Đề học sinh giỏi toán 12-số 25

1. Cho một số nguyên dương r và một tấm bảng hình chữ nhật được chia thành 20 x 12 ô vuông đơn vị. Các di chuyển sau được cho phép trên bảng: có thể di chuyển từ một ô vuông này đến ô vuông khác chỉ nếu khoảng cách tâm của hai ô vuông này là . Nhiệm vụ là tìm ra một cách di chuyển từ một ô góc của bảng đến ô góc khác của bảng cùng nằm trên cạnh dài của bảng. (a) Hãy chỉ ra là không làm đượ c điề u đó n ếu r chia hết cho 2 ho ặc 3. (b) Chứng minh r ằng có thể làm được nế u r = 73. (c) Có thể làm được không nế u r = 97? 2. Cho P là một điểm trong tam giác ABC sao cho . Gọi D, E lần lượt là tâm đườ ng tròn nội ti ếp tam giác APB và APC. Hãy chỉ ra r ằng AP, BD, CE cắt nhau tại mộ t đi ểm. 3. Cho tập các số nguyên không âm S. Tìm tất cả các hàm f : S S sao cho: f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n) với mọi m, n. 4. Cho a, b là các số nguyên dương thoả mãn: 15a + 16b và 16a - 15b đều là bình phương của các số nguyên d ương. Số nhỏ hơn trong hai s ố này sẽ nhậ n giá trị nh ỏ nhấ t là bao nhiêu. 5. Cho ABCDEF là một l ục giác l ồi sao cho AB//DE, BC//EF và CD//FA. Gọ i R A , R C , R E là bán kính của đường tròn ngoại tiếp các tam giác FAB, BCD, DEF. Và gọi p là chu vi của lục giác. Chứ ng minh rằng: R A + R C + R E 6. Cho p, q, n là ba số nguyên dương với p + q < n. G ọ i x 0 , x 1 , , x n là các s ố nguyên sao cho x 0 = x n =0 và v ớ i m ỗi 1 i n có x i - x i-1 = p ho ặ c = -q. Hãy ch ỉ ra rằ ng t ồ n tạ i ch ỉ số i < j v ớ i cặ p (i, j) (0, n) sao cho x i = x j . . f(n) với mọi m, n. 4. Cho a, b là các số nguyên dương thoả mãn: 15a + 16b và 16a - 15b đều là bình phương của các số nguyên d ương. Số nhỏ hơn trong hai s ố này sẽ nhậ n giá trị nh ỏ