TRƯỜNG THPT LÊ XOAY NĂM HỌC 2009 – 2010 ĐỀ THI KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ LẦN III Môn: Toán 10, Ban KHTN Thời gian: 150’( Không kể thời gian giao đề) Câu 1. Giải hệ phương trình: 2 2 2 (5 4)(4 ) 5 4 16 8 16 0 y x x y x xy x y = + − − − + − + = Câu 2. Cho bất phương trình: ( ) ( ) 2 1 3 4 5x x x x m+ + ≤ + + + (1) a. Giải bất phương trình với m=0. b. Tìm m để bất phương trình (1) có nghiệm đúng với mọi 3; 2 3x ∈ − − + Câu 3. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 A-B B-C C-A 4(cos os os ) os . os . os 8 2 2 2 2 2 2 A B C c c c c c+ + = + Hãy xác định đặc điểm của tam giác ABC? Câu 4. Cho tam giác ABC có C(-4;1), phương trình các đường trung tuyến AA’, đường phân giác BB’ của tam giác đó lần lượt là: 2x-y+3=0 và x+y-6=0. a. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC. b. Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác MBC, biết M(3;1) c. Từ điểm D(2;6) kẻ 2 đường tiếp tuyến DP, DQ đến đường tròn (C) (P, Q là tiếp điểm). Hãy lập phương trình đường thẳng PQ. Câu 5. Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Chứng minh rằng: 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 x y z y z x z x y yz zx xy + + + + + ≥ Hết ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 10 BAN KHTN LẦN 3 – NĂM HỌC 2009 - 2010 Câu Ý Nội dung Điểm 1 1.5 2 2 2 2 2 2 5 16 16 0 2 4 0 5 4 16 8 16 0 (5 4)(4 ) y x x y xy y y x xy x y y x x + − − = − − = ⇔ ⇔ − − + − + = = + − 2 0 2 4 (5 4)(4 ) y y x y x x = = + ⇔ = + − 2 0 (5 4)(4 ) 0 2 4 (2 4) (5 4)(4 ) y x x y x x x x = + − = ⇔ = + + = + − Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( ) ( ) ( ) 4 ; 4;0 , ;0 , 0;4 5 x y = − ÷ 0.5 0.5 0.5 2 2.5 a 1.5 2 2 4 5 4 5 2 0x x x x m⇔ + + − + + − − ≤ . Đặt ( ) 2 4 5 1t x x t= + + ≥ bất phương trình có dạng: 2 2t t m− − ≤ (2) Với m=0,Ta có: 2 2 0 1 2 2t t t t− − ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇒ ≤ 2 4 1 0x x⇔ + + ≤ . Vậy bất phương trình có nghiệm: 2 3; 2 3x ∈ − − − + 0.5 0.5 0.5 b 1.0 Đặt 2 4 5t x x= + + , nếu 3; 2 3x ∈ − − + thì 1 2t≤ ≤ Để bất phương trình (1) có nghiệm với mọi 3; 2 3x ∈ − − + thì bất phương trình (2) có nghiệm với mọi t thỏa mãn: 1 2t ≤ ≤ Xét hàm số [ ] 2 ( ) 2 / 1;2f t t t= − − t 1 2 f(t) 0 -2 Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán khi 0m ≥ 0.25 0.25 0.5 2 3 1.0 2 2 2 A-B B-C C-A 4(cos os os ) os . os . os 8 2 2 2 2 2 2 A B C c c c c c+ + = + A-B B-C C-A 2(3 osA+cosB+cosC)-8= os . os . os 2 2 2 c c c c⇔ + ( ) A-B B-C C-A 2 cos cos cos 2 os . os . os 2 2 2 A-B B-C C-A 8sin .sin .sin os . os . os 2 2 2 2 2 2 A B C c c c A B C c c c ⇔ + + − = ⇔ = Nhân cả 2 vế của biểu thức trên với biểu thức: B C 8cos os os 2 2 2 A c c 8sin sin sin (sin sin )(sin sin )(sin sin )A B C A B B C C A⇔ = + + + . Áp dụng BĐT CÔSI dấu bằng xảy ra khi A=B=C, tam giác ABC đều. 0.25 0.25 0.5 4 4.0 a 2.0 Gọi B(x;y) thì x+y-6=0 và trung điểm của BC là 4 1 '( ; ) ' 2 2 x y A AA − + ∈ Suy ra 2x-y-3=0 Giải hệ 6 0 (3;3) 2 3 0 x y B x y + − = ⇒ − − = BC: 2x-7y+15=0. Gọi C’(x;y) là điểm đối xứng của C qua BB’(C’ thuộc AB) ' ( 4; 1)CC x y= + − uuuur và trung điểm 4 1 ; ' 2 2 x y I BB − + ∈ ÷ Vì CC’ vuông góc với BB’ và I nằm trên BB’ nên ta có hệ phương trình 5 0 '(5;10) 15 0 x y C x y − + = ⇒ + − = Vậy phương trình AB: 7x-2y-15=0 Toạ độ điểm A thoả mãn hệ phương trình: 7 2 15 0 (7;17) 2 3 0 x y A x y − − = ⇒ − + = Vậy phương trình của AC: 16x-11y+75=0 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 b 1.0 Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC có dạng: x 2 +2ax+y 2 +2by+c=0 Theo giả thiết M, B, C nằm trên đường tròn nên ta có hệ phương trình: 0.25 0.5 3 1 6 6 18 0 2 6 2 10 0 2 8 2 17 0 9 a a b c a b c b a b c c = + + + = + + + = ⇔ = − − + + + = = − Vậy phương trình đường tròn cần tìm có dạng: 2 2 4 9 0x x y y+ + − − = 0.25 c 1.0 Đường tròn (C) Tâm 1 ( ;2) 2 I − , bán kính 53 2 R = Giả sử P(x;y) nằm trên tiếp điểm của đường tròn Ta có: 2 2 4 9 0x x y y+ + − − = và IP DP⊥ uur uuur Mà 2 2 1 3 ( ; 2), ( 2; 6) 1 8 12 0 2 2 IP x y DP x y x x y y+ − − − ⇒ − − + − + = uur uuur Vậy toạ độ của P thoả mãn hệ phương trình: 2 2 2 2 3 1 8 12 0 5 4 20 0 2 2 4 9 0 x x y y x y x x y y − − + − + = ⇒ − − = + + − − = Vậy phương trình đường thẳng PQ: 5x-8y-40=0 0.5 0.5 5 1.0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 x y z y z x z x y x x y y z z yz zx xy z y x z x y + + + + + ≥ ⇔ + + + + + ≥ Ta có: 2 2 , ,x xy y xy x y− + ≥ ∀ Nhân cả 2 vế của BĐT trên với x+y ta có 3 3 2 2 3 3 ( ), , x y x y x y xy x y x y R x y x y xy y x + + + ≥ + ∀ ∈ ⇒ ≥ + ⇔ + ≥ + (1) Áp dụng 3 lần BĐT (1) ta có: 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 x x y y z z x y z z y x z x y + + + + + ≥ + + = Dấu bằng xảy x=y=z=1/3 0.25 0.25 0.5 Hết 4 . TRƯỜNG THPT LÊ XOAY NĂM HỌC 2009 – 2 010 ĐỀ THI KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ LẦN III Môn: Toán 10, Ban KHTN Thời gian: 150’( Không kể thời gian giao đề) Câu 1. Giải hệ. 2 ( ) ( ) ( ) 2 x y z y z x z x y yz zx xy + + + + + ≥ Hết ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 10 BAN KHTN LẦN 3 – NĂM HỌC 2009 - 2 010 Câu Ý Nội dung Điểm 1 1.5 2 2 2 2 2 2 5 16 16 0 2 4 0 5 4 16 8 16 0 (5 4)(4. tam giác MBC có dạng: x 2 +2ax+y 2 +2by+c=0 Theo giả thi t M, B, C nằm trên đường tròn nên ta có hệ phương trình: 0.25 0.5 3 1 6 6 18 0 2 6 2 10 0 2 8 2 17 0 9 a a b c a b c b a b c c = + +