1.CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC

CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC Trần Đức Ngọc - Yên sơn Đô lương Nghệ an - Trường THPT Tân Kỳ I ,Nghệ An Tất cả vì học sinh thân yêu,Vì tương lai đất nước.Người thầy giáo,Người Ươm Cây Đời Những bài toán đã thi từ 1997 đến 2008 1) Tam giác ABC có : sin 2 A+sin 2 B+sin 2 C 2 Thì Tam giác ABC là Tam giác nhọn . Hd : (Đề 2.5-D98,A2000) Biến đổi T = sin 2 A+sin 2 B+sin 2 C = 2 + 2cosAcosBcosC.Biện luận. 2) Tam giác nhọn ,có : 1  + 1  + 1  = 1   2 + 1   2 + 1   2 . C/m ABC đều Hd : (Đề 2.6-A99) Tam giác ABC nhọn nên cosA,cosB,cosC 0.Theo Cosi : 1  + 1   1   (1) Mà cosAcosB = 1 2  cos  +   + cos()  1 2  1 + cos  +    = cos 2 + 2 = sin 2  2 Suy ra: cosAsosB  cos 2 + 2 = sin 2  2 . (2) Do đó,từ (1) và (2) ta có : 1  + 1  1   2   2 .Tức là 1  + 1   2   2 -Viết hai bđt tương tự, cộng 3 bđt , ta được đpcm : 1  + 1  + 1  1   2 + 1   2 + 1   2 3) Tam giác ABC có : sinA+sinB+sinC – 2sin  2 sin  2 = 2sin  2 .C/minh : C = 120 0 Hd : (Đề 2.7-A2000) sinA+sinB+sinC – 2sin  2 sin  2 = 2sin  2  4cos  2 cos  2 cos  2 - 2sin  2 sin  2 = 2cos + 2  …  cos  2 = 1 2  …   2 = 60 0  C = 120 0 4) Hai góc A,B của tam giác ABC thoả mãn đk: tan  2 + tan  2 = 1. Chứng minh rằng: 3 4 tan  2 1 Hd : (Đề 3.11-A98) Chứng minh được tan  2 tan  2 + tan  2 tan  2 + tan  2 tan  2 = 1. Suy ra: tan  2 = 1 tan  2 tan  2 tan  2 + tan  2 = 1  tan  2 tan  2 1 .Mặt khác tan  2 tan  2 tan  2 + tan  2 2 = 1 2 Do đó : tan  2 tan  2 1 4 .Cho nên: tan  2 = 1 tan  2 tan  2 tan  2 + tan  2  3 4 Dấu bằng xẩy ra khi tan  2 = tan  2 = 1 2 Tức là khi ABC cân tại đỉnh C. 5) C/m Tam giác ABC đều khi và chỉ khi : 1  + 1  + 1  - (cotA+cotB+cotC) =  3 (*) Hd : (Đề 3.12-A99) (*) 1  + 1  + 1  =  3  tan  2 + tan  2 + tan  2 =  3 . Vậy ABC đều ( Với mọi tam giác ta luôn có: tan  2 + tan  2 + tan  2  3  … ( bình phương 2 vế,thay 1 = tan  2 tan  2 + tan  2 tan  2 + tan  2 tan  2 ) ……  (tan  2 tan  2 ) 2 +(tan  2 tan  2 ) 2 + (tan  2 tan  2 ) 2 0 ,dấu bằng xẩy ra khi ABC đều ) 6) Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn có bán kính R = 1.Gọi m a , m b , m c là độ dài các trung tuyến.C/m Tam giác ABC đều khi và chỉ khi :    +    +    =  3 Hd : (Đề3.14-A01) Đk cần : ABC đều thì ta có m a = m b = m c =   3 2 = 2.  3 2 =  3sinA . CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC Trần Đức Ngọc - Yên sơn Đô lương Nghệ an - Trường THPT Tân Kỳ I ,Nghệ An Tất cả vì học sinh thân yêu,Vì tương lai đất nước.Người thầy giáo,Người Ươm Cây Đời Suy ra :    =    =    = 1  3     +    +    =  3 Điều kiện đủ : 2m a 2 +  2 2 = b 2 + c 2  a 2 + b 2 + c 2 = 2m a 2 + 3 2 2 2  3 a.m a  1   2  3 .  2 + 2 + 2     2  3 . 2  2 + 2 + 2 (1) Hoàn toàn tương tự có:    2  3 . 2  2 + 2 + 2 (2)    2  3 . 2  2 + 2 + 2 (3) Cộng (1) , (2) , (3) vế theo vế được :    +    +    2  3     +    +     3 .Dấu bằng xẩy ra         2 = 3 2 4   2 = 3 2 4   2 = 3 2 4  … . (công thức trung tuyến )  a 2 = b 2 = c 2  ABC đều 7) C/m rằng :Nếu Tam giác ABC có (b 2 +c 2 )sin(C – B) = (c 2 – b 2 )sin(C + B) Thì tam giác đó vuông hoặc cân Hd : (Đề4.16-A99) (b 2 +c 2 )sin(C – B) = (c 2 – b 2 )sin(C + B)  b 2  sin(+ sin(+ )  = c 2  sin  +   sin()  …sin2BsinBsinC = sin2CsinBsinC  sin2B = sin2C (ptlg cơ bản) … Tam giác ABC vuông hoặc cân. 8 * )Cho tam giác ABC có đường thẳng đi qua trọng tâm G và tâm I đường tròn nội tiếp vuông góc với đường phân giác trong của góc C,gọi a,b,c là độ dài các cạnh của tam giác ABC.Chứng minh rằng : ++ 3 = 2 + Hd : (Đề 5.18-A2000). - Gọi giao điểm của IP với các cạnh CA,CB tương ứng là P,Q.Từ giả thiets suy ra CPQ cân tại C -Gọi r,p, h a ,h b , S thứ tự là …của ABC .d a , d b là khoảng cách từ G đến các cạnh a,b của ABC - Tính diện tích CPQ theo hai cách: Cách 1: dt CPQ = dt CIP + dt CIQ = 1 2 r (CP + CQ) = r.CP (1) (CP = CQ do CPQ cân) Cách 2 : dt CPQ = dt CGP + dt CGQ = 1 2 d b .CP + 1 2 d a .CQ = 1 2 (d a + d b ) .CP (2) (CP = CQ do CPQ cân) Từ (1) , (2) và chú ý G là trọng tâm ABC  d a = 1 3 h a d b = 1 3 h b nên ta có : r.CP = 1 2 (d a + d b ) .CP  r = 1 2 (d a + d b )  r = 1 6 (h a + h b )    = 1 6 ( 2  + 2S b )  1  = 1 3 ( 1  + 1 b )   ++ 3 = 2 + .Đây là đpcm 9)Tam giác ABC có 2b = a +c khi và chỉ khi cot  2 cot  2 = 3 Hd :(Đề 6.21-D98) Định lý sin trong Tam giác.Biến đổi tổng thành tích 10)Tam giác ABC có 5tan  2 tan  2 = 1 .Chứng minh 3c = 2(a+b) Hd :(Đề 6.22-D2000) Đlý sin trong Tam giác.Biến đổi tương đương từ cạnh về góc, bđ tổng thành tích 11)Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh ,A,B,C là các góc ,S là diện tích và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh cotA+cotB+cotC =  2 + 2 + 2 4 Hd :(Đề 8.28-A98).Áp dụng các công thức : cosA=  2 + 2  2 2 , sinA =  2 và S =  4 . cotA =   12)Tam giác ABC thoả mãn hệ thức ++ ++ = 1 2 . Chứng minh tam giác ABC đều Hd :(Đề 8.29-A99) Định lý sin trong tam giác. Đẳng thức đã cho tương đương với sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC Trần Đức Ngọc - Yên sơn Đô lương Nghệ an - Trường THPT Tân Kỳ I ,Nghệ An Tất cả vì học sinh thân yêu,Vì tương lai đất nước.Người thầy giáo,Người Ươm Cây Đời 13)Tam giác ABC thoả mãn hệ thức :   +   =   .(*) Chứng minh ABC vuông. Hd :(Đề 10.34-A97) Đlý sin .(*)  sin (+ )  =    cos(A+B) = 0 ABC vuông 14) Trong tam giác ABC ,chứng minh luôn có cosA+cosB+cosC 1 Hd :(Đề 10.35-B97) 15) Trong tam giác ABC ,chứng minh : a 2 +b 2 +c 2 2(ab+bc+ca) Hd :(Đề 10.36-D97) 16) Chứng minh :Tam giác vuông hoặc cân khi và chỉ khi : acosB – bcosA = asinA – bsinB Hd :(Đề 10.37-A98) .Định lý sin 17) Chứng minh :Tam giác ABC có tanA + tanB = 2cot  2 thì ABC là tam giác cân Hd :(Đề 10.38-B98) 18) Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc A,B,C thoả mãn hệ thức : cos2A +  3 (cos2B +cos2C) + 5 2 = 0 (*) Hd :(Đề 12.47-A01) (*)  2  3. ()  2 + 3.sin 2 (B-C) = 0    sin    = 0 2  3 cos    = 0   …  ABC đều 19) Tam giác ABC thoả mãn atanA + btanB = (a+b).tan + 2 .(*) Chứng minh ABC cân Hd :(Đề 13.54-D01) . (*)  2   2  + 2 .(tan A –tanB) = 0  …  A = B , ABC cân tại C. 20) Tam giác ABC thoả mãn hệ thức : cot 2  2 + cot 2  2 + cot 2  2 = 9. Chứng minh tam giác ABC đều Hd :(Đề 14.57-A99) Ta có 1= tan  2 tan  2 + tan  2 tan  2 + tan  2 tan  2 3.  2  2  2  2  2  2 3  cot 2  2 cot 2  2 cot 2  2 27 (1) . Theo Cosi : cot 2  2 + cot 2  2 + cot 2  2 3.  2  2  2  2  2  2 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra : cot 2  2 + cot 2  2 + cot 2  2 3.  27 3 = 9 .Dấu bằng xẩy ra khi ở (1) và (2) đồng thời xẩy ra dấu bằng, tức là khi:  cot 2  2 = cot 2  2 = cot 2  2 tan  2 tan  2 = tan  2 tan  2 = tan  2 tan  2   …  ABC đều 21) Tam giác ABC là tam giác gì nếu : 3+ 3+ 3= 0 (1) =  2  2 (2)  Hd :(Đề 15.58-A97) Đẳng thức (1)  - 4cos 3 2 cos 3 2 cos 3 2 = 0  có góc (chẳng hạn A) bằng 60 0 Đẳng thức (2)  …  cos (A - B) = 1  …  A = B .Như vậy ,suy ra ABC đều 22) Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn C B A 90 0 . Tìm gtnn của biểu thức : M = cos ( ) 2 sin  2 .sin  2 Hd :(Đề 15.61-A99) 23) Tam giác ABC là tam giác gì nếu :   2 2+  2 2= 4 2+ 2= 4  Hd :(Đề 15.62-A01) CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC Trần Đức Ngọc - Yên sơn Đô lương Nghệ an - Trường THPT Tân Kỳ I ,Nghệ An Tất cả vì học sinh thân yêu,Vì tương lai đất nước.Người thầy giáo,Người Ươm Cây Đời 24) Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh ,r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Chứng minh : 1  2 + 1  2 + 1  2 1 4 2 Hd :(Đề 16.64-A98) 25) Cho A,B,C là ba góc trong một tam giác . Tìm gtln của biểu thức : M = 3cosA + 2(cosB + cosC) Hd :(Đề 17.67-A98) 26) Cho A,B,C là ba góc của tam giác . Chứng minh rằng : Nếu cot  2 , cot  2 , cot  2 lập thành một cấp số cộng thì cot  2 . cot  2 = 3 Hd :(Đề 17.68-A99) 27) Cho A,B,C là ba góc trong một tam giác . Tìm gtnn của biểu thức : M = 1 2+2 + 1 2+2 + 1 22 Hd :(Đề 19.71-A99) Áp dụng Cosi : M = 1 2+2 + 1 2+2 + 1 22 3   2+2  2+2  (22) 3 9 6+2+22 = 9 7+ 1 2  2    2+ 1 2 cos () 2 9 7+ 1 2 = 6 5 M = 6 5  A = B = 30 0 , C = 120 0 .Vậy MinM = 6 5 đạt khi A = B = 30 0 , C = 120 0 , ABC cân 28) Cho tam giác ABC có 0 0 A B C 90 0 .Chứng minh : 2342+1  2 Hd :(Đề 19.72-A2000) - Từ gt suy ra cosC 0.Từ đk 0 0 A B C 90 0  60 0 C 90 0 .Đặt t = cosC , 0 t 1 2 . Do đó đpcm  (2t – 1)  2  21  5   0 (*) Vì 2t 0 và 2t – 1 0 cho nên bđt (*) xẩy ra dấu bằng khi và chỉ khi 2t – 1 = 0  t = 1 2  C = 60 0  ABC đều. 29) Tam giác ABC có các cạnh a,b,c và p là nửa chu vi . Chứng minh rằng : 1  + 1  + 1  2( 1  + 1  + 1  ) Hd :(Đề 21.77-A01).Áp dụng bđt Cosi ta có : 1  + 1  2.  1 ()() = 2     () 4    +() = 4  Tức là : 1  + 1  4  (1) Tương tự: : 1  + 1  4  (2) và : 1  + 1  4  (3). Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều (1),(2),(3) ta có đpcm. 30) Tam giác ABC có  = 1 4  2 =  3  3  3   .Chứng minh ABC đều Hd :(Đề 22.79-D97) -Giả thiết :  2 =  3  3  3  (Nhân chéo,làm gọn)  a 2 (b+c) = b 3 +c 3  a 2 = b 2 + c 2 – bc  A = 60 0 (1) - Giả thiết: = 1 4  cos(B – C) – cosA= 1 2  cos(B – C) = 1  B - C = 0, B=C, ABC (2) CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC Trần Đức Ngọc - Yên sơn Đô lương Nghệ an - Trường THPT Tân Kỳ I ,Nghệ An Tất cả vì học sinh thân yêu,Vì tương lai đất nước.Người thầy giáo,Người Ươm Cây Đời -Từ (1) và (2) ta được đpcm : ABC đều 31) Cho a,b,c là ba cạnh và A,B,C là ba góc của một tam giác . Chứng minh rằng : sin ()  =  2   2  2 (*) Hd :(Đề 22.80-D98).Ta có:VP =  2   2  2 = 2 2 2 2  2 2  = 22 2 2  = … = sin ()  = VT 32) Các cạnh và các góc của tam giác thoả mãn :   +   =   . Chứng minh ABC vuông Hd :(Đề 22.82-D2000) Đlý sin.Giả thiết biến đổi tương đương cos(B+C) = 0  …  ABC vuông 33) Chứng minh rằng: Trong mọi tam giác ta có : 0 sinA+sinB+sinC - sinAsinB - sinBsinC - sinCsinA 1 Hd :(Đề 23.84-D97) Có: sinA+sinB+sinC - sinAsinB - sinBsinC – sinCsinA= sinA(1- sinB)+sinB(1-sinC)+sinC(1-sinA) 0 (1) Và : (1-sinA)(1-sinB)(1-sinc) 0 ,( thực hiện nhân đa thức )  sinA+sinB+sinC - sinAsinB - sinBsinC – sinCsinA 1 – sinAsinBsinC 1 (2) Từ (1) và (2) ta được điều cần chứng minh: 0 sinA+sinB+sinC - sinAsinB - sinBsinC - sinCsinA 1 34 * ) Tam giác ABC có các góc Avà B nhọn , các góc thoả mãn sin 2 A + sin 2 B =   9 . Tính góc C Hd :(Đề 23.84-D97). -Ta có 0 sinC 1 nên    sin 2 C do đó từ gt  sin 2 A + sin 2 B sin 2 C  a 2 + b 2 c 2 (áp dụng Đlý cosin) suy ra cosC 0 (1) -Chứng minh được : sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 + 2cossAcosBcosC . -Từ giả thiết suy ra:    + sin 2 C = 2 + 2cossAcosBcosC .Có VT =    + sin 2 C 2  cossAcosBcosC 0 .Theo giả thiết A , B nhọn  cossAcosB 0 do đó cosC 0 (2) -Từ (1) và (2) ta có cosC = 0 .Vậy C = 90 0 . 35) Chứng minh :Trong mọi tam giác ta luôn có : 1  + 1  + 1  = 1 2 (tan  2 + tan  2 + tan  2 + cot  2 + cot  2 + cot  2 ) Hd :(Đề 23.85-A98) Ta có tan  2 + cot  2 = 2  , tan  2 + cot  2 = 2  , tan  2 + cot  2 = 2  Cộng 3 đẳng thức đó vế theo vế , sau đó chia hai vế cho 2 được đpcm. 36) Các góc của tam giác ABC thoả mãn :cotA +cotB +cotC = tan  2 + tan  2 + tan  2 . Chứng minh ABC đều Hd :(Đề 23.86-A99) :Chứng minh được ABC bất kỳ thì: cotA +cotB +cotC tan  2 + tan  2 + tan  2 Dấu bằng xẩy ra khi ABC là tam giác đều.Thật vậy,ta có: cotA+cotB = … = 2 cos    +  2 1+  = 2tan  2 .Tức là : cotA+cotB 2tan  2 (1) Hoàn toàn tương tự ,có: cotB+cotC 2tan  2 (2) , cotC+cotA 2tan  2 (3) .Cộng 3 bđt (1), (2), (3) được Đpcm : cotA +cotB +cotC tan  2 + tan  2 + tan  2 .Dấu bằng xẩy ra khi ở các bđt (1), (2), (3) đồng thời xẩy ra dấu bằng ,tức là khi A = B = C , ABC là tam giác đều . 37) Các góc của tam giác ABC thoả mãn : cos  2 cos  2 cos  2 - sin  2 sin  2 sin  2 = 1 2 (*) Chứng minh ABC vuông. Hd :(Đề 23.88-A01) CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC Trần Đức Ngọc - Yên sơn Đô lương Nghệ an - Trường THPT Tân Kỳ I ,Nghệ An Tất cả vì học sinh thân yêu,Vì tương lai đất nước.Người thầy giáo,Người Ươm Cây Đời Ta có (*)  cos  2   + 2 +   2  - sin  2    2  + 2  = 1  cos  2 sin  2 + cos  2 cos  2 - sin  2 cos  2 + sin 2  2 - 1 = 0  cos  2  cos  2 sin  2  -   2  cos  2 sin  2  = 0   cos  2 sin  2  cos  2 s  2  = 0  cos  2 sin  2 = 0 (1) cos  2 s  2 = 0 (2) .T/hợp (1) xẩy ra thì A = 90 0 ,T/hợp (2) thì B hoặc C là 90 0 Ta được đpcm :Nếu Các góc của tam giác ABC thoả mãn : cos  2 cos  2 cos  2 - sin  2 sin  2 sin  2 = 1 2 (*) thì ABC vuông. 38 * ) Chứng minh trong mọi tam giác ta luôn có : tan  2 + tan  2 + tan  2 = 3+cosA +cosB +cosC sinA +sinB +sinC Hd :(Đề 24.89-A01) Ta có: VT = tan  2 + tan  2 + tan  2 = sin  2 cos  2 cos  2 +sin  2 cos  2 cos  2 + sin  2 cos  2 cos  2 cos  2 cos  2 cos  2 = … … = 2 2  2 +2 2 B 2 +2 2  2 4cos  2 cos  2 cos  2 = 3+++ ++ = VP 39) Cho A,B,C là ba góc của tam giác .Chứng minh: a) tan  2 tan  2 + tan  2 tan  2 + tan  2 tan  2 = 1 b) tan  2 tan  2 tan  2 1 3  3 , Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào ? Hd :(Đề 25.92-A99) Câu a).Có 1 tan  2 = tan + 2 = tan  2 + tan  2 1  tan  2 tan  2 .Tức là: tan  2 + tan  2 1  tan  2 tan  2 = 1 tan  2 Nhân chéo ,suy ra đpcm: tan  2 tan  2 + tan  2 tan  2 + tan  2 tan  2 = 1 Câu b) Côsi : ) 1 = tan  2 tan  2 + tan  2 tan  2 + tan  2 tan  2 3  tan 2  2 tan 2  2 tan 2  2 3 . Suy ra : 1 27 tan 2  2 tan 2  2 tan 2  2  tan  2 tan  2 tan  2 1 3  3 (đpcm) Dấu bằng xẩy ra khi ABC đều. ( Ra bài tập mới- Thấy : tan  2 tan  2 tan  2 1 3  3 tương đương với : cot  2 cot  2 cot  2 3  3 ) 40) Các góc của tam giác ABC thoả mãn : cosC(sinA + sinB) = sinCcos(A – B) (*) Hãy tính : cosA + cosB Hd :(Đề 25.93-A2000) Ta có (*) - cos(A+B).2sin + 2 cos  2 = 2sin + 2 cos + 2 cos(A-B)   - cos(A+B).cos  2 = cos + 2 cos(A-B)  (1- 2cos 2 + 2 ) .cos  2 = cos + 2 (2cos 2  2 - 1) Đặt u = cos + 2 và v = cos  2 (u và v dương) Ta có (1-2u 2 )v = (2v 2 - 1)u  …  1= 2uv . Tức là 1 = 2 cos + 2 cos  2  cosA + cosB = 1 (Điều ta cần tìm) CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC Trần Đức Ngọc - Yên sơn Đô lương Nghệ an - Trường THPT Tân Kỳ I ,Nghệ An Tất cả vì học sinh thân yêu,Vì tương lai đất nước.Người thầy giáo,Người Ươm Cây Đời . 14 ) Trong tam giác ABC ,chứng minh luôn có cosA+cosB+cosC 1 Hd :(Đề 10 .35-B97) 15 ) Trong tam giác ABC ,chứng minh : a 2 +b 2 +c 2 2(ab+bc+ca) Hd :(Đề 10 .36-D97) 16 ) Chứng minh :Tam giác. Tam giác nhọn ,có : 1  + 1  + 1  = 1   2 + 1   2 + 1   2 . C/m ABC đều Hd : (Đề 2.6-A99) Tam giác ABC nhọn nên cosA,cosB,cosC 0.Theo Cosi : 1  + 1  . bsinB Hd :(Đề 10 .37-A98) .Định lý sin 17 ) Chứng minh :Tam giác ABC có tanA + tanB = 2cot  2 thì ABC là tam giác cân Hd :(Đề 10 .38-B98) 18 ) Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc A,B,C