2.CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC

Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ * LƯƠNG NGHỆ-AN * GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC. NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI (CÁC BÀI TOÁN ĐÃ THI ĐH TỪ 1997 ĐẾN 2008) 1)Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = tanA.tanB.tanC. Hd : (26.95-A01) - Chứng minh ABC ta luôn có tanA+tanB+tanC = tanA.tanB.tanC -Áp dụng Cosy P = tanA.tanB.tanC = tanA+tanB+tanC 3  tanA. tanB. tanC 3 -Tức là : P 3  P 3  P 2 27  P 3  3 3 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi tanA= tanB = tanC Tức là MinP = 3  3 3 Đạt được khi ABC đều 2)Chứng minh trong tam giác ta luôn có : cot  2 + cot  2 + cot  2 3( tan  2 + tan  2 + tan  2 ) (*) Hd : (27.96-A97) - Chứng minh được trong tam giác ta luôn có: cot  2 + cot  2 + cot  2 = cot  2 .cot  2 .cot  2 (1) - Gọi x = cot  2 y = cot  2 z = cot  2 thì x,y,z 0 và (1) trở thành : x + y + z = xyz (1’) Do đó, đpcm (*)   x + y + z 3( 1  + 1  + 1  )  xyz (x + y + z ) 3 (xy + yz +zx)  ( Dùng (1’) )  (x + y + z) 2 3 (xy + yz +zx)  x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx (bđt đúng) 3)Các góc của tam giác thoả mãn điều kiện : ++ + = cot  2 . cot  2 Chứng minh ABC cân Hd : (27.97-A98) .Ta có : ++ + = cot  2 . cot  2  4  2   2   2 4  2   2   2 = cot  2 . cot  2   cot  2 . cot  2 = cot  2 . cot  2  cot  2 = cot  2  …  B = C , ABC cân 4)Hãy tính các góc của tam giác nếu các góc của tam giác thoả mãn : sin 2 A + sin 2 B + 2sinAsinB = 9 4 + 3cosC + cos 2 C (*) Hd : (27.98-D99) Ta có (*)  (sinA + sinB) 2 = ( 3 2 + cosC ) 2  sinA + sinB = 3 2 + cosC …   2  2   2  2 + sin 2  2 = 0   sin  2 = 0 2  2   2 = 0    =    2 = 1 2    = = 30 0 = 120 0  5)Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có : sin  2 cos  2 cos  2 + sin  2 cos  2 cos  2 + sin  2 cos  2 cos  2 = = sin  2 sin  2 sin  2 + tan  2 tan  2 +tan  2 tan  2 +tan  2 tan  2 (*) Hd : (27.99-A2000) -C/m được : tan  2 tan  2 +tan  2 tan  2 +tan  2 tan  2 = 1 .Do đó , đpcm (*)    2 (sin  2 cos  2 + sin  2 cos  2 ) + sin  2 (cos  2 cos  2 - sin  2 sin  2 ) = 1     2 sin + 2 + sin  2 cos + 2 = 1   2  2 +  2  2 = 1 (hoàn toàn đúng) 6)Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có : tan  4 + tan  4 + tan  4 + tan  4 tan  4 + tan  4 tan  4 + tan  4 tan  4 - tan  4 tan  4 tan  4 = 1 Hd : (27.100-A01) .Ta có tan + 4 = tan  4 Hay là :   4 + tan  4 1  4 tan  4 = 1  4 1+  4  (Nhân chéo.) Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ * LƯƠNG NGHỆ-AN * GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC. NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI Suy ra đpcm tan  4 +tan  4 + tan  4 + tan  4 tan  4 + tan  4 tan  4 + tan  4 tan  4 - tan  4 tan  4 tan  4 = 1 7)Tam giác ABC vuông tại A . Chứng minh : b 2n + c 2n a 2n (*) Với n  N* và BC = a , CA = b , AB = c Hd : (28.101-A2000) Vì ABC vuông tại A nên a >  và a > c , ta có b 2 + c 2 = a 2 Do đó bđt (*) Đúng với n = 1,dấu đẳng thức xẩy ra.Với n > 1 thì : (   ) 2n + (   ) 2n (   ) 2 + (   ) 2 = 1  b 2n + c 2n a 2n (đpcm) 8)Chứng minh rằng : Trong tam giác ta có : cos 3  3 + cos 3  3 + cos 3  3 3 8 + 3 4 (cos  2 + cos  2 + cos  2 ) (*) Hd : (28.106-A98) .(*)  4 cos 3  3 - 3 cos  2 + 4 cos 3  3 - 3 cos  2 + 4 cos 3  3 - 3 cos  2 3 2  cosA + cosB + cosC 3 2 …  2  2 cos  2  2 + sin 2  2 0 (bđt đúng) .Dấu bằng xẩy ra   sin  2 = 0 2  2 cos  2   … =    2 = 1 2   … ABC đều 9)Chứng minh rằng trong tam giác ta có :   2 cos  2 cos  2 +   2 cos  2 cos  2 +   2 cos  2 cos  2 = 2 (*) Hd : (28.108-D98) Ta có (*)   + 2 cos  2 cos  2 +  + 2 cos  2 cos  2 +  + 2 cos  2 cos  2 = 2   cos  2 cos  2 sin  2 sin  2 cos  2 cos  2 + cos  2 cos  2 sin  2 sin  2 cos  2 cos  2 + cos  2 cos  2 sin  2 sin  2 cos  2 cos  2 = 2   3 – (tan  2 tan  2 +tan  2 tan  2 +tan  2 tan  2 ) = 2  tan  2 tan  2 +tan  2 tan  2 +tan  2 tan  2 = 1 (Hoàn toàn đúng .Đây là bài toán quá quen thuộc ) 10)Chứng minh rằng nếu các góc tam giác thoả mãn : cos2A + cos2B + cos2C -1 Thì : sinA + sinB + sinC 1+  2 Hd : (29.109-A99) –Biến đổi giả thiết cos2A + cos2B + cos2C -1  cosAcosBcosC 0  ABC không nhọn . Giả sử C là góc lớn nhất của ABC Thì  2 C    4  2 <  2   0 < cos  2  2 2 .Và sinA + sinB + sinC = 2cos  2 sin  2 + sinC 2  2 2 .1 + 1 =  2 + 1 Tức là ta được đpcm : sinA + sinB + sinC 1+  2 11)Chứng minh rằng trong tam giác ta có : 1  2  + 1  2  + 1  2  1  2  2 + 1  2  2 + 1  2  2 Hd : (29.111-D99) -Ta có sinA + sinB = 2cos  2 cos  2 2cos  2 suy ra : + 2 cos  2 (1) Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ * LƯƠNG NGHỆ-AN * GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC. NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI - Theo Côsy : 1  2  + 1  2  2  2  + 2  2 2  2  2 (Vì theo (1) ở trên) - Tương tự ta có: 1  2  + 1  2  2  2  2 và 1  2  + 1  2  2  2  2 .Cộng 3 bđt cùng chiều Ta được đpcm : 1  2  + 1  2  + 1  2  1  2  2 + 1  2  2 + 1  2  2 12)Chứng minh rằng trong tam giác ta có : sinA + sinB  sinC cosA + cosB  cosC +1 = tan  2 tan  2 cot  2 (*) Hd : (29.114-D2000) .Đẳng thức (*) có: VT = sinA + sinB  sinC cosA + cosB  cosC +1 =…Tổng thành tích)… = 4cos  2 sin  2 sin  2 4sin  2 cos  2 cos  2 = tan  2 tan  2 cot  2 = VP 13)Chứng minh rằng trong tam giác ta có : 1/ ab(a+b-2c) + bc(b+c-2a) + ca(c+a-2b)  0 2/ 1  2  2 + 1  2  2 + 1  2  2 12 Hd : (30.119-A98).1/Ta có : ab(a+b-2c) + bc(b+c-2a) + ca(c+a-2b)  0   ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)  6abc    +   +   +   +   +   6 (bđt đúng ) (Áp dụng Côsy cho 6 số dương ở vế trái ) 14)Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu các góc của tam giác đó thoả mãn :   = 2cosA Hd : (31.124-D99) -Ta có :   = 2cosA  sin(A+B) = 2cossAsinB  … sin(A-B) = 0 , ABC cân tại đỉnh C 15)Chứng minh rằng nếu các góc tam giác thoả mãn : cot  2 cot  2 cot  2 - ( 1   2 + 1   2 + 1   2 ) = cotA + cotB + cotC thì ABC đều Hd : (31.125-A99) - Ta c/m được ABC bất kỳ ,có cot  2 cot  2 cot  2 = cot  2 + cot  2 + cot  2 - Lại c/m được cot  2 – cotA = 1  .Tương tự cho góc B và góc C - Do đó : cot  2 cot  2 cot  2 - ( 1   2 + 1   2 + 1   2 ) = cotA + cotB + cotC  …   (cot  2 – cotA) + (cot  2 – cotB) + (cot  2 – cotC) - ( 1   2 + 1   2 + 1   2 ) = 0   1  + 1  + 1  = 1   2 + 1   2 + 1   2 (*) - Ta có : sinA + sinB = 2cos  2 cos  2 2cos  2 -Do đó : : 1  + 1  2 1   2 + 2 2   2 16)Chứng minh rằng nếu các góc tam giác thoả mãn : sin 2 B + sin 2 C = 2sin 2 A .Thì A 60 0 Hd : (31.126-B2000) Ta có : sin 2 B + sin 2 C = 2sin 2 A  b 2 + c 2 = 2a 2 (Suy ra từ Định lý sin ) - Ta có : a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cosA (Định lý côsin trong tam giác) Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ * LƯƠNG NGHỆ-AN * GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC. NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI -Do đó : cosA =  2 + 2  2 2 =  2 + 2  1 2 ( 2 + 2 ) 2 =  2 + 2 4 2 4 = 1 2 suy ra đpcm : A 60 0 17)Chứng minh rằng nếu các góc tam giác thoả mãn : 1  2 2 + 1  2 2 + 1  2 2 = 1 2 thì ABC đều Hd : (31.127-A01) - Ta có : 1  2 2 + 1  2 2 2 2.2 1  2 2 + 1  2 2 2 2.2 1  2 2 + 1  2 2 2 2.2 - suy ra VT 2 2.2 + 2 2.2 + 2 2.2   VT 2+2+2 2.22 = 1 2 Dấu bằng xẩy ra khi ABC đều. 18)Hãy tính các góc tam giác nếu các góc của tam giác thoả mãn : Cos2A +  3 (cos2B + cos2C) + 5 2 = 0 (*) Hd : (31.128-B01) Biến đỏi ,được (*)   2  3 cos()  2 + 3sin 2 (B-C) = 0    sin    = 0 2  3 cos    = 0   ……….   A =  6 B = C = 5 12  19) 1/-Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =  3 cosB +3(cosA + cosC) với A,B,C là ba góc của một tam giác 2/-Chứng minh tam giác ABC nhọn thì: 2 3 (sinA + sinB + sinC) + 1 3 (tanA + tanB + tanC)  Hd : (32.129-A98) 1/Ta có : P =  3 cosB +3(cosA + cosC) =  3 cosB + 6sin  2 cos  2  3 cosB + 6sin  2 = ….  P  3(1- 2sin 2  2 ) + 6sin  2 = 5  3 2 - 2  3 (  2   3 2 ) 2 5  3 2 Suy ra MaxP = 5  3 2 Đạt được khi :    2 = 1 sin  2 =  3 2   ……  = = 30 0 = 120 0  .Vậy MaxP = 5  3 2 2/Xét hàm số f (x) = 2 3 sinx + 1 3 tanx - x với 0 x  2 ,Dùng công cụ đạo hàm c/m hàm số đồng biến trong khoảng (0;  2 ) do đó f (x) f (0) = 0 với mọi x  (0;  2 ) Theo giả thiết ABC nhọn ,ta có : f (A) = 2 3 sinA + 1 3 tanA - A 0 f (B) = 2 3 sinB + 1 3 tanB - B 0 Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ * LƯƠNG NGHỆ-AN * GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC. NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI f (C) = 2 3 sinC + 1 3 tanC - C 0 Cộng ba bđt trên , được: 2 3 (sinA+sinB+sinC) + 1 3 (tanA+tanB+tanC) A+B+C =  (đpcm) 20)Tam giác ABC có các góc nhọn , chứng minh (sinA) 2sinB + (sinB) 2sinC + (sinC) 2sinA 2 . Bất đẳng thức còn đúng không khi tam giác ABC là tam giác vuông? Tại sao ? Hd : (32.130-A99) - Ta c/m được :sin 2 A+sin 2 B+sin 2 C = 2+2cosAcosBcosC . - Suy ra ABC nhọn thì : sin 2 A+sin 2 B+sin 2 C 2. -Mặt khác 0 sinA 1 và sinB 1 nên (sin 2 A) sinB (sin 2 A) 1  (sinA) 2sinB sin 2 A Tương tự ,có : (sinB) 2sinC sin 2 B và (sinC) 2sinA sin 2 C . Cộng ba bđt cùng chiều này ta được đpcm : (sinA) 2sinB + (sinB) 2sinC + (sinC) 2sinA sin 2 A+ sin 2 B+ sin 2 C 2 Nếu tam giác ABC vuông ,chẳng hạn A = 90 0 thì : (sinA) 2sinB + (sinB) 2sinC + (sinC) 2sinA = 1+(sinB) 2sinC + sin 2 C 1+(sin 2 B) 1 + sin 2 C = 1+ cos 2 C+sin 2 C = 2 Như vậy :trong trường hợp tam giác vuông thì bđt đã cho vẫn đúng. 21)Chứng minh rằng trong tam giác ta có : cosAcosBcosC sin  2 sin  2 s  2 (*) Hd : (32.131-A2000) - Tam giác ABC tù hoặc vuông thì hiển nhiên bđt (*) đúng ( vì khi đó cosAcosBcosC 0 sin  2 sin  2 s  2 ) - Tam giác ABC nhọn thì cosA,cosB,cosC đều dương . Ta có cosAcosB = 1 2  cos  +   + cos()  1 2 (1-cosC) = sin 2  2 - Nghĩa là : cosAcosB sin 2  2 .Tương tự cosBcosC sin 2  2 và cosC cosA  sin 2  2 .Nhân ba bđt cùng chiều có các vế đều dương này ta được đpcm : cosAcosBcosC sin  2 sin  2 s  2 22) Tam giác ABC với a,b,c là độ dài ba cạnh A,B,C là ba góc .Chứng minh ABC vuông tại A hoặc cân tại A khi và chỉ khi :  + = tan  2 Hd : (34.134-D99) Áp dụng Định lý sin,biến đổi tổng thành tích ở vế trái . -Ta có :  + = tan  2  cot + 2 tan  2 =   2     2 = 0 cot + 2 = 1   …. .  ABC cân hoặc vuông tại đỉnh A. 23)Tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c .và A’B’C’ có độ dài các cạnh là a 2 ,b 2 ,c 2 . a/- Hãy xác định dạng của ABC b/- So sánh góc bé nhất của ABC và góc bé nhất của A’B’C’ Hd : (36.138-A97) -a/Vì a 2 ,b 2 ,c 2 là độ dài ba cạnh của A’B’C’nên   2 <  2 +  2  2 <  2 +  2  2 <  2 +  2  (tính chất các cạnh tam giác) . - Từ hệ điều kiện trên suy ra ABC có ba góc đều nhọn.Vì áp dụng định lý côsin cho ABC a 2 = b 2 + c 2 - 2bccosA < b 2 + c 2 khi cosA 0 tức là khi góc A là góc nhọn. Tương tự,ta có : B,C cũng là góc nhọn.Vậy ABC nhọn -b/So sánh góc bé nhất của ABC và góc bé nhất của A’B’C’: Giả sử a b c  a 2 b 2 c 2 . A , A’ tương ứng là góc nhỏ nhất của ABC và A’B’C’ Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ * LƯƠNG NGHỆ-AN * GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC. NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI - Xét cosA – cosA’=  2 + 2  2 2 -  4 + 4  4 2 2  2 = ……=  2  2 )    + 2 ( 2 ) 2 2  2 0 vì a b c .Như vậy cosA cosA’ A A’ 24 * )Chứng minh nếu tam giác ABC là tam giác nhọn thì : tan 8 A + tan 8 B + tan 8 C 9 tan 2 Atan 2 Btan 2 C Hd : (36.140-A99) - Từ giả thiết ABC nhọn  tanA,tanB,tanC dương,nghĩ đến bđt côsy. - Trong tam giác không vuông ta c/m được tanAtanBtanC = tanA+tanB+tanC - Áp dụng Côsy có tanAtanBtanC = tanA+tanB+tanC  3  tanAtanBtanC 3 ,mũ ba hai vế, Làm gọn ta được : (tanAtanBtanC) 2 27 Nhân hai vế bđt với (tanAtanBtanC) 6 0 ,được (tanAtanBtanC) 8 27(tanAtanBtanC) 6 Khai căn bậc 3 hai vế được : (  tanAtanBtanC 3 ) 8 3tan 2 Atan 2 Btan 2 C .(Nhân 3 cả hai vế ,để vận dụng bđt Côsy cho ba số)  9 tan 2 Atan 2 Btan 2 C 3tan 8 Atan 8 Btan 8 C 3 tan 8 A + tan 8 B + tan 8 C .Như vậy ta có đpcm : ABC là tam giác nhọn thì : tan 8 A + tan 8 B + tan 8 C 9 tan 2 Atan 2 Btan 2 C 25) Tam giác ABC có các góc thoả mãn đều kiện :  + = 2 (1) + = 2 (2)  Chứng minh ABC đều Hd : (36.141-B99) -Giả thiết (1)  cos  2 = 2sin  2  cos 2  2 = 4sin 2  2  1+ cos(B-C) = 4(1 – cosA) (1’) -Giả thiết (2)  sin (+)  = 2   …  cos(B-C) = 2cosA (2’) -Thế (2’) vào (1’)  1 + 2cossA = 4 – 4cossA  cosA = 1 2  …  A = 60 0 - Thế vào (2’) được cos(B-C) = 1  B = C .Vậy : ABC đều 26) a/Chứng minh rằng trong tam giác ABC bất kỳ , ta có :   2   2 +   2   2 +   2   2 6 (*) b/Xác định dạng của ABC .Biết rằng : (1+cotA)(1+cotB) = 2. (**) Hd : (3.142-D2000) -a/Nhân cả tử và mẫu thức mỗi hạng tử ở vế trái với 2cos  2 , 2cos  2 , 2cos  2 tương ứng ,được : (*)  2  2   2 2  2   2 + 2cos  2   2 2  2   2 + 2cos  2   2 2cos  2   2 6  …   +  + +  + +  6  +  + +  + +  6     +   +   +   +   +   6 đúng .Dấu bằng xẩy ra khi a = b = c , ABC đều -b/Nhận dạng tam giác :Giả thiết (1+cotA)(1+cotB) = 2.  (sinA+cosA)(sinB+cosB)=2sinAsinB  …  cos(A+B) + sin(A+B) = 0  sinC = cosC  tanC = 1  …  C = 45 0 Như vậy : ABC có C = 45 0 27) Tam giác ABC có các góc thoả mãn đều kiện : sin(A+B)cos(A-B) = 2sinAsinB (*) Chứng minh ABC Là tam giác vuông. Hd : (36.144-D01) -Ta có: sin(A+B)cos(A-B) = 2sinAsinB  sinCcos(B-C) = cos(A-B) + cosC  Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ * LƯƠNG NGHỆ-AN * GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC. NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI  (1 – sinC)cos(B-C) + cosC = 0  (cos  2 – sin  2 ) 2 .cos(B-C) + (cos 2  2 – sin 2  2 ) = 0   (cos  2 – sin  2 )    2    2  cos    + (  2 +   2  = 0  (cos  2 – sin  2 )  cos C 2  1 + cos()  +   2  1 cos()   = 0 (Trong dấu móc vuông : dương)  cos  2 – sin  2 = 0  tan  2 = 1   2 = 45 0 vậy C = 90 0 , ABC vuông tại đỉnh C 28) Tam giác ABC có các góc thoả mãn đều kiện : 1  + 1  + 1  = 1   2 + 1   2 + 1   2 Chứng minh ABC đều Hd : (37.147-A2000) -Theo côsy : 1  + 1  2  sinAsinB  2 + 2 = 2   2   2 2   2 (1) - Tương tự ,có: 1  + 1  2   2 (2) và 1  + 1  2   2 (3) Cộng 3 bđt cùng chiều (1),(2),(3) ta được : 1  + 1  + 1  1   2 + 1   2 + 1   2 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi ở cả ba bđt (1),(2),(3) đều xẩy ra dấu bằng  …  ABC đều . 29) Tam giác ABC có các cạnh và các góc thoả mãn đều kiện : c 2 sin2A + a 2 sin2C = b 2 cot  2 Hãy xác định hình dạng của tam giác đó. Hd : (38.154-A01) VT = c 2 sin2A + a 2 sin2C = … = = 4R 2  cos    cos(+ )  sin(+ ) 4R 2  1 cos(+ )  sin(+ ) = 2sin 2 + 2 .sin(A+C) = 8R 2 cos 2  2 sinB = 8R 2  2  2  sin 2 B = 2b 2  2  2  = b 2 cot  2 = VP Như vậy với ABC bất kỳ ta có : c 2 sin2A + a 2 sin2C  b 2 cot  2 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi cos    = 1  A = C Tức là ABC cân tại đỉnh B . 30) Tam giác ABC có các cạnh và cácgóc thoả mãn đều kiện : bc  3 = R  2  +     . (*) Trong đó a,b,c là độ dài ba cạnh và R là độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh ABC đều Hd : (39.156-A97) –Định lý sin trong tam giác . (*)  2sinB  1 sin(+  6 )  + 2  1 sin(+  6 )  = 0   sin  +  6  = 1 sin  +  6  = 1    =  3 =  3    ABC đều 31) Tam giác ABC có các góc thoả mãn đều kiện : sin  2 cos 3  2 = sin  2 cos 3  2 (*) Chứng minh ABC cân Hd : (39.158-A99) –Chia hai vế của (*) cho cos 3  2 cos 3  2 , chú ý 1  2  2 = 1 + tan 2  2 -Ta có (*)  (tan  2 – tan  2 )(1+ tan 2  2 + tan 2  2 + tan  2 tan  2 ) = 0  tan  2 – tan  2  A = B ABC cân tại đỉnh C Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ * LƯƠNG NGHỆ-AN * GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC. NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI 32) Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :  2  2  2 + 2 = sin ( ) sin ( +) (*) Hd : (39.160-A01) . -Ta có (*)  ( a 2 – b 2 ) sin (A+B) = (a 2 + b 2 )sin (A-B) (1) -Đẳng thức (1) có VT = ( a 2 – b 2 ) sin (A+B) = 4R 2 (sin 2 A – sin 2 B)sin(A+B) = … = c 2 sin (A-B) -Thay vào (1) được : c 2 sin (A-B) = (a 2 + b 2 )sin (A-B)    2 +  2 =  2 sin    = 0     ô ạ ỉ   â ạ   33 * ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M =  2 + 2 + 2   2 + 2 + 2  Trong đó A,B,C là ba góc ABC Hd : (40.162-A98) Ta có M +1 =  2 + 2 + 2   2 + 2 + 2  + 1 = 3  2 + 2 + 2  = 3  2 + 1 2  2+2  +1 = 3  2 ()+1 = 12 4 2   4    + 2 ()+ 2 ()+3 = 12  2cos ()  2 + 2 ()+3 12 3 = 4 .Như vậy : M+1 4  M 3 . Dấu bằng xẩy ra ,tức là M đạt giá trị lớn nhất khi :  sin    = 0 2cos    = 0  …  ABC đều Như vậy MaxM = 3 đạt được khi ABC đều 34) Tam giác ABC có các góc thoả mãn đều kiện : 2cosAsinBsinC +  3 (sinA+cosB+cosC) = 17 4 (*) Hãy xác định hình dạng của tam giác đó.Chứng minh Hd : (40.163-A99)-Thay cosA =  2 + 2  2 2 =  2 + 2  2  2 ,Ta có (*) …  sin 2 A+sin 2 B+sin 2 C +  3 (sinA+cosB+cosC) = 17 4  2 -   2   3   2    2   3   2 -   2   3   2 = 17 4 …     3 2  2 +    3 2  2 +    3 2  2 = 0       =  3 2 =  3 2 =  3 2        =  6 =  6 = 2 3  Như vậy ABC cân tại đỉnh A và A = 2 3 . 35) Tam giác ABC có các góc thoả mãn đều kiện :  =   2    (1) =   2    (2)  Hãy xác định hình dạng của tam giác đó.Chứng minh Hd : (40.164-A2000)- Để ý : trong khoảng (0;) Hàm số sin đồng biến và hàm số cosin nghịch biến - Lấy (1) chia cho (2) vế theo vế rồi cộng (-1) vào mỗi vế được :   =   2 (*)   B = C vì nếu B C thì ở (*) không xẩy ra dấu bằng (dấu hai vế khác nhau) -Thay B =C vào (1) : sinB =   2   sin(+ )  …  (  21) 2 = 0  B =  4 Vậy : B = C =  4  A =  2 Như vậy Tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A. 36) Tam giác ABC có các cạnh a,b,c và diện tích S thoả mãn : S = (c + a - b)(c + b – a) . Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ * LƯƠNG NGHỆ-AN * GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC. NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI Chứng minh : tanC = 8 15 Hd : (40.165-A01) .Sử dụng giả thiết S = (c + a - b)(c + b – a) , S =        () Định lý cosin trong tam giác c 2 = a 2 + b 2 – 2bccossC để giải bài toán này -Từ giả thiết S = (c + a - b)(c + b – a) suy ra S 2 = 16(p - a) 2 (p – b) 2     () () = 1 16 (1) - Ta có : tan 2  2 = 1 1+ = …=    () () (2) - Từ (1) và (2) suy ra tan  2 = 1 4 . Do đó tanC = 2  2 1 2  2 = … = 8 15 đpcm. 37) Tam giác ABC có các cạnh a,b,c và các đường trung tuyến tương ứng :m a ,m b ,m c . .Chứng minh rằng ABC đều nếu ta có :    =    =    Hd : (41.166-D01). Dùng công thức trung tuyến: m a 2 =  2 + 2 2 -  2 4 ,tính chất dãy tỷ số bằng nhau để giải bài toán này -Ta có : m 2 a – m 2 b = … = 3( 2  2 ) 4 suy ra (m 2 a – m 2 b )(a 2 – b 2 ) 0  (m a – m b )(a – b) 0 (1) - Nếu m a m b ,thì từ giả thiết :    =    =          =    0 (2) -Từ (1) và (2) suy ra : a = b .Lập luận tương tự ,có b = c .Vậy ABC đều 38) Tam giác ABC có các cạnh a,b,c và các góc thoả mãn :  1+  = 2+  4 2  2 (1)  2  +   =  2 +  2  2 (2)  Chứng minh ABC đều Hd : (44.172-B2000) -Bình phương hai vế của (1) ,làm gọn được : 1+ 1 + 1 = 2+ 2 + 1  …  b = 2acossC   sin(A-C) = 0  A = C  a = c (3) -Giả thiêt : 2  +   =  2 +  2  2 …  a = b (4) .Từ (3) và (4)  ABC đều 39) Chứng minh ABC bất kỳ ,với a,b,c là độ dài các cạnh , p là nửa chu vi .Chứng minh rằng :   <   +   +    3 Hd : (45.174-B98) -Chứng minh :   <   +   +   Bình phương hai vế , được điều hiển nhiên. -Chứng minh :   +   +    3 Thì áp dụng bđt BunhiaCopxky Ta có : (   +   +   ) 2 3(p - a + p - b + p - c) = 3p    +   +    3 . 40) Tam giác ABC thoả mãn : ++ ++ = 2 9 (*) .Trong đó a,b,c là độ dài ba cạnh p là nửa chu vi và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác .Chứng minh ABC đều Hd : (45.176-B01) -Dùng Đlý sin trong tam giác. - Biến đổi (*)  9sinAsinBsinC = (sinAsinB+ sinBsinC + sinCsinA)(sinA+sinB+sinC) (1) -Áp dụng bđt Côsy : sinAsinB+ sinBsinC + sinCsinA 3 2   2  2  3 (2) -Ta lại có : sinA + sinB + sinC 3   3 (3) -Nhân hai bđt cùng chiều có các vế dương (2) và (3) được : Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ * LƯƠNG NGHỆ-AN * GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC. NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI (sinA + sinB + sinC)(sinAsinB+ sinBsinC + sinCsinA) 9sinAsinBsinC (4) Từ (1) và (4) suy ra : sinA = sinB = sinC , ABC đều. Đây là đpcm ******************************************************************************** Trên đây là 40 bài toán Trong Tam giác-Đây là những bài đã thi Đại học từ 1997 đến 2008.Tôi đã biên tập, ghi lại ngắn gọn Hướng dẫn giải.Mong sao giúp các em học sinh ôn tập tốt mảng kiến thức này.Tất cả có 80 bài toán Trong tam giác đã thi từ 1997 đến 2008 tôi soạn thành hai phần :Phần I có 40 bài – Gửi lên Violet ngày 17 tháng 05/2009 .Đây là 40 bài phần II.Bạn đồng nghiệp nào cần 40 bài phần I thì xin mời vào trang cá nhân Trần Đức Ngọc để download .Xin mời các bạn ghé thăm. (Địa chỉ http://violet,vn/ducngoct/ ) TRẦN ĐỨC NGỌC - 0985128747 - YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN - GV TRƯỜNG THPH TÂN KỲ I NGHỆ AN ******************************************************************************** [...]...Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC *TRẦN ĐỨC NGỌC YÊN-SƠN ĐÔ * LƯƠNG NGHỆ-AN TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC * GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI .  2 + 2  2 2 =  2 + 2  1 2 ( 2 + 2 ) 2  =  2 + 2 4 2  4 = 1 2 suy ra đpcm : A 60 0 17)Chứng minh rằng nếu các góc tam giác thoả mãn : 1  2 2 + 1  2 2 . 1  2 2 = 1 2  thì ABC đều Hd : (31. 127 -A01) - Ta có : 1  2 2 + 1  2 2 2  2 . 2 1  2 2 + 1  2 2 2  2 . 2 1  2 2 + 1  2 2 . 1  2 2 + 1  2 2 2  2 . 2 - suy ra VT 2  2 . 2 + 2  2 . 2 + 2  2 . 2   VT  2 + 2 + 2  2 . 2  2 = 1 2  Dấu bằng xẩy