bai 7 Dinh li Py-ta-go

Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9 Đặt vấn đề Trong thời đại hiện nay, máy tính điện tử chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong đời sống cũng nh học tập, giảng dạy. Học sinh có hứng thú và quen dùng máy tính trong tính toán, các em tỏ ra rất nhanh nhạy khi tiếp xúc, tiếp thu các kiến thức về máy tính cầm tay, máy vi tính. Chỳng ta bit rng mỏy tớnh Casio l loi mỏy rt tin li cho hc sinh t trung hc n i hc. Vỡ mỏy gii quyt hu ht cỏc bi toỏn trung hc v mt phn i hc. giỳp hc sinh THCS cú th s dng c loi mỏy tớnh cm tay kiu khoa hc núi chung, loi mỏy Casio fx-500MS, 570 MS núi riờng. Trờn th trng hin nay cú rt nhiu loi mỏy khỏc nhau, song tụi ch yu s dng v ging dy bng mỏy tớnh CASIO. Mỏy tớnh CASIO l loi mỏy rt tin li cho hc sinh t trung hc n i hc. Vỡ nú gii quyt hu ht cỏc bi toỏn trung hc v mt phn i hc. giỳp hc sinh c bit l hc sinh THCS cú th s dng c loi mỏy tớnh cm tay kiu khoa hc núi chung, loi mỏy CASIO fx 500 MS, fx 570 MS núi riờng. Ngoi nhng ti liu hng dn s dng v gii toỏn ó cú, khi hc sinh mua mỏy . Hc sinh c nhng ti liu ú thỡ ch cú th bit chc nng c bn cỏc phớm v tớnh toỏn cỏc phộp toỏn c bn, m cha cú bi tp thc hnh nhiu v k nng gii Toỏn bng mỏy tớnh cm tay. HS t mỡnh khỏm phỏ nhng kh nng tớnh toỏn phong phỳ, khai thỏc cỏc chc nng ca mỏy gn lin vi vic hc trờn lp cng nh trong cỏc hot ng ngoi khúa toỏn hc thụng qua thc hnh trờn mỏy. Vỡ th trong quỏ trỡnh dy hc trờn lp (dy hc t chn, dy BDHSG,) . Chỳng ta cn phi trang b cho hc sinh nm c mt s phng phỏp gii v quy trỡnh n phớm. t ú, mi hc sinh t mỡnh gii c cỏc bi tp toỏn mt cỏch ch ng v sỏng to. ng trc thc trng trờn, vi tinh thn yờu thớch b mụn, mun c khỏm phỏ, mun cho cỏc em hc sinh THCS cú nhng dng bi tp toỏn gii bng mỏy tớnh cm tay. Tụi xin a ra mt s dng bi tp hc sinh t thc hnh, rốn luyn k nng gii Toỏn bng mỏy tớnh cm tay. Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp dangduchiepvn@gmail.com -1- Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9 Chuyờn 1: BI TON A THC TèM S D CA PHẫP CHIA A THC f(x) CHO NH THC g(x) =ax + b Phng phỏp: - Chia thụng thng - p dng nh lớ Bezoul - p dng S Hoocne 1) nh ngha phộp chia ht- Chia cú d ca 2 a thc f(x) v g(x); f(x) : g(x) thỡ tn ti q(x) v r(x) sao cho f(x) = g(x).q(x) + r(x). Nu r(x) = 0 thỡ f(x) chia ht cho g(x). 2) nh lớ Bezoul: a. Gi s a thc f(x) l a thc ca bin x v a R trong biu thc ca f(x). Khi thay x = a thỡ c mt s ký hiu l f(a). gi l giỏ tr ca f(x) ti a. Nu f(a) = 0 thỡ f(x) cú nghim l x = a. b. nh lớ Bezoul: - D trong phộp chia a thc f(x) cho nh thc g(x) = x a l hng s bng f(a). VD1: Chia f(x) = x 3 + 4x 2 - 5 cho g(x) = x 1. Ta cú s d l f(1) = 1 3 + 4.1 2 5 = 0 VD2: Chia f(x) = x 5 +2x 3 x + 4 cho g(x) = x + 1. Ta cú s d l f(-1) = (-1) 5 +2.(-1) 3 (-1) + 4 = 2 - D trong phộp chia a thc f(x) cho nh thc g(x) = ax + b l hng s bng f b a ữ . VD3: Chia f(x) = 3x 3 + 2x 2 + 5x 7 cho g(x) = 2x + 1. Ta cú s d l: f 3 2 1 1 1 1 75 3. 2. 5. 7 2 2 2 2 8 = + + = ữ ữ ữ ữ VD4: Chia f(x) = 3x 4 + 5x 3 4x 2 + 2x 7 cho g(x) = 4x -5. Ta cú s d l f 4 3 2 5 5 5 5 5 87 3. 5. 4. 2. 7 6 4 4 4 4 4 256 = + + = ữ ữ ữ ữ ữ 3) S Hoocne: Trong trng hp chia mt a thc P n (x) cho mt nh thc x m ta cú th s dng thut toỏn Hoocne nh sau: Gi s khi chia a thc P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + + a 1 x + a 0 cho nh thc x m ta c a thc Q n (x) = b n-1 x n-1 + b n-2 x n-2 + + b 1 x + b 0 thỡ gia cỏc h s a n , a n-1 , a n-2 , , a 1 , a 0 v b n-1 , b n-2 , b 1 , b 0 cú mi quan h sau õy: b n-1 = a n b n-2 = m. b n-1 + a n-1 . . . . . . b 0 = m.b 1 + a 1 v s d r = m.b 0 + a 0 a n a n-1 a n-2 a 1 a 0 m b n-1 = a n b n-2 = m.b n-1 +a n-1 b n-3 = m.b n-2 +a n-2 b 0 =m.b 1 +a 1 r =m.b 0 +a 0 Vớ d 1: Tỡm thng v s d ca a thc f( 4 2 ) 2 3 4 5x x x x= + chia cho ( ) 2g x x= + Gii: Ta ghi: 2 0 -3 4 -5 -2 2 -4 5 -6 7 Vy a thc thng Q 3 2 ( ) 2 4 5 6x x x x= + v s d r = 7 Vớ d 2: Tỡm thng v s d ca a thc Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp dangduchiepvn@gmail.com -2- Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9 4 3 2 ( ) 3 5 4 2 7f x x x x x= + + chia cho ( ) 4 5g x x= Gii: Ta ghi: 3 5 -4 2 -7 5 4 3 35 4 111 16 683 64 6 87 256 3 4 35 16 111 64 683 256 Vy a thc Q 3 2 3 35 111 683 ( ) 4 16 64 256 x x x x= + + + v s d r = 6 87 256 . BI TP: 1)Tỡm s d ca cỏc phộp chia sau: a) (x 4 + x 3 +2x 2 x +1) : (x -3) KQ: r = 124 b) (x 3 9x 2 35x + 7) : (x 12) KQ: r = 19 c) (2x 3 + x 2 3x +5) : (x + 11) KQ: r = -2.503 d) (4x 5 + 3x 3 4x + 5) : (2x +11) KQ: r = -20.603,5 e) (3x 4 + 5x 3 -4x 2 +2x 7) : ( -3x +2) KQ: r = 145 27 f) (5x 4 4x 3 + 2x 2 + 7x + 8) : (3x 1) KQ: r = 848 81 Hng dn: p dng nh lớ Bezoul 2) Tỡm s d v a thc thng ca cỏc phộp chia f(x) cho g(x) sau: a) f(x) = (x 4 + x 3 +2x 2 x +1) v g(x) =(x -3) b) f(x) = (x 3 9x 2 35x + 7) v g(x) = (x 12) c) f(x) = (2x 3 + x 2 3x +5) v g(x) = (x + 11) d) f(x) = (4x 5 + 3x 3 4x + 5) v g(x) = (2x +11) e) f(x) = (3x 4 + 5x 3 -4x 2 +2x 7) v g(x) = ( -3x +2) f) f(x) = (5x 4 4x 3 + 2x 2 + 7x + 8) v g(x) = (3x 1) . Hng dn: p dng S Hoocne. KQ: a) r = 124 v Q(x) = x 3 + 4x 2 + 14x + 41 b) r = 19 v Q(x) =x 2 + 3x + 1 c) r = -2.503 v Q(x) = 2x 2 21x + 228 d) r = -20.603,5 v Q(x) = 2x 4 11x 3 + 62x 2 341x + 3.747 2 e) r = 145 27 v Q(x) = -x 3 - 7 3 x 2 - 2 9 x - 22 27 f) r = 848 81 v Q(x) = 5 3 x 3 - 7 9 x 2 + 11 27 x + 200 81 3) Tỡm a P(x) = x 4 + 7x 3 +2x 2 +13x + a chia ht cho x + 6. Gii: C 1 : P(x) M x + 6 P(-6) = 0 (-222) + a = 0 a = 222. Vy a = 222. C 2 : P(x) M x + 6 P(-6) = 0 Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp dangduchiepvn@gmail.com -3- Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9 Ta nhp biu thc : X 4 + 7X 3 + 2X 2 + 13X +A = 0 n: X ? nhp -6 n tip: mỏy hin: A = 222. Vy : a = 222. 4, Cho phng trỡnh 2,5x 5 3,1x 4 + 2,7x 3 + 1,7x 2 (5m -1,7)x + 6,5m 2,8 cú mt nghim l x = - 0,6. Tớnh giỏ tr ca m chớnh xỏc n 4 ch s thp phõn. Hng dn: Gii nh bi 3. KQ: m = 0,4618 5, Tỡm m f(x) = 2x 4 + 3x 2 5x + 2005 m chia ht cho x 12. Hng dn: Gii nh bi 3. KQ: m = 43849. 6, Xỏc nh giỏ tr k a thc f(x) = x 4 9x 3 +21x 2 + x + k chia ht cho a thc g(x) = x 2 x 2. Gii: C 1 : Ly f(x) chia cho g(x) tỡm s d v t s d bng 0 tỡm k. Ta cú: f(x) = (x 2 x 2)(x 2 8x + 15) +k +30 = 0 Vy f(x) M g(x) thỡ k + 30 = 0. Suy ra k = -30 C 2 : Ta cú g(x) = x 2 x 2 = x 2 2x + x 2 = x(x 2) + (x 2) = (x 2)(x + 1) Vy f(x) chia ht cho g(x) = x 2 x 2 thỡ cng chia ht cho (x 2)(x + 1) p dng nh lớ Bezoul v nh ngha ca phộp chia ht ta thay x = -1 hoc x = 2 vo f(x), ta c f(-1) = 0 k = - 30. 7, Cho a thc f(x) = 3x 4 x 3 + 2x 2 x + m. a) Xỏc dnh m f(x) chia ht cho x 2 b) Vi m tỡm c cõu a. Xỏc nh a thc thng v s d ca f(x) chia cho x + 3. KQ: a) m = - 46. b)Q(x) = 3x 3 10x 2 + 32x 97 v r = 245. 8) Cho a thc P(x) = x 5 + 2x 4 3x 3 + 4x 2 5x + m. a) Tỡm s d trong phộp chia P(x) cho x 2,5 khi m = 2003. b) Tớnh giỏ tr ca m a thc P(x) chia ht cho x 2,5 c) Mun a thc P(x) cú nghim x = 2 thỡ m cú giỏ tr l bao nhiờu? Gii: a) Nhp : X 5 + 2X 4 3X 3 + 4X 2 5X + 2003 X? khai bỏo: 2,5 KQ: r =2144,406250 b) Gii nh bi 3. KQ: m = -141,40625 c) P(x) cú nghim x = 2 P(2) = 0 m = - 46 9)Cho hai a thc: P(x) = x 4 + 5x 3 4x 2 + 3x + m. Q(x) = x 4 + 4x 3 3x 2 + 2x + n. a) Tỡm giỏ tr ca m v n cỏc a thc P(x) v Q(x) chia ht cho x 2. b)Xột a thc R(x) = P(x) Q(x), vi giỏ tr m, n va tỡm c. Hóy chng t rng a thc R(x) ch cú mt nghim duy nht. Gii: a) Gii nh bi 3. KQ: m = -46, n = -40 b) Ta cú R(x) = P(x) Q(x) = x 3 x 2 + x 6. Vỡ P(x) v Q(x) cựng chia ht cho x 2 nờn R(x) = P(x) Q(x) cng chia ht cho x 2. Do ú ta cú R(x) = P(x) Q(x) = x 3 x 2 + x 6 = (x 2)(x 2 + x + 3) M x 2 + x + 3 = x 2 + 2. 1 2 x + 1 4 + 3 4 = (x + 1 2 ) 2 + 3 4 > 0 x Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp dangduchiepvn@gmail.com -4- Solve Shift = Solve Shift CALC = Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9 ( hay tam thc bc hai x 2 + x + 3 cú 1 4 3 = = nờn vụ nghim ) Suy ra R(x) ch cú duy nht mt nghim x = 2. 10)Cho a thc P(x) = 6x 3 7x 2 16x + m. a)Vi iu kin no ca m thỡ a thc P(x) chia ht cho 2x + 3. b)Vi m tỡm c cõu a. Hóy tỡm s d r khi chia a thc P(x) cho 3x 2. c)Vi m tỡm c cõu a. Hóy p.tớch a thc P(x) ra tớch ca cỏc tha s bc 1. d)Tỡm m v n hai a thc P(x) = 6x 3 7x 2 16x + m v Q(x) = 2x 3 5x 2 13x + n cựng chia ht cho x - 2 e)Vi n tỡm c cõu trờn, hóy phõn tớch ca cỏc tha s bc nht. Gii: a) P(x) chia ht cho 2x + 3 thỡ P( 3 2 ) = 0 m = 12. b) Chia a thc P(x) = 6x 3 7x 2 16x + 12 cho 3x 2 6 -7 -16 12 2 3 6 -3 -18 0 2 -1 -6 Ta c P(x) = (3x 2)(2x 2 x 6) v s d r = 0 c) P(x) = (3x 2)(2x + 3)(x 2). d) hai a thc P(x) =6x 3 7x 2 16x + m v Q(x)=2x 3 5x 2 13x + n cựng chia ht cho x 2 thỡ P(2) = 0 v Q(2) = 0 Suy ra m = 12, n = 30 e) a thc Q(x) = 2x 3 5x 2 13x + 30 chia cho x 2 nờn chia Q(x) cho x 2 ta c. Q(x) =(x 2)(2x 2 x 15). Vỡ 2x 2 x 15 = 2x 2 6x + 5x 15=(x 3)2x + 5(x 3)=(x 3)(2x + 5) Vy Q(x) = (x 2)(x 3)(2x + 5) 11) Cho a thc P(x) = x 5 +ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+e. Bit P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25. a) Tớnh cỏc giỏ tr P(6), P(7), P(8), P(9) b) Vit li a thc P(x) vi cỏc h s l s nguyờn. Gii: a) Ta cú P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25. Xột a thc Q(x) = P(x) x 2 . D thy Q(1) = 1, Q(2) = 4, Q(3) = 9, Q(4) = 16, Q(5) = 25. Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 l nghim ca a thc Q(x). Vỡ h s ca x 5 = 1 nờn suy ra Q(x) cú dng: Q(x) = (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x - 5) Nờn Q(6) = (6 1)(6 2)(6 3)(6 4)(6 - 5) = P(6) 6 2 . Suy ra P(6) = 6 2 + 5! = 156. Tng t P(7) = 7 2 + 6! = 769. P(8) = 8 2 + 7! 2! = 2584. P(9) = 9 2 + 8! 3! = 6801. b)P(x) = (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x - 5) + x 2 . P(x) = x 5 15x 4 + 85x 3 284x 2 + 274x 120. 12)Cho a thc Q(x) = x 4 + mx 3 + nx 2 + px + q v cho bit Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11. Tớnh cỏc giỏ tr Q(10); Q(11); Q(12); Q(13). Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp dangduchiepvn@gmail.com -5- Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9 Gii: Nhn xột: Q(1) = 5 = 2.1 + 3 ; Q(2) = 7 = 2.2 + 3 ; Q(3) = 9 =2.3 + 3 ; Q(4) = 11 = 2.4 + 3 Xột a thc P(x) = Q(x) (2x + 3). Ta cú P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 0. iu ny chng t 1; 2; 3; 4 l nghim ca a thc P(x). Suy ra: P(x) = (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) = Q(x) (2x + 3). Nờn P(10) = 9.8.7.6 = Q(10) ( 2.10 + 3). Hay Q(10) = 2.10 + 3 + 9.8.7.6 = 2.10 + 3 + 9! 5! = 3047. Tng t: Q(11) = 2.11 + 3 + 10! 6! = 5065. Q(12) = 2.12 + 3 + 11! 7! = 7947. Q(13) = 2.13 + 3 + 12! 8! = 11909. 13) Cho a thc P(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 +dx + e. Bit P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51.Tớnh cỏc giỏ tr P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11). Gii: t Q(x) = 2x 2 + 1 . Khi ú Q(1) = 3, Q(2) = 9, Q(3) = 19, Q(4) = 33, Q(5) = 51. iu ny chng t a thc (bc 5) R(x) = P(x) Q(x) cú 5 nghim 1; 2; 3; 4; 5. Vy : P(x) = Q(x) + (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5). Do ú: P(6) = 2.6 2 + 1 + 5! = 193 P(7) = 2.7 2 + 1 + 6! = 819 P(8) = 2.8 2 + 1 + 7! 2! = 2649 P(9) = 2.9 2 + 1 + 8! 3! = 6883 P(10) = 2.10 2 + 1 + 9! 4! = 15321 P(11) = 2.11 2 + 1 + 10! 5! = 30483 14) Cho a thc P(x) bc 4 cú h s bc cao nht l 1 v tha món P(1) = 3; P(3) = 11; P(5) = 27; P(5) = 27; P(7) = 51. Tớnh giỏ tr ca P(-2) + 7 P(6). Gii: Nhn xột: P(1) = 3 = 1 2 + 2; P(3) = 11= 3 2 + 2; P(5) = 27 = 5 2 + 2; P(7) =51 =7 2 + 2. Xột a thc Q(x) = P(x) ( x 2 + 2) Ta cú Q(1) = Q(3) = Q(5) = Q(7) = 0. iu ny chng t 1; 3; 5; 7 l nghim ca Q(x). Suy ra Q(x) = (x 1)(x 3)(x 5)(x 7) Nờn P(x) = Q(x) + x 2 + 2 = (x 1)(x 3)(x 5)(x 7) + x 2 + 2 Do ú P(-2) = 951 v P(6) = 23. Vy: P(-2) + 7P(6) = 951 + 7.23 = 1112. Chuyờn 2: Tỡm c v bi ca 1 s - Tỡm UCLN, BCNN ca cỏc s. Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp dangduchiepvn@gmail.com -6- Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9 I. TèM C V BI CA MT S: 1. Tỡm cỏc c ca mt s a : Phng phỏp: Gỏn: A = 0 ri nhp biu thc A = A + 1 : a ữ A n nhiu ln phớm QTAP Quy trỡnh n phớm: Gỏn: Nhp: a n nhiu ln du Vớ d: Tỡm ( cỏc c ) tp hp cỏc c ca 120 Ta gỏn: A = 0 Nhp: A = A + 1 : 120 ữ A n nhiu ln phớm Ta cú A = {1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;30;40;60;120} 2. Tỡm cỏc bi ca b: Gỏn: A = -1 ri nhp biu thc A = A + 1 : b x A n nhiu ln phớm Vớ d : Tỡm tp hp cỏc bi ca 7 nh hn 100. Ta gỏn: A = -1 Nhp: A = A + 1 : 7 x A n nhiu ln phớm Ta cú: B = {0;7;14;21;28;35;42;49;56;63;70;77;84;91;98} BI TP: 1) Tỡm cỏc c ca cỏc s sau: 24; 48; 176. 2) Tỡm tt c cỏc bi ca 14 nh hn 150 3.Kim tra s nguyờn t: kim tra mt s l s nguyờn t ta lm nh sau: kt lun s a l s nguyờn t ( a > 1) , ch cn chng t rng nú khụng chia ht cho mi s nguyờn t m bỡnh phng khụng vt quỏ a. Vỡ nu mt s a l hp s thỡ nú phi cú c nh hn a Vớ d: S 647 cú phi l s nguyờn t khụng ? Gii Ta cú 647 = 25,43 Gỏn: A = 0 Nhp: A = A + 1 : 647 ữ A n 25 ln phớm m trờn mn hỡnh kt qu thng l s thp phõn thỡ kt lun 647 l s nguyờn t BI TP: 1)Cỏc s sau õy s no l s nguyờn t: 197; 247; 567; 899; 917; 929 2) Tỡm mt c ca 3809783 cú ch s tn cựng l 9 KQ: 19339 3) Tỡm mt s t nhiờn x bit lp phng ca nú cú tn cựng l ba ch s 1. HD: Gỏn : A = 10 Nhp: A = A + 1 : A 3 KQ: x = 471 4)Tỡm cỏc s a, b, c, d ta cú 5a x 7850bcd = . Gii: Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp dangduchiepvn@gmail.com -7- 0 = Shift STO T Alpha A A 1 = ữ Alpha Alpha A Alpha : + Alpha = = = = = A Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9 S 5a l c ca 7850. Bng cỏch th trờn mỏy khi cho a = 0; 1; 2; ; 9 Ta thy rng a ch cú th bng 2. Khi a = 2 thỡ 7850bcd = : 25 = 314 Vy a = 2; b = 3; c = 1; d = 4. II. TèM CLN, BCNN CA HAI S : Vỡ mỏy ó ci sn chng trỡnh n gin phõn s thnh phõn s ti gin. A a B b = ( ti gin ) thỡ CLN (A, B) = A ữ a BCNN (A, B) = A x b Vớ d 1: Tỡm a) CLN( 209865; 283935 ) b) BCNN(209865; 283935 ) Ghi vo mn hỡnh 209865 289335 v n Mn hỡnh hin: 1723 a) a con tr lờn dũng biu thc sa thnh 209865 17 KQ: CLN( 209865; 283935 ) = 12345 b) a con tr lờn dũng biu thc sa thnh 209865 23 KQ: BCNN(209865; 283935 ) = 4826895 Vớ d 2: Tỡm CLN( 2419580247; 3802197531) BCNN( 2419580247; 3802197531) Ghi vo mn hỡnh 2419580247 3802197531v n Mn hỡnh hin: 711 a) a con tr lờn dũng biu thc sa thnh 2419580247 7 KQ: CLN( 2419580247; 3802197531) = 345654321 b) a con tr lờn dũng biu thc sa thnh 2419580247 11 Mn hỡnh hin 2661538272 x 10 10 õy li gp tỡnh trng trn mn hỡnh. Mun ghi y s ỳng, ta a con tr lờn dũng biu thc xoỏ ch s 2 (u tiờn ca s A) ch cũn 419580247 11 v n Mn hỡnh hin46115382717 Ta c kt qu BCNN( 2419580247; 3802197531) = 26615382717 Vớ d 3: Tỡm cỏc c nguyờn t ca A = 1751 3 + 1957 3 + 2369 3 Gii: Ghi vo mn hỡnh 17511957 v n Mỏy hin: 17 19 Chnh li mn hỡnh 1751 ữ 17 v n = Kt qu CLN(1751, 1957) = 103 ( s nguyờn t ) Th li: 2369 cng cú c nguyờn t 103 A = 103 3 (17 3 + 19 3 + 23 3 ) Tớnh tip 17 3 + 19 3 + 23 3 = 23939 Chia 23939 cho cỏc s nguyờn t: Ta c 23939 = 37.647 ( 647 l s nguyờn t ) Vy A cú cỏc c nguyờn t 37, 103, 647 Bi tp: 1) Tỡm BCNN v CLN ca a = 24614205, b = 10719433 KQ: BCNN(a,b) = 12380945115 ; CLN(a,b) = 21311 2) Tỡm BCNN v CLN ca hai s 168599421 v 2654176. KQ: BCNN(a,b) = 37766270304 ; CLN(a,b) = 11849. 3) Tỡm cỏc c nguyờn t nh nht v ln nht ca s 215 2 + 314 2 Gii: Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp dangduchiepvn@gmail.com -8- = ữ x = = = ữ x = = x = Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9 Tớnh 215 2 + 314 2 = 144821 ; 144821 = 380,553 Gỏn: A = 0 Nhp: A = A + 1: 144821 ữ A n liờn tc thy 144821 = 97.1493 Tip tc kim tra 1493 cú phi l s nguyờn t khụng. Ta cú 1493 = 38,639 Gỏn: A = 0 Nhp: A = A + 1: 1493 ữ A n liờn tc cho ti A = 40 m khụng thy kt qu thng l s nguyờn thỡ 1493 l s nguyờn t. Vy 215 2 + 314 2 = 144821 = 97.1493 cú c s nguyờn t nh nht l 97, cú c s nguyờn t ln nht l 1493. Chuyờn 3: BI TON ồNG D 1. S d ca s A chia cho s B: ( i vi s b chia ti a 10 ch s ) Cỏch n: A B mn hỡnh hin kt qu l s thp phõn. a con tr lờn biu thc sa li A B phn nguyờn ca A chia cho B v n Vớ d: Tỡm s d ca phộp chia 9124565217 cho 123456 . n: 9124565217 123456 Mỏy hin thng s l: 73909,45128 a cụn tr lờn dũng biu thc sa li l: 9124565217 123456 73909 v n = Kt qu: S d: r = 55713. BI TP: Tỡm s d trong cỏc phộp chia sau: a) 143946 chia cho 32147 KQ: r = 15358 b) 37592004 chia cho 4502005 KQ: r = 1575964 c) 11031972 chia cho 101972 KQ: r = 18996 d) 412327 chia cho 95215 KQ: r = 31467 e) 18901969 chia cho 1512005 KQ: r = 757909 2. Khi s b chia A ln hn 10 ch s: Nu nh s b chia A l s bỡnh thng nhiu hn 10 ch s. Ta ngt ra thnh nhúm u 9 ch s ( k t bờn trỏi ). Ta tỡm s d nh phn a). Ri vit tip sau s d cũn li l ti a 9 ch s ri tỡm s d ln hai. Nu cũn na thỡ tớnh liờn tip nh vy. Vớ d: Tỡm s d ca phộp chia 2345678901234 cho 4567. Ta tỡm s d ca phộp chia 234567890 cho 4567 c kt qu l 2203. Tỡm tip s d ca 22031234 cho 4567. Kt qu cui cựng l 26. Vy r = 26. BI TP: a) Tỡm s d r khi chia s 24728303034986074 cho 2003. KQ: r = 401 b) Tỡm s d r khi chia s 2212194522121975 cho 2005. KQ: r = 1095 3. Tỡm s d ca s b chia c cho bng dng ly tha quỏ ln thỡ ta dựng phộp ng d thc theo cụng thc sau: Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp dangduchiepvn@gmail.com -9- = = S d ca A A B B = x phn nguyờn ca (A chia cho B ) ữ = - x - = ữ x = Tài liệu bồi dỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9 . . (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) c c a b m n p a m p b n p a m p Vớ d 1: Tỡm s d ca phộp chia 2004 376 cho 1975 Gii: Ta cú 2004 2 841 (mod 1975) =>2004 4 841 2 (mod 1975) 2004 12 231 3 416 (mod 1975) 2004 48 416 4 536 (mod 1975) 2004 48 .2004 12 536. 416 (mod 1975) 2004 60 1776 (mod 1975) 2004 62 1776. 841 (mod 1975) 2004 62 516 (mod 1975) 2004 62x3 516 3 1171(mod 1975) 2004 62x3x2 1171 2 (mod 1975) 2004 62x6 591 (mod 1975) 2004 62x6+4 591.231 (mod 1975) 2004 376 246 (mod 1975) Vy 2004 376 chia cho 1975 cú s d l 246. Vớ d 2: Tỡm s d ca phộp chia 176594 27 cho 293 Gii: Ta cú 176594 208 (mod 293) 176594 3 208 3 3 (mod 293) 176594 27 3 9 (mod 293) 176594 27 52 (mod 293) Vy 176594 27 chia cho 293 cú s d l 52 Bi tp: 1)Tỡm s d ca phộp chia 23 2005 cho 100. Gii: Ta cú: 23 1 23 (mod 100) 23 2 29 (mod 100) 23 4 29 2 41 (mod 100) (23 4 ) 5 41 5 (mod 100) 23 20 1 (mod 100) (23 20 ) 100 1 100 1 (mod 100) 23 2000 1 (mod 100) 23 2005 =23 2000 .23 4 .23 1 1.41.23 (mod 100) 23 2005 43 (mod 100) Vy 23 2005 chia cho 100 cú s d l 43 2) Tỡm hai ch s cui cựng ca 23 2005 Gii: Ta gii nh bi 1. Tr li: Hai ch s cui cựng ca 23 2005 l 43 3) Tỡm ch s hng chc ca 23 2005 Gii: Ta cng gii nh bi 1. Tr li: Ch s hng chc ca 23 2005 l 4. 4) Tỡm s d ca phộp chia 7 2005 chia cho 10 ( Tỡm ch s hng n v ca 7 2005 ) Gii: Ngi vit + su tầm: Đặng Đức Hiệp dangduchiepvn@gmail.com -10- [...]...Tµi li u båi dìng HS giái m«n gi¶i to¸n trªn MTCT líp 8,9 Ta có 7 ≡ 7 (mod 10) 72 ≡ 49 (mod 10) 4 ≡ 7 1 (mod 10) ⇒ 72 004 = (74 )501 ≡ 1501 ≡ 1(mod 10) ⇒ 72 005 = 72 004 71 ≡ 1 .7 ≡ 7( mod 10) Vậy: + 72 005 chia cho 10 là 7 + Chữ số hàng đơn vị của 72 005 là 7 5) Tìm chữ số hàng đơn vị của 172 002 Giải: 1 ≡ Ta có 17 7 (mod 10) 172 ≡ 9 (mod 10) ⇒ 174 ≡ 1 (mod 10) ⇒ ( 174 )500 ≡ 1500 ≡ 1(mod 10) ⇒ 172 000 ≡... n¨m lµ xÊp xØ 1,434% AH ≈ 11, 478 2 AC ≈ 25,25 87 Quy tr×nh Ên phÝm trªn m¸y fx - 500MS: 2 shift sto A ( alpha A x2 - 1 ) ÷ ( 2 alpha A ) shift sto A = = = = = = (®ỵc u8 ≈ −2 ,79 6 974 974 ) => u8 ≈ −2 ,79 698 Ên tiÕp = ®ỵc u9 ≈ −1,21 972 29 27 => u9 ≈ −1,21 972 Ên tiÕp = ®ỵc u10 ≈ −0,199932299 => u10 ≈ −0,19993 a) A = 22000 (1+ 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26) =22000.1 27 22000.1 27 /1 27. 76 /52 ( mod 100) VËy hai ch÷... là 32 7) Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng B = 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 Giải: Ta có B = 22000 ( 1+ 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26) = 1 27 22000 ⇒ B = 1 27 22000 ≡ 1 27. 76 ≡ 52 (mod 100) Vậy : Hai chữ số cuối cùng của tổng B là 52 8) Tìm số dư của phép chia 19 971 9 97 cho 13 Giải: Ta có 19 971 ≡ 8 (mod 13) 19 972 ≡ 12 (mod 13) 19 973 ≡ 12.8 ≡ 5(mod 13) 19 974 ≡ 1 (mod 13) ⇒ (19 974 )499... ≡ 5(mod 13) 19 974 ≡ 1 (mod 13) ⇒ (19 974 )499 ≡ 1499 ≡ 1(mod 13) 19 971 9 97 = 19 971 996 19 971 ≡ 1.8 (mod 13) Hay 19 971 9 97 ≡ 8 (mod 13) Vậy số dư của phép chia 19 971 9 97 cho 13 là 8 9) Tìm dư trong phép chia 21000 cho 25 Giải: Ta có 210 ≡ 24 (mod 25) ⇒ 220 ≡ 1 (mod 25) Người viết + su tÇm: §Ỉng §øc HiƯp – dangduchiepvn@gmail.com -11- Tµi li u båi dìng HS giái m«n gi¶i to¸n trªn MTCT líp 8,9 ⇒ 21000 ≡ 1500... Tính: un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2 1, -5, -4, -9, -13, -22, -35, - 57, -92, -149, … BÀI TẬP: 1)Cho dãy số u1 = 144; u2 = 233; ….; un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2 Tính u12, u 37, u38, u39 KQ: u12 = 286 57; u 37 = 48 075 26 976 ; u38 = 77 7 874 2049; u39 = 12586269025 ( tính bằng tay ) 1)Cho u1 = 2002, u2 = 2003 và un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2 Xác định u5, u10 ? KQ: u5 = 10013, u10 = 110144 2/ Dãy số Fibonaci (... u5, u10? 3)KQ: u5 = 113.661, u7 = 50 .73 2.586, u8 = 1 071 961389, u9 = 2265023 276 1 ( tính bằng tay) Người viết + su tÇm: §Ỉng §øc HiƯp – dangduchiepvn@gmail.com -13- Tµi li u båi dìng HS giái m«n gi¶i to¸n trªn MTCT líp 8,9 u10 = 19u9 + 45.u8 = 478 592684964 ( tính bằng tay) 3) Cho u1 = 30; u2 = 4 và un+1 = 19.un + 75 .un-1 với mọi n ≥ 2 Xác định u5, u7? KQ: u5 = 1.019.836, u7 = 508.052.446, 4) Cho u1 =... 10) ⇒ 172 002 ≡ 172 000 172 ≡ 1.9 ≡ 9(mod 10) Vậy: Chữ số hàng đơn vị của 172 002 là 9 6) Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng A = 22000 + 22001 + 22002 1 Giải: Ta có A = 22000 ( 1+ 21 + 22 ) = 7 22000 Mà ta lại có 210 ≡ 24 (mod 100) ⇒ (210)5 ≡ 245 ≡ 24 (mod 100) ⇒ 2250 ≡ 245 ≡ 24 (mod 100) ⇒ 21250 ≡ 245 ≡ 24 (mod 100) ⇒ 22000 = 21250.2250.2250.2250 ≡ 24.24.24.24 ≡ 76 (mod 100) ⇒ A = 7 22000 ≡ 7. 76 ≡ 32... 3/1/2009 Bài 1 : a) Tính giá trò của biểu thức lấy kết quả với 2 chữ số ở phần thập phân N = 321930 + 291945 + 2 171 954 + 3041 975 b) Tính kết quả đúng ( không sai số ) của các tích sau P = 13032006 × 130320 07 Q = 3333355555 × 3333 377 777 0 ' 0 ' c)Tính giá trò của biểu thức M với α = 25 30 , β = 57 30 M = [(1 + tg 2α )(1 + cot g 2 β ) + (1 − sin 2 α )(1 − cos 2 β )] (1 − sin 2 α )(1 − cos 2 β ) ( Kết quả... phương trình ( lấy kết quả với các chữ số tính được trên máy ) 1303 07 +1403 07 1 + x = 1 + 1303 07 −1403 07 1 + x Bài 4 : Giải phương trình ( lấy kết quả với các chữ số tính được trên máy ) x + 178 408256 − 26614 x + 13320 07 + x + 178 381643 − 26612 x + 13320 07 = 1 Bài 5 : Xác đònh các hệ số a , b ,c của đa thức P ( x) = ax 3 + bx 2 + cx − 20 07 để sao cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư là 1 , chia cho (x –... với mọi n ≥ 2 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76 , 123, 199, 322, 521, 843, … Ví dụ 2: Với u1 = -3; u2 = 4 Tính: un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2 -3, 4, 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73 , 118, … Ví dụ 3: Với u1 = -1; u2 = -5 Tính: un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2 -1, -5, -6, -11, - 17, -28, -45, … Ví dụ 4: Với u1 = 1; u2 = -5 Tính: un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2 1, -5, -4, -9, -13, -22, -35, - 57, -92, -149, … BÀI TẬP: . hin4611538 271 7 Ta c kt qu BCNN( 24195802 47; 38021 975 31) = 2661538 271 7 Vớ d 3: Tỡm cỏc c nguyờn t ca A = 175 1 3 + 19 57 3 + 2369 3 Gii: Ghi vo mn hỡnh 175 119 57 v n Mỏy hin: 17 19 Chnh li mn hỡnh 175 1. 10) 7 2004 = (7 4 ) 501 1 501 1(mod 10) 7 2005 = 7 2004 .7 1 1 .7 7( mod 10) Vy: + 7 2005 chia cho 10 l 7. + Ch s hng n v ca 7 2005 l 7. 5) Tỡm ch s hng n v ca 17 2002 . Gii: Ta. 24195802 47; 38021 975 31) BCNN( 24195802 47; 38021 975 31) Ghi vo mn hỡnh 24195802 47 38021 975 31v n Mn hỡnh hin: 71 1 a) a con tr lờn dũng biu thc sa thnh 24195802 47 7 KQ: CLN( 24195802 47; 38021 975 31)