Chuyên đề 1 ôn TN THPT

HĐBM Toán THPT Nguyễn Đáng ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Tài liệu tham khảo Ôn tập Thi TN THPT ĐẠO HÀM I/- ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Hàm số y = f(x) Hàm số hợp y = f(u) ; u = g(x) ( C )’ = 0 C: hằng số (x)’ =1 ( ) x x 2 1 = ′ ( ) u u u 2 ′ = ′ 2 11 x x −= ′       2 1 u u u ′ −= ′       ( ) 1 . n n x n x − ′ = ( ) 1 . . n n u n u u − ′ ′ = ( ) xx cossin = ′ ( ) uuu cos.sin ′ = ′ ( ) xx sincos −= ′ ( ) uuu sin.cos ′ −= ′ ( ) 2 2 1 tan 1 tan cos x x x ′ = = + ( ) 2 tan os u u c u ′ ′ = ( ) 2 1 cot sin x x ′ = − ( ) 2 cot sin u u u ′ ′ = − ( ) x x e e ′ = ( ) . u u e u e ′ ′ = ( ) .ln x x a a a ′ = ( ) . .ln u u a u a a ′ ′ = ( ) 1 nl x x ′ = ( ) n u l u u ′ ′ = ( ) 1 og ln a l x x a ′ = ( ) og ln a u l u u a ′ ′ = ( ) 1 1 n n n x n x − ′ = ( ) 1 n n n u u n u − ′ ′ = II/- CÁC QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Cho các hàm số u ; v ; w lần lượt có đạo hàm u’ ; v’ ; w’. Ta có : 1; ( u + v – w )’ = u’ + v’ – w’ 2; ( u.v)’ = u’v + uv’ Hệ quả : ( C.v )’ = C.v’ ( C : hằng số ) Mở rộng : ( uvw )’ = u’vw + uv’w + uvw’ 3; ( ) 0 '' 2 ≠ − = ′       v v uvvu v u Photocopy - Phúc – phuc99@gmail.com – 0939 302 308 Trang 1 Chuyên đề :1 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM HĐBM Toán THPT Nguyễn Đáng ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Tài liệu tham khảo Ôn tập Thi TN THPT ÔN TẬP TAM THỨC BẬC HAI 1/- Dấu tam thức bậc 2 a; ( ) 0 0 , ∆ < ⇔ > ∀ af x x ( f(x) cùng dấu với a , x ∀ ) b; ( ) 0 0 , 2 ∆ = ⇔ > ∀ ≠ − b af x x a ( f(x) cùng dấu với a , x 2 b a ∀ ≠− ) c; ( ) ( ) 0 1 2 0 0 1 2 > ⇔ < ∨ < ∆ > ⇔ < ⇔ < <     af x x x x x af x x x x 0 ∆< x −∞ +∞ f(x) Cùng dấu với a 0∆≤ x −∞ 2 b a − +∞ f(x) Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a 0 ∆> x −∞ 1 x 2 x +∞ f(x) Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a 2/- Chú ý : Cho tam thức bậc hai : ( ) 2 ( ) 0f x ax bx c a = + + ≠ 0 . ( ) 0 0 a a f x x  > > ∀ ⇔  ∆ <  0 . ( ) 0 0 a b f x x  < < ∀ ⇔  ∆ <  0 . ( ) 0 0 a c f x x  > ≥ ∀ ⇔  ∆ ≤  0 . ( ) 0 0 a d f x x  < ≤ ∀ ⇔  ∆ ≤  3. Dấu các nghiệm số 2 ( )f x ax bx c = + + có 2 nghiệm ( ) 1 2 1 2 ;x x x x< 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 ; . 0 x x P b c x x S S x x P x x a a P < < ⇔ <  ∆>    < < ⇔ > = + = − = =   ÷    >  g g 1 2 1 2 0 0 0 0 ; 0 0 x x S x x cuøng daáu P P  ∆>  ∆>  < < ⇔ < ⇔   >   >  g g Lưu ý 1. Phương trình 2 0ax bx c + + = a; Phương trình vô nghiệm 0 0 0 0 a a b c ≠ = =   ⇔ ∨   ∆ < ≠   b; Pt có 1 nghiệm kép    =∆ ≠ ⇔ 0 0a c; Pt có 2 nghiệm phân biệt    >∆ ≠ ⇔ 0 0a 2. Phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 khi biết 1 nghiệm x = x 0 Phương pháp ( Chia 2 vế của phương trình cho x – x 0 ) Ta có ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ⇔ ( x – x 0 )( Ax 2 + Bx + C ) = 0 (1) ( )    =++ =− ⇔ 20 0 2 0 CBxAx xx Số nghiệm của (1) = Số nghiệm của (2) + 1 Đặt g(x) = Ax 2 + Bx + C . Photocopy - Phúc – phuc99@gmail.com – 0939 302 308 Trang 2 HĐBM Toán THPT Nguyễn Đáng ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Tài liệu tham khảo Ôn tập Thi TN THPT Tính : ∆ = B 2 – 4AC và g(x 0 ) = Ax 0 2 + Bx 0 +C • Pt có 1 nghiệm         = =∆ <∆ ⇔ 0)( 0 0 0 xg • Pt có 2 nghiệm           = >∆    ≠ =∆ ⇔ 0)( 0 0)( 0 0 0 xg xg • Phương trình có 3 nghiệm phân biệt    ≠ >∆ ⇔ 0)( 0 0 xg Cách tìm x 0 • a + b + c + d = 0 Phương trình có nghiệm x 0 = 1 • a – b + c – d = 0 Phương trình có nghiệm x 0 = –1 • x 0 là nghiệm nguyên của phương trình thì x 0 là ước số của d A/- TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Lí thuyết Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong (a ; b) ; ( ) bax ; ∈∀ • 0y ′ > ⇔ Hàm số đồng biến trong ( a ; b ) • 0y ′ < ⇔ Hàm số nghịch biến trong ( a ; b ) • Hoặc ⇔≥ ′ 0y Hàm số đồng biến trong ( a ; b ) • ⇔≤ ′ 0y Hàm số nghịch biến trong ( a ; b ) (Dấu “=” xảy ra tại một số hữu hạn điểm) x y’ y Vấn đề 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số Phương pháp Để tìm khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x) • Tìm tập xác định D • Tìm y’ .Tìm các giá trị i x D ∈ mà tại các điểm đó y ′ = 0 hoặc không xác định • Lập bảng xét dấu của y’ • Căn cứ dấu của y’ để kết luận Ví dụ Tìm khoảng đơn điệu của hàm số : 1; y = x 3 – 3x 2 + 2 Giải : Tập xác định D = ¡ Đạo hàm y’ = 3x 2 – 6x . y’ = 0 ⇔ 20063 2 =∨=⇔=− xxxx Bảng biến thiên x ∞− 0 2 ∞+ y’ + 0 – 0 + y Vậy hàm số đồng biến trong ( ) ( ) ∞+∞− ;2;0; , nghịch biến trong (0;2) 2; y = 1 22 2 + ++ x xx Photocopy - Phúc – phuc99@gmail.com – 0939 302 308 Trang 3 HĐBM Toán THPT Nguyễn Đáng ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Tài liệu tham khảo Ôn tập Thi TN THPT Tập xác định D = ¡ \ { } 1 − Đạo hàm y’ = ( ) 20020 1 2 2 2 2 −=∨=⇔=+⇔= ′ + + xxxxy x xx Bảng biến thiên x ∞− -2 -1 0 ∞+ y’ + 0 – – 0 + y Vậy hàm số : Đồng biến trong ( ) ( ) ∞+−∞− ;0;2; Nghịch biến trong ( ) ( ) 0;1;1;2 −−− Vấn đề 2 Tìm m để hàm số đơn điệu trong tập X Phương pháp • Hàm số đồng biến trong X Xxy ∈∀≥ ′ ⇔ 0 • Hàm số nghịch biến trong X Xxy ∈∀≤ ′ ⇔ 0 • Riêng hàm số nhất biến y = dcx bax + + không có dấu “=” Ví dụ Cho hàm số y = 3 3 1 x − - mx 2 + (m –2 )x + 2. Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập xác định Giải : Tập xác định D = ¡ Đạo hàm y’= -x 2 – 2mx + m – 2 Hàm số nghịch biến trên tập xác định ' 0y x ⇔ ≤ ∀ ∈ ¡ 1202 2 ≤≤−⇔≤−+=∆ ′ ⇔ mmm (Vì a = – 1 < 0 ) B/- CỰC TRỊ Vấn đề 1: Tìm cực trị của hàm số y = f(x) Qui tắc 1 ( Dùng y’ ) a; Tìm tập xác định D b; Tìm y’ • Cho y’ = 0 tìm nghiệm x 0 ( hay điểm 0 x D ∈ mà ( ) 0 y x ′ không tồn tại). • Lập bảng xét dấu của y’ • Căn cứ bảng xét dấu của y’ nếu khi x đi qua x 0 mà : + y’ đổi dấu từ ( + ) sang (–) thì hàm số đạt cực đại tại x 0 ; y CĐ = y 0 = f(x 0 ) + y’ đổi dấu từ (–) sang ( + ) thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0 ; y CT = y 0 = f(x 0 ) x x o x 1 y’ + – – + y y 0 CĐ CT Qui tắc 2 ( Dùng y”) a; Tìm tập xác định D b; Tìm y’ .Cho y’ = 0 tìm nghiệm x 0 ; x 1 ; … c ; Tìm y” . Tính y”(x 0 ) . Nếu : • y”(x 0 ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x 0 • y”(x 1 ) > 0 thì hàm số đat cực tiểu tại x 1 Lưu ý : • Nếu y”(x 0 ) = 0 hay tại x 0 mà y’(x 0 ) không tồn tại thì không dùng được qui tắc 2 Photocopy - Phúc – phuc99@gmail.com – 0939 302 308 Trang 4 HĐBM Toán THPT Nguyễn Đáng ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Tài liệu tham khảo Ôn tập Thi TN THPT • Hàm số y = 11 2 bxa cbxax + ++ đạt cực trị tại x 0 . Có y 0 = 1 0 2 a bax + • Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d đạt cực trị tại x 0 khi tính y 0 gặp khó khăn ta chia y cho y’ được thương P(x) và số dư px + q . Ta có y = y’.P(x) + px + q nên y 0 = y’(x 0 ).P(x 0 ) + px 0 + q = px 0 + q (vì x 0 là nghiệm của y’ = 0) . Ví dụ Tìm cực trị của hàm số : 1; y = f(x) = 1 2 2 − ++ x xx Tập xác định D = ¡ \ { } 1 Đạo hàm y’ = ( ) 2 2 1 32 − −− x xx y’ = 0    = −= ⇔    = −= ⇔=−−⇔ 7 1 3 1 032 2 1 2 1 2 y y x x xx • Bảng biến thiên x ∞− –1 1 3 ∞+ y’ + 0 – – 0 + y –1 CĐ CT • Vậy hàm số : Đạt cực đại tại x = – 1 ; y CĐ = – 1 , Đạt cực tiểu tại x = 3 ; y C T = 7 2; y = f(x) = x + 2cosx Tập xác định D = ¡ Đạo hàm y’ = f’(x) = 1 – 2sinx ; f”(x) = – 2 cosx y’ = 0 ( ) Zk kx kx xx ∈       += += ⇔=⇔=−⇔ π π π π 2 6 5 2 6 2 1 sin0sin21 2 1 Ta có ( ) ′′ 1 f x = 3 − < 0 ⇒ Hàm số đạt cực đại tại 32;2 6 =+= CD ykx π π ( ) ′′ 2 f x = 3 > 0 ⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x = π π 2 6 5 k+ ; 32 −= CT y Vấn đề 2 : Tìm tham số để hàm số đạt cực trị tại 0 x Phương pháp Hàm số đạt cực trị tại x 0 khi y’(x 0 ) = 0 hoặc không tồn tại từ điều kiện này suy ra giá trị của tham số. Kiểm tra lại bằng cách xét dấu y’ hoặc dùng y”. Qua việc thử lại cho ta cụ thể hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại x 0. • Nếu đồ thị hàm số có điểm cực trị M(x 0 ; y 0 ) thì thêm y 0 = f(x 0 ) . • Trong vài trường hợp cụ thể ta có thể sử dụng 1; ( ) ( ) 0 0 ' 0 " 0 f x f x =   ≠   ⇒ Hs đạt cực trị tại x 0 , 2; ( ) ( ) 0 0 ' 0 " 0 f x f x =   <   ⇒ Hs đạt cực đại tại x 0 3; ( ) ( ) 0 0 ' 0 " 0 f x f x =   >   ⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 Nếu f”(x 0 ) = 0 không kết luận mà phải xét dấu y’ Ví dụ Cho hàm số y = f(x) = x 3 – 2x 2 + mx – 3. Tìm m để hàm số : Photocopy - Phúc – phuc99@gmail.com – 0939 302 308 Trang 5 HĐBM Toán THPT Nguyễn Đáng ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Tài liệu tham khảo Ôn tập Thi TN THPT a; Đạt cực trị tại x = 1 b; Đạt cực đại tại x = 0 Photocopy - Phúc – phuc99@gmail.com – 0939 302 308 Trang 6 HĐBM Toán THPT Nguyễn Đáng ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Tài liệu tham khảo Ôn tập Thi TN THPT GIẢI : Tập xác định D = ¡ Đạo hàm y’ = f’(x) = 3x 2 – 4x + m a; Hàm số đạt cực trị tại x = 1 khi f’(1) = 0 ⇔ 3 – 4 + m = 0 1 −=⇔ m . Khi m = –1 ta có y’ = 3x 2 – 4x + 1 x ∞− 1/3 1 ∞+ y’ + 0 – 0 + y CĐ CT Vậy khi m = – 1 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 Vấn đề 3 : Tìm tham số để hàm số có cực trị Phương pháp Tìm tập xác định D và y’ = f’(x) Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có nghiệm x 0 (hoặc y ′ không tồn tại tại 0 x D∈ ) và y’ đổi dấu khi x đi qua x 0 .Phương trình y’ = 0 có bao nhiêu nghiệm và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó thì hàm số có bấy nhiêu cực trị Ví dụ Cho hàm số y = 1 1 2 + ++− x mxx . Tìm m để : 1; Hàm số có cực trị 2; Hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu GIẢI : 1; Tập xác định D = ¡ \ { } 1 − Đạo hàm : y’ = ( ) 2 2 1 22 + −−+ x mxx . Hàm số có cực trị ⇔ y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó 022 2 =−−+⇔ mxx có 2 nghiệm phân biệt 3021 −>⇔>++=∆ ′ ⇔ mm 2; Khi m > -3 hàm số có 2 giá trị cực trị y 1 = 2x 1 – 1 ; y 2 = 2x 2 – 1 . y 1 ; y 2 cùng dấu ⇔ y 1 .y 2 > 0 ( )( ) ( ) 012.401212 212121 >++−⇔>−−⇔ xxxxxx (*) Vì x 1 ; x 2 là nghiệm của phương trình x 2 + 2x – m – 2 = 0 nên ta có (*) 4 3 014)2(4 − <⇔>++−−⇔ mm 4 3 3 −<<−⇔ m Vậy hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu khi 4 3 3 −<<− m C/- ĐIỂM UỐN Lí thuyết Đồ thị hàm số có điểm uốn tại x 0 ⇔ f”(x) đổi dấu khi x đi qua x 0 D /- GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1; Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trong ( a;b ) nếu: ( ) ( ) 0 0 ; : ( ) ( ; ) x a b f x M f x M x a b  ∃ ∈ =   ≤ ∀ ∈   thì ( ) ; max a b y = M ( ) ( )    ∈∀≤ =∈∃ );()( :; 00 baxmxf mxfbax thì ( ) ; min a b y = m 2; Cách tìm a; Tìm miền giá trị của hàm số từ đó suy ra max y , min y b; Dùng đạo hàm • Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trong ( a;b ) Phương pháp Tìm y’ . Tìm )(lim)(lim xfxf bxax −+ →→ ∧ . Lập bảng xét dấu của y’. Căn cứ bảng xét dấu để kết luận Photocopy - Phúc – phuc99@gmail.com – 0939 302 308 Trang 7 HĐBM Tốn THPT Nguyễn Đáng ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Tài liệu tham khảo Ơn tập Thi TN THPT • Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trong [ a;b ] Phương pháp Tìm y’. Cho y’ = 0 tìm nghiệm x 0 , x 1… [ ] ba; ∈ . Tính f(a), f(b), f(x 0 ), f(x 1 ),…… ; ax a b m y     là giá trị lớn nhất trong các giá trị trên. ; in a b m y     là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên E/- TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ Lý thuyết : Trong hệ trục Oxy cho ( ) ( ) : ( ) ;C y f x và I a b = . Tịnh tiến hệ Oxy theo OI uur được hệ trục IXY theo cơng thức x X a y Y b  = +  = +  thì trong hệ trục IXY ta có ( ) ( ) : ( )C Y g X f X a b = = + − 1; Đồ thị (C) có tâm đối xứng I(a;b) Bằng phương pháp đổi hệ trục Oxy về hệ trục IXY theo cơng thức :    += += bYy aXx biến đổi y = f(x) thành Y = g(X) và chứng minh Y = g(X) là hàm số lẻ ( F(–X) = – F(X) ) 2; Đồ thị (C) có trục đối xứng ( ) ∆ : x = a ( ) ∆ cắt trục hồnh tại điểm I(a; 0). Bằng phương pháp đổi hệ trục Oxy về hệ trục IXY theo cơng thức :    = += Yy aXx biến đổi y = f(x) thành Y = g(X) và chứng minh Y = g(X) là hàm số chẵn ( Với I(a;0) ) ( g(– X) = g(X) ) F/- TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ I/- Tiệm cận đứng Cách tìm Tìm tập xác định D 1. Nếu D = ¡ \ { } ;; 10 xx . Tìm lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )  x a x a x a x a f x hoặc f x hoặc f x hoặc f x thì x a là pt tiệm cận đứng + + − − → → → → = + ∞ = − ∞ = + ∞ = − ∞ = g ( ) 1 lim x x f x M → = g thì x = x 1 khơng phải là phương trình tiệm cận đứng 2. Nếu D = ( a ; b ) tìm ( ) ( ) xfxf bxax −+ →→ ∧ limlim Ví dụ: y = 32 6 2 2 −+ −+ xx xx • Tập xác định D = ¡ \ { } 1;3 − • 2 2 2 2 1 1 6 6 lim lim 2 3 2 3 x x x x x x và x x x x + − → → + − + − = − ∞ = + ∞ + − + − ⇒ Tiệm cận đứng x = 1 • 2 2 3 3 6 2 5 lim lim 3 1 4 2 3 x x x x x x x x x →− →− + − − = = ⇒ = − − + − khơng phải là phương trình tiệm cận đứng Photocopy - Phúc – phuc99@gmail.com – 0939 302 308 Trang 8 HĐBM Toán THPT Nguyễn Đáng ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Tài liệu tham khảo Ôn tập Thi TN THPT II/- Tiệm cận ngang Cách tìm Tập xác định D • Nếu D không chứa ±∞ thì không có tiệm cận ngang • Nếu lim ( ) lim ( ) x x f x a hay f x a →+∞ →−∞ = = ⇒ y = a là phương trình tiệm cận ngang • Nếu ( ) lim x f x →±∞ = ± ∞ ⇒ đồ thị không có tiệm cận ngang III/- Tiệm cận xiên Định nghĩa y = ax + b là phương trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) ( ) ( ) lim 0 x f x ax b →±∞   ⇔ − + =   . hay a = ( ) ( ) lim ; lim x x f x b f x ax x →±∞ →±∞   = −    Nếu phân tích được y = ax + b + P(x) mà lim ( ) 0 x P x →±∞ = thì y = ax + b là phương trình tiệm cận xiên .  Đặc biệt với đồ thị hàm số y = edx cbxax + ++ 2 chia tử số cho mẫu số được thương ( gần đúng ) mx + n và số dư p edx p nmxy + ++=⇒ Ta có lim 0 x p y mx n dx e →±∞ = ⇒ = + + là phương trình tiệm cận xiên IV-/ Đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối Phương pháp Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), từ đồ thị (C) suy ra : 1; (C 1 ) : y = f ( ) x = ( ) 0 ( ) 0 f x khi x f x khi x  ≥  − <  nên ta có (C 1 ) : • Giữ phần đồ thị (C) với x ≥ 0 • Bỏ phần đồ thị (C) với x < 0 • Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị (C) với x ≥ 0 2; (C 2 ) : y = )(xf =    <− ≥ 0)()( 0)()( xfkhixf xfkhixf nên ta có (C 2 ) : • Giữ phần đồ thị (C) với f(x) ≥ 0 • Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) với f(x) < 0 • Bỏ phần đồ thị (C) với f(x) < 0 3; (C 3 ) : y = f(x) = )( )( xQ xP =        <− > 0)( )( )( 0)( )( )( xQkhi xQ xP xQkhi xQ xP nên ta có (C 3 ): • Giữ phần đồ thị (C) với Q(x) > 0 • Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) với Q(x) < 0 • Bỏ phần đồ thị (C) với Q(x) < 0 4; (C 4 ) : y = f(x) = )(.)( xQxP hay y = f(x) = )( )( xQ xP Vì y =    <− ≥ 0)()( 0)()( xPkhixf xPkhixf nên ta có (C 4 ) : • Giữ phần đồ thị (C) với P(x) ≥ 0 • Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) với P(x) < 0 • Bỏ phần đồ thị (C) với P(x) < 0 Photocopy - Phúc – phuc99@gmail.com – 0939 302 308 Trang 9 HĐBM Toán THPT Nguyễn Đáng ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Tài liệu tham khảo Ôn tập Thi TN THPT CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ( C ) : y = f(x) Lí thuyết • P trình tiếp tuyến của ( C ) tại M(x 0 ; y 0 ) : y – y 0 = f’(x 0 )(x – x 0 ) • ( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x) tiếp xúc với nhau ( ) ( ) ( ) ( )    = ′ = ′ ⇔ xgxf xgxf có nghiệm ( nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm ) Vấn đề 1 : Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M( 0 0 ;x y ) Phương pháp : Áp dụng công thức y – y 0 = f’(x 0 )( x – x 0 ) • Nếu chưa cho y 0 thì tính y 0 = f(x 0 ) (giao của (C ) và trục tung là cho 0 0x = ) • Nếu chưa cho x 0 thì x 0 là nghiệm của phương trình f(x) = y 0 (giao của (C ) và trục hoành là cho 0 0y = ) Ví dụ: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số : (C ) : y = f(x) = x 3 – 3x + 2 tại: a; Điểm M có hoành độ x M = 0 b; Giao điểm của ( C ) với trục hoành Giải :a; x M = 0 ⇒ y M = 2 ( ) 2;0M ⇒ y’ = f’(x) = 3x 2 – 3 ⇒ f’(0) = – 3 Vậy phương trình tiếp tuyến : y – 2 = –3( x – 0 ) ⇔ y = – 3x + 2 b; Phương trình trục Ox : y = 0 . Ta có x 3 – 3x + 2 = 0 ( ) ( ) 21021 2 −=∨=⇔=−+−⇔ xxxxx • x = 1 phương trình tiếp tuyến y = f’(1)(x – 1) 0 =⇔ y • x = – 2 phương trình tiếp tuyến y = f’(– 2)(x + 2) 189)2(9 +=⇔+=⇔ xyxy Vấn đề 2 Lập phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước Phương pháp Cách 1 : Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc k ( ) kxf = ′ ⇔ 0 . Giải phương trình tìm x 0 ( ) 00 xfyD =⇒∈ Phương trình tiếp tuyến y – y 0 = k( x – x 0 ) Cách 2 : Gọi (d) : y = kx + b là tiếp tuyến của ( C ) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )    += = ′ 2 1 bkxxf kxf có nghiệm . Giải (1) tìm x thế vào (2) tìm b Lưu ý Cho (d) : y = a.x + b nếu : • (d 1 ) song song với (d) thì (d 1 ) có hệ số góc k = a • (d 2 ) vuông góc với (d) thì (d 1 ) có hệ số góc k = a 1 − (hay a.k = – 1 ) Ví dụ Cho ( C ) : y = f(x) = x 3 – 2x + 2. Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết 1; Tiếp tuyến song song với (d) : y = x + 1 2; Tiếp tuyến vuông góc với (d) GIẢI 1; Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm. Tiếp tuyến song song với (d) nên có hệ số góc k = 1 ( ) 11231 0 2 00 ±=⇔=−⇔= ′ ⇔ xxxf • x 0 = 1 ⇒ y 0 = 1 . Phương trình tiếp tuyến : y = x • x 0 = – 1 ⇒ y 0 = 3 . Phương trình tiếp tuyến : y = x + 4 2; Vì tiếp tuyến vuông góc với (d) nên có hệ số góc k = – 1 . Gọi (d 1 ) : y = – x + b là tiếp tuyến của ( C ) ( ) ( )      +−=+− −=− ⇔ 222 1123 3 2 bxxx x có nghiệm ( ) 3 3 1231 2 ±=⇔−=−⇔ xx . Photocopy - Phúc – phuc99@gmail.com – 0939 302 308 Trang 10 [...]... ) (1) Vì tiếp tuyến đi qua A( x1 ; y1 ) nên y1 – y0 = f’(x0)( x 1 – x0) giải phương trình tìm x0 thay vào (1) Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng đi qua A có hệ số góc k  f ′( x ) = k (1) Ta có :(d) : y – y1 = k( x – x1 ) (1) là tiếp tuyến của (C) ⇔  có nghiệm  f ( x ) = k ( x − x1 ) + y1 ( 2 ) Thế k từ (1) vào (2) giải tìm x thế vào (1) tìm k và thay vào phương trình (1) Ví dụ Lập phương trình tiếp... số giao điểm của (C) và (d) GIẢI : Hồnh độ giao điểm của 2 đường là nghiệm của phương trình  x 1 = 0 4x3 – 3x + 1 = m(x – 1) + 2 ⇔ (x – 1) (4x2 + 4x + 1 – m) = 0 (1) ⇔  2  4 x + 4 x + 1 − m = 0 ( 2) 2 Đặt h(x) = 4x + 4x + 1 – m Tính ∆ ′ = 4 – 4 (1 – m) = 4m và h (1) = 9 – m −∞ +∞ x 0 9 ∆′ Số điểm chung – 1 0 ¶2 + 3 + ¶2 3 BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Phương pháp Cho (C) : y = f(x) , dựa vào đồ... ptrình f(x)= g(x) (1 ) Phương trình ( 1 ) có bao nhiêu nghiệm thì ( C ) và ( D ) có bấy nhiêu điểm chung Muốn tìm giao điểm ta thay nghiệm của ( 1 ) vào y = f(x) hay y =g(x) Photocopy - Phúc – phuc99@gmail.com – 0939 302 308 Trang 11 HĐBM Tốn THPT Nguyễn Đáng Ơn tập Thi TN THPT ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Tài liệu tham khảo Ví dụ Cho (C) : y = f(x) = 4x3 – 3x + 1 và (d) : y = g(x) = m(x – 1) + 2.Biện luận theo...HĐBM Tốn THPT Nguyễn Đáng Ơn tập Thi TN THPT Từ (2) với x = ± ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Tài liệu tham khảo 3 2 3 ⇒b=2 3 9 2 3 9 Vấn đề 3 : Lập phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A( x1 ; y1 ) Phương trình tiếp tuyến y = – x + 2  Phương pháp Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm.Tính y0 = f(x0) và f’(x0) theo x0 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là : y – y0 = f’(x0)( x – x0 ) (1) Vì tiếp tuyến... ra giá trị tham số Ví dụ: Cho (C) : y = f(x) = x4 – x2 + 1 và (D) : y = g(x) = x2 + m Tìm để (C) và (D) tiếp xúc với nhau GIẢI : 4 x 3 − 2 x = 2 x (1)  f ' ( x) = g ' ( x)  ⇔ 4 (C) và (D) tiếp xúc với nhau ⇔  f ( x) = g ( x) x − x 2 + 1 = x 2 + m   ( 2) có nghiệm (1) ⇔ 4 x 3 − 4 x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ± 1 • x = 0 từ (2) ta có m = 1 • x = ± 1 từ (2) ta có m = 0 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐƯỜNG Phương... y = x3 – 3x2 + 2 1; Khảo sát hàm số 2; Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của : x3 – 3x2 – m = 0 (1) GIẢI : 1; 2; (1) ⇔ x3 – 3x2 + 2 = m + 2 y m+2 O 1 x  (C ) : y = x 3 − 3 x 2 + 2  Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của   (d ) : y = m + 2 ( cùng phương với trục hoành)  Dựa vào đồ thị ta có : • m + 2 < − 2 hoặc m + 2 > 2 ⇔ m < − 4 hoặc m > 0 : Phương trình có 1 nghiệm • m + 2 =... Phương trình (d) : y = k(x – 2) – 4 3x 2 − 3 = k (1)  ⇔ 3 (d) là tiếp tuyến của (C) có nghiệm  x − 3x + 2 = k ( x − 2 ) − 4 ( 2 )  Từ (1) và (2) ta có x3 – 3x + 2 = (3x2 – 3) (x – 2) – 4 ⇔ x 3 − 3x 2 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 3 • x = 0 ⇒ k = − 3 Phương trình tiếp tuyến là y = – 3x + 2 • x = 3 ⇒ k = 24 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y = 24x – 52 Vấn đề 4 :Sự tiếp xúc giữa hai đường Phương pháp :  f '... Lập phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x3 – 3x + 2 biết rằng tiếp tuyến đi qua A(2 ; –4 ) Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm Ta có y0 = x03 – 3x0 +2 và f’(x0) = 3x02 – 3 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là 2 3 y – (x03 – 3x0 + 2) = (3x02 – 3)( x – x0) ⇔ y = 3x 0 − 3 x − 2 x0 + 2 (1) Vì tiếp tuyến đi qua A(2;– 4) , nên 3 2 – 4 = (3x02 – 3).2 – 2x03 + 2 ⇔ x0 − 3 x0 = 0 ⇔ x0 = 0 ∨ x0 =... có 1 nghiệm • m + 2 = − 2 hoặc m + 2 = 2 ⇔ m = − 4 hoặc m = 0 : Phương trình có 2 nghiệm • −2 < m + 2 < 2 ⇔ − 4 < m < 0 Phương trình có 3 nghiệm Photocopy - Phúc – phuc99@gmail.com – 0939 302 308 Trang 12 . biệt 30 21 −>⇔>++=∆ ′ ⇔ mm 2; Khi m > -3 hàm số có 2 giá trị cực trị y 1 = 2x 1 – 1 ; y 2 = 2x 2 – 1 . y 1 ; y 2 cùng dấu ⇔ y 1 .y 2 > 0 ( )( ) ( ) 012 .4 012 12 212 1 21 >++−⇔>−−⇔ xxxxxx . – 0939 302 308 Trang 1 Chuyên đề :1 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM HĐBM Toán THPT Nguyễn Đáng ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Tài liệu tham khảo Ôn tập Thi TN THPT ÔN TẬP TAM THỨC BẬC HAI 1/ - Dấu tam thức bậc 2 a;. trình 4x 3 – 3x + 1 = m(x – 1) + 2 ⇔ (x – 1) (4x 2 + 4x + 1 – m) = 0 (1) ( )    =−++ =− ⇔ 2 014 4 01 2 mxx x Đặt h(x) = 4x 2 + 4x + 1 – m . Tính ∆ ′ = 4 – 4 (1 – m) = 4m và h (1) = 9 – m x ∞−