1. Cho các số nguyên dương m, n. Gọi a 1 , a 2 , , a m là các phần tử khác nhau của tập {1, 2, 3, , n} sao cho với b ất kì a i + a j n (v ớ i i, j nào đ ó, có th ể i = j) ta có a i + a j = a k v ớ i k nào đ ó. Chứng minh rằng: 2. Cho tam giác cân ABC v ới AB = AC. Gọi M là trung điể m của BC và O là đ iểm trên AM sao cho OB AB. Q là một điểm tuỳ ý trên BC (khác với B và C), E và F lần lượt là các điểm nằm trên AB và AC sao cho E, Q, F là các điểm khác nhau và thẳng hàng. Ch ứng minh rằng: OQ EF khi và ch ỉ khi QE = QF. 3. Với bất kì số nguyên dương k gọi f(k) là số các phần tử trong tập {k +1, k + 2, , 2k} mà có đúng ba số 1 khi viết dưới dạng nhị phân . Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương m t ồ n t ạ i ít nh ấ t m ộ t s ố k v ớ i f(k) = m, và xác đị nh t ấ t c ả m để t ồ n t ạ i duy nh ấ t m ộ t s ố k nh ư v ậ y. 4. Xác định tất cả các cặp theo thứ tự (m, n) của các số nguyên dương để là một số nguyên. 5. Cho S là tập hợp tất cả các số thực lớn hơn -1. Tìm tất cả các hàm f : S S sao cho: f(x + f(y) + xf(y)) = y + f(x) + yf (x) v ới mọ i x, y và là tă ng chặt trên các kho ảng -1 < x < 0 và 0 < x. 6. Hãy ch ỉ ra rằ ng tồn t ại m ột tậ p A các số nguyên d ương có tính chấ t sau: vớ i bất kì m ột tậ p S vô hạ n các số nguyên t ố, tồ n tạ i hai số nguyên d ương m thuộ c A và n không thuộ c A, mỗi số này là tích của k phần tử khác nhau của S (với k 2).