1. Cho P là một điểm bên trong tam giác ABC. D, E, F là chân đường cao tương ứng hạ từ P xuống BC, CA, AB. Tìm tất cả các điểm P sao cho: đạt giá tr ị nhỏ nh ất. 2. L ấ y r sao cho 1 r n, và xét t ấ t c ả các t ậ p con g ồ m r ph ầ n t ử c ủ a t ậ p {1, 2, , n}. M ỗ i m ộ t t ậ p con có m ộ t s ố nh ỏ nh ấ t. G ọ i F(n, r) là giá tr ị trung bình c ủ a các ph ầ n t ử nh ỏ nh ấ t này. Chứng minh rằ ng: 3. Cho m, n là các số nguyên dương trong đoạn [1, 1981] thoả mãn: (n 2 - mn - m 2 ) 2 = 1. Xác định giá trị lớn nhất của m 2 + n 2 4. (a) Với giá trị nào của n (n > 2) thì tồn tại một tập n số nguyên dương liên tiếp mà số lớn nhất trong n số đó là ước số của bội số chung nhỏ nhất của (n - 1) số còn lại ? (b) Với giá trị nào của n (n > 2) thì có duy nhất một tập có tính chất như trên. 5. Ba đường tròn cùng m ột bán kính có chung mộ t đi ểm O và n ằm bên trong mộ t tam giác đã cho. Mỗ i mộ t đường tròn ti ếp xúc vớ i hai cạ nh của tam giác. Chứng minh rằng: tâm của đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác và điểm O thẳng hàng. 6. Cho hàm f(x, y) với mọi x, y là số nguyên không âm, thoả mãn: f(0, y) = y + 1 f(x + 1, 0) = f(x, 1) f(x + 1, y + 1) = f(x, f(x +1, y)) Tìm f(4, 1981). Pa g e 2 of 2IMO Vietnamese