Boi duong HSG Toan 9- Hinh

Ngày soạn : 23/12/10 Bài tập tổng hợp Chủ đề Tuyển tập các bài toán hình học dành cho HSG Bài 1: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm là O. Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đờng tròn (O) đờng kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đờng tròn (O). Từ C kẻ CH vuông góc với AB ( ) ABH . Gọi M, N lần lợt là hình chiếu của H lên AC và CB. a) Chứng minh rằng: OC vuông góc với MN; b) Qua A kẻ đờng thẳng d vuông góc với AB. Tiếp tuyến với (O) tại điểm C cắt đờng thẳng d ở K. Chứng minh rằng: BK; CH; MN đồng quy. H ớng dẫn : a) ACB = 90 o (vì OA = OC = OB) CMH = 90 o (gt); CNH = 90 o (gt) => CMHN là hình chữ nhật => C 1 = M 1 Mà CAO = ACO (OA = OC nên tam giác ACO cân) CAO + C 1 = 90 o Cho nên ACO + M 1 = 90 o Gọi E là giao của OC và MN ta có CEM = 90 o Hay OC vuông góc MN (đpcm) b) Ta có KA = KC (tính chất tiếp tuyến) Kéo dài BC cắt d tại W. Ta có WCA = 90 o Mà: KAC + AWC = 90 o ; KCA + WCK = 90 o Ta có: KCA = KAC (lý do KC = KA) => KWC = WCK => KC = KW Vậy WK = KA = KC. Hay K là trung điểm AW I là giao điểm của CH và MN vì CMHN là hình nhữ nhật => I là trung điểm của CH. Mặt khác WA // CH (cùng vuông góc với AB); giả sử BI cắt WA tại K' áp dụng talet: CI WK ' WK ' K ' A K ' K IH K ' A = = Vậy BI đi qua trung điểm K của AW. Hay KB; CH; MN đồng quy Bài 2: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB; Từ A và B ta vẽ hai dây cung AC và BD cắt nhau tại N. Hai tiếp tuyến Cx, Dy của đờng tròn cắt nhau tại M. Gọi P là giao điểm của hai đờng thẳng AD và BC. a, Chứng minh PN vuông góc với AB. b, Chứng minh P,M,N thẳng hàng. H ớng dẫn : Trong tam giác PAB ta có AC và BD là các đờng cao nên N là trực tâm tam giác. Do đó PN là đờng cao còn lại nên vuông góc với cạnh AB. Gọi I là trung điểm của PN thì IC là trung tuyến của tam giác vuông PAC nên IPC cân tại I. Do đó : IPC ICP = . Tam giác OAC cân tại O nên : CAO ACO = . Mặt khác CAO IPC = (do có các cạnh tơng ứng vuông góc) nên ACO ICP = . Ta có AC PC nên OC IC . Do đó IC là tiếp tuyến tại C của đờng tròn. Tơng tự , ID là tiếp tuyến tại D của đờng tròn . Chứng tỏ I trùng với M nên P,M,A thẳng hàng. Bài 3: Cho hỡnh vuụng ABCD. V qua A ng thng d ct BC ti M v ct CD ti N . CMR: 22 11 ANAM + khụng ph thuc vo v trớ ng thng d H ớng dẫn : K AK d ti A d dng chng minh c ABK =AND (gúc nhn, cnh gúc vuụng) suy ra AK = AN (1) Xột tam giỏc vuụng AKM cú AB l ng cao . ỏp dng hệ thức trong tam giác vuông ta có 222 111 ABAMAK =+ (2) Từ (1) và (2) suy ra 22222 11111 ABAMANAMAK =+=+ Do AB không đổi suy ra 22 11 AMAN + không đổi Vậy 22 11 AMAN + không phụ thuộc vào vị trí d. Bµi 4: Cho tam giác đều ABC với O là trung điểm của cạnh BC. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc MON = 60 0. . a, Chứng minh rằng: BC 2 =4BM.CN b, Chứng minh: NO là đường phân giác của góc MNC. H íng dÉn : a) Xét ∆BMO vµ ∆CON có ∠ B= ∠ O=60 0 ; ∠ BMO= ∠ CON ( cïng bï ∠ BOM+60 0 ) suy ra ∆BMO ~∆CON 42 . 2 2 BCBCBC BOCOCNBM CN BO CO BM ===⇔=⇒ 2 .4 BCCNBM =⇔ b) Từ câu a) ta có CN OC ON MO CO BM ON MO =⇔= và có ∠ MON= ∠ NCO=60 0 . suy ra ∆MON ~∆OCN (c.g.c) suy ra ∠ MNO= ∠ ONC (cặp góc tương ứng ) Vậy NO là phân giác ∠ MNC Bµi 5: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho AM = CN. Gọi E là trung điểm của MN. Tia DE cắt tia BC tại F. Qua M vẽ đường thẳng song song với AD cắt DF tại H. Chứng minh rằng: a) Tứ giác MFNH là hình thoi b) ND 2 = NB.NF c) Chu vi tam giác BMF không đổi khi M di động trên cạnh AB. H íng dÉn : a) ΔAMD = ΔCND (c.g.c) ⇒ DM = DN và µ µ 1 2 D D= ⇒ · MDN = 90 o Và ΔDMN vuông cân Tam gi¸c MDN cã DE lµ ®êng trung tuyÕn nªn DE còng lµ ®êng cao => DE MN ⊥ . Mặt khác ΔEMH = ΔENF (g.c.g) ⇒ EH = EF ⇒ MFNH là hình thoi (đpcm) b) ΔFDN và ΔDBN có · FDN = · DBN = 45 o ; µ N chung ⇒ ΔFDN ΔDBN (g.g) ⇒ ND 2 = NB.NF (đpcm) c) Chu vi ΔBMF = BM + BF + MF = BM + BF + FN = BM + BF + FC + CN = (BM + AM) + (BF + FC) = 2AB (không đổi) (đpcm) Bµi 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=c, AC=b, đường phân giác trong AD = d. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của D trên AB và AC. a) Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF ? b) Chứng minh: 2 d = 1 b + 1 c c) Chứng minh: 1 sin 2 A + 1 sin 2 B + 1 sin 2 C > 6 H íng dÉn : Vẽ hình đúng a) Chứng minh AEDF là hình vuông . Tính được mỗi cạnh = 2 2 d Tính chu vi = 2d 2 2 ; S = 1 2 d 2 b) S ABD = 2 4 cd; S ACD = 2 4 bd; S ABC = 2 4 bc 2 bd + 2 dc = 2bc 1 b + 1 c = 2 d (chia 2 v cho 2 dbc) (pcm) c) K BH v CK vuụng gúc vi AD cú: sin 2 a = BH AB = CK AC = BH CK AB AC + + BC AB AC+ 1 sin 2 A AB AC BC + Tng t cú: 1 sin 2 B AB BC AC + ; 1 sin 2 C AC CB AB + Chỳ ý khụng ng thi xy ra du " = " vỡ ABC khụng u Cng tng v ch ra c pcm Bài 7: 1. Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R (R là một độ dài cho trớc). M, N là hai điểm thuộc nửa đờng tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổng các khoảng cách từ A, B đến đờng thẳng MN bằng R 3 a) Tính độ dài MN theo R b) Xác định vị trí của M; N sao cho tổng diện tích AMB ANB S S+ là lớn nhất theo R khi M, N thay đổi nhng vẫn thỏa m n giả thiết của bài toánã 2. Cho K là một điểm nằm trong tam giác đều DEF sao cho 2 2 2 KE KD KF= + . Tính số đo của góc DKF H ớng dẫn : 1. a) Tính độ dài MN theo R Kẻ AH MN tại H, BK MN tại K, suy ra AH + BK = R 3 1 Từ O kẻ OI MN tại I=> MI = IN = MN 2 Ta có: AH//BK (cùng vuông góc với MN) => 1 1 OI (AH BK) OI .R 3 2 2 = + => = Tam giác MOI vuông tại I nên: 2 2 2 2 2 2 3 R R MI OM OI R R MI MN 2MI R 4 4 2 = = = => = => = = b) Kẻ MP AB tại P, IQ AB tại Q, NR AB tại R => MP//IQ//NR Tứ giác MPRN là hình thang, mà MI = IN => 1 QI (MP NR) MP NR 2QI 2 = + => + = AMB ANB AMB ANB 1 1 1 S AB.MP;S AB.NR S S AB.(MP NR) 2 2 2 = = => + = + Ta có AB = 2R không đổi nên AMB ANB S S+ đạt giá trị lớn nhất khi MP + NR đạt giá trị lớn nhất Ta lại có: MP + NR = 2QI nên MP + NR đạt giá trị lớn nhất khi IQ đạt giá trị lớn nhất Ta có: IQ OI IQ => đạt giá trị lớn nhất bằng OI khi Q O , khi đó OI AB suy ra MN//AB => 2 AMB ANB 1 1 S S AB.2OI .2R.R 3 R 3 (đvdt) 2 2 + = = = *) Cách dựng: Qua O dựng tia Ox AB tại O (Ox thuộc nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đờng tròn tâm O), trên tia Ox lấy điểm I sao cho 1 OI R 3 2 = . Qua I dựng đờng thẳng d vuông góc với OI tại I, d cắt nửa đ- ờng tròn (O) tại M và N (M thuộc cung AN) 2. Dựng tam giác đều DKP sao cho P nằm phía ngoài tam giác DEF, K và P nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là DF Tam giác đều DEF => DE = DF , ã 0 EDF 60= Tam giác DKP đều => DK = DP = KP ã ã 0 KDP DKP 60= = Ta có: ã ã ã ã ã ã 0 0 EDK KDF EDF 60 ;KDF FDP KDP 60+ = = + = = => ã ã EDK FDP= ; ã ã EDK FDP(ED FD,EDK FDP,DK DP) KE PF = = = = => = Ta có: 2 2 2 2 2 2 KE KD KF mà KE = PF, DK = KP nên FP = KP + KF= + ã 0 PKF vuông tại K => PKF = 90=> Ta có: ã ã ã 0 0 0 DKF DKP PKF 60 90 150= + = + = . Vậy ã 0 DKF 150= Bài 8: Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đờng thẳng PD. 1) Tính số đo góc NEB. 2) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất. 3) CMR: Khi M thay đổi, đờng thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định. H ớng dẫn : 1) Gọi E là giao điểm của PD với đờng thẳng vuông góc với AB. +) Xét DCP và DBE có: ã ã =DCP DBE (so le trong) DC = DB (AD là trung truyến của ABC) ã ã =CDP B DE (đối đỉnh) DCP = DBE (g.c.g) CP = BE (1) +) Mặt khác ta có tứ giác MNAP là hình chữ nhật có AM là tia phân giác của à A nên MNAP là hình vuông. AN = AP CP = BN (2) Từ (1) và (2) BE = BN BEN cân tại B ã = 0 NEB 45 2) Gọi O là trung điểm của EN. Ta có BEN và EHN là tam giác vuông có chung cạnh huyền EN nên bốn điểm B, E, H, N cùng thuộc đờng tròn tâm O. Kéo dài HO cắt đờng tròn (O) tại K. Khi đó: ã ã = 1 OHN KON 2 ( ã KON góc ngoàicủa tam giác cân OHN) ã ã = 1 OHB KOB 2 ( ã KOB góc ngoài của tam giác cân OHB) ã ã OHN OHB = ã ã ( ) = 0 1 1 KON KOB .90 2 2 ã = 0 BHN 45 Vậy có ã ã = = 0 BHN BEN 45 (3) Chứng minh tơng tự ta có: ã ã = = 0 NHA N PA 45 (4) Từ (3) và (4) có ã = 0 AHB 90 và NH là đờng phân giác của góc ã AHB Gọi H là hình chiếu của H trên AB. Khi đó SAHB = 1 AB.HH' 2 Do đó SAHB lớn nhất khi HH lớn nhất. Điểm H chạy trên cung tròn đờng kính AB nên HH lớn nhất khi nó bằng bán kính, tức là khi H D. Khi đó M D. 3) Vẽ đờng tròn đờng kính AB. Gọi giao của HN với đờng tròn là I. Do DHI là tam giác vuông tại H nên DI là đờng kính. Mà D là điểm cố định nằm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính AB nên I là điểm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính AB Điểm I đối xứng với D qua AB. Vậy I là điểm cố định. Bài 9: Cho đờng tròn(O; r), dây cung BC = a không đổi. A là một điểm trên cung lớn AB sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đờng cao AD, BE, CK cắt nhau tại H. a) Trong trờng hợp ã ã BHC BOC= , tính AH theo a b) Tìm vị trí của A để tích DH.DA nhận giá trị lớn nhất. H ớng dẫn : a) Xét tứ giác AKHE có à à 0 90K E = = à ã 0 180A BHC + = mà ã ã BHC BOC= ; ã à 2BOC A = à à 0 0 3 180 60A A = = Kẻ BI là đờng kính , chứng minh tứ giác AICH là hình bình hành AH = CI (1) Gọi M là trung điểm của BC IC = 2 OM (2) (Đờng trung bình) Từ (1) và (2) AH = 2 OM. H M I K E D O A B C Do M là trung điểm của BC OM BC và OM là tia phân giác của góc BOC ã 0 60MOC = và OM = MC.tg30 0 = 3 3 . 2 3 6 = a a AH = 2OM = 3 3 a b) DB DH DBH DAC DA DC = : DA.DH = DB.DC áp dụng bất đẳng thức ( ) 2 4 a b ab + ( Dấu = xảy ra khi a = b) DA.DH = DB.DC ( ) 2 2 4 4 DB DC a + = (Không đổi) (Dấu = xảy ra khi DB = DC hay D là trung điểm của BC) DA.DH nhận giá trị lớn nhất là 2 4 a khi D là trung điểm của BC ABC cân tại A hay A là điểm chính giữa của cung BC IV. Hớng dẫn về nhà - Xem lại bài D/Bổ sung ******************************* *) Hãy giữ phím ctrl và nhấn vào đờng link này - http://quanghieu030778.violet.vn/ Lời giới thiệu Thực hiện chủ đề "Năm học ứng dụng công nghệ thông tin" vào việc giảng dạy - học tập. Quang Hiệu xin trân trọng giới thiệu với toàn thể quý thầy cô và các em học sinh trên toàn quốc website : http://quanghieu030778.violet.vn/ Chủ đề của website này đó là : Kho phần mềm, ơm mầm tơng lai, lu giữ kỉ niệm, yêu thơng, giao lu, học hỏi, chia sẻ kinh nghiệm. Kết nối toàn cầu để tìm tòi khám phá, hiểu biết là sức mạnh. Khi truy cập vào website này các bạn có thể liên kết với tất cả các trang website của Việt Nam và thế giới. Ưu việt của website này đó là dễ truy cập, tiếp cận nhanh, cập nhật thông . Ngày soạn : 23/12/10 Bài tập tổng hợp Chủ đề Tuyển tập các bài toán hình học dành cho HSG Bài 1: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm là O. Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đờng tròn (O)