SKKN TOÁN 2011 (hot)

sở giáo dục đào tạo Hải dơng phòng giáo dục KInh MễN Kinh nghiệm tính diện tích tam giác theo diện tích của tam giác cho trớc Bộ môn: Toán 8 Năm học 2005-2006 Kinh nghiệm Tính diện tích tam giác theo diện tích của tam giác cho trớc I. Đặt vấn đề Trong SGK Toán 8 tập 1 có bài tập 18 về diện tích tam giác, bài toán nh sau: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Chứng minh rằng S AMB = S AMC .Việc giải bài 3 toán này rất đơn giản, tuy nhiên từ bài toán này ta có thể phát triển thành nhiều bài toán hay và khó. Một trong các cách phát triển đó là tính diện tích tam giác theo diện tích của một tam giác cho trớc. Trớc khi triển khai chuyên đề tôi đã tiến hành kiểm tra sự hiểu biết của các em học sinh khá giỏi của nhà trờng về tính diện tích của tam giác theo diện tích của một tam giác cho trớc và áp dụng vào giải toán qua đề bài sau. Đề bài: (Thời gian làm bài 45phút) Bài 1: Cho tam giác ABC , trên AB lấy điểm M,trên AC lấy điểm N sao cho AM = 2MB, CN = 2NA. Gọi O là giao điểm của BN và CM Chứng minh rằng S AMON = S BOC Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích S và AB =m, AC = n ( m< n ). AD là phân giác của góc A , M là trung điểm của BC. Tính diện tích của tam giác ADM theo S và *Thống kê kết quả: Lớp 5 - 6đ 7đ 8 - 10đ SL % SL % SL % 8A1 14 35 17 42.5 9 22.5 8A2 17 42.5 13 32.5 10 25 *) Nhận xét: Sau khi kiểm tra các lớp 8A1, 8A2 của trờng tôi thấy học sinh còn tồn tại nh sau: - Học sinh cha biết cách chứng minh một số bài toán đơn giản, lời giải còn trình bày dài dòng, rắc rối. - Học sinh cha biết vận dụng công thức tính diện tích tam giác đã học để giải các bài toán cụ thể. - Học sinh cha phát huy đợc t duy sáng tạo, khả năng học hỏi, sự tìm tòi kiến thức mới. II. giảI quyết vấn đề 1. Bài toán trong SGK và lời giải Bài toán 1 : Cho tam giác ABC , trung tuyến AM .Chứng minh rằng : S AMB = S AMC . Giải : 4 A H M C B Kẻ AH BC tại H ta có S AMB = 1 2 MB.AH S AMC = 1 2 MC.AH Mà MB = MC (gt) S AMB = S AMC Thay đổi vị trí của điểm M ta có bài toán mới. Bài toán: Cho tam giác ABC, M là một điểm trên BC sao cho BM = kBC. Tính S ABM theo S ABC . Giải : A H M C B Kẻ AH BC ta có : S ABM = 1 2 BM.AH S ABC = 1 2 BC.AH 1 . 2 1 . 2 ABM ABC BM AH S kBC k S BC BC AH = = = S ABM = k S ABC Qua bài toán này ta có kết luận. Tỉ số diện tích của hai tam giác có cùng chiều cao bằng tỷ số hai cạnh đáy tơng ứng. Sử dụng kết luận này ta giải quyết đợc nhiều bài toán về diện tích sử dụng diện tích tam giác. 2) Phát triển bài toán SGK Bài toán 2 : Cho ABC. D, E là các điểm thuộc AB, AC sao cho AD = kAB; AE =mAC. Chứng minh: S ADE = k.m.S ABC . Giải : 5 E D C B A Nối B với E ta có : ADE ABE S AD S AB = ABE ABC S AE S AC = Nhân hai đẳng thức trên ta có . .= = ADE ABC S AD AE k m S AB AC S ADE = k.m.S ABC Bài toán 3 : Cho tam giác ABC. D, E là điểm thuộc AB và AC sao cho AD=kAB , AE = mAC. BE cắt CD tại O. Tính S OBC theo S ABC . Giải E D O C A B Ta có : AD = kDB S AOD = kS BOD S ADC = kS BDC S ADC - S AOD = k (S BDC - S BOD ) S AOC = kS BOC AE = mEC S AOE = m S OEC ; S ABE = m S BEC S AOB = mS BOC Ta lại có : S AOB + S AOC + S BOC = S ABC kS BOC + m S BOC + S BOC = S ABC S BOC (k + m + 1) = S ABC S BOC = 1+ + ABC S k m Bài toán 4 : Cho tam giác ABC. M là điểm trên AB sao cho AM k MB = , N là điểm thuộc AC sao cho AN m NC = . Gọi O là giao điểm của BN và CM. Xác định m, k để S AMON = S BOC . Giải : 6 O N M C B A Ta cã S ANON = S BAN - S OBM S ANON = S CAM - S OAN ⇒ 2 S AMON = S ABN + S CAM – S OBM - S OCN Ta l¹i cã S OBC = S BMC - S OBM S OBC = S BNC - S ONC ⇒ 2 S AMON = S BMC + S BNC – S OBM - S OCN S AMON = S OBC ⇔ S ABN + S CAM = S BMC + S BNC Ta còng cã AM k MB = ⇒ AM k BM 1 ; AB k 1 AB k 1 = = + + AN AN m CN 1 m ; NC AC m 1 AC m 1 = ⇒ = = + + ⇒ S AMC = k k 1+ S ; S BMC = 1 k 1+ S ; S ABN = m m 1+ S ; S BNC = 1 m 1+ S ⇒ S AMON = S OBC ⇔ k k 1+ S + m m 1+ S = l k 1+ S + 1 m 1+ S ⇔ k k 1+ + m m 1+ = 1 m 1+ + 1 k 1+ ⇔ km + k + km + m = k+1 + m + 1 ⇔ 2km = 2 ⇔ km = 1 Bµi to¸n 5 : Cho tam gi¸c ABC. Gäi D, E, F theo thø tù thuéc AB, BC, CF sao cho AD = kDB , BE = mEC, CF = nFA . BiÕt S ABC = S. TÝnh S DEF . Gi¶i : 7 F E D C B A Ta có : 1 AD k AB k = + ; 1 1 DB AB k = + 1 1 AF AC n = + ; 1 CF n AC n = + 1 BE m BC m = + ; 1 1 CE BC m = + Theo bài toán 2 ta có : 1 . . 1 1 ( 1)( 1) ADF ABC S AD AF k k S AB AC k n k n = = = + + + + ( 1)( 1) ADF kS S k n = + + Tơng tự ta có : ( 1)( 1) BDE mS S k m = + + , ( 1)( 1) CEF nS S m n = + + S DEF = S ABC - S ADF - S BDE - S CEF = ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) kS mS nS S k n k m m n + + + + + + = 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) kS m n S k n k m m n ữ + + + + + + = 1 ( 1)( 1)( 1) kmn S k m n + + + + Bài toán 6 : Cho tam giác ABC. O là điểm nằm trong tam giác. AO, BO, CO cắt BC, CA, AB thứ tự tại E, F, D. Chứng minh rằng 1 4 DEF ABC S S Giải : O F E D C B A Đặt AD k DB = , BE m EC = , CF n FA = Theo định lí Xê va ta có kmn = 1. Ap dụng kết quả bài toán 5 ta có : 1 . ( 1)( 1)( 1) DEF ABC kmn S S k m n + = + + + Ta lại có : (k-1) 2 0 k 2 +2k + 1 4k (k+1) 2 4k 8 (m+1) 2 4 , (n+1) 2 4n (k+1) 2 (m+1) 2 (n+1) 2 4k.4m.4n = 64kmn = 64 (k+1)(m+1)(n+1) 8 2 1 8 4 DEF ABC S S = hay 1 4 DEF ABC S S Dấu = xảy ra khi k = m = n = 1 O là trọng tâm của ABC Bài toán 7 : Cho tam giác ABC có diện tích S. Gọi D, E, F lần lợt là các điểm thuộc AB, BC, CA sao cho AD = k DB, BE = mEC ; CF = nFA. Tính diện tích của tam giác tạo bởi AE, BF, CD. Giải : N M K F E D C B A Gọi tam giác tạo bởi các đoạn thẳng AE, BF, CD là KMN. Ta có : AF = 1 n FC BD = 1 k AD , CE = 1 m BE Theo bài toán 3 ta có : 1 1 1 BNC S nS S kn n k n = = + + + + , 1 1 1 AKC S kS S km k m k = = + + + + , 1 1 1 BMA S mS S mn m n m = = + + + + S KMN = S ABC S BNC S AKC - S BMA S KMN = S ABC S BNC S AKC - S BMA = 1 1 1 nS kS mS S kn n km k mn m + + + + + + = (1 1 1 1 n k m S kn n km k mn m + + + + + + * Ta có thể chứng minh định lí Xêva dựa vào bài trên .Với D, E, F là các điểm nằm giữa AB, BC, CA thì ta có : 9 O F E D C B A AE, BF, CD đồng quy S KMN = 0 1 1 1 1 m k n mn m km k kn n + + = + + + + + + 2kmn = k 2 m 2 n 2 +1 (kmn - 1) 2 = 0 kmn = 1 Vậy AE, BF, CD đồng quy . . 1 AD BE CF DB EC FA = Bài toán 8 : Cho tam giác ABC. Trên BC, AC, AB lấy các điểm E, D, F thoả mãn 1 5 BE EC = ; 1 2 CD DA = ; 1 AF FB = .Gọi AE cắt BD và CF tại M và P, BD cắt CF tại N. Chứng minh S MNP = S APF + S BME + S DNC Giải : N M P F D E C B A Ta có S MNP = S AED - S AFND - S BMPF = S AED - S AFC + S DNC - S ABE + S BME + S APF S MNP = S ABD S AFC + S DNC S ABE + S BME + S APF S MNP = S BCF S ABE + S APF S BDC + S BME + S DNC S MNP = S AEC S BDC + S BME S AFC + S APF + S DNC 3 MNP = S AEC + S BCF + S ABD 2(S ACF + S BDC + S ABE ) +3(S APF + S BME + S DNC ) Dễ dàng có : ABC AEC BCF ABD 5S 2 S + S + S = 2 6 2 3 ABC ABC ABC S S S+ + = ABC AFC BDC ABE S 2(S + S + S ) =2 2 2 3 6 + + = ữ ABC ABC ABC S S S 3S MND = 3 (S APF + S BME + S DNC ) S MNP = S APF + S BME + S DNC 10 **) Một số bài tập tự giải: Bài 1: Cho tam giác ABC . Trên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho AM = 3MB ,AN = 2NC .Gọi O là giao điểm của BN và CM . Tính diện tích của tứ giác AMON. Bài 2: Cho tam giác ABC . Trên AB, BC, CA lần lợt lấy các điểm M ,N ,P sao cho AM = 2MB, BN = 3NC , CP = 4PA. Tính diện tích của tam giác tạo bởi AN , BP , CM. Bài 3: Cho tam giác ABC . Gọi M , N, P là các điểm nằm giữa AB , BC, CA sao cho AM = kMB, BN = mNC , CP = nPA. a) Tìm k,m,n để S MNP = 1 2 S ABC b) Tìm k, m, n để diện tích tam giác tạo bởi các đoạn thẳng AM, BN , CP bằng nửa diện tích tam giác ABC. Bài 4: Cho tam giac ABC có din tích S .Lấy các điểm E, G trên BC sao cho BE = EG = GC . Gọi D, H theo thứ tự là trung điểm của AC, AB , I là giao điểm của GH và BD , K là giao điểm của AG và BD Tính diịen tích của tam giác IEG. 11 Bài 5: Cho điểm O nằm trong tam giác ABC. Các tia AO , BO , CO cắt các cạnh của tam giác theo thứ tự tại A , B , C , Chứng minh rằng : a) ' ' ' 1 ' ' ' OA OB OC AA BB CC + + = b) 2 ' ' ' OA OB OC AA BB CC + + = c) 2 ' ' ' OA OB OC AA BB CC + + = d) . . 8 ' ' ' OA OB OC OA OB OC III) Kết quả thực hiện: 1) Kết quả cụ thể: Sau khi triển khai chuyên đề với học sinh khá giỏi của nhà trờng tôi đã tiến hành khảo sát học sinh để kiểm tra sự lĩnh hội của các em về đề tài này. Đề bài: (Thời gian làm bài 45phút) Bài 1: Cho tam giác ABC có diện tích S. M ,N là các điểm tren AB , AC sao cho AM = 2MB , AN = 3NC. Tính diện tích của tam giác AMN. Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích S, đờng trung tuyến AM.Gọi D là điẻm nằm giữa B và M . Qua M kẻ đờng thẳng song song với DA cắt AC ở E . Tính diện tích của tam giác DEC. *Thống kê kết quả: Lớp 5 - 6đ 7đ 8 - 10đ SL % SL % SL % 8A1 1 2.5 12 30 27 67.5 8A2 2 5 12 30 26 65 2) Kết quả chung: 12 [...]... duy toán - Gợi mở cho học sinh hớng vận dụng một số bài toán chứng minh các đẳng thức trong hình học Trên cơ sở các kết quả đã đạt đợc tôi dự kiến hớng tiếp tục nghiên cứu đề tài nh sau: 13 - Tiếp tục tuyển chọn các đề toán liên quan đến diện tích tam giác yêu cầu hoc sinh vận dụng kiến thức đã học để luyện tập - Xuất phát từ bài toán trên và các bài tập đợc vận dụng yêu cầu học sinh sáng tạo các đề toán. .. thức Toán học khác Từ đó có biện pháp vận dụng và khai thác các tính chất hay công thức vào giải các bài tập cụ thể Cần tăng cờng giáo dục học sinh tinh thần tự học, tự nghiên cứu kiến thức vì đây là con đờng làm chủ và chiếm lĩnh tri thức một cách hiệu quả nhất kết luận và kiến nghị Nh đã trình bày đề tài này sau khi đợc áp dụng trong các buổi học bồi dỡng học sinh giỏi hoặc các buổi ngoại khoá môn Toán. .. tiến bộ sau: - Học sinh đã biết tính diện tích của tam giác theo diện tích của tam giác khác khi biết liên hệ về cạnh đáy của hai tam giác có cùng chiều cao một cách nhanh hơn - Học sinh giải các bài toán về diện tích tam giác ở các dạng nh trên nhanh hơn - Học sinh tiếp tục phát triển t duy sáng tạo, tăng cờng học hỏi bạn khác, tự tìm tòi kiến thức mới IV) Bài học kinh nghiệm: Sau khi triển khai kinh . Toán 8 Năm học 2005-2006 Kinh nghiệm Tính diện tích tam giác theo diện tích của tam giác cho trớc I. Đặt vấn đề Trong SGK Toán 8 tập 1 có bài tập 18 về diện tích tam giác, bài toán. AM. Chứng minh rằng S AMB = S AMC .Việc giải bài 3 toán này rất đơn giản, tuy nhiên từ bài toán này ta có thể phát triển thành nhiều bài toán hay và khó. Một trong các cách phát triển đó là. ngoại khoá môn Toán lớp 8 tôi thấy nội dung nêu ra có tác dụng thiết thực: - Bổ sung thêm kiến thức cho học sinh và phát triển t duy toán - Gợi mở cho học sinh hớng vận dụng một số bài toán chứng