4.TÌM m ĐỂ BPT CÓ NGHIỆM

Chuyên đề :PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN-TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ m ĐỂ BPT CÓ NGHIỆM

TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN – GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN

1

TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ m ĐỂ BPT CÓ NGHIỆM

1/ Tìm m để bất phương trình : 4 x 2 x m có tập nghiệm là [ -2; 4 ]

Hd: Đkiện: – 2 x 4

- Bpt : f(x) m thoả mãn với x𝜖 𝑎; 𝑏 khi và chỉ khi m Maxf(x) x𝜖 𝑎; 𝑏

-Hàm số f(x) = 4 − 𝑥 – 2 + 𝑥 có f ’(x) = - (2 4−𝑥1 + 1

2 2+𝑥 ) < 0 hàm số nghịch biến trong(-2;4)

Do đó với x 𝜖 2; 4 Maxf(x) = f(-2) = 6

-Vậy bpt : 4   x 2   x m có tập nghiệm là [ -2; 4 ] khi m f(-2) = 6

2/ Tìm m để bpt : ( x2 1)2  m x x2  2 4

a) Có nghiệm x thuộc [ 0; 1 ]

b) Bất phương trình thoả mãn với mọi x 𝜖 [ 0; 1 ]

Hd: Xét x≥ 0 -Viết Bpt thành :x4

+ 2x2 + 1 + m 𝑥4+ 2𝑥2 + 4 (1)

𝑓 𝑡 = −𝑡2+ 𝑡 + 3 ≥ 𝑚

𝑡 = 𝑥4+ 2𝑥2 ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 3 (2) a) Bpt (1) có nghiệm x 𝜖 [ 0; 1 ] Khi m Maxf(x) với mọi x 𝜖 [ 0; 1 ].Ta cã m f(1

2) = 134 b) Bpt (1) thoả mãn với mọi x 𝜖 [ 0; 1 ] khi bpt (2) thoả mãn với mọi t 𝜖 0; 3 Điều này xẩy ra khi : m Minf(t) = f( 3 ) = 3

3/ Tìm m để bpt : m( x2 2 x    2 1) x (2   x ) 0 (1)

Có nghiệm x thuộc [ 0 ; 1 + 3 ]

Hd: Txđ : R.Với x 𝜖 [ 0; 1 + 3 ] thì 1 𝑥2− 2𝑥 + 2 ≤ 2

-Viết bpt thành : m 𝑥2−2𝑥

𝑥2−2𝑥+2 +1 f(t) =

t2−2 t+1 ≥ 𝑚 (2)

𝑡 = 𝑥2− 2𝑥 + 2 1 ≤ 𝑡 ≤ 2 -Hàm số f(t) đồng biến với ∀t ≠- 1 nên trên đoạn 1; 2 hàm số đồng biến Do đó bpt (1) thoả mãn với mọi x 𝜖 [ 0; 1 + 3 ] khi và chỉ khi bpt (2) thoả mãn với mọi t thoả mãn 1 ≤ 𝑡 ≤ 2 Khi m Minf(t) = f(1) = 1.Vậy m 1

4/ Tìm m để bpt : x x  x  12  m ( 5   x 4  x ) (1) Đúng với mọi x thuộc [1; 3]

Hd: Xét 1 ≤ x ≤ 3

-Chia cả hai vế bpt cho ( 5 − 𝑥 + 4 − 𝑥) dương ,được bpt tương đương:

f(x) = 𝑥 𝑥+ 𝑥+12

5−𝑥 + 4−𝑥 m (2) -Điều kiện m Minf(x) với 1 ≤ x ≤ 3.Tính đạo hàm ,lập bbt hàm số suy ra kết quả

5/ Tìm m để bpt : (1 2 )(3  x  x )   m (2 x2 5 x  3) thoả mãn mọi x  [− 1

2 ; 3]

Hd: Đk: −1

2 ≤ x ≤ 3 Đặt t = −2𝑥2+ 5𝑥 + 3 thì 0 t 7 2

4 Bpt tương đương: f(t) = - t2 + t m Đkiện : m Minf(t) Với mọi t 𝜖 0;7 2

4 6/Tìm tất cả các giá trị của a để bất phương trình sau được nghiệm đúng với mọi x:

a.9x + (a -1).3x+2 + a – 1 0 (1)

Hd: Viết bpt thành : f(t) = 9𝑡+1

𝑡2+9𝑡+1 a (2) Với t = 3

x , t 0

Chuyên đề :PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN-TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ m ĐỂ BPT CÓ NGHIỆM

TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN – GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN

2

-Bpt (1) thoả mãn với mọi x khi bpt (2) thoả mãn với mọi t dương.Điều đó xẩy ra khi trên

khoảng (0 ; + ) Maxf(t) a

- Hàm số f(t) Nghịch biến trên khoảng (0 ;+ ) Do đó nghịch biến trên nửa đoạn [0; + )

Do đó :suy ra để bpt (1) thoả mãn với mọi x thì trên nửa đoạn [0; + ) ,Maxf(t) = f(1) = 1 a

7/ Cho bpt : 4x – 1 – m.(2x + 1 ) 0 (1)

a.Xác định giá trị m để bpt thoả mãn với mọi x 𝜖 R

b Giải bpt khi m = 16

9

Hd: Viết bpt thành : f(t) = 𝑡

2 4𝑡+4 m (2) Với t = 2x , t 0 -Bpt (1) thoả mãn với mọi x khi bpt (2) thoả mãn với mọi t 0 , m Minf(t) với t 𝜖 [0; + )

-Trên khoảng (0 ;+ ) ,hàm số f(t) đồng biến ,Minf(t) = f(0) = 0

8/ a.Giải bpt : (1

3)2𝑥 + 9. (1

3)1𝑥+ 2

12 (*)

b Tìm giá trị m để mọi nghiệm của bpt (*) đều là nghiệm của bpt sau đây :

2x2 + (m + 2 )x + 2 – 3m 0 (1)

Hd: Txđ : R

a/.Đặt t = 1

3

1 𝑥 , t 0 Bpt viết thành : t2 + t – 12 0 0 t 3 Tức là 0 1

3

1 𝑥 < 13 −1 1

𝑥 - 1 1+𝑥

𝑥 0 - 1 x 0 b/.Ta phải tìm m để bpt (1) được thoả mãn với mọi x 𝜖 (- 1 ; 0 )

-Viết bpt (1) thành : 2(x2 + x + 1 ) m(3 – x) Xét x 𝜖 (- 1 ; 0 )thì (3-x) dương Chia cả hai vế

bpt cho (3-x) 0 được bpt : f(t) = 2(𝑥2+𝑥+1)

3−𝑥 m (2) -Bpt (2) thoả mãn với mọi x 𝜖 (- 1 ; 0 ) khi Maxf(x) m với mọi x 𝜖 [-1 ; 0 ]

-Thấy trên [- 1 ; 0 ] Hàm số đạt Maxf(x) = f(0) = 2

3 Do đó : m 2

3 thì mọi nghiệm của bpt (*) đều là nghiệm của bpt (1)