tâm lý học sinh bởi tính tích cực, chủ động sẽ dần tới tự giác, khơi dậy tiềm năng to lớn của học sinh bởi các em đang ở lứa tuổi a hoạt động, thích khám phá. Dạy học phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh cũng đáp ứng yêu cầu của đất nớc đang bớc vào thời kỳ đổi mới, thời kỳ đòi hỏi những con ngời lao động phải năng động, tự chủ, giàu tính sáng tạo . Tuy nhiên phát huy tích cực, chủ động của học sinh nh thế nào, bằng biện pháp gì, vận dụng trong tiết dạy toán ra sao vẫn luôn là vấn đề làm tôi trăn trở. Qua vài năm thực hiện theo chơng trình đổi mới của bộ GD - ĐT tôi đã tự rút ra một số kinh nghiệm cho riêng mình. Qua thực tế giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi ở lớp 7, tôi thấy bài tập về tỉ lệ thức rất thờng gặp đối với các em. ứng dụng của dạng toán này rất đa dạng và có tính sáng tạo. Trong sách giáo khoa lớp 7, phần kiến thức về tỉ lệ thức đợc trình bày không nhiều nhng đây lại là một chuyên đề không thể thiếu đợc trong phần bồi dỡng học sinh giỏi và trong việc giải một số bài tập đại số và hình học. Bài tập về tỉ lệ thức rất phong phú đòi hỏi học sinh phải có óc phân tích, t duy lô gíc để thiết lập đợc mối quan hệ giữa các đại lợng để dẫn tới lời giải bài toán do đó giúp học sinh có t duy sáng tạo trong việc học toán. Để gây hứng thú, lòng say mê học toán cho học sinh và giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc giải bài tập dạng này, tôi mạnh dạn đi sâu tìm hiểu và nghiên cứu các bài tập về tỉ lệ thức với mục đích là tài liệu cho bản thân và làm tiền đề cho việc truyền thụ tri thức đợc tốt hơn. 2/ Cơ sở thực hiện: Với mong muốn học sinh lớp 7 nắm đợc cách giải chung cho từng loại, biết vận dụng cụ thể vào từng bài riêng biệt một cách dễ dàng, đặc biệt giúp học sinh phát huy tính sáng tạo cao trong việc giải toán. Qua thực tiễn giảng dạy của bản thân, tôi đã suy nghĩ và đúc rút đợc một số kinh nghiệm trong giảng dạy các chuyên đề toán học đó là phân loại và đa ra phơng pháp giải cho từng loại. Đặc biệt với chuyên đề về tỉ lệ thức, học sinh từ chỗ nắm vững phong pháp giải đã say mê hơn với học tập và kích thích tính sáng tạo trong học toán của học sinh. II/ mục đích yêu cầu của đề tài: 1 Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa 1/ Nội dung: - Hệ thống lý thuyết cần thiết để giải bài tập về tỉ lệ thức. - Chọn ra hệ thống bài tập về tỉ lệ thức. - Học sinh phân tích đề bài để định hớng từng loại toán và tìm ra kiến thứuc cần sử dụng cho việc giải từng bài tập cụ thể cũng nh phơng pháp để giải từng loại bài tập, học sinh biết vận dụng linh hoạt lý thuyết trong giải bài tập toán. 2/ Ph ơng pháp: - Nghiên cứu lý thuyết về tỉ số, tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau. - Sử dụng các phơng pháp phân tích, tổng hợp, tơng tự là các phơng pháp dạy và học toán. - Nghiên cứu sách giáo khoa và tài liệu tham khảo. 2 Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa Phần thứ hai Nội dung I/ một số vấn đề chung: 1/ Yêu cầu về kiến thức cần đạt đ ợc: - Nắm chắc, hiểu sâu các định nghĩa, các tính chất về tỉ số, tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau. - Học sinh biết phân loại dạng toán trong giải bài tập. - Trên cở sở kiến thức cơ bản và bài tập cụ thể, học sinh tự biết khai thác bài toán. 2/ Yêu cầu về ph ơng pháp giảng dạy: - Ngời giáo viên nói chung phải sử dụng nhiều phơng pháp và sử dụng linh hoạt các phơng pháp đó để đảm bảo kiến thức cơ bản và bài tập phải phù hợp với trình độ học sinh. - Học sinh phải nắm chắc lý thuyết, dạng bài tập cơ bản chung nhất. - Học sinh phân tích đợc đề bài để định hớng phân loại bài tập. - Sử dụng phơng pháp vấn đáp, gợi mở : giáo viên thờng dùng các câu hỏi tại sao? , nh thế nào?, đề bài yêu cầu gì? , cần vận dụng kiến thức nào? - Để phát triển t duy của học sinh cần phải tiếp tục cho học sinh làm bài tập với các yêu cầu sau: + Tự tìm cách giải khác + Tự đặt câu hỏi khai thác bài toán + Khái quát bài toán tổng quát ( nếu có thể). 3 Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa II/ Lý thuyết cơ bản và một số bài tập ứng dụng: A/ Lý thuyết: 1/ Tỉ số: Định nghĩa: Tỉ số của hai số a và b là thơng của hai số a và b (cùng đơn vị đo). Tổng quát: k b a ba == : Tính chất: = = = = )0,( . . . mb mb ma b a k a b kba k b a 2/ Tỉ lệ thức: Định nghĩa: Tỉ lệ thức là: Một đẳng thức giữa hai tỉ số. Tổng quát: d c b a k d c k b a = = = Tính chất: + Từ tỉ lệ thức .bcad d c b a == + Từ đẳng thức ad = bc với a, b, c, d 0 ta có các tỉ lệ thức 4 Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa .;;; a b b d a c b d d b c a d c b a ==== + Tính chất hoán vị : Từ tỉ lệ thức d c b a = suy ra các tỉ lệ thức .;; a b b d a c b d d b c a === 3/ Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: db ca db ca d c b a d c b a = + + === (b, d 0; b d) Mở rộng cho dãy nhiều tỉ số bằng nhau: fdb eca fdb eca f e d c b a f e d c b a + + = ++ ++ ===== (giả thiết các mẫu có nghĩa) 4/ Chia tỉ lệ: + x, y, z tỉ lệ với a, b, c x : y : z = a : b : c Hay c z b y a x == + x, y, z tỉ lệ nghịch với m, n, p pnm zyx 1 : 1 : 1 :: = Hay xm = yn = zp. B/ bài tập : Dạng 1: bài tập trắc nghiệm Mục đích: Củng cố lý thuyết và sửa các lỗi sai thờng gặp của học sinh. Bài 1: Các kết luận sau đúng hay sai: 5 Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa Cho dãy tỉ số: q p d c b a == suy ra các kết luận sau: Kết luận Đúng Sai q p d c b a == = dqb cpa + + q p d c b a += )0( . . = m mb ma d c db ca q p . . = qb pc b a = Bài 2: Cho tỉ lệ thức q p n m = . Trong các tỉ lệ thức sau, tỉ lệ thức nào đúng: a/ q n p m = b/ p n m q = c/ n q m p = d/ nq mp n m . . = Bài 3: Trong các cách viết sau, cách viết nào đúng: Cách viết Đúng q p d c b a == dc ba d b c a d c b a + + ==== bq ap db ca q p d c b a = + + === 543543 zyxzyx ++=== Bài 4: Điền vào ô trống: a/ Với a 0, hãy chọn 2 trong 3 số a 2 ; (-a) 2 ; -a 2 điền vào ô trống sao cho tỉ lệ thức đúng: 3333 )( ; aaaa = = 6 Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa b/ Với a 0, hãy chọn 2 trong 3 số a 4 ; (-a) 4 ; -a 4 điền vào ô trống sao cho tỉ lệ thức đúng: = = 3333 )( ; aaaa Với bài tập này, nhiều học sinh sai do không nắm chắc kiến thức về lũy thừa và kiến thức về tỉ lệ thức. Giáo viên cần lu ý cho học sinh: - Lũy thừa bậc chẵn của hai số đối nhau thì bằng nhau a 2n = (-a) 2n (n N). - Luỹ thừa bậc lẻ của hai số đối nhau thì đối nhau a 2n+1 = -[(-a) 2n+1 ] (n N). - (-a) 2n = - a 2n a = 0. Dạng 2: Lập tỉ lệ thức: Mục đích: - Là kỹ năng cần thiết đối với học sinh. - Là bài tập quan trọng ứng dụng khi học hình học 8 về định lý Ta Let và tam giác đồng dạng. Ví dụ: Cho ba số 6 ; 8 ; 24 a/ Hãy tìm số x sao cho x cùng với ba số trên lập thành một tỉ lệ thức ? b/ Có thể lập đợc bao nhiêu tỉ lệ thức? Giải: a/ Trong ba số 6 ; 8 ; 24 ta có 3 cách chọn ra tích hai số rồi lập đẳng thức với tích của số còn lại với x. 6 . 8 = 24 . x x = 2 6 . 24 = 8 . x x = 18 8 . 2 4 = 6 . x x = 32 b/ Với đẳng thức 6 . 8 = 24 . 2 ta lập đợc 4 tỉ lệ thức 7 Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa 6 24 2 8 ; 6 2 24 8 ; 8 24 2 6 ; 8 2 24 6 ==== Tơng tự với các đẳng thức 6 . 24 = 8 . 18 và 8 . 24 = 6 . 32 Ta có tất cả là 3 . 4 = 12 tỉ lệ thức. Bài tập áp dụng: Bài 1: Lập tất cả các tỉ lệ thức có đợc từ các đẳng thức sau: a/ 5 . (-14) = (-35). 2 b/ 0,18 . 4,25 = 0,45 . 1,7. Bài 2: Lập tất cả các tỉ lệ thức có đợc từ các đẳng thức sau: 12 : (- 54) = ( -6,5) : 29,25. Bài 3: Lập tất cả các tỉ lệ thức có đợc từ các số sau: a/ 3 ; 6 ; 12 ; 24 b/ 0,4 ; 0,45 ; 3,16 ; 3,555. Bài 4: Lập tất cả các tỉ lệ thức từ 4 trong 5 số sau: a/ 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32. b/ 0,2 ; 0,6 ; 0,18 ; 0,54 ; 0, 162. c/ 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; 243. Để giải loại bài tập này, học sinh phải vận dụng tính chất thứ 2 và 3 của tỉ lệ thức. Lu ý học sinh khi lập tỉ lệ thức phải bảo đảm: + Các tích chéo bằng nhau hay tích các trung tỉ luôn bằng tích các ngoại tỉ. + Lập đợc một tỉ lệ thức đúng, theo tính chất hoán vị ta lập đợc 3 tỉ lệt hứuc còn lại. Với bài tập 4, học sinh hay mắc lỗi + Viết thiếu tỉ lệ thức + Bài 4b viết tích các số thập phân, học sinh hay nhầm 0,2 . 0,162 = 0,6 . 0,54, dẫn đến viết sai tỉ lệ thức. Giáo viên nên hớng dẫn học sinh giải theo các bớc sau: 8 Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa Bớc 1: Lập đẳng thức hai tích bằng nhau. Bớc 2: Lập 1 tỉ lệ thức. Bớc 3: Lập 3 tỉ lệ thức còn lại. Dạng 3: Tìm các số x, y, z Mục đích: Dựa vào tính chất của tỉ số hoặc định nghĩa và tính chất của tỉ lệ thức để tìm thành phần cha biết của tỉ số hoặc tỉ lệ thức. Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y, z Ví dụ 1: Tìm x trong tỉ lệ thức: 5 7 3 5 = + x x Giải: Cách 1: Nhân chéo 5 7 3 5 = + x x ( x + 5) . 5 = ( x 3) .7 5x + 25 = 7x 21 25 + 21 = 7x 5x 46 = 2x x = 23. Cách 2: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau 2335.4 4 5 3 4 2 8 57 )3()5( 5 3 7 5 5 7 3 5 =+= = == + = = + = + x x xxxx x x Cách 3: Chia tử cho mẫu 5 7 3 5 = + x x 5 2 1 3 8 1 += + x 9 Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa 23 203 20 8 5 2 3 8 = = == x x x Ví dụ 2: Tìm x, y biết 3x = 5y và y x = 14 Giải: Cách 1: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau == == = = === 213.7 355.7 7 2 14 5335 53 y x xyyx yx Cách 2: Từ 3x = 5y 35 yx = Đặt = = == ky kx k yx 3 5 35 Mà y x = 14 3k 5k = 14 -2k = 14 k = -7 Vậy x = 5 . (-7) = -35 và y = 3 . (-7) = -21. Cách 3: Từ y x = 14 y = 14 + x 3x = 5y 35 yx = 7 2 14 53 14 3 14 5 = = + = + = xxxx x = 5 . (-7) = -35 y = -35 + 14 = -21. 10 [...]... tiết dạy lý thuyết và luyện tập trên lớp, tôi đã giảng dạy kiến thức về định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau và mở rộng khi bồi dỡng học sinh giỏi lớp 7 - Qua các dạng bài tập điển hình cho cho học sinh tìm hiểu, suy nghĩ, lựa chọn, vận dụng cách giải bài tập - Với học sinh khá giỏi, cho học sinh trình bày cách làm, biết làm tơng tự cho những bài tập tổng quát - Đối với học sinh... tỉ số bằng nhau tìm x, y, z + Bớc 4: So sánh với điều kiện và trả lời Bài tập áp dụng: Bài 1: Hai đoàn tầu xuất phát từ hai thành phố A và B cách nhau 550 km, đi ngợc chiều nhau và gặp nhau tại địa điểm C Vận tốc của chúng tỉ lệ với 4 và 5, còn thời gian chạy của chúng tỉ lệ với 5 và 7 Tính khoảng cách từ AC Bài 2: Tìm hai phân số tối giản biết tổng của chúng là 1 lệ với 3 và 7, mẫu của chúng tỉ lệ. .. những bài tập tổng quát - Đối với học sinh trung bình yếu, chỉ yêu cầu các bài tập cơ bản trong sách giáo khoa và những dạng bài tập: trắc nghiệm, lập tỉ lệ thức, tìm x, y, z, toán đó chỉ những bài toán dễ - Giáo viên cần phân loại bài tập cùng với phơng pháp giải từng loại cùng nh giúp học sinh nhận ra quan hệ giữa các dạng bài tập 2/ Kết quả Những biện pháp phát huy tính tích cực của học sinh trong... z + 5)2 = -25 Bài 4: Tìm cặp số (x , y) thảo mãn: x + 1 3y + 1 4x + 3y + 5 = = 3 10 11x Bài 5: Tìm các số hữu tỉ x, y , z thỏa mãn các điều kiện: 12 x 1 1,2 y 0,7 3 4 z = = 13 1,7 11 12 Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa và x 0,9y 0,7z = 7,7 Dạng 4: Chứng minh tỉ lệ thức Mục đích: Củng cố, khắc sâu kiến thức tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dẫy tỉ số bằng nhau... một nửa khoảng cách từ xe máy đến M Dạng 6: Tính giá trị biểu thức: Mục đích: Vận dụng tính chất của tỉ số, dãy tỉ số bằng nhau để tính giá trị của biểu thức theo điều kiện Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức P = x + 2 y 3z biết x, y, z tỉ lệ với 5, 4, 3 x 2 y + 3z Giải : x 5 x, y, z tỉ lệ với 5, 4, 3 = y z = 4 3 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y z 2 y 3z x + 2 y 3z x 2 y + 3z = =... 6 x + 2 y 3z 4 2 = = x 2 y + 3z 6 3 P= 2 3 Bài tập áp dụng: Bài 1: Tính giá trị biểu thức 3a 2b a 10 biết = b 3 a 3b Bài 2: Cho các số M, N, P tỉ lệ với các số a, b, c Chứng minh rằng giá trị của Mx + Ny + Pz biểu thức Q = không phụ thộc vào giá trị của x, y, z ax + by + cz Bài 3: Với a + b + c + d 0, cho a b c d = = = b c d a Tính giá trị biểu thức: 17 Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên THCS... = b d b c Bài 8: Chứng minh rằng nếu x y z thì = = a + 2b + c 2a + b c 4a 4b + c a b c = = x + 2 y + z 2x + y z 4x 4 y + z Dạng 5: Toán về chia tỉ lệ Mục đích: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải các bài toán thực tế, bài toán đố Ví dụ: Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia trồng cây Biết rằng một nửa số cây lớp 7A trồng bằng 2 3 lần số cây của lớp 7B trồng và bằng... tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y z x + z y 55 = = = = =5 12 9 8 12 + 8 9 11 x = 12.5 = 60 (Thỏa mãn điều kiện) y = 9.5 = 45 z = 8.5 = 40 Vậy số cây trồng của lớp 7A, 7B, 7C lần lợt là 60, 45 và 40 cây Để giải bài tập này giáo viên cần hớng dẫn học sinh thực hiện theo các bớc sau: + Bớc 1: Đặt các đại lợng cần tìm là x, y, z + Bớc 2: Dựa vào đầu bài để lập tỉ lệ thức hoặc dẫy tỉ số bằng... sâu kiến thức tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dẫy tỉ số bằng nhau Rèn kỹ năng biến đổi tỉ lệ thức Giúp học sinh phân biệt đợc đâu là giả thiết ( điều đề bài cho), đâu là kết luận ( điều phải chứng minh) để các em trình bày chính xác Rèn t duy chứng minh một bài toán bằng nhiều cách Ví dụ: Cho tỉ lệ thức a c a c = = Chứng minh rằng a b cd b d Giải: Cách 1: a c = ad = bc b d Xét tích a ( c... a c = = a c a b c d Bài tập áp dụng: (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) Bài 1: Cho a/ a c = Chứng minh rằng: b d 5a + 3b 5a 3b = ; 5c + 3d 5c 3d 2 ab a b b / = cd c d 3 a 3 b3 a +b c / ; = 3 c d3 c +d ma + nc pa + qc d/ = mb nd pb qd Bài 2: Cho 4a + 3b 4c + 3d = 4a 3b 4c 3d Chứng minh rằng: a c = b d Bài 3: Chứng minh rằng: Từ a+4 b+5 a b = = a 4 b5 4 5 Bài 4: 14 Nghiêm Đỗ Quyên, . để giải bài tập về tỉ lệ thức. - Chọn ra hệ thống bài tập về tỉ lệ thức. - Học sinh phân tích đề bài để định hớng từng loại toán và tìm ra kiến thứuc cần sử dụng cho việc giải từng bài tập cụ. . 4 = 12 tỉ lệ thức. Bài tập áp dụng: Bài 1: Lập tất cả các tỉ lệ thức có đợc từ các đẳng thức sau: a/ 5 . (-14) = (-35). 2 b/ 0,18 . 4,25 = 0,45 . 1,7. Bài 2: Lập tất cả các tỉ lệ thức có đợc. điền vào ô trống sao cho tỉ lệ thức đúng: = = 3333 )( ; aaaa Với bài tập này, nhiều học sinh sai do không nắm chắc kiến thức về lũy thừa và kiến thức về tỉ lệ thức. Giáo viên cần lu ý