1. Một tứ diện lồi có diện tích là 32 và tổng của hai cạnh đối diện và một đường chéo là 16. Tìm tất cả các độ dài có thể của đường chéo còn lại. 2. Cho P 1 (x) = x 2 - 2 và P i+1 = P 1 (P i (x)) v ới i = 1, 2, 3, Hãy chỉ ra rằng với mọi n phương trình P n (x) = x có các nghiệm thực khác nhau. 3. Một hình hộp chữ nhật có thể được lấp đầy với các hình lập phương đơn vị. Nếu người ta đặt được càng nhiều càng tốt các hình lập phương thể tích 2 vào trong hộp thì sẽ chiếm thể tích là 40% th ể tích của h ộp. Xác đị nh các kích thước có thể của h ộp. 4. Xác đị nh s ố l ớ n nh ấ t là tích c ủ a các s ố nguyên d ươ ng có t ổ ng là 1976. 5. Cho n là một số nguyên dương và m = 2n. a ij = 0, 1, hoặc -1 (với 1 i n, 1 j m). x 1 , x 2 , , x m là m ẩ n ch ư a bi ế t tho ả mãn n ph ươ ng trình sau: a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a im x m = 0, với i = 1, 2, 3, , n. Ch ứ ng minh r ằ ng: h ệ ph ươ ng trình trên có các nghi ệ m nguyên có giá tr ị tuy ệ t đố i l ớ n nh ấ t là b ằ ng m và không đồ ng th ờ i b ằ ng 0. 6. Cho dãy u 0 , u 1 , u 3 , được định nghĩ a bởi: u 0 = 2, u 1 = , u n+1 = u n (u n-1 2 - 2) - u 1 với n = 1, 2, Chứng minh rằng: [u n ] = Trong đó: [x] biể u diễ n số nguyên l ớn nhấ t nhỏ hơn ho ặc bằ ng x.