Tam giác ABC vuông hoặc cân... Trần Đức Ngọc - Yên sơn Đô lương Nghệ an - Trường THPT Tân Kỳ I ,Nghệ An 24 Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh ,r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Trang 1Những bài toán đã thi từ 1997 đến 2008
1) Tam giác ABC có : sin2A+sin2B+sin2C 2 Thì Tam giác ABC là Tam giác nhọn
Hd : (Đề 2.5-D98,A2000)
Biến đổi T = sin2
A+sin2B+sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC.Biện luận
2) Tam giác nhọn ,có : 1
𝑐𝑜𝑠𝐴 + 1
𝑐𝑜𝑠𝐵 + 1
𝑐𝑜𝑠𝐶 = 1
𝑠𝑖𝑛𝐴2 + 1
𝑠𝑖𝑛𝐵2 + 1
𝑠𝑖𝑛𝐶2 C/m ABC đều
Hd : (Đề 2.6-A99)
Tam giác ABC nhọn nên cosA,cosB,cosC 0.Theo Cosi : 1
𝑐𝑜𝑠𝐴 + 1
𝑐𝑜𝑠𝐵 ≥ 1
𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 (1)
Mà cosAcosB = 1
2 cos 𝐴 + 𝐵 + cos(𝐴 − 𝐵) 1
2 1 + cos 𝐴 + 𝐵 = cos2𝐴+𝐵
2 = sin2𝐶
2
Suy ra: cosAsosB ≤ cos2𝐴+𝐵
2 = sin2𝐶2 (2)
Do đó,từ (1) và (2) ta có : 1
𝑐𝑜𝑠𝐴 + 1
𝑐𝑜𝑠𝐵 1
𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 2
𝑠𝑖𝑛𝐶2 Tức là 1
𝑐𝑜𝑠𝐴 + 1
𝑐𝑜𝑠𝐵 ≥ 2
𝑠𝑖𝑛𝐶2
-Viết hai bđt tương tự, cộng 3 bđt , ta được đpcm : 1
𝑐𝑜𝑠𝐴 + 1
𝑐𝑜𝑠𝐵 + 1
𝑐𝑜𝑠𝐶 1
𝑠𝑖𝑛𝐴2 + 1
𝑠𝑖𝑛𝐵2 + 1
𝑠𝑖𝑛𝐶2
3) Tam giác ABC có : sinA+sinB+sinC – 2sin𝐴2 sin𝐵2 = 2sin𝐶2 .C/minh : C = 1200
Hd : (Đề 2.7-A2000)
sinA+sinB+sinC – 2sin𝐴2 sin𝐵2 = 2sin𝐶2 4cos𝐴2cos𝐵2cos𝐶2 - 2sin𝐴2 sin𝐵2 = 2cos𝐴+𝐵2
… cos𝐶
2 = 12 … 𝐶
2 = 60
0 C = 1200
4) Hai góc A,B của tam giác ABC thoả mãn đk: tan𝐴2 + tan𝐵2 = 1
Chứng minh rằng: 34 tan𝐶2 1
Hd : (Đề 3.11-A98) Chứng minh được tan 𝐴
2 tan
𝐵
2 + tan 𝐵
2 tan
𝐶
2 + tan 𝐶
2 tan
𝐴
2 = 1
Suy ra: tan𝐶2 = 1− tan 𝐴2 tan 𝐵2
tan 𝐴2 + tan 𝐵2 = 1 − tan 𝐴2 tan 𝐵2 1 Mặt khác tan 𝐴2 tan 𝐵2 tan𝐴2 + tan𝐵2
2 = 12
Do đó : tan 𝐴
2 tan
𝐵
2 14 Cho nên: tan𝐶
2 = 1− tan 𝐴2 tan 𝐵2 tan 𝐴2 + tan 𝐵2 ≥ 3
4 Dấu bằng xẩy ra khi tan𝐴2 = tan𝐵2 = 1
2
Tức là khi ABC cân tại đỉnh C.
5) C/m Tam giác ABC đều khi và chỉ khi :
1
𝑠𝑖𝑛𝐴 + 1
𝑠𝑖𝑛𝐵 + 1
𝑠𝑖𝑛𝐶 - (cotA+cotB+cotC) = 3 (*)
Hd : (Đề 3.12-A99) (*) 1−𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑠𝑖𝑛𝐴 + 1−𝑐𝑜𝑠𝐵
𝑠𝑖𝑛𝐵 + 1−𝑐𝑜𝑠𝐶
𝑠𝑖𝑛𝐶 = 3 tan 𝐴
2 + tan 𝐵
2+ tan 𝐶
2 = 3 Vậy ABC đều ( Với mọi tam giác ta luôn có: tan 𝐴
2 + tan 𝐵
2+ tan 𝐶
2 3 …
( bình phương 2 vế,thay 1 = tan 𝐴
2 tan
𝐵
2 + tan 𝐵
2 tan
𝐶
2 + tan 𝐶
2 tan
𝐴
2 )
…… (tan 𝐴2−tan 𝐵2)2+(tan 𝐵2−tan 𝐶2)2+ (tan 𝐶2−tan 𝐴2)2 0 ,dấu bằng xẩy ra khi ABC đều )
6) Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn có bán kính R = 1.Gọi ma , mb , mc là độ dài các trung tuyến.C/m Tam giác ABC đều khi và chỉ khi : 𝑠𝑖𝑛𝐴
𝑚𝑎 + 𝑠𝑖𝑛𝐵
𝑚𝑏 + 𝑠𝑖𝑛𝐶
𝑚𝑐 = 3
Hd : (Đề3.14-A01) Đk cần : ∆ABC đều thì ta có ma = mb = mc = 𝑎 3
2 = 2𝑅𝑠𝑖𝑛𝐴 3
2 = 3sinA
Trang 2Trần Đức Ngọc - Yên sơn Đô lương Nghệ an - Trường THPT Tân Kỳ I ,Nghệ An
Suy ra : 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑚
𝑎 = 𝑠𝑖𝑛𝐵𝑚
𝑏 = 𝑠𝑖𝑛𝐶𝑚
𝑐 = 1
3 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑚
𝑎 + 𝑠𝑖𝑛𝐵𝑚
𝑏 + 𝑠𝑖𝑛𝐶𝑚
𝑐 = 3 Điều kiện đủ :
2m a 2
+ 𝑎 2
2 = b2 + c2 a 2
+ b2 + c2 = 2m a 2
+3𝑎 2
2 2 3 a.m a 1
𝑚𝑎 2 3 𝑎
𝑎 2 +𝑏 2 +𝑐 2 𝑎
𝑚𝑎 2 3 𝑎
2
𝑎 2 +𝑏 2 +𝑐 2 (1) Hoàn toàn tương tự có: 𝑏
𝑚𝑏 2 3 𝑏
2
𝑎 2 +𝑏 2 +𝑐 2 (2) 𝑐
𝑚𝑐 2 3 𝑐
2
𝑎 2 +𝑏 2 +𝑐 2 (3) Cộng (1) , (2) , (3) vế theo vế được :
𝑎
𝑚𝑎 + 𝑚𝑏
𝑏 + 𝑚𝑐
𝑐 2 3 𝑠𝑖𝑛𝐴
𝑚𝑎 + 𝑠𝑖𝑛𝐵𝑚
𝑏 + 𝑠𝑖𝑛𝐶
𝑚𝑐 3 Dấu bằng xẩy ra
𝑚 𝑎 = 3𝑎42
𝑚𝑏2 = 3𝑏2
4
𝑚𝑐2 = 3𝑐42
…
… …. (công thức trung tuyến ) a2
= b2 = c2 ABC đều
7) C/m rằng :Nếu Tam giác ABC có (b2
+c2)sin(C – B) = (c2 – b2)sin(C + B) Thì tam giác đó vuông hoặc cân
Hd : (Đề4.16-A99) (b2+c2)sin(C – B) = (c2 – b2)sin(C + B)
b2 sin(𝐶 − 𝐵 + sin(𝐶 + 𝐵) = c2 sin 𝐶 + 𝐵 − sin(𝐶 − 𝐵) … sin2BsinBsinC = sin2CsinBsinC sin2B = sin2C (ptlg cơ bản) … Tam giác ABC vuông hoặc cân
8 * )Cho tam giác ABC có đường thẳng đi qua trọng tâm G và tâm I đường tròn nội tiếp vuông góc với đường
phân giác trong của góc C,gọi a,b,c là độ dài các cạnh của tam giác ABC.Chứng minh rằng :𝑎+𝑏+𝑐
3 = 2𝑎𝑏
𝑎+𝑏
Hd : (Đề 5.18-A2000)
- Gọi giao điểm của IP với các cạnh CA,CB tương ứng là P,Q.Từ giả thiets suy ra CPQ cân tại C -Gọi r,p, ha ,hb , S thứ tự là …của ABC da , db là khoảng cách từ G đến các cạnh a,b của ABC
- Tính diện tích CPQ theo hai cách:
Cách 1: dtCPQ = dtCIP + dtCIQ = 1
2 r (CP + CQ) = r.CP (1) (CP = CQ do CPQ cân)
Cách 2 : dtCPQ = dtCGP + dtCGQ = 1
2 db CP + 1
2 da .CQ = 1
2 (da + db ) CP (2) (CP = CQ do CPQ cân)
Từ (1) , (2) và chú ý G là trọng tâm ABC da = 1
3 ha db = 1
3 hb nên ta có : r.CP = 1
2 (da + db ) CP r = 1
2 (da + db ) r = 1
6 (ha + hb ) 𝑆
𝑝 = 16 (2𝑆𝑎 + 2S
b ) 1
𝑝 = 13 (1𝑎+ 1
b) 𝑎+𝑏+𝑐
3 = 2𝑎𝑏
𝑎+𝑏 .Đây là đpcm
9)Tam giác ABC có 2b = a +c khi và chỉ khi cot𝐴2 cot𝐶2 = 3
Hd :(Đề 6.21-D98) Định lý sin trong Tam giác.Biến đổi tổng thành tích
10)Tam giác ABC có 5tan𝐴2 tan𝐵2 = 1 Chứng minh 3c = 2(a+b)
Hd :(Đề 6.22-D2000) Đlý sin trong Tam giác.Biến đổi tương đương từ cạnh về góc, bđ tổng thành tích 11)Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh ,A,B,C là các góc ,S là diện tích và R là bán kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh cotA+cotB+cotC = 𝑎 2 +𝑏 2 +𝑐 2
4𝑆
Hd :(Đề 8.28-A98).Áp dụng các công thức : cosA= 𝑏 2 +𝑐 2 −𝑎 2
2𝑏𝑐 , sinA =
𝑎 2𝑅 và S =
𝑎𝑏𝑐 4𝑅 cotA = 𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑠𝑖𝑛𝐴
12)Tam giác ABC thoả mãn hệ thức 𝑎𝑐𝑜𝑠𝐴 +𝑏𝑐𝑜𝑠𝐵 +𝑐𝑐𝑜𝑠𝐶
1
2 Chứng minh tam giác ABC đều
Hd :(Đề 8.29-A99) Định lý sin trong tam giác
Đẳng thức đã cho tương đương với sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC
Trang 313)Tam giác ABC thoả mãn hệ thức : 𝑏
𝑐𝑜𝑠𝐵
+ 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐶
= 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶
.(*) Chứng minh ABC vuông
Hd :(Đề 10.34-A97) Đlý sin (*) sin (𝐴+𝐵)
𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 = 𝑠𝑖𝑛𝐴
𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 cos(A+B) = 0 ∆ABC vuông 14) Trong tam giác ABC ,chứng minh luôn có cosA+cosB+cosC 1
Hd :(Đề 10.35-B97)
15) Trong tam giác ABC ,chứng minh : a2+b2+c2 2(ab+bc+ca)
Hd :(Đề 10.36-D97)
16) Chứng minh :Tam giác vuông hoặc cân khi và chỉ khi : acosB – bcosA = asinA – bsinB
Hd :(Đề 10.37-A98) Định lý sin
17) Chứng minh :Tam giác ABC có tanA + tanB = 2cot 𝐶
2 thì ABC là tam giác cân
Hd :(Đề 10.38-B98)
18) Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc A,B,C thoả mãn hệ thức :
cos2A + 3 (cos2B +cos2C) + 52 = 0 (*)
Hd :(Đề 12.47-A01) (*) 2𝑐𝑜𝑠𝐴 − 3 𝑐𝑜𝑠(𝐵 − 𝐶) 2+ 3.sin2(B-C) = 0
sin 𝐵 − 𝐶 = 0
2𝑐𝑜𝑠𝐴 − 3 cos 𝐵 − 𝐶 = 0 … ABC đều
19) Tam giác ABC thoả mãn atanA + btanB = (a+b).tan 𝐴+𝐵
2 (*) Chứng minh ABC cân
Hd :(Đề 13.54-D01) (*) 2𝑅𝑠𝑖𝑛
𝐴 −𝐵 2 𝑐𝑜𝑠𝐴+𝐵2 .(tan A –tanB) = 0 … A = B , ∆ABC cân tại C
20) Tam giác ABC thoả mãn hệ thức : cot2 𝐴2+ cot2𝐵2 + cot2𝐶2 = 9 Chứng minh tam giác ABC đều
Hd :(Đề 14.57-A99) Ta có 1= tan 𝐴
2 tan
𝐵
2 + tan 𝐵
2 tan
𝐶
2 + tan 𝐶
2 tan
𝐴
2 3 𝑡𝑎𝑛2 𝐴
2
3
cot2 𝐴
2 cot
2 𝐵
2 cot
2 𝐶
2 27 (1)
Theo Cosi : cot2 𝐴
2+ cot2𝐵
2 + cot2𝐶
2 3 𝑐𝑜𝑡2 𝐴
2
3
(2) Từ (1) và (2) suy ra : cot2 𝐴2 + cot2𝐵2 + cot2𝐶2 3 273 = 9 Dấu bằng xẩy ra khi ở (1) và (2) đồng thời xẩy ra dấu bằng, tức là khi:
cot2 𝐴
2 = cot2 𝐵
2 = cot2 𝐶
2 tan 𝐴2 tan 𝐵2= tan 𝐵2 tan 𝐶2= tan 𝐶2 tan 𝐴2 … ABC đều
21) Tam giác ABC là tam giác gì nếu : 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵 = 𝑠𝑖𝑛𝑠𝑖𝑛3𝐴 + 𝑠𝑖𝑛3𝐵 + 𝑠𝑖𝑛3𝐶 = 0 (1)2 𝐶
2 (2)
Hd :(Đề 15.58-A97)
Đẳng thức (1) - 4cos 3𝐴2 cos 3𝐵2 cos 3𝐶2 = 0 có góc (chẳng hạn A) bằng 600
Đẳng thức (2) … cos (A - B) = 1 … A = B Như vậy ,suy ra ABC đều
22) Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn C B A 900
Tìm gtnn của biểu thức : M = cos(𝐴−𝐵)
2 sin
𝐴
2 .sin
𝐵 2
Hd :(Đề 15.61-A99)
23) Tam giác ABC là tam giác gì nếu : 𝑎2𝑠𝑖𝑛2𝐵 + 𝑏2𝑠𝑖𝑛2𝐴 = 4𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵
𝑠𝑖𝑛2𝐴 + 𝑠𝑖𝑛2𝐵 = 4𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵
Hd :(Đề 15.62-A01)
Trang 4Trần Đức Ngọc - Yên sơn Đô lương Nghệ an - Trường THPT Tân Kỳ I ,Nghệ An
24) Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh ,r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Chứng minh : 1
𝑎 2 + 𝑏12 + 𝑐12 4𝑟12
Hd :(Đề 16.64-A98)
25) Cho A,B,C là ba góc trong một tam giác
Tìm gtln của biểu thức : M = 3cosA + 2(cosB + cosC)
Hd :(Đề 17.67-A98)
26) Cho A,B,C là ba góc của tam giác Chứng minh rằng :
Nếu cot𝐴
2 , cot
𝐵
2 , cot
𝐶
2 lập thành một cấp số cộng thì cot
𝐴
2. cot𝐶
2 = 3
Hd :(Đề 17.68-A99)
27) Cho A,B,C là ba góc trong một tam giác
Tìm gtnn của biểu thức : M = 1
2+𝑐𝑜𝑠 2𝐴 +
1 2+𝑐𝑜𝑠 2𝐵 +
1 2−𝑐𝑜𝑠 2𝐶
Hd :(Đề 19.71-A99) Áp dụng Cosi :
M = 1
2+𝑐𝑜𝑠2𝐴 +
1 2+𝑐𝑜𝑠2𝐵 +
1 2−𝑐𝑜𝑠2𝐶
3 2+𝑐𝑜𝑠2𝐴 2+𝑐𝑜𝑠2𝐵 (2−𝑐𝑜𝑠2𝐶)
9
7+12 𝑐𝑜𝑠2 𝐴−𝐵 −2 𝑐𝑜𝑠𝐶 +12cos (𝐴−𝐵) 2 9
7+12 = 65
M = 6
5 A = B = 300 , C = 1200 Vậy MinM = 6
5 đạt khi A = B = 30
0
, C = 1200, ABC cân
28) Cho tam giác ABC có 00 A B C 900 Chứng minh : 2𝑐𝑜𝑠 3𝐶−4𝑐𝑜𝑠 2𝐶+1
Hd :(Đề 19.72-A2000)
- Từ gt suy ra cosC 0.Từ đk 00 A B C 900 600
C 900.Đặt t = cosC , 0 t 1
2 Do đó đpcm (2t – 1) 2𝑡 2𝑡 − 1 − 5 ≥ 0 (*) Vì 2t 0 và 2t – 1 0 cho nên bđt (*) xẩy ra dấu bằng khi
và chỉ khi 2t – 1 = 0 t = 1
2 C = 600 ABC đều
29) Tam giác ABC có các cạnh a,b,c và p là nửa chu vi
Chứng minh rằng : 1
𝑝−𝑎 + 1
𝑝−𝑏 + 1
𝑝−𝑐 2(
1
𝑎 + 1
𝑏 + 1
𝑐 )
Hd :(Đề 21.77-A01).Áp dụng bđt Cosi ta có :
1
𝑝−𝑎 + 𝑝−𝑏1 2 1
(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏) = 2
𝑝−𝑎 (𝑝−𝑏) 𝑝−𝑎 +(𝑝−𝑏)4 = 4𝑐 Tức là : 1
𝑝−𝑎 + 1
𝑝−𝑏
4
𝑐 (1) Tương tự: : 1
𝑝−𝑏 + 1
𝑝−𝑐
4
𝑎 (2) và : 1
𝑝−𝑐 + 1
𝑝−𝑎
4
𝑏 (3)
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều (1),(2),(3) ta có đpcm
30) Tam giác ABC có
𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶 = 1
4
𝑎2 =𝑎3𝑎 −𝑏−𝑐−𝑏3−𝑐3 .Chứng minh ABC đều
Hd :(Đề 22.79-D97)
-Giả thiết : 𝑎2 = 𝑎3𝑎 −𝑏−𝑐−𝑏3−𝑐3 (Nhân chéo,làm gọn) a2
(b+c) = b3+c3 a2
= b2 + c2 – bc A = 600
(1)
- Giả thiết: 𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶 = 14 cos(B – C) – cosA= 1
2 cos(B – C) = 1 B - C = 0, B=C, ∆ABC (2)
Trang 5-Từ (1) và (2) ta được đpcm : ABC đều
31) Cho a,b,c là ba cạnh và A,B,C là ba góc của một tam giác
Chứng minh rằng : sin (𝐴−𝐵)
𝑠𝑖𝑛𝐶 =
𝑎 2 − 𝑏 2
𝑐 2 (*)
Hd :(Đề 22.80-D98).Ta có:VP = 𝑎2𝑐− 𝑏2 2 = 2𝑠𝑖𝑛 2 𝐴−2𝑠𝑖𝑛 2 𝐵
2𝑠𝑖𝑛 2 𝐶 = 𝑐𝑜𝑠 2𝐵−𝑐𝑜𝑠 2𝐴2𝑠𝑖𝑛2𝐶 = … = sin (𝐴−𝐵)𝑠𝑖𝑛𝐶 = VT
32) Các cạnh và các góc của tam giác thoả mãn : 𝑏
𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑐
𝑐𝑜𝑠𝐶 = 𝑎
𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶 Chứng minh ABC vuông
Hd :(Đề 22.82-D2000) Đlý sin.Giả thiết biến đổi tương đương cos(B+C) = 0 … ABC vuông
33) Chứng minh rằng:
Trong mọi tam giác ta có : 0 sinA+sinB+sinC - sinAsinB - sinBsinC - sinCsinA 1
Hd :(Đề 23.84-D97)
Có: sinA+sinB+sinC - sinAsinB - sinBsinC – sinCsinA= sinA(1- sinB)+sinB(1-sinC)+sinC(1-sinA) 0 (1)
Và : (1-sinA)(1-sinB)(1-sinc) 0 ,( thực hiện nhân đa thức )
sinA+sinB+sinC - sinAsinB - sinBsinC – sinCsinA 1 – sinAsinBsinC 1 (2)
Từ (1) và (2) ta được điều cần chứng minh: 0 sinA+sinB+sinC - sinAsinB - sinBsinC - sinCsinA 1
34*) Tam giác ABC có các góc Avà B nhọn , các góc thoả mãn sin2A + sin2B = 𝑠𝑖𝑛𝐶9 Tính góc C
Hd :(Đề 23.84-D97)
-Ta có 0 sinC 1 nên 𝑠𝑖𝑛𝐶𝟗 sin2C do đó từ gt sin2
A + sin2B sin2C a2
+ b2 c2 (áp dụng Đlý cosin) suy ra cosC 0 (1) -Chứng minh được : sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cossAcosBcosC
-Từ giả thiết suy ra: 𝑠𝑖𝑛𝐶𝟗 + sin2C = 2 + 2cossAcosBcosC Có VT = 𝑠𝑖𝑛𝐶𝟗 + sin2C 2
cossAcosBcosC 0 Theo giả thiết A , B nhọn cossAcosB 0 do đó cosC 0 (2) -Từ (1) và (2) ta có cosC = 0 Vậy C = 900
35) Chứng minh :Trong mọi tam giác ta luôn có :
1
𝑠𝑖𝑛𝐴 + 1
𝑠𝑖𝑛𝐵 + 1
𝑠𝑖𝑛𝐶 = 1
2 (tan 𝐴2 + tan 𝐵2 + tan 𝐶2 + cot 𝐴2 + cot 𝐵2 + cot 𝐶2 )
Hd :(Đề 23.85-A98) Ta có tan 𝐴2 + cot 𝐴2 = 𝑠𝑖𝑛𝐴2 , tan 𝐵2 + cot 𝐵2 = 𝑠𝑖𝑛𝐵2 , tan 𝐶2 + cot 𝐶2 = 𝑠𝑖𝑛𝐶2
Cộng 3 đẳng thức đó vế theo vế , sau đó chia hai vế cho 2 được đpcm
36) Các góc của tam giác ABC thoả mãn :cotA +cotB +cotC = tan 𝐴
2 + tan 𝐵
2 + tan 𝐶
2 Chứng minh ∆ABC đều
Hd :(Đề 23.86-A99) :Chứng minh được ABC bất kỳ thì: cotA +cotB +cotC tan 𝐴
2 + tan 𝐵
2 + tan 𝐶
2 Dấu bằng xẩy ra khi ABC là tam giác đều.Thật vậy,ta có:
cotA+cotB = … = 2𝑠𝑖𝑛𝐶
cos 𝐴−𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐶
2𝑠𝑖𝑛𝐶 1+ 𝑐𝑜𝑠𝐶 = 2tan 𝐶
2 Tức là : cotA+cotB 2tan 𝐶
2 (1) Hoàn toàn tương tự ,có: cotB+cotC 2tan 𝐴
2 (2) , cotC+cotA 2tan 𝐵
2 (3) Cộng 3 bđt (1), (2), (3) được Đpcm : cotA +cotB +cotC tan 𝐴
2 + tan 𝐵
2 + tan 𝐶
2 Dấu bằng xẩy ra khi ở các bđt (1), (2), (3) đồng thời xẩy
ra dấu bằng ,tức là khi A = B = C , ABC là tam giác đều
37) Các góc của tam giác ABC thoả mãn : cos 𝐴
2 cos
𝐵
2 cos
𝐶
2 - sin 𝐴
2 sin
𝐵
2 sin
𝐶
2 = 1
2 (*)
Chứng minh ABC vuông
Hd :(Đề 23.88-A01)
Trang 6Trần Đức Ngọc - Yên sơn Đô lương Nghệ an - Trường THPT Tân Kỳ I ,Nghệ An
Ta có (*) cos𝐴2 𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐2 + 𝑐𝑜𝑠𝐵−𝐶2 - sin𝐴
2 𝑐𝑜𝑠𝐵−𝐶2 − 𝑐𝑜𝑠𝐵+𝐶2 = 1 cos𝐴2 sin𝐴2 + cos𝐴2 cos𝐵−𝐶2 - sin𝐴2 cos𝐵−𝐶2 + sin2𝐴2 - 1 = 0
cos𝐴2 cos𝐴
2− sin𝐴2 - 𝑐𝑜𝑠𝐵−𝐶2 cos𝐴
2− sin𝐴2 = 0 cos𝐴2− sin𝐴2 cos𝐴2− 𝑐𝑜s𝐵−𝐶2 = 0
cos
𝐴
2− sin𝐴2 = 0 (1) cos𝐴2− 𝑐𝑜s𝐵−𝐶2 = 0 (2) .T/hợp (1) xẩy ra thì A = 90
0 ,T/hợp (2) thì B hoặc C là 90 0
Ta được đpcm :Nếu Các góc của tam giác ABC thoả mãn : cos 𝐴
2 cos
𝐵
2 cos
𝐶
2 - sin 𝐴
2 sin
𝐵
2 sin
𝐶
2 = 1
2 (*)
thì ABC vuông
38*) Chứng minh trong mọi tam giác ta luôn có :
tan 𝐴
2 + tan 𝐵
2 + tan 𝐶
2 = 3+cosA +cosB +cosC
sinA +sinB +sinC
Hd :(Đề 24.89-A01) Ta có:
VT = tan 𝐴
2 + tan 𝐵
2 + tan 𝐶
2 = sin
𝐴
2 cos 𝐵2 cos 2 𝐶+ sin 𝐵2cos 𝐴2 cos 2 𝐶+ sin 𝐶2cos 𝐵2 cos 2 𝐴
… = 2𝑐𝑜𝑠
2𝐴
2 +2𝑐𝑜𝑠 2B
2 +2𝑐𝑜𝑠 2𝐶
2
4 cos 𝐴
2 cos 𝐵
2 cos 𝐶
2
= 3+𝑐𝑜𝑠𝐴 +𝑐𝑜𝑠𝐵 +𝑐𝑜𝑠𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐴 +𝑠𝑖𝑛𝐵 +𝑠𝑖𝑛𝐶 = VP 39) Cho A,B,C là ba góc của tam giác Chứng minh:
a) tan 𝐴
2 tan
𝐵
2 + tan 𝐵
2 tan
𝐶
2 + tan 𝐶
2 tan
𝐴
2 = 1
b) tan 𝐴
2 tan
𝐵
2 tan
𝐶
2
1
3 3 , Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào ?
Hd :(Đề 25.92-A99)
Câu a).Có 1
tan 𝐶2 = tan𝐴+𝐵
2 = tan 𝐴2 + tan 𝐵2
1 − tan 𝐴2 tan 𝐵2 .Tức là:
tan 𝐴2 + tan 𝐵2
1 − tan 𝐴2 tan 𝐵2 = 1
tan 𝐶2 Nhân chéo ,suy ra đpcm: tan 𝐴
2 tan
𝐵
2 + tan 𝐵
2 tan
𝐶
2 + tan 𝐶
2 tan
𝐴
2 = 1
Câu b) Côsi : ) 1 = tan 𝐴
2 tan
𝐵
2 + tan 𝐵
2 tan
𝐶
2 + tan 𝐶
2 tan
𝐴
2 3 tan2 𝐴
2tan2 𝐵
2tan2 𝐶 2
3
Suy ra : 1
27 tan2 𝐴
2tan2 𝐵
2tan2 𝐶
2 tan 𝐴
2 tan
𝐵
2 tan
𝐶
2
1
3 3 (đpcm) Dấu bằng xẩy ra khi ABC đều
( Ra bài tập mới- Thấy : tan 𝐴
2 tan
𝐵
2 tan
𝐶
2
1
3 3 tương đương với : cot
𝐴
2 cot
𝐵
2 cot
𝐶
2 3 3 )
40) Các góc của tam giác ABC thoả mãn : cosC(sinA + sinB) = sinCcos(A – B) (*)
Hãy tính : cosA + cosB
Hd :(Đề 25.93-A2000) Ta có (*) - cos(A+B).2sin𝐴+𝐵2 cos𝐴−𝐵
2 = 2sin𝐴+𝐵2 cos𝐴+𝐵
2 cos(A-B)
- cos(A+B).cos𝐴−𝐵2 = cos𝐴+𝐵2 cos(A-B) (1- 2cos2𝐴+𝐵2 ) cos𝐴−𝐵2 = cos𝐴+𝐵2 (2cos2𝐴−𝐵2 - 1)
Đặt u = cos𝐴+𝐵
2 và v = cos𝐴−𝐵
2 (u và v dương) Ta có (1-2u2)v = (2v2- 1)u … 1= 2uv Tức là 1 = 2 cos𝐴+𝐵
2 cosA + cosB = 1(Điều ta cần tìm)