LỜI NÓI ĐẦU
Bạn đọc thân mến!
Với học chế tín chỉ, thời gian sinh viên học trực tiếp trên giảng đường ít đi và
thay vào đó là thời gian sinh viên tự học Ngoài ra, theo phương pháp giáo dục đại
học mới đòi hỏi có 'sự tương tác giữa giảng viên và sinh viên trong quá trình giảng
dạy, tránh tình trạng giảng dạy một chiều “thây đọc, trò chép” và “thầy nói, trò nghe“ Điều này đòi hỏi phải có một cuốn sách Tối ưu hóa được biên soạn sao cho
sinh viên khá giỏi có thể tự học được Do dé tai mạnh dạn biên soạn quyển "Tối
ưu hóa ứng dựng" dành cho sinh viên và bạn đọc quan tâm đến Tối ưu hóa
Tác giả biên soạn cuốn sách này là giảng viên có nhiều năm kinh nghiệm
giảng dạy Tối ưu hóa cho sinh viên các ngành kinh tế khác nhau Với mục dich
giúp sinh viên và các bạn đọc quan tâm đến việc ứng dụng Tối ưu hóa trong thực
tiễn có được những khái niệm và kiến thức cơ bản về Tối ưu hóa, cuốn sách được
kết cấu và trình bày một cách logic và khái quát, nhằm giúp người đọc, nhất là những người không thuộc chuyên ngành Toán, vẫn có thể hiểu được
Để có thể đọc hiểu tốt quyển sách yêu câu bạn đọc đã học qua mơn Tốn Cao cấp, phần Đại số tuyến tính Để dễ dàng tiếp thu các nội dung của quyển sách, bạn đọc nên tham khảo trước phần phụ lục về Đại số tuyến tính
Các chương chính của cuốn sách bao gồm: - Chương 1: Bài toán quy hoạch tuyến tính
Chương này trình bày một số ví dự thực tế của bài toán QHTT Các dạng toán tổng
quát, chính tắc, chuẩn tắc của bài toán QHTT Khái niệm phương án cực biên của
bài toán Phương pháp hình học giải bài toán 2 biến Phương pháp đơn hình giải bài toán dạng chuẩn nhiều biến Cách khử hiện tượng xoay vòng của bài toán suy
biến Quá trình chuyển bài toán tổng quát về dạng chuẩn để giải Cách xác định bài toán có phương án tối ưu duy nhất không
- Chương 2: Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu
Chương này trình bày cách thành lập một bài toán đối ngẫu từ bài toán gốc Cách xác định các cặp ràng buộc đối ngẫu Các định lý đối ngẫu quan trọng Cách tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu từ phương án tối ưu của bài toán gốc Cách
xác định một phương án nào đó có phải là phương án tối ưu hay không - Chương 3: Bài toán vận tải
Chương này trình bày bài toán vận tải cân bằng thu phát và các khái niệm liên
Trang 4H
bằng thu phát Cách xử lý khi không đủ ô chọn cân thiết Cách giải bài toán vận tải
mở rộng không cân bằng thu phát, bài toán vận tải có ô cấm Cách xác định bài
toán có duy nhất phương án tối ưu không Và một dạng đặc biệt của bài toán vận
tải là bài toán xe không, cách xác định các tuyến điều động xe chở hàng theo hợp
đồng vận chuyển hàng để tổng chỉ phí tương ứng với quãng đường chạy xe không là
nhỏ nhất
- Chuong 4: So dé mang
Chương này trình bày một số thi dụ thực tế về sơ để mạng Cách lập ra một sơ dé mạng để quản lý quá trình hình thành và hoàn thành một dự án Cách tính các chỉ
tiêu về thời gian và công việc của sơ đổ mạng Cách xác định đường găng của sơ để
để có thể rút ngắn thời gian hoàn thành toàn bộ dự án Cách tính xác suất hoàn
thành dự án trong thời gian quy định
- Chương 5: Sử dụng phần mêm giải toán Tối ưu hóa
Chương này hướng dẫn bạn đọc sử dụng phần mềm Quy hoạch tuyến tính và
Excel2003 để giải các bài toán Tối ưu hóa thông dụng Từ đó bạn đọc nắm được kỹ năng cơ bản để giải các bài toán ứng dụng thực tế mà bạn có thể gặp trong cuộc sống
Cuốn sách “Tối ưu hóa ứng dụng" ngoài mục dich cung cấp cho bạn đọc những hiểu biết cơ bản về Tối ưu hóa, còn mang đến cho bạn đọc một số kỹ năng sử dụng phần mềm Hiểu biết về lý thuyết Tối ưu hóa cộng với kỹ năng sử dụng
phần mềm, chắc chắn bạn đọc sẽ khám phá được nhiều điều lý thú khi vận dụng
Tối ưu hóa trong thực tiễn
Do cuốn sách được biên soạn lần đầu, chắc chắn không thể tránh khỏi những
thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý và phê bình của bạn đọc
Tác giả chân thành cám ơn các bạn bè, đồng nghiệp đã nhiệt tình cung cấp
Trang 5Il
LỜI NGỎ
Bạn đọc thân mến!
Phương pháp giảng day đại học mới đòi hỏi phải có sự tương tác, thảo luận và trao đổi qua lại giữa giảng viên và sinh viên trong quá trình giảng dạy Điều này
cần 2 yếu tố chính: Thứ nhất là sinh viên phải có nhiều tài liệu tham khảo về cùng một vấn dé quan tâm Thứ hai là sinh viên phải đọc hiểu được một phần nào đó của vấn đề sẽ được thảo luận và trao đổi trên lớp
Thực tế chúng ta thấy 2 điều này rất khó thực hiện Thứ nhất là sinh viên hiện
nay không có khả năng sắm cho mình nhiều sách tham khảo Thứ hai là đa số sách
tham khảo hiện nay được viết với văn phong sang trọng và ngôn ngữ hàn lâm, nên
người đọc rất khó tiếp thu Sinh viên cần một quyển sách được biên soạn giản dị,
ngắn gọn, súc tích, đây đủ các vấn dé cơ bản và có thể tự đọc hiểu được
Trước thực tế đó, tôi mạnh dạn biên soạn quyển “Tối ưu hóa ứng dụng" với văn phong giản dị và ngôn ngữ bình dân, nhưng vẫn đảm bảo tính logic và chặt
chế của Toán học Tôi chọn ngôn ngữ gần gũi với đời thường nhất để dễ đi vào
lòng bạn đọc, đó là ngôn ngữ “Từ trái tìm đến trái tim” Quyển sách được biên soạn với tiêu chí “Dừa ~ Đủ - Xoài”
Tâm nguyện của tôi là sau khi đọc xong quyển sách này, bạn đọc sẽ nấm
vững những nội dung cơ bản nhất của Tối ưu hóa để ứng dụng vào học tập và công
việc của mình
Cuộc đời này quá ngắn ngủi và vô thường Hạnh phúc và đau khổ, hợp tan và
chia ly, giàu sang và nghèo khó, tất cả chỉ cách nhau một cái chớp mắt và thay đổi khôn lường theo vòng xoay của Tạo hóa “Tôi là ai? Tôi sống trên đời này để
làm gì? Tôi từ đâu đến và sẽ đi về đâu?” đó là các câu hỏi mà tôi đang đau đáu đi tìm câu trả lời trong cuộc sống này
Tâm nguyện cuối đời của tôi là viết một bộ SÁCH TỰ HỌC nhằm giúp bạn
đọc có thể học tốt môn học mà mình quan tâm Đây là quyển sách đầu tiên
Một lần nữa, tôi luôn mong nhận được mọi sự góp ý và phê bình của bạn đọc
để cuốn sách ngày càng hoàn thiện hơn
Tp Hỗ Chí Minh, tháng 09 năm 2003
Trang 6MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU LỜI NGỎ MỤC LỤC CHƯƠNG i: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1 I) CÁC VÍ DỤ THỰC TẾ
Il) CAC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA 1) Bài toán QHTT tổng quát
Phương án cực biên của bài toán QHTT tổng quát 2) Bài toán QHTT dạng chính tắc
Phương án cực biên của bài toán dạng chính the 3) Bài toán QHTT dạng chuẩn tắc se
IID PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN QHTT IV) PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH GIẢI BÀI TOÁN QHTT Vì THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH VÀ ĐƠN VỊ ĐO CỦA BIẾN „
VI) PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN SUY BIẾN, HIỆN TƯỢNG XOAY VÒNG 36
VID BÀI TOÁN (M)~ VẤN ĐỀ TÌM PA CUC BIEN BAN ĐẦU VII) BAI TOAN QHTT DANG CHUAN, f > max
IX) GIẢI BÀI TOÁN QHTT TỔNG QUÁT ` X) VAN DE VE PATU DUY NHAT CUA BAI TOAN OHTT 1) Các khái niệm 2) Định lý (patư tổng quá 3) Cách xác định bài toán có patư duy nhất không
BAI TAP CHUGNG 1 a 62
PHU LUC A: QUY TAC 'HÌNH CHỮ NHẬT XÁC ĐỊNH BANG ‘DON ‘INH MOI TU BANG DON HINH CU 105 PHU LUC B: ON TAP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU 113
D CÁCH THÀNH LẬP BÀI TOÁN QHTT ĐỐI NGẪU ID) CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU
IID CÁC VÍ DỤ
Trang 7VI
CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN VẬN 'TẢI -s-5+=:5ce=v=czezrzoevzrzocer 145
D BÀI TOÁN VAN TAI CAN BANG THU PHAT 145 1) Bài toán 145 2) Bảng vận tải se 146 ID CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA 147 1) Ô chọn và ô loại 147 2) Day chuyén va vong „148 3) Phương án cực biên II) THUẬT TOÁN THẾ VỊ
1) Trường hợp bài toán ncó pacb không suy biến
2) Trường hợp bài toán có pacb suy biến
IV) BTVT KHONG CAN BÁẢNG THU PHÁT
1) Téng phat > tổng thu
2) Tổng phát < tổng thu
V) BTVT CÓ 6 CAM Hee 1) Cấm tuyến đường vị vận chuyển „ 2) Cấm không cho phát hàng vào ô giả
VỤ) BÀI TOÁN DẠNG VẬN TẢI Có HÀM MỤC TIÊU CỨC: ĐẠI VI) VẤN ĐỂ VỀ PATƯ DUY NHẤT
Trang 813) Đường đi dài nhất
IID LẬP SƠ ĐỒ MẠNG
1) Các chú ý cần thiết
2) Cách vẽ sơ dé
3) Đánh số các đình
1V) PHÂN TÍCH SƠ ĐỒ MẠNG THEO CÁC ‘CHL TIÊU THỜI GIAN 1) Chỉ tiêu thời gian đối với đỉnh
1.1) Thời điểm sớm của đỉnh
1.2) Thời điểm muộn của đỉnh
1.3) Thời gian dự trữ của đỉnh
1.4) Ghi các chỉ tiêu thời gian lên đỉnh
1.5) Đường găng
1.6) Ý nghĩa của đường găng 2) Chỉ tiêu thời gian đối với công việc
2.1) Thời điểm sớm
2.2) Thời điểm muộn "
2.3) Thời gian dự trữ của công việc
Vv) MOT SỐ LƯU Ý VỀ SƠ pồ MẠNG
1) Thời gian dự trữ chung của công việc
2) Rút ngắn thời gian hoàn thành dự án
3) Hệ số đường găng
4) Bài toán giá thành rẻ nhất
5) Đánh giá khả năng hoàn thành dự án essere a) Ước lượng thời gian hồn thành c cơng việc b) Đánh giá
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 -. 2-snsn2ennernrrrrtrrrrrirrrrrrrmrrre
CHƯƠNG 5: SU DUNG PHAN MEM GIAI TOAN TỐI ƯU HÓA 289
1) SU DUNG PHAN MEM QHTT „289
1) Giải bài toán Quy hoạch tuyến tính 2) Bài toán đối ngẫu
3) Giải bài toán vận tải II SỬ DỤNG EXCEL2003
1) Giải bài toán quy hoạch tuyến tính
2) Giải bài toán vận tai “ cớ 310
3) Giải hệ phương trình tuyến tinh
ID MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ
1) Bài toán sản xuất đồng bộ _
Trang 9
Vill
IV) MỘT SỐ LƯU Y VE SOLVER
ĐỂ THỊ MẪU
TÀI LIỆU THAM KHẢO eeerererrrrrrrrrrerrrrrrreee
2) Bài toán vận tải CBTP có hạn chế khả năng thông qua
3) Bài toán sản xuất — vận tÃI eeeeeeereerernme 4) Bài toán phân việc
5) Bài toán cái túi
Trang 10CHƯƠNG I: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1
CHƯƠNG I:
BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
DP CAC Vi DY THỰC TẾ
Ví dụ 1.1: Bài toán lập kế hoạch sẵn xuất
Một xí nghiệp có 3 loại nguyên liệu A (đường), B (sữa), C (hương trái cây) với
lượng dự trữ tối đa trong kho lần lượt là 10, 15, 13 tấn Xí nghiệp dùng các loại
nguyên liệu này để sản xuất ra 4 loại sản phẩm kẹo mút: K¡ (mum mum đâu),
K, (mum mum bac hà), K; (mum mum mat ong), Ky (mum mum difa) Tiên lời
thu được khi bán các loại sắn phẩm kẹo lần lượt là 4, 6, 5, 8 triệu đ/tấn
Tỷ lệ pha chế các loại nguyên liệu với nhau để sản xuất ra các loại sắn phẩm
cho trong bang sau: Loại nguyên liệu | Dự wit * ° K, (tấn) | Kạ (tấn) | K; (tấn) | K¿ (tấn) Tỷ lệ pha chế A (tấn) 10 1 2 3 4 B (ấn) 15 3 1 4 2 C (tn) 13 2 4 1 1 Tiển lời (triệu đ/tấn) 4 6 5 8
(Để sản xuất ra 1 tấn sản phẩm K; xí nghiệp cẩn dùng các loại nguyên liệu A,
B,C với số lượng lần lượt là 1, 3, 2 tấn)
Trang 112 TỐI ƯU HÓA ỨNG DỤNG
Goi x¿ là lượng sản phẩm loại K; cần sản xuất (tấn), j= 14
* Điều kiện về biến gọi: x¡ >0, j= 1,4
* Điều kiện hạn chế về nguyên liệu sử dụng:
Nguyên liệu A: xị + 2x¿ + 3x; + 4x¿ <= 10 Nguyên liệu B: 3x + X2+ 4X3 + 2xX4<= 15 Nguyên liệu C: 2xị + 4X¿+ X3+ X4<= 13
* Tổng số tiên lời thu được: f(x)= 4x1 + 6x2 + 5x3 + 8x4 > max
Vậy ta có mơ hình bài tốn là: Tìm véc tơ x= (X¡, Xa, Xạ, Xa) sao cho: f(x)= 4x, + 6x2 + 5x3 + 8x4 —> max X, + 2X24 3x3+ 4x4<= 10 3x¡+ Xz+4x:+ 2X¿<= l5 2xi+4Xx‡+ Xị+ Xa¿<= l3 Xj >= 0, j= 14
Bài toán này được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính (QHTT) Giải bài toán trên ta được kết quả: x= (4, 1,0, 1) và fm„= 30
Nhân xét:
Ta thấy bài toán QHTT là bài toán cực trị có diéu kiện của hàm nhiều biến Ta có thể dùng kiến thức Giải tích (rong học phần Toán cao cấp) để giải Tuy nhiên, khi bài toán có nhiều biến và nhiều ràng buộc thì cách giải này sẽ phức
tạp Do đó, ta sẽ đưa ra cách giải riêng đặc trưng cho dạng toán này
Ví dụ 1.2: Bài toán định khẩu phần thức ăn
Để nuôi 1 loại gia súc, một đội sản xuất dùng 3 loại thức ăn T¡ (Tuctung), Tạ
(Cuncon), Tạ (Meoyeu) Trong 3 loại thức ăn này có chứa 3 loại chất dinh đưỡng A (DHA), B (œ A+), B (Canxi @) Số đơn vị chất đinh dưỡng (g) có trong l đơn
Trang 12CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 3
Để gia súc phát triển tốt và thông minh thì nhu cẩu tối thiểu về các chất định dưỡng A, B, C trong khẩu phần ăn hàng ngày của gia súc lần lượt là: 17, 14, 14
g Giá thức ăn T¡, Tz, T; lần lượt là 5, 4, 7 (chục ngàn đ/kg)
Hãy xác định lượng thức ăn mỗi loại cần có trong khẩu phần ăn hàng ngày để
đầm bảo yêu cầu về chất dinh dưỡng, đồng thời tổng số tiển mua thức ăn hàng
ngày là nhỏ nhất?
Giải:
Gọi xị là lượng thức ăn loại T; cần cho ăn hàng ngày (kg), J= 1,3
* Điều kiện về biến gọi: x¡ >=0, j= 1,3
* Điều kiện về chất dinh dưỡng:
Chất dinh đưỡng A: 7xị + 2x;+ 6Xạ>= 17 Chất dinh dưỡng B: 5xị + Xạ+ 7X3>= 14 Chất dinh dưỡng C: 6x¡ + 3x¿ + 4x; >= l4
* Tổng số tiễn mua thức ăn: f(x)= 5x; + 4x¿ + 7x; —> min
Vậy mô hình bài toán là:
Tìm véc tơ x= (Xị, X2, X3) sao cho: f(x)= 5xị + 4x¿ + 7x: —> min Tx, + 2X2 + 6X: >= 17 5X; + Xo+ 7x3>= 14 6X, + 3x2+ 4x:>= 14 Xị >=0, j= 1,3
Giải bài toán trén ta dude: x= (21/11, 0, 7/11) va frin= 14
Ví dụ 1.3: Bài toán phân bổ vốn đầu tư
Một người có 70 triệu đồng muốn cho vay theo các loại hình sau:
- Tiết kiệm không kỳ hạn với lãi suất 5%
- Tiết kiệm có kỳ hạn với lãi suất 8%
- Mua tín phiếu với lãi suất 10%
Thời gian đáo hạn của 3 loại hình cho vay trên được xem là như nhau
Để giảm rủi ro, người này cho vay theo chỉ dẫn tư vấn như sau: - Mua tín phiếu và tiết kiệm có kỳ hạn ít nhất 70% vốn
- Số tiễn mua tín phiếu không vượt quá 2 loại hình còn lại
Trang 134 TỐI ƯU HÓA ỨNG DỤNG
Hãy cho biết kế hoạch đầu tư sao cho lợi nhuận tối đa? Hướng dẫn:
Gọi xị, xạ, x; lần lượt là số tiền đầu tư vào: TK có kỳ hạn, Tín phiếu, TK không
kỳ hạn (triệu đ) Mơ hình bài tốn là:
Tim véc td x= (x), X2, X3) sao cho: f(x)= 0,08x, + 0, 1x, + 0,05x3 > max Xi +X¿ >= 49 Xi-Xa†+Xa>=Ũ > X <= x, +X; Xị:+Xạ+Xạ= 70 x, >=0, j= 1,3
Giải bài toán trên ta được x= (35, 35, 0) và f„„„= 6,3
H) CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA
1) Bài toán QHTT tổng quát
Từ các ví dụ thực tế trên, ta có bài toán QHTT tổng quát cụ thể như sau:
Tim véc td x= (Xx), X2, X3) Sao cho: f(x)= x1 +0Xx2 +2x3 — min (max) 3Xy+ xX) +4x3<=17 X) + 5x2 + 3x3 = 10 TX\+ X2+ Xi >=4 Xị >=0, x; <=0, x; tùy ý
Vậy bài toán đạng tổng quát là:
Tim x= (Xj, Xa, ., Xạ) sao cho:
f(x)= dex, —> min (max) (1)
Jel
¥a,x,(<=,=,>=) b;, i= 1,m (2)
(*) fot
Trang 14CHƯƠNG l: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 5
Các thuật ngữ sử dụng: ~ f(x) gọi là hầm mục tiêu
Các ¢ gọi là các hệ số hàm mục tiêu — Số (2) gọi là ràng buộc chung
Số (3) gọi là ràng buộc biến
Hệ (*) gọi là hệ ràng buộc (miễn ràng buộc)
¬ Các bị gọi là các hệ số tự do
— Cac aj gọi là các hệ số của ràng buộc chung
— Một véc tơ x gọi là 1 phương án (PA) của bài toán nếu x thỏa hệ ràng buộc
(*)
— Tap hgp tat cả các PA của bài toán gọi là tập phương án Ký hiệu D, X, Y,
~ Khái niệm phương án tối wa (pati):
Bài toán minƒ: Một PA làm cho hàm mục tiêu đạt cực tiểu gọi là phương án tối ưu (patư) Ký hiệu là x*
Nghĩa là: VxeD: f(K) >= f(x*)
Bài toán maxf: Một PA làm cho hàm mục tiêu đạt cực đại gọi là phương án tối
ưu (patư) Ký hiệu là x*
Nghĩa là: VxeD: f(x) <= f(x*)
~ Bài toán QHTT có pzi⁄ gọi là bài toán giải được
— Giải bài toán QHTT là tìm các patư của nó (nếu có) hoặc chứng tổ nó không CÓ patư, — Hai bài toán QHTT gọi là tương đương nhau nếu chúng có chung /ập paiứ Cậu hỏi: Tại sao trong hệ ràng buộc (*) ta chỉ xét dấu > hoặc đấu < mà không xét đấu > hoặc <
Ta thấy bài toán QHTT có thể là maxƒ hoặc min, vấn đề đặt ra là ta có phải đưa
ra Phương pháp giải riêng cho maxƒ hoặc minƒ hay không? Câu trả lời là không,
ta chỉ cần đưa ra phương pháp giải cho 1 dụng toán (ví dụ min) rồi chuyển bài toán maxƒ về bài toán minƑ
Chuyển bài toán max về bài toán mìn:
fx) max © g(x)= -f(x) > min
Trang 15£ 6 TOI UU HOA UNG DUNG Ta có 2 bài toán là tương đương nhau Thật vậy:
Gọi x* là patư của bài toán ming, ta có:
g(x*) <= g(x), VxeD © —f(x*) <= - f(x), VxeD <> f(x#) >= f(x), VxeD Vậy x* là patư của bài toán max, và Í„z„= — Emia = ~ g(X*)
Phương án cực biên (phương án cơ bản) của bài toán QHTT tổng quát Khái niệm ràng buộc cht, lng
ôđ Mt rng buộc gọi là chặt đối với pa x nếu khi ta thay x vào ràng buộc này thì xảy ra dấu bằng, thí dụ ¥ a,x, =b
/=Ì
e© - Một ràng buộc gọi là lồng đối với pa x nếu khi ta thay x vào ràng buộc này thì xảy ra dấu bất đẳng thức thực sự, thí dụ Ya,x, >ö, hoặc Sa x, <b, as
jal jel
Khái niệm chặt, lồng xét cho cả ràng buộc chung và ràng buộc biến
Khái niệm phng ỏn cc biờn (pacb)
ôâ Một pa có số ràng buộc chặt độc lập tuyến tính bằng n (số biến) gọi là pacb
— Một pacb có số ràng buộc chặt bằng số ràng buộc chặt độc lập tuyến tính
gọi là pacb không suy biến
— Một pacb có số ràng buộc chặt nhiều hơn số rằng buộc chặt độc lập tuyến tính gọi là pacb suy biến
Trang 16CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 7
1) x= (0, 1, 2, 0) là pacbksb? 2) x= (0, 2, 1, 0) là pakcb?
Gidi:
1) Thay x= (0, 1, 2, 0) vào các ràng buộc của bài toán, ta thấy thỏa mãn nên x
là phương án của bài toán Ta thấy: 2(0)+1+2-0=3 (rbc) -04+1-2+2(0) =-1 (tbe) x)= 0 (rbc) X2= 1>0 (rbl) X3= 2>0 (rbl) “ X4= 0 (rbc) Ta trích ra các hệ số của các ràng buộc chặt, ta được: 1 2 1 -1 -l 1-1 2 100 0 0 0 0 1
Ta thấy 4 dòng này độc lập tuyến tính nên có 4 rang budc chat ditt Vay sé rbc ditt 14 4 (số biến) nên x là pacb
Ta có số rbc = 4 = số rbcđltt nên x là pacb không suy biến
2) Thay x= (0, 2, 1, 0) vào các ràng buộc của bài toán, ta thấy thỏa mãn nên x
Trang 178 TOI UU HOA UNG DUNG
Ta thấy 3 dòng này độc lập tuyến tính nên có 3 rang budc chat ditt Vậy số rbc địt là 3 < 4 (số biến) nên x không là pacb (là pa không cb) Vị dụ 2: f= 3x, + 4x2.— 6%3+ 7x, — min 2Xi+ Xạ+ X;— Xa<=3 —Xj+ X2- X3+2xg>=-1 Xi+4X¿—2Xạ+ X¿=0 X)>=0, x2>=0, x3>=0, x4<=0 Chứng minh x= (0, 1, 2, 0) là pacbsb? Giải:
1) Thay x= (0,1,2,0) vào các ràng buộc của bài toán, ta thấy thỏa mãn nên x là
phương án của bài toán Ta thấy: 2(0) + 1 +2-0=3 (rbc) -0+1~ 2+ 2(0) = -1 (rbc) 0 + 4(1) - 22) +0 = 0 ứbc) xị= 0 (rbc) X2= Ï>0 (rbl) X3= 2>0 (rb) x¿=0 (tbc) Ta trích ra các hệ số của các ràng buộc chặt, ta được: 2 1 1 -I =1 1 -1 2 1 4 -2 1 1 0 0 0 0 0 0 1
Ta thấy 5 dong nay chỉ có 4 dòng độc lập tuyến tính nên có 4 ràng buộc chặt đit Vậy số rbc đitt là 4 (số biến) nên x là pacb
Ta có số rbc= 5 > 4 = số rbcđltt nên x lì pacb suy biến
Ta thấy trong bài toán QHTT dạng tổng quát thì dấu của ràng buộc chung và
ràng buộc biến không đông nhất, do đó nếu dua ra phương pháp giải trực tiếp cho dạng toán này sẽ phức tạp Tu tìm cách chuyển bài toán có đấu « lung tung »
về bài toán có dấu đồng nhất (bài toán dạng chính tắc) và đưa ra cách giải cho
Trang 18CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 9
bài toán đẳng nhất dấu thì sẽ đơn giản hơn nhiều, từ kết quả của dạng chính tắc ta sẽ được kết quả của dạng tổng quái Giống như trong Đại số tuyến tính: ta
không đưa ra phương pháp giải trực tiếp cho hệ phương trình tuyến tính tổng quát mà chuyển nó về dạng bậc thang, rỗi đưa ra phương pháp giải đơn giản cho dạng bậc thang Từ kết quả của dạng bậc thang ta được kết quả của dạng tổng quái 2) Bài toán QHTT dạng chính tắc * Dạng đại số: f%)=>`c,x, — min (max) a @) Sia,x,=5 =b , i=1,m (2) jz Xj >=0, j= 1,n (3) * Dang ma tran: Dat: đị đa a, b, x a, @ a, b, xy A=| 7" ? "1, b= , x= , €=ẲẮ Ẳ@ ¢,) đại an2 Qnn bạ x, Ta viết bài toán (1)-(3) đưới dạng ma trận: Ấ{x)= <c,x> > min (max) A.x= b x>=0
Với quy ước: x= (Xị, Xa, ., Xe) >= © xị>= 0, j= In
Cách chuyển bài toán tổng quái về dạng chính tắc:
Trang 1910 TỐI ƯU HÓA ỨNG DỤNG
* Ràng buộc biến:
Nếu x¡ <=0 thi ta dat x’; = —x¡ >=0
Néu x; bat ky thi ta dat xj=x;*-x; vdix;', x7 >=0 * Ràng buộc chung: Nếu 5a x, <=, thì thêm biến phụ y; >=0: Ma x, +y, =, yd W”J : j=l j=l Nếu Ða,x, >= ö, thì thêm biến phụ y; >0: 3a,x,— y,=b, /=Ì jst Ví dụ 1.4: Bài toán tổng quát (P) f(x)= 3x, + 4x2 + 7x3; > max X + 3x2 - 2x3 <=7 2X;+ X2+3x3= 6 -Xị+ 5X; + 4X: >= 3 x, >=0, j= 1,3 Bài toán dạng chính tắc (P*) £(x)= 3x, + 4x2 + 7x3 40.x4 +0.x5 > max <> f(x)= 3x) + 4x2 + 7X: — max X1 + 3X2 ~ 2X3 + X4 =7 2x, + X2+ 3x3 =6 - Xi + 5X; + 4x; -Xs=3 X¡ >=0 ,j= L,5 với xạ, xs là biến phụ Câu hỏi: Tại sao các hệ số ở hàm mục tiêu của biến phụ phải bằng 0 Quan hệ giữa (P) và (P*):
- Nếu (P*) không có patư thì (P) không có pat
- Nếu (P*) có patư là (X¡*, x;*, Xạ*, Xạ*, x;*) thì (X;*, xạ*, x;*) là patư của (P),
Và max = f(XI*, X2*, X3*)
Trang 20CHƯƠNG 1: BAI TOAN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Ví dụ 1.5: Bài toán (P) f{x)= Xị +2X¿ + Xạ —> max 2X,;+ X2+3x3=9 4x, 4+ 3x2+ x3=1 X, >=0, X2 <=0, x3 thy ¥ Bài toán dạng chính tắc (P*) Đặt: x;p= -X., Xạ= Xạc-Xãi £(x)= X1 - 2Xap + X3e- Xa —> MAX 2X, - Xop + 3X3¢- 3xx= 9 4X1 - 3Xapt Xae- XH = 1 XI, X¿p, X;., Xạ: >=Ũ Quan hệ giữa (P) và (P*): - Nếu (P*) không có patư thì (P) không có patư 1
- Nếu (P*) có patư là (x¡*, Xap*, Xac*, Xạ#) thì (XỊ*, —Xap*, Xạ.*—xz*) là patư của
Trang 21h
12 TỐI ƯU HÓA ỨNG DỤNG
Quan hê giữa (P) và (P*):
- Nếu (P*) không có patư thì (P) không có patư
- Nếu (P*) có patư là (xị*, Xap™, Xac™, Xa", Xq*, X5*) thì (XI*, -Xzp*, X3c*- Xar*) là patư của (P) và finin= £(x1*, -X2p*, Xae*- Xai*)
Vi du trên: x*(P*)= (1/10, 0, 33/10, 0, 35/10, 0) thì x*(P)= (1/10, 0, 33/10) và
frnin= (1/10, 0, 33/10)= 67/10
Nhdn xét:
Giữa bài toán tổng quát (P) va bai toán chính tắc (P*) có cùng tính chất:
- Hoặc cùng không có patư - Hoặc cùng có patư
Phương án cực biên của bài toán dạng chính tắc
Ta có thể dùng cách kiểm tra pacb của bài toán tổng quát cho bài toán chính tắc
Tuy nhiên, do đặc thù của dạng chính tắc là đấu các ràng buộc đẳng nhất nên ta
có cách kiểm tra pacb đơn giản hơn Bài toán chính tắc dạng ma trận:
f(x) = <c,x> — min (max) (1)
Ax=b (2) x>=0 (3)
Ta có: A.x = b © XIÁ¡ + X2Aq + 4 XpAg =D
Ký hiệu: A¡, j= l,n là các véc tơ cột của ma trận hệ số A
Cách xác định pạcb:
® X=(Mi,X¿, , Xị, , Xa) là pa của bài toán (1)-(3) Đặt: J(x)= {j/x;> 0} -
Ký hiệu: m(Q) là số phần tử của tập I(x)
x là phương án cực biên © hệ véc tơ cột tương ứng với các thành phần đương
của x độc lập tuyến tính
Nghĩa là: x= (x:,X;, , xạ) là pacb <> {Aj/je J(x)} déc lap tt e x 1a pach Ta luén cd: m(J) <= 1(A)
* Néu m(J) = r(A) thì x là pacb không suy biến
Trang 22CHUONG I1: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Vidu I: f =x,- 2x,+x3; 3 min X)+X2+ 2x3= 14 Xi+Xạ+ Xạ=0 xj >=0, j= 1,3 Cmr x= (4, 0, 5) la pacbksb? Gidi: Thay x= (4, 0, 5) vào các rằng buộc của bài toán ta thấy x là pa J(x)= {1,3} và m(1)= 2 whet
Hệ A;, A; độc lập tt nên x là pacb
Trang 2314 TỐI ƯU HÓA ỨNG DỤNG Giải: x= (0, 7, 0) là pa J(x)= {2} va m(J)= 1 «-()] Hệ A; độc lập tt nên x là pacb
m(J)z I <r(A) =2 nên x là pacb suy biến
Ta có các kết quả cho bài toán dạng chính tắc: e _ Bài toán có thể có pa hoặc không
e - Nếu bài toán có pa thì nó có pacb
¢ - Bài toán có mọi pacb đều không suy biến gọi là bài đoớn không suy biến Nếu có ít nhất L pacb suy biến thì gọi là bài roán suy biến
© Bai todn minƒ: Nếu bài toán có pa và hàm mục tiêu bị chận dưới thì bài
toán có patư Nếu f không bị chặn dưới thì f — -œo
Bài toán maxƒ: Nếu bài toán có pa và hàm mục tiêu bị chân trên thì bài
toán có patư Nếu f không bị chặn trên thi f > +00
e Nếu bài toán có patư thì bài toán có pacbr Một pa gọi là pacbtư nếu nó
vừa là pacb và vừa là patư
® _ Nếu bài toán có 2 pat x', x” với x' # x? thì œx' +(1-œ).x?, Vœe[0,1] cũng
là patư ~—> bài tốn có vơ số patư
e xa pacb Néu x không là patư thì luôn tìm được pacb x' tốt hơn x
Nghĩa là:
Bài toán minf: f(x') <= f(x) Bai todn maxf: f(x’) >= f(x)
« - Số pacb của bài toán là hữu hạn
Ta thấy tập pa khác rỗng của bài toán dạng chính tắc luôn có pacb nên việc tìm
patw của bài toán sẽ được tìm trên các pacb này Điều này đòi hỏi việc xác định
1 pacb ban đầu của bài toán phải dé dang Bai toán dạng chuẩn tắc sẽ giúp ta tìm được pacb ban đầu dễ dàng Bạn đọc xem phần giải bài toán theo phương pháp hình học để hiểu rõ hơn
3) Bài toán QHTT đạng chuẩn tắc
Bài toán QHTT dạng chuẩn tắc là bài toán QHTT dạng chính tắc thỏa thêm các
điều kiện sau:
Trang 24CHƯƠNG I: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 15
- Các hệ số tự do b; bên vế phải của các ràng buộc chung phải >=0 - Mỗi rằng buộc chung phải có biến cơ sở tương ứng
- Biến cơ sở: là biến có hệ số là ! ở một ràng buộc chung và có hệ số là 0 ở các ràng buộc chung còn lại
- Các biến không phải là biến cơ sở (biến cơ bản) thì gọi là biến tự đo - Biến cơ sở tương ứng với véc tơ cơ sở, biến tự do tương ứng với véc tơ tự do Ví dụ 1.7: Í= Xị + 2X2 + X: - X¿ —> min Xị+t X¿- X3 =7 2X;+ Xạ+X¿= Š xj>=0, j= 1,4 Xét xem bài toán có chuẩn tắc không, âm 1 pacb của bài toán? Hướng dẫn:
Đây là bài toán dạng chuẩn tắc
Ta có x¡, xạ là biến cơ sở nên véc tơ A¡, A¿ là véc tơ cơ SỞ
xạ, x; là biến tự do nên véc tơ A¿, A; là véc tơ tự do
Ta cho Xa, xạ = 0 (các biến tự do) thì ta có: Xị = 7, Xạ= 5 (biến cơ sở)
Vậy ta có pa x= (7, 0, 0, 5) và J(x)= (1,4)
|) s-)
Hệ véc tơ A¡, A¿ độc lập tt —> x= (7, 0, 0, 5) là pacb
Trang 2516 TOI UU HOA UNG DUNG
Xét xem bài toán có chuẩn tắc không, fim | pach cia bai toán?
Hướng dẫn:
Ta có bài toán dạng chuẩn tẮc
Ta có xị, xs, xe là biến cơ sở và xạ, x, xạ là biến tự do
1 0 0
x= (5,0,0, 0,3, 0) là pacb vì 44 =| 0|, 4, =| 1], 4, =| 0Ì độc lập tuyến tính
0 0 1
Cách khác:
Ta có xạ, X;, xe là biến cơ sở và xạ, xạ, xạ là biến tự do
x= (0, 0, 5, 0, 3, 0) là pach vi As, As, Ag déc lập tuyến tính Ví dụ 1.9: Í(X)= Xị + Xạ— X; —> max Xị + X;+X¿=4 ~X2+ 2x3 =7 xj >=0, j= 1,4 Xét xem BT có chuẩn tắc không? Hướng dẫn:
Trang 26CHƯƠNG I: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 17
IID PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TỐN QHTT
Với bài tốn QHTT 2 biến tổng quát, ta có thể đùng pp hình học để giải Ta có các kết quả sau:
- Miễn ràng buộc (tập pa) D là một tập lỗi đa diện, D có thể bị chặn (giới nội) hoặc không bị chặn (không giới nội) trong hệ trục tọa độ vuông góc Đề các
Nếu D bị chặn thì ta gọi là 1 đa giác lỗi D có đỉnh hoặc không có đỉnh Nếu D có đỉnh thì số đỉnh là hữu hạn D cũng có thể là tập rỗng (nếu các ràng buộc
không tương thích nhau)
- Giá trị của hàm mục tiêu f(x) gọi là đường mức Ta cho đường mức di chuyển trong D thì f(x) có thể bị chặn trong D hoặc không
Bài toán minƒ Nếu f() bị chặn đưới trong D thì ta fim được patư, nếu f(x) không
bị chặn dưới thì bài tốn khơng có patư
Bài toán maxƒ Nếu f(x) bị chặn trên trong D thì ta tìm được paw, nếu f(x) không
bị chặn trên thì bài tốn khơng có patư
Ta có 1 số trường hợp sau:
- Dbị chặn: bài tốn ln có patư là 1 đỉnh của D (gọi là i pa cực biên tối ưu)
Nếu bài toán có patư đạt được tại 2 đỉnh thì bài tốn có vơ SỐ patư
- D không bị chặn nhưng có đỉnh: bài toán có patư hoặc không Nếu có patư thì patư cũng đạt được trên đỉnh
- D không bị chặn và không có đỉnh: bài toán có patư hoặc không Nếu có patư thì patư không đạt được trên đỉnh
Nhân xét:
- Nếu bài toán QHTT đạng chính tắc có pa thì luôn có pa là 1 đỉnh của D
- Các đỉnh của D luôn là pacb
Các kết quả sử dung để giải bài toán theo phương pháp hình học:
e Đường thẳng (@Đ): ax+by=c chia mặt phẳng Oxy thành 2 miễn: miễn có
ax+by>c và miễn có ax+by<c Muốn biết miễn nào thỏa ax+by>c thì ta lấy 1 điểm bất kỳ thay vào, thí dụ điểm (0,0) thay vào : a.0+b.0 = 0, nếu 0 > c
thì miễển cha im (0,0) tha ax+by>c
ôâ Đường thẳng (D): ax+by=c gọi là đường đẳng mức, có pháp véc tơ là nñ<(a,b)
* Nếu di chuyển (D) theo cùng chiều 7ï thì giá trị mức c tăng lên
Trang 2718 TỐI ƯU HÓA ỨNG DỤNG Vidu I: f(x)= 7x - 2y Sx - 4y >= -3 2x- Ty <=-12 -X- y>=-l2 3x - Sy >= -20 ˆ_1) Vẽ tập pa D? 2) cmr x= (1, 2), x= (8, 4) là pacbksb? x= (5, 7) là pacbsb? x= (4, 4), x= (7,5) không là pacb? 3) Tìm minf, maxf? Nướng dẫn: 1) Tập pa là 1 tam giác có các đỉnh là A(1,2), B(8,4), C(5,7) 3) Pháp véc tơ #= (7, -2)
* Emm= f(1,2)= 7(1)-2(2)= 3 Vậy BT có patư là x*= (1,2) và giá trị tối ưu là 3
Trong trường hợp này: pacbtự duy nhất, pat duy nhất
* fmax= £(8,4)= 7(8)-2(4)= 48 Vay BT có patư là x*=(8,4) và giá trị tối ưu là 48
Trang 28CHƯƠNG I: BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 19 Ví dụ 2: f(x)= 2x - 7y 5x- 4y >= -3 2x- 7y <=-l2 -x- y>=-l2 Tìm minf, maxf? Hướng dẫn: Tập pa là 1 tam giác có các đỉnh là A(1,2), B(8,4), CG,7) Pháp véc tơ 7= (2, -7) * fain £(5,7)= 2(5)-7(7)= -39
Trong trường hợp nay: pacbtu duy nhất, patw duy nhất
* f= f(1,2)= 20)-7(2)= -12 = f(8,4) Mọi điểm nằm trên đoạn AB đều là patư Bài toán có vô số patư
Trang 2920 TỐI ƯU HÓA ỨNG DỤNG Vi du 3: f(x)= 7x + 2y x+3y>=7 6x - 2y >=2 3x-4y<=8 Tim minf, maxf? Hướng dẫn: a
Tap pa có 2 đỉnh là A(1,2), B(4,1) Tập pa là 1 tập không bị chặn, được tạo bởi:
doan AB, tia At, tia Bz
Pháp véc to H= (7, 2)
* fan= f(1,2)= 11
Trong trường hợp này: pacbtự duy nhất, patw duy nhất
Trang 30CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 21
Tim minf, maxf?
Hướng dẫn:
ỷ Pf 4 6 NK
Tập pa có 2 đỉnh là A(1,2), B(4,1) Tập pa là 1 tập không bị chặn, được tạo bởi: đoạn AB, tỉa At, tia Bz
Pháp véc to n= (6, -2)
* faa= f(1,/2)= 2 Mọi điểm nằm trên tủa At déu 1a patu Bài tốn có vơ sé patư Trong trường hợp này: pacbtư duy nhất, patw không duy nhất
Trang 32CHƯƠNG I: BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 23 Hướng dẫn: Tập pa không có đỉnh Tập pa được giới hạn bởi 2 đường thẳng mn, tz Pháp véc to #= (2, -5)
* fae f(L,4)= -18 Mọi điểm nằm trên đường thẳng mn đều là patư
Trong trường hợp này: pacbtư không có, patu không duy nhất
* fag f(2,1)=-1 Moi điểm nằm trên đường thẳng 1z đều là patư
Trong trường hợp này: pacbtự không có, patu không duy nhất kuu ý:
Cách xác định chiều của pháp véc td
Trang 3324 TỐI ƯU HÓA ỨNG DỤNG 2x+y=2 + 3 Nhân xét:
Khi giải bài toán QHTT ta có 3 trường hợp xây ra: ~ Bài tốn khơng có patư
- Bài toán có duy nhất patư - Bài tốn có vơ số patư,
Nhân xét:
Ý tưởng của phương pháp hình học là từ 1 đỉnh ban đầu của tập pa D ta đi đến các đỉnh “kể” có giá trị hàm mục tiêu tốt hơn cho đến khi được I đỉnh tối ưu hoặc hàm mục tiêu không bị chặn Nếu có đỉnh tối ưu thì có patư, nếu hàm mục
tiêu không bị chặn đưới (rrên) thì bài toán minf (maxf) khong có patư Vì số đỉnh
của D là hữu hạn nên sau 1 số bước đi thì ta kết thúc
Dựa vào ý tưởng từ phương pháp hình học người ta đưa ra phương pháp đơn hình để giải bài toán QHTT
IV) PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH GIẢI BÀI TỐN QHTT
Ta xét phương pháp (thuật toán) đơn hình (còn gọi là: Quy tắc hệ số lớn nhất
Trang 34CHƯƠNG I: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 25
Tư tưởng chính của PPĐH là: xác định pacb ban đầu x (để dàng do BT có đạng chuẩn) và tìm cách đánh giá nó Nếu x là pa tối ưu thì dừng lại Nếu x chưa tối ưu thì tìm pacb x' tốt hơn x, và ta đánh giá x` Quá trình trên sẽ kết thúc sau Ì
số hữu hạn bước (vì số pacb của bài toán là hữu hạn) với nhận định: pacb đang xét là tối ưu hoặc bài toán không có patư (vì hàm mục tiêu không bị chặn dưới)
Thuật toán gồm 4 bước như sau:
Bước 1: Lập bảng đơn hình xuất phát
Từ bài toán dạng chuẩn ta xác định các biến cơ sở và véc tơ cơ sở tương ứng
Các biến không phải biến cơ sở là biến tự đo, và xác định các véc tơ tự đo tương
ứng
Xác định pacb ban đầu xuất phát: x= (Xi, X¿, , Xa)
Ta có: J(x)= {j / x¡>0} tập các chỉ số của véc tơ cơ sở
Lập bảng đơn hình xuất phát sau: % v Cc) C2 | Cn Cơ sở | Hệ số | PA pc Ay | Ap | wa An JeJS(x) | Aj Cj Xj | Zr | Za | ww | Zin f |A, }A¿ | An Trong đó: f= f(x)= cột Hệ số * cột PA = Ye x, : giá trị hàm mục tiêu ứng với x Jed (x) Á, = cột Hệ số *# cột A¿ —cy = Sez —c, : hệ số ước lugng cha bién x , jet (2) k= 1,n Luu y:
Ta luôn có A¿= 0 ứng với các biến cơ sở Bước 2: Xét dấu hiệu tối ưu
Xem dòng ghi các hệ số ước lượng Á¡, A¿, , Án
Trang 356 TOI UU HOA UNG DUNG
Thuật tốn kết thúc
- Nếu khơng: qua bước 3
Bước 3: Xét dấu hiệu không tối ưu
Xét xem có cột A, thỏa: A,>0 và mọi phần tử thuộc cột này (ở bước lặp đang xét) đều <=0 không?
- Nếu có: BT không có patư (hàm mục tiêu f không bị chận dưới)
Thuật toán kết thúc
- Nếu không: qua bước 4
Bước 4: Cải tiến pa (Tìm một pacb mới tốt hơn)
Ta tim pacb mới x`= (Xị”, , Xa”) tốt hơn pacb x: f(x’) <= f(x)
Pacb x ứng với bảng đơn hình cũ, pacb x` ứng với bảng đơn hình mới Lập bảng đơn hình mới từ bảng đơn hình cũ như sau:
4.1) Chọn cột chủ yếu:
Chọn cột chủ yếu là cột có A dương lớn nhất
Tức là: chọn s sao cho A; = max{ A,/ A, >0}, cột chủ yếu ký hiệu là Ay
4.2) Chọn dòng chủ yếu:
Lấy cột phương án (PA) chia cho cột chủ yếu (CY), tức là lấy từng phần tử của
Trang 36CHƯƠNG I1: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 27 4.3) Xác định phần tử chủ yếu: Phần tử CY là phần tử nằm ở vị trí: đồng chủ yếu, cột chủ yếu, ký hiệu là z„ kim ý: Giá trị hàm mục tiêu khi chuyển từ bảng cũ sang bảng mới sẽ giảm l lượng là 2A, : £(x") = ÍŒ) - À.A;
Dựa vào cột CY, dòng CY và phân tử CY ta chuyển từ bảng cũ sang bảng mới
4.4) Lập ra bằng mới dựa vào bảng cũ:
4.4.1) Trén cột cơ sử: Thay A, bởi A, , giữ nguyên các phần tử còn lại Trên cột Hệ số: Thay c, bởi c,, giữ nguyên các phần tử còn lại
4.4.2) Các phân tử còn lại của bằng:
Có nhiễu cách để xác định các phần tử còn lại của bang mới, mỗi tác giả đưa ra
một cách làm riêng Tuy nhiên, các cách làm này khó nhớ và không gần gũi nên đa số người đọc rất khó nhớ để áp dụng! Tôi đưa ra 1 cách làm dựa vào các
phép biến đổi sơ cấp Gauss trong Đại số tuyến tính, tạm gọi 14 Gauss Lovely Nếu bạn đọc đã học qua cách giải hệ phương trình tuyến tính bằng phép biến
đổi sơ cấp Gauss thì việc vận dụng cách làm này chỉ là chuyện nhỏ!
Ta nhận thấy, từ bảng cũ chuyển sang bảng mới trong cột Cơ SỞ: ta loại ra | véc tơ (A,) và thay bằng 1 véc td mdi (A,), các véc tơ còn lại giữ nguyên
Do đó, ta biến đổi sao cho ở bảng mới cột A, có đạng (0, , 1, 0)", với số 1 ở vị trí dòng A, (mới) Sau khi có được bảng mới, ta quay lại bước 2 Vi dy 1.10: f(x)= 6X, + 2X + X3 + 3X4 + Xs - 7X6 > min -Xy +X + 2X4 +x¿= lŠ 4x +2X4 +Xs -3X6= 2 2x; +X3 +X +2x;¿=9 Xj >=0, j= 1,6 Giải:
Trang 3728 TOI UU HOA UNG DUNG
x= (0, 15, 9, 0, 2, 0) là pacb ban đầu Bảng đơn hình xuất phát 6 |2 |I |3 |1 |-7 Ai {Az | As | Ay] As | As -L]}i ]0 72 |O JI 4 |0 |0 |2 |I |¬3 2 10 |1 [1 J0 {QQ -2 10 |0 |4 |0 |(@) Ta có f= cột Hệ số * cột PA = 2*15 + 1*2 + 1*9 = 41 Ai= cột Hệ số * cột Ai ~ cị =2*(-L) + 1#4 + 1*2— 6= -2 A¿= cột Hệ số * cOt Ay — cạ = 2*2 + 1#2 + 1*1— 3=4 Xác định các yếu tố chủ yếu:
* Ta có A¿= 4>0 va Ac= 8> 0, trong đó A; lớn nhất nên cột chủ yếu là Ag * Lấy cột PA chia cot Ag ta được:
A= min {15/1, 2/-3 (bd), 9/2}= 9/2 nên dong chủ yếu là A:
* Phần tử nằm ở vị trí đồng As, cột A, là phần tử chủ yếu zss= 2
Cách lập bảng mới:
* Cột cơ sở: thay A; bởi Aa, các phân tử còn lại giữ nguyên
Cột Hệ số: thay c; bởi cạ, các phần tử còn lại giữ nguyên
* Ta biến đổi sao cho cột A; ở bằng 1 thành (0, 0, 1)”, ta sẽ được bảng 2 Ta làm như sau:
- Lấy dòng A; ở B1 chia 2, kết quá cất vào dòng A; ở B2
Trang 38CHƯƠNG I1: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 29
G bang 2 ta c6: A, <=0, Vk : pa đang xót tối ưu
Vậy bài toán có patư là x*= (0, 21/2, 0, 0, 31/2, 9/2) và finin = [(X#)= 5 Luu y:
Kết luận của bài toán phải luôn có patư và giá trị tối ưu, giống như vợ chẳng - phải có đôi có cặp mới được!
Nhân xét:
Ta thấy các cột cơ sở ở mỗi bảng luôn tuân theo quy luật sau: phần tử nằm ở vị trí chỉ số dòng và cột giống nhau là 1, các phần tử còn lại là 0, và A của nó bằng
0 Luu ý:
Sau khi xác định được dòng Az, As, A; ở bang 2 thì dòng f ở bằng 2 có thể được
tính giống như đồng f ở bảng 1
Quá trình biến đổi từ bảng 1 sang bắng 2 có thể tóm tắc là quá trình biến đổi từ
ma trận 1 (B1) sang ma trận 2 (B2) như sau:
15[—1 1 0201 21/2|-2 1 -1/2 3/2 0 0 214 002 1 -3 3412| 7 0 3/2 7/2 1 0 912 0119 2 > 9/2| 1 0 1⁄2 1⁄2 0 1 4144-2 004 0 8 5 1-10 0 -4 0 0 0
Mục đích ta biến đổi sao cho cột 7 (ứng với Aa) có dạng (0, 0, 1, 0)" - Lấy dòng 3 của ma trận 1 chia 2 ta được dòng 3 của ma trận 2
- Lấy đồng 1 của mt 1 — 1⁄2 dòng 3 của mt 1 ta được dong 1 của mt 2 - Lấy đồng 2 cha mt | + 3/2 dòng 3 của mt 1 ta được đòng 2 của mt 2 - Lay dong 4 của mt 1 — 4 dòng 3 của mt 1 ta được đồng 4 của mt 2
Luu ¥:
Lúc này f(x)= 5+10xX¡+4x;+3/2x4 => 5 khi xị, Xạ, X¿ —> Ô Câu hỏi:
Từ ma trận 2 bạn hãy giải các biến cơ sở xạ, x;, xe theo các biến tự đo Xị, Xạ, Xa
Trang 39feos, 30 TOLUU HOA UNG DUNG Ví dụ 1.11: f(x)= 6x, + 2X2 + X3 +0.X44+0.X5 - 3X6 2 min -XI+X¿ + 2x4 +xXxá¿= 15 2x) + X3 + 2x,=9 4x, + 2x4 +X5 -3X,=2 x, >=0, j= 1,6 Giải:
Ta có các biến cơ sở là xạ, xạ, x; và véc tơ cơ sở là Aa, As, As
các biến tự đo là xị, xạ, xe và véc tơ tự do là Ai, Ag, Ag
x= (0, 15, 9, 0, 2, 0) IA pacb ban dau 15/2_ | -13 {21/4 |-1 | 1⁄2 | -1⁄4 9/2 1 0 1/2 5 9 |-1 |2 +272|:9 1-2 | -5/2 6 |2 1 9 10 1-3 Ar | Ao | Az [As [As | Ao -1 {1 0 2 10 |I 2 10 1 0 10 | (2) 4 0 10 2 11 |-3 ; 6 |0 10 4 |0 1(7) 21/2 |-2 | 1 -1/2|(2)|0 |0 | 9/2 1 0 1⁄2 10 |0 31⁄2 |7 90 |3/2 |2 |I 0 0 0 0 1 0 slcelcel—l Rey
Ở bảng 3 ta c6: A, <=0, Vk: pa đang xét tối ưu
Vay bài toán có patư là x*= (0, 0, 0, 21⁄4, 5, 9/2) và fm„= f(x*)= -27/2
Lita $:
Tất cả các pa có từ các bằng đơn hình đều là pạcb Pa có từ bằng đơn hình tối uu
(là bảng có Au<=0, Vk) là pacbi OBI:
Ta C6 A= 4>0 va A= 7> 0, trong dé Ag I6n nh&t nên cột chủ yéu IA Ay
Lay cét PA chia cét Ag ta được:
Trang 40CHƯƠNG I: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 31
Phần tử nằm ở vị trí dòng As, cột A¿ là phần tử chủ yếu z;¿= 2
ỞB2:
* Cột cơ sở: thay A¿ bởi As, các phần tử còn lại giữ nguyên
Cột Hệ số: thay c; bởi cạ, các phan tử còn lại giữ nguyên
* Ta biến đổi sao cho cột A¿ ở bằng 1 thành (0, 1, 0)”, ta sẽ được bằng 2
Ở bảng 2:
Ta chỉ có A¿= 4>0 nên cột chủ yếu là Aa Lấy cột PA chia cột A¿ ta được:
A= min {(21/2)/2, (9/2)/0 (bỏ), (31/2)/2}= 21/4 nên dòng chủ yếu là Ag
Phần tử nằm ở vị trí dòng A¿, cột Ax là phần tử chú yếu Zaa= 2
Ở B3:
* Cột cơ sở: thay A; bởi Aa, các phần tử còn lại giữ nguyên Cột Hệ số: thay c; bởi ca, các phân tử còn lại giữ nguyên
* Ta biến đổi sao cho cột A¿ ở bằng 2 thành (1, 0, 0)", ta sẽ được bảng 3 Ta biến đổi từ ma trận 1 (B1) sang ma trận 2 (B2) như sau: 1 21/2 -2 1 -1/2 2 9/2 1 0 1/2 > -3 31/2 7 O 3/2 7 15/2 -13 0 -7/2 15 -! 1] 9 2 0 2 4 0 39 -6 0 or Oo OG 2 0 2 4 oor & + © or Oo CO oo - &
Mục đích ta biến đổi sao cho cột 7 (ting vi As) có dang (0, 1, 0, 0)" - Lấy dòng 2 của ma trận 1 chia 2 ta được dong 2 cha ma tran 2
- Lấy đồng I của mt 1 — 1⁄2 dòng 2 cha mt 1 ta duge dong ? của mí 2 - Lấy đòng 3 của mt 1 + 3/2 dòng 2 của mt I ta được dong 3 của mt 2
- Lấy dong 4 cha mt 1 — 7/2 dong 2 của mt 1 ta được dòng 4 cha mt 2