1 HÀM SỐ ☯ ☯☯ ☯1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số I. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K: + Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu: 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) x x K x x f x f x ∀ ∈ < ⇒ < + Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu: 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) x x K x x f x f x ∀ ∈ < ⇒ > 2. Qui tắc xét tính đơn điệu a. Định lí Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K: + Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến + Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến b. Qui tắc B1: Tìm tập xác định của hàm số B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x i (i = 1, 2,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. B3: Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến. II. Các ví dụ Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số Ví dụ 1. Xét sự đồng biến và nghịc biến của hàm số: 3 2 2 4 2 1 1 . y = 2 2 b. y = -x 3 4 e. y = x( 3), (x > 0) 3 2 x - 1 c. y = x 2 3 . y = x +1 a x x x x x x d − − + + + − − + Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau: 2 3 4 2 3 2 2 2 . y = 3x 8 b. y = x 8 5 c. y = x 6 9 3- 2x x 2 3 . y = e. y = f. y = 25-x x + 7 1 a x x x x x d x − + + − + − + + Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định. Phương pháp + Dựa vào định lí. Ví dụ 3. Chứng minh hàm số 2 2 y x x = − nghịch biến trên đoạn [1; 2] Ví dụ 4 a. Chứng minh hàm số 2 9 y x = − đồng biến trên nửa khoảng [3; + ∞ ). b. Hàm số 4 y x x = + ngh ị c bi ế n trên m ỗ i n ử a kho ả ng [-2; 0) và (0;2] Ví d ụ 5. Ch ứ ng minh r ằ ng a. Hàm s ố 3 2 1 x y x − = + ngh ị ch bi ế n trên m ỗ i kho ả ng xác đị nh c ủ a nó. b. Hàm s ố 2 2 3 2 1 x x y x + = + đồ ng bi ế n trên m ỗ i kho ả ng xác đị nh c ủ a nó. c. Hàm s ố 2 8 y x x = − + + ngh ị ch bi ế n trên R. Dạng 2. Tìm giá tr ị c ủ a tham s ố để m ộ t hàm s ố cho tr ướ c đồ ng bi ế n, ngh ị ch bi ế n trên kho ả ng xác đị nh cho tr ướ c Ph ươ ng pháp: + S ử d ụ ng qui t ắ c xét tính đơ n đ iêu c ủ a hàm s ố . 2 + S ử d ụ ng đị nh lí d ấ u c ủ a tam th ứ c b ậ c hai Ví d ụ 6. Tìm giá tr ị c ủ a tham s ố a để hàm s ố 3 2 1 ( ) ax 4 3 3 f x x x = + + + đồ ng bi ế n trên R. Ví d ụ 7. Tìm m để hàm s ố 2 2 5 6 ( ) 3 x x m f x x + + + = + đồ ng bi ế n trên kho ả ng (1; ) +∞ Ví d ụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số: 2 1 m y x x = + + − đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. Ví dụ 9 Xác định m để hàm số 3 2 ( 1) ( 3) 3 x y m x m x = − + − + + đồng biến trên khoảng (0; 3) Ví dụ 10 Cho hàm số 4 mx y x m + = + a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định b. Tìm m để hàm số tăng trên (2; ) +∞ c. Tìm m để hàm số giảm trên ( ;1) −∞ Ví dụ 11 Cho hàm số 3 2 3(2 1) (12 5) 2 y x m x m x = − + + + + . Tìm m để hàm số: a. Liên tục trên R b. Tăng trên khoảng (2; ) +∞ Ví dụ 12 (ĐH KTQD 1997) Cho hàm số 3 2 2 ax (2 7 7) 2( 1)(2 3) y x a a x a a = − − − + + − − đồng biến trên [2:+ ) ∞ Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT Phương pháp Sử dụng các kiến thức sau: + Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn. + f ( x) đồng biến trên [a; b] thì ( ) ( ) () f a f x f ≤ ≤ + f(x) nghịch biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ( ) f a f x f b ≥ ≥ Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2 2 3 1 1 . tanx > sinx, 0< x < b. 1 + 1 1 , 0 < x < + 2 2 8 2 x x . cosx > 1 - , 0 d. sinx > x - , x > 0 2 6 x a x x x c x π − < + < + ∞ ≠ Ví dụ 2. Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x a. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; 2 π b. Ch ứ ng minh r ằ ng 2sin tan 3 , (0; ) 2 x x x x π + > ∀ ∈ Ví d ụ 3 Cho hàm s ố ( ) t anx - x f x = a.Ch ứ ng minh hàm s ố đồ ng bi ế n trên n ử a kho ả ng 0; 2 π b. Ch ứ ng minh 3 tan , (0; ) 3 2 x x x x π > + ∀ ∈ Ví d ụ 3 Cho hàm s ố 4 ( ) t anx, x [0; ] 4 f x x π π = − ∈ 3 a. Xét chi ề u bi ế n thiên c ủ a hàm s ố trên [0; ] 4 π b. Ch ứ ng minh r ằ ng 4 tan , [0; ] 4 x x x π π ≤ ∀ ∈ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1 . Tìm c ự c tr ị c ủ a hàm s ố Ph ươ ng pháp: D ự a vào 2 qui t ắ c để tìm c ự c tr ị c ủ a hàm s ố y = f(x) Qui t ắ c I. B1: Tìm t ậ p xác đị nh. B2: Tính f’(x). Tìm các đ i ể m t ạ i đ ó f’(x) = 0 ho ặ c f’(x) không xác đị nh. B3. L ậ p b ả ng bi ế n thiên. B4: T ừ b ả ng bi ế n thiên suy ra các c ự c tr ị Qui t ắ c II. B1: Tìm t ậ p xác đị nh. B2: Tính f’(x). Gi ả i ph ươ ng trình f’(x) = 0 và kí hi ệ u là x i là các nghi ệ m c ủ a nó. B3: Tính f ”(x i ) B4: D ự a vào d ấ u c ủ a f ” (x i ) suy ra c ự c tr ị ( f ”(x i ) > 0 thì hàm s ố có c ự c ti ể u t ạ i x i ; ( f ”(x i ) < 0 thì hàm s ố có c ự c đạ i t ạ i x i ) * Chú ý: Qui t ắ c 2 th ườ ng dùng v ớ i hàm s ố l ượ ng giác ho ặ c vi ệ c gi ả i ph ươ ng trình f’(x) = 0 ph ứ c t ạ p. Ví d ụ 1. Tìm c ự c tr ị c ủ a hàm s ố 3 2 2 3 36 10 y x x x = + − − Qui t ắ c I. TX Đ : R 2 2 ' 6 6 36 ' 0 6 6 36 0 2 3 y x x y x x x x = + − = ⇔ + − = = ⇔ = − + ∞ ∞∞ ∞ - ∞ ∞∞ ∞ - 54 71 + + - 0 0 2 -3 + ∞ ∞∞ ∞ - ∞ ∞∞ ∞ y y' x V ậ y x = -3 là đ i ể m c ự c đạ i và y cđ =71 x= 2 là đ i ể m c ự c ti ể u và y ct = - 54 Qui t ắ c II TX Đ : R 2 2 ' 6 6 36 ' 0 6 6 36 0 2 3 y x x y x x x x = + − = ⇔ + − = = ⇔ = − y”= 12x + 6 y’’(2) = 30 > 0 nên hàm s ố đạ t c ự c ti ể u t ạ i x = 2 và y ct = - 54 y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm s ố đạ t c ự c đạ i t ạ i x = -3 và y cđ =71 Bài1. Tìm c ự c tr ị c ủ a các hàm s ố sau: 2 3 4 3 3 2 4 2 3 2 . y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432 . y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4 e. y = -5x + 3x - 4x + 5 a x x c x x − − + − − + 3 f. y = - x - 5x Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: 2 2 2 2 2 2 x+1 x 5 (x - 4) . y = b. y = c. y = x 8 1 2 5 9 x 3 3 x . y = x - 3 + e. y = f. y = x - 2 1 x 4 x a x x x x d x + − + + − + − + − + Bài 3. Tìm c ực trị các hàm số 4 2 2 2 3 2 2 x+1 5 - 3x . y = x 4 - x b. y = c. y = x 1 1 - x x x . y = e. y = f. y = x 3 - x 10 - x 6 a d x + − Bài 4. Tìm cực trị các hàm số: . y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx 1 d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f. 2 a c π ∈ y = 2sinx + cos2x víi x [0; ] Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a B1: Tính y’ = f’(x) B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm được m B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì f’(a) = 0 không kể CĐ hay CT) Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x 3 – 3mx 2 + ( m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2 LG 2 ' 3 6 1 y x mx m = − + − . Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0 2 3.(2) 6 .2 1 0 1 m m m ⇔ − + − = ⇔ = Với m = 1 ta được hàm số: y = x 3 – 3x 2 + 2 có : 2 0 ' 3 6 ' 0 2 x y x x y x = = − ⇒ = ⇔ = tại x = 2 hàm số đạt giá trị cực tiểu Vậy m = 1 là giá trị cần tìm Bài 1. Xác định m để hàm số 3 2 3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 y mx x x= + + + Bài 2. Tìm m để hàm số 3 2 2 ă r˜ ă ( ) 5 c cùc t t¹i x = 1. Khi ® hµm sè că C§ hay CT 3 y x mx m x = − + − + Bài 3. Tìm m để hàm số 2 1 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 x mx y x m + + = + Bài 4. Tìm m để hàm số 3 2 2 2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1 y x mx m x = − + − Bài 5. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: 3 2 ( ) ax f x x bx c = + + + đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 Bài 6. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số ( ) 1 q f x xp x = + + đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2 Hướng dẫn: 2 '( ) 1 , x -1 ( 1) q f x x = − ∀ ≠ + + Nếu 0 th× f'(x) > 0 víi x -1. Do ®ă hµm sè lu Ơ ă r˜ «n ®ång bi n . Hµm sè kh«ng c cùc t . q ≤ ∀ ≠ + Nếu q > 0 thì: 2 2 1 2 1 '( ) 0 ( 1) 1 x q x x q f x x x q = − − + + − = = ⇔ + = − + Lập bảng biến thiên để xem hàm đạt cực tại tại giá trị x nào. Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Bài toán: ‘Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào đó.’ Phương pháp B1: Tìm m để hàm số có cực trị. B2: Vận dụng các kiến thức khác Chú ý: • Hàm số 3 2 ax ( 0) y bx cx d a = + + + ≠ có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân bi ệt. 5 • Cực trị của hàm phân thức ( ) ( ) p x y Q x = . Giả sử x 0 là điểm cực trị của y, thì giá trị của y(x 0 ) có thể được tính bằng hai cách: hoặc 0 0 0 0 0 0 ( ) '( ) ( ) hoÆc y(x ) ( ) '( ) P x P x y x Q x Q x = = Ví dụ . Xác định m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu 2 3 2 1 x 2 4 . y = ( 6) 1 . y = 3 2 mx m a x mx m x b x + − − + + + − + Hướng dẫn. a. TXĐ: R 2 ' 2 6 y x mx m = + + + . Để hàm số có cực trị thì phương trình: 2 2 6 0 că 2 nghiÖm ph©n biÖt x mx m+ + + = 2 3 ' 6 0 2 m m m m > ∆ = − − > ⇔ < − b. TXĐ: { } \ 2 − 2 2 2 2 2 (2 )( 2) ( 2 4) 4 4 4 ' ( 2) ( 2) µm sè că cùc ®¹i, cùc tiÓu khi ' 0 ă hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -2 4 4 4 0 ' 0 4 4 4 0 0 4 8 4 4 0 0 x m x x mx m x x m y x x H y c x x m m m m m + + − + − − + + + = = + + = ⇔ + + + = ∆ > − − > ⇔ ⇔ ⇔ < − + + ≠ ≠ Bài 1. Tìm m để hàm số 3 2 r˜ ă 3 2. Víi gi¸ t nµo cña m th× hµm sè c C§, CT? y x mx= − + Bài 2. Tìm m để hàm sô 2 3 ( 1) 1 x m m x m y x m − + + + = − luôn có cực đại và cực tiểu. Bài 3. Cho hàm số 3 2 2 12 13 y x x = + − − . Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ thị cách đều trục tung. Bài 4. Hàm số 3 2 2( 1) 4 1 3 m y x m x mx = − + + − . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu. Bài 5. Cho hàm 2 1 x mx y x + = − . Tìm m để hàm số có cực trị Bài 6. Cho hàm số 2 2 4 2 x mx m y x + − − = + . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Dạng 4. Tìm tham số để các cực trị thoả mãn tính chất cho trước. Phương pháp + Tìm điều kiện để hàm số có cực trị + Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet để thoả mãn tính chất. Ví dụ . 6 Bài1. Tìm c ực trị của các hàm số sau: 2 3 4 3 3 2 4 2 3 2 . y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432 . y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4 e. y = -5x + 3x - 4x + 5 a x x c x x − − + − − + 3 f. y = - x - 5x Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: 2 2 2 2 2 2 x+1 x 5 (x - 4) . y = b. y = c. y = x 8 1 2 5 9 x 3 3 x . y = x - 3 + e. y = f. y = x - 2 1 x 4 x a x x x x d x + − + + − + − + − + Bài 3. Tìm cực trị các hàm số 2 2 2 3 2 2 x+1 5 - 3x . y = x 4 - x b. y = c. y = x 1 1 - x x x . y = e. y = f. y = x 3 - x 10 - x 6 a d x + − Bài 4. Tìm cực trị các hàm số: . y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx 1 d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f. 2 a c π ∈ y = 2sinx + cos2x víi x [0; ] Bài 5. Xác định m để hàm số 3 2 3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 y mx x x= + + + Bài 6. Tìm m để hàm số 3 2 2 ă r˜ ă ( ) 5 c cùc t t¹i x = 1. Khi ® hµm sè că C§ hay CT 3 y x mx m x= − + − + Bài 7. Tìm m để hàm số 2 1 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 x mx y x m + + = + Bài 8. Tìm m để hàm số 3 2 2 2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1 y x mx m x= − + − Bài 9. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: 3 2 ( ) ax f x x bx c = + + + đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 Bài 10. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số ( ) 1 q f x xp x = + + đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2 Bài 11. Tìm m để hàm số 3 2 r˜ ă 3 2. Víi gi¸ t nµo cña m th× hµm sè c C§, CT? y x mx= − + Bài 12. Tìm m để hàm sô 2 3 ( 1) 1 x m m x m y x m − + + + = − luôn có cực đại và cực tiểu. Bài 13. Cho hàm số 3 2 2 12 13 y x x = + − − . Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ thị cách đều trục tung. Bài 14. Hàm số 3 2 2( 1) 4 1 3 m y x m x mx = − + + − . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu. Bài 15. Cho hàm 2 1 x mx y x + = − . Tìm m để hàm số có cực trị Bài 16. Cho hàm số 2 2 4 2 x mx m y x + − − = + . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ DẠNG 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 7 • Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên ( ) ; a b : +B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x) + B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên Trong đó tại x 0 thì f’(x 0 ) bằng 0 hoặc khơng xác định • Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]: B1: Tìm các giá trò x i [ ] ; a b ∈ (i = 1, 2, , n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đònh . B2: Tính 1 2 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b B3: GTLN = max{ 1 2 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b } GTNN = Min{ 1 2 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b } Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 1 y x x = + trên khoảng (0; ) +∞ Hướng dẫn: Dễ thầy h àm số liên tục trên (0; ) +∞ 2 2 2 2 1 1 ' 1 ' 0 1 0 1 x y y x x x x − = − = ⇒ = ⇔ − = ⇒ = ± . Dễ thấy 1 (0; ) x = − ∉ +∞ Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số khơng có giá trị lớn nhất. Ví dụ 2. Tính GTLN, GTNN của hàm số 3 2 2 3 4 3 x y x x = + + − trên đoạn [-4; 0] Hướng dẫn Hàm số liên tục trên [-4; 0], 2 2 [-4;0] [-4;0] 1 '( ) 4 3 '( ) 0 4 3 0 3 16 16 ( 4) , ( 3) 4, ( 1) , (0) 4 3 3 Ëy Max 4 x = -3 hc x = 0 16 Min khi x = -4 hc x = -1 3 x x x f x x x f x x x x f f f f V y khi y ∈ ∈ = − = + + ⇒ = ⇔ + + = ⇒ = − − − − = − = − − = = − = − − = Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có): 3 2 3 4 2 3 2 . f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4] b. f(x) = x 5 4 trªn ®o¹n [-3; 1] c. f(x) = x 8 16 trªn ®o¹n [-1; 3] d. f(x) = x 3 9 7 trªn ®o¹n [-4; 3] a x x x x x x + − + + − − + + − − Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có): 2 x 1 . f(x) = trªn nưa kho¶ng (-2; 4] b. f(x) = x +2 + trªn kho¶ng (1; + ) x + 2 x- 1 c. f(x) = x 1 - x d. f(x) a ∞ 1 3 = trªn kho¶ng ( ; ) cosx 2 2 π π TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ I. Kiến thức cần nắm Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) • y = y 0 là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau được thoả mãn: 0 0 lim ( ) ,hc lim ( ) x x f x y f x y →+∞ →−∞ = = GTLN - + y y' b x 0a x GTNN + - y y' b x 0 a x + ∞ ∞∞ ∞ + ∞ ∞∞ ∞ 0 2 + - y y' + ∞ ∞∞ ∞ 1 0 x 8 • x = x 0 là tiệm cận đứng của (C) nếu một trong các điều kiện sau đựơc thoả mãn: 0 0 0 0 lim , lim , lim , lim x x x x x x x x + − + − → → → → = +∞ = +∞ = −∞ = −∞ • Đường thẳng y = ax + b ( 0 a ≠ ) được gọi là tiệm cận xiên nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn: lim [ ( ) (ax + b)] = 0 hoÆc lim [ ( ) (ax+b)]=0 x x f x f x →+∞ →−∞ − − II. Các dạng toán Dạng 1: Tiệm cận hàm số hữu tỉ ( ) ( ) P x y Q x = Phương pháp • Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu không phải là nghiệm của tử cho phép xác định tiệm cận đứng. • Tiệm cận ngang, xiên: + Det(P(x)) < Det (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0 + Det(P(x)) = Det(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu. + Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên được xác định bằng cách phân tích hàm số thành dạng: f(x) = ax + b + ( ) x ε với lim ( ) 0 x x ε →∞ = thì y = ax + b là tiệm cận xiên. Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của các hàm số: 2 2 2x- 1 x 7 x + 2 . y = b. y = c. y = x + 2 3 x 1 x a x − − − − Hướng dẫn a. Ta thấy 2 2 2 1 2 1 lim ; lim 2 2 x x x x x x − + →− →− − − = −∞ = +∞ + + nên đường thẳng x= 2 là tiệm cận đứng. Vì 1 2 2 1 lim lim 2 2 2 1 x x x x x x →±∞ →±∞ − − = = + + nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. b. + 2 3 7 lim 3 x x x x − → − − = −∞ − . Nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. + 1 2 3 y x x = + − − . Ta thấy 1 lim[y - (x + 2)]= lim 0 3 x x x →∞ →∞ − = − Vậy y = x+ 2 là tiệm cân xiên của đồ thị hàm số. c. Ta thấy 2 1 2 lim . 1 x x x + → + = = +∞ − Nên x = 1 là đường tiệm cận đứng. + 2 1 2 lim 1 x x x − →− + = +∞ − . Nên x = -1 là tiệm cận đứng. + 2 2 2 1 2 2 lim 0 1 1 1 x x x x x x →+∞ + + = = − − . Nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Dạng 2. Tiệm cận của hàm vô tỉ 2 ax ( 0) y bx c a = + + > Phương pháp Ta phân tích 2 ax ( ) 2 b bx c a x x a ε + + ≈ + + Với lim ( ) 0 x x ε →+∞ = khi đó ( ) 2 b y a x a = + có tiệm cận xiên bên phải V ới lim ( ) 0 x x ε →−∞ = khi đó ( ) 2 b y a x a = − + có tiệm cận xiên bên tr ái VÝ dô 9 T×m tiÖm cËn cña hµm sè: 2 9 18 20 y x x = − + H−íng dÉn 2 9( 2) 6 y x = − + 10 Các tính giới hạn vô cực của hàm số ( ) ( ) f x y g x = lim ( ) 0 f x x x lim ( ) 0 g x x x Dấu của g(x) ( ) lim ( ) 0 f x x x g x L Tuỳ ý 0 L > 0 0 + + - - L < 0 0 - + + - Bài 1. Tìm tiệm cận các hàm số sau: 2x - 1 3 - 2x 5 -4 . y = b. y = c. y = d. y = x + 2 3x + 1 2 - 3x x + 1 x+ 1 1 e. y = f. y = 4 + 2x + 1 x- 2 a -x + 3 4 - x g. y = h. y = x 3x + 1 Bài 2. Tìm tiệm cận của các hàm số sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 x 12 27 x 2 x 3 2- x . y = b. y = c. y = d. y = 4 5 ( 1) 4 x 4 3 1 x 2 . y = 2x -1 + f. y = x 3 x x x a x x x x x x e x + + + + + 3 2 2 2 1 2x g. y = x- 3 + h. y = 2(x- 1) 1 x x + Bài 3. Tìm tiệm cận các hàm số 2 2 x . y = 1 x+ 3 b. y = x+ 1 1 . 4 x a x x c y x + + = Bài 4. Xác định m để đồ thị hàm số: 2 2 3 2( 2) 1 x y x m x m = + + + + có đúng 2 tiệm cận đứng. Bài 5. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục toạ độ của các hàm số: 2 2 3x 1 -3x 4 . y = b. y = 1 2 x x a x x + + + + Bài 6.(ĐHSP 2000). Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 2 2( 1) 4 3 2 x m x m y x + + = tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8 (đvdt) Bài 7. Cho hàm số: 2 (3 2) 3 3 1 x x m m y x + + = (1) a. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị đi qua điểm (4; 3) A b. Tìm m để đờng tiệm cận xiên của (1) cắt Parabol 2 y x = tại hai điểm phân biệt. 2 -2 -4 -5 5 2 -2 -4 -5 5 2 -2 -4 -5 5 [...]... nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều không đi qua M0 • Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi qua M0 Trong trường hợp này ta nói rằng M0 là điểm cố đònh của họ đường cong (C m ) D¹ng 1: TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG BÀI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho họ đường cong (C m ) : y = f ( x, m) ( m là tham số ) PHƯƠNG PHÁP GIẢI Tìm điểm cố đònh của họ đường cong (Cm) Bước... m là tham số ) Biện luận theo m số đường cong của họ (C m ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y 0 ) cho trước PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Ta có : Họ đường cong (C m ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y 0 ) ⇔ y 0 = f ( x 0 , m) (1) Xem (1) là phương trình theo ẩn m Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ (Cm) đi qua M0 Cụ thể: • Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm)... Kh¶o s¸t sù biÕn thi n v vÏ ®å thÞ cđa h m sè 11 b BiƯm ln theo m sè nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh 2 x 3 + 3 x 2 − 1 = m B i 2 (TN THPT- lÇn 2 – 2008) Cho h m sè y = x3 - 3x2 a Kh¶o s¸t sù biÕn thi n v vÏ ®å thÞ h m sè ® cho b T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ph−¬ng tr×nh x 3 − 3 x 2 − m = 0 cã 3 nghiƯm ph©n biƯt Bài 3 (TNTHPT - 2007) th là (C) Cho hàm s y= x3 − 3 x + 2 có a/ Kh o sát và v th hàm s b/ Vi t phương... sát và v th hàm s b/ Vi t phương trình ti p tuy n t i i m A(2 ;4) Bài 4 (TNTHPT - 2006) Cho hàm s y= − x3 + 3 x 2 có th (C) a/ Kh o sát và v th hàm s b/ D a vào th bi n lu n s nghi m phương trình : − x3 + 3 x 2 -m=0 Bài 5 (TNTHPT – 2004- PB) Cho hàm s y= x3 − 6 x 2 + 9 x có th là (C) a/ Kh o sát và v th hàm s b/ Vi t phương trình ti p tuy n t i i m cã ho nh ®é l nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh y’’=0 ... + 1 + 2 x2 − 3 −1 x + 1 + 2x2 + 2) ( ) x 2 − 4 x + 5 − x 2 − 10 x + 50 = 5 3 +1 x +1 = 3 IV PHƯƠNG PHÁP HÀM S 1.Xây d ng phương trình vơ t d a theo hàm ơn i u D a vào k t qu : “ N u y = f ( t ) là hàm ơn i u thì f ( x ) = f ( t ) ⇔ x = t ” ta có th xây d ng ư c nh ng phương trình vơ t Xu t phát t hàm ơn i u : y = f ( x ) = 2 x3 + x 2 + 1 m i x ≥ 0 ta xây d ng phương trình : 30 f ( x) = f ( ) 3x − 1... s¸t sù biÕn thi n v vÏ ®å thÞ (C) cđa h m sè b BiƯn ln theo k sè giao ®iĨm cđa (C) víi ®å thÞ (P) cđa h m sè y = k − 2 x 2 B i7 Cho h m sè y = x 4 − 2 mx 2 + m 3 − m 2 a Kh¶o s¸t sù biÕn thi n v vÏ ®å thÞ cđa h m sè khi m = 1 b X¸c ®Þnh m ®Ĩ ®å thÞ (Cm ) cđa h m sè ® cho tiÕp xóc víi trơc ho nh t¹i 2 ®iĨm B i 8 (§H CÇn th¬ - 2002) Cho h m sè y = x 4 − 2 x 2 + 2 − m (Cm) a Kh¶o s¸t sù biÕn thi n v vÏ... D¹ng 1: Kh¶o s¸t v vÏ h m sè y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) Ph−¬ng ph¸p 1 T×m tËp x¸c ®Þnh 2 XÐt sù biÕn thi n cđa h m sè a T×m c¸c giíi h¹n t¹i v« cùc v c¸c giíi h¹n t¹i v« cùc (nÕu cã) T×m c¸c ®−êng tiƯm cËn b LËp b¶ng biÕn thi n cđa h m sè, bao gåm: + T×m ®¹o h m, xÐt dÊu ®¹o h m, xÐt chiỊu biÕn thi n v t×m cùc trÞ + §iỊn c¸c kÕt qu¶ v o b¶ng 3 VÏ ®å thÞ cđa h m sè + VÏ ®−êng tiƯm cËn nÕu cã + X¸c... a Kh¶o s¸t sù biÕn thi n v vÏ ®å thÞ cđa h m sè b T theo gi¸ trÞ cđa m, biƯn ln sè nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh: − x 3 + 3 x 2 − 1 = m H−íng dÉn a 1 TX§: D = 2 Sù biÕn thi n cđa h m sè a Giíi h¹n t¹i v« cùc 3 1 lim (− x 3 + 3 x − 1) = lim x 3 (1 + 2 − 3 ) = +∞ x →+∞ x →+∞ x x -∞ 0 ∞ x 2 3 1 lim (− x 3 + 3 x − 1) = lim x 3 (1 + 2 − 3 ) = −∞ + 0 y' 0 x →−∞ x →−∞ x x +∞ ∞ 3 c B¶ng biÕn thi n y x = 0 y ' =... ng y=x+m2-m i qua trung i m c a o n th ng n i c c c c ti u Bài 6 (TNTHPT – 2004 - KPB) Cho hàm s y= x3 − 3mx 2 + 4m3 a/ Kh o sát và v th hàm s khi m=1 b/ Vi t phương trình ti p tuy n t i i m có hồnh x=1 i vào B i 7 (§H- A- 2002) Cho h m sè y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2 a Kh¶o s¸t sù biÕn thi n v vÏ ®å thÞ h m sè víi m= 1 b T×m k ®Ĩ ph−¬ng tr×nh: − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 cã... ư c: 2 3 x − 1 = y 2 ( x + 1) + ( x + 1) = 2 y 3 + y 2 3 2 Hãy xây d ng nh ng hàm ơn i u và nh ng bài tốn vơ t theo d ng trên ? ) ( ( ) Bài 1 Gi i phương trình : ( 2 x + 1) 2 + 4 x 2 + 4 x + 4 + 3x 2 + 9 x 2 + 3 = 0 Gi i: ( ⇔ ( 2 x + 1) 2 + Xét hàm s ( 2 x + 1) ( 2 ) ( + 3 = ( −3x ) 2 + ) f ( t ) = t 2 + t 2 + 3 , là hàm ( −3x ) 2 ) + 3 ⇔ f ( 2 x + 1) = f ( −3x ) ng bi n trên R, ta có x = − 1 5 Bài . 1 HÀM SỐ ☯ ☯☯ ☯1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số I. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K: + Hàm số y = f(x) được. giá trị nhỏ nhất của hàm số 7 • Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên ( ) ; a b : +B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x) + B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thi n . Cho hàm số 4 2 9 2 4 4 x y x = a. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số b. Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số 2 2 y k x = Bài 7 Cho hàm số 4