Khóa luận đại học An Giang 2015: Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố

Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua CHƯƠNG MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lí thuyết Galois là một trong những lí thuyết nổi tiếng trong lịch sử toán học. Nó đã được đưa vào giảng dạy trong các chương trình đào tạo của Khoa Toán các trường Đại học và Cao đẳng, đặc biệt là Khoa Toán các Trường Sư Phạm. Đã có một số tài liệu nhắc tới chủ đề này tuy nhiên nó chưa trình bày một cách rõ ràng và hệ thống các kiến thức về Lí thuyết Galois của mở rộng bậc nguyên tố. Với mong muốn cung cấp cho các bạn sinh viên ngành sư phạm Toán có cái nhìn tổng quát, cũng như hiểu sâu hơn các kiến thức về Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố. Tôi đã chọn đề tài “Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố”. Cấu trúc đề tài gồm có 3 chương Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương 2. Mở rộng bậc nguyên tố Chương 3. Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đề tài nghiên cứu các vấn đề sau - Mở rộng bậc nguyên tố - Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Làm rõ một số vấn đề liên quan đến mở rộng bậc nguyên tố và nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố - Tìm hiểu một số ví dụ IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Hệ thống các kiến thức về rộng bậc nguyên tố và nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố. V. PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đề tài nghiên cứu xoay quanh vấn đề nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố. VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng một số phương pháp sau - Phương pháp nghiên cứu lý luận Lê Thị Kim Luông – DH10A 1 Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua - Phương pháp phân tích và tổng hợp - Phương pháp nghiên cứu sách và tài liệu Đọc sách và tài liệu là một trong những phương pháp không thể thiếu trong việc nghiên cứu, nó được chọn ngay từ khâu chọn đề tài, xây dựng đề cương nghiên cứu và trong suốt quá trình nghiên cứu. Phương pháp đọc sách và tài liệu giúp tôi tìm hiểu, nắm bắt những gì có liên quan đến đề tài nghiên cứu, xác định được cái mới của đề tài nghiên cứu. - Phương pháp trò chuyện và lấy ý kiến chuyên gia Để có được bài nghiên cứu này tôi đã nhận được sự giúp đỡ từ thầy hướng dẫn, đối với người nghiên cứu lần đầu tiên như tôi thì việc nhận được sự chỉ bảo từ người có kinh nghiệm là rất quan trọng trong quá trình nghiên cứu đề tài. Lê Thị Kim Luông – DH10A 2 Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian véctơ 1.1.1. Định nghĩa. Một tập hợp khác rỗng V cùng với hai phép toán cộng và nhân với vô hướng ( ) ( ) . , V V V uv u v K V V v va a ´ ® + ´ ® a a được gọi là một không gian véctơ trên trường K nếu các điều kiện sau được thỏa mãn với mọi , , , , .u v w V Ka bÎ Î (i) .u v v u+ = + (ii) ( ) ( ) .u v w u v w+ + = + + (iii) Tồn tại phần tử 0 VÎ sao cho 0 .u u+ = (iv) Với mọi ,v VÎ tồn tại v V- Î sao cho ( ) 0.v v+ = (v) ( ) .u v u va a a+ = + (vi) ( ) ( ) .v vab a b= (vii) ( ) .v v va b a b+ = + (viii) 1 .v v= Các điều kiện từ (i) đến (viii) được gọi là hệ tiên đề của không gian véctơ . 1.1.2. Định nghĩa. Cho { } 1 2 , , , n S v v v= là tập con của không gian véctơ V trên trường .K (i) Biểu thức 1 1 2 2 n n a v a v a v+ + +L với , i a KÎ được gọi là một tổ hợp tuyến tính của .S (ii) S được gọi là tập sinh nếu mọi v VÎ đều là một tổ hợp tuyến tính của ,S nghĩa là tồn tại 1 2 , , , n a a a KÎ sao cho 1 1 2 2 . n n v a v a v a v= + + +L (iii) S được gọi là tập độc lập tuyến tính nếu 1 1 2 2 1 2 0 0 n n n a v a v a v a a a+ + + = Þ = = = =L L Lê Thị Kim Luông – DH10A 3 Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua 1.1.3. Định lý. Cho V là không gian véctơ trên .K Tập con { } 1 2 , , , n S v v v= của V được gọi là một cơ sở của V nếu S là tập sinh và S là tập độc lập tuyến tính. Số phần tử của một cơ sở của V được gọi là số chiều của V và được kí hiệu là dim . K V 1.2. Nhóm và nhóm con 1.2.1. Định nghĩa. Một tập hợp khác rỗng G cùng với phép toán hai ngôi G G G´ ® cho bởi ( ) ,a b aba được gọi là nhóm nếu các điều kiện sau được thỏa mãn (i) ( ) ( ) ab c a bc= với mọi , , .a b c GÎ (ii) Có phần tử e GÎ sao cho ae a ea= = với mọi .a GÎ (iii) Với mọi ,a GÎ tồn tại 1 a G - Î sao cho 1 1 .aa e a a - - = = Phần tử e được gọi là đơn vị của ,G phần tử 1 a - được gọi là phần tử nghịch đảo của .a Phần tử đơn vị e và phần tử nghịch đảo 1 a - của a là duy nhất. Số phần tử của G được gọi là cấp của G và kí hiệu là .G 1.2.2. Định nghĩa. Tập con H của G được gọi là nhóm con của nhóm G nếu H là một nhóm đối với phép toán của .G 1.2.3. Định lý. Cho G là nhóm và H là tập con của .G Khi đó H là nhóm con của G nếu các điều kiện sau được thỏa mãn (i) .e HÎ (ii) ab HÎ với mọi , .a b HÎ (iii) 1 a H - Î với mọi .a HÎ 1.2.4. Định lý. Cho G là nhóm và .a GÎ Khi đó { } | n a a n= Î ¢ là một nhóm con của .G Nhóm con a được gọi là nhóm con cyclic của .G 1.2.5. Định nghĩa. Nhóm G được gọi là nhóm cyclic nếu tồn tại phần tử a GÎ sao cho .a G= 1.2.6. Định lý. Mọi nhóm cấp nguyên tố p đều là nhóm cyclic và đẳng cấu với nhóm . p ¢ Lê Thị Kim Luông – DH10A 4 Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua 1.2.7. Định nghĩa. Cho G là nhóm và .a GÎ Số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n a e= được gọi là cấp của phần tử a và kí hiệu là .a n= 1.3. Vành và trường 1.3.1. Định nghĩa. Một tập khác rỗng A cùng với phép toán cộng và phép toán nhân được gọi là vành nếu các điều kiện sau được thỏa mãn. (i) ( ) ( ) a b c a b c+ + = + + với mọi , , .a b c AÎ (ii) Có phần tử 0 AÎ sao cho 0 0 .a a a+ = = + (iii) Với mọi ,a AÎ có phần tử a A- Î sao cho ( ) ( ) 0 .a a a a+ - = = - + (iv) ( ) ( ) ab c a bc= với mọi , , .a b c AÎ (v) ( ) ( ) ;a b c ab ac a b c ac bc+ = + + = + với mọi , , .a b c AÎ Nếu vành A có tính chất ab ba= thì A được gọi là vành giao hoán. Nếu vành A có phần tử 1 sao cho 1 1a a a= = với mọi a AÎ thì A được gọi là vành có đơn vị 1. Vành A vừa giao hoán vừa có đơn vị 1 thì A được gọi là vành giao hoán có đơn vị 1. 1.3.2. Định nghĩa. Vành F giao hoán có đơn vị được gọi là trường nếu mọi phần tử khác 0 của F đều khả nghịch, nghĩa là với mọi { } \ 0u FÎ đều tồn tại 1 u F - Î sao cho 1 1.uu - = 1.3.3. Định nghĩa. Cho F là trường và K là tập con của .F Ta nói rằng K là trường con của F nếu K là trường với các phép toán trên F và đơn vị của K cũng là đơn vị của .F 1.3.4. Định lý. Cho F là trường và K là tập con của .F Khi đó K là trường con của F nếu các điều kiện sau được thỏa mãn (i) a b K- Î với mọi , .a b KÎ (ii) ab KÎ với mọi , .a b KÎ (iii) với mọi a khác 0 thuộc ,K 1 .a K - Î 1.3.5. Định nghĩa. Cho K và E là các trường (vành). Một ánh xạ : K Es ® được gọi là một đồng cấu trường (vành) nếu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b ab a b s s s s s s + = + = với mọi , .a b KÎ Lê Thị Kim Luông – DH10A 5 Nhúm Galois ca m rng bc nguyờn t GVHD. Lờ Vn Chua ng cu : K Es đ c gi l n cu (ton cu, ng cu) nu s l n ỏnh (ton ỏnh, song ỏnh). Nu K E= thỡ ng cu s c gi l mt t ng cu ca .K Nu : K Ks đ l ng cu thỡ s c gi l mt t ng cu ca .K 1.3.6. nh ngha. Cho K l trng. S nguyờn dng n c gi l c s ca trng K nu n l cp ca phn t n v 1 trong ,K ngha l n l s nguyờn dng nh nht sao cho .1 0.n = Nu trng K khụng cú s nguyờn dng n no tha món .1 0n = thỡ ta núi rng trng K cú c s bng 0. Vớ d 1.3.1. Trng , ,Ô Ă Ê l cỏc trng cú c s bng 0. Vi p l s nguyờn t, trng p  l trng cú c s .p 1.4. Vnh a thc mt n 1.4.1. nh ngha. Cho K l trng. Mt a thc ( )f x trờn K l mt biu thc cú dng 2 0 1 2 ( ) , n n f x a a x a x a x= + + + +L trong ú 0 1 , , , . n a a a Kẻ Kớ hiu K x ộự ờỳ ởỷ l tt c cỏc a thc trờn .K Ta nh ngha phộp cng v nhõn cỏc a thc nh sau ( ) 1 1 0 0 0 1 1 2 2 2 2 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n i i i i m n k k i k k k k k i k i k k k k k k i f x g x a b x f x g x ab x c ab a b ab a b a b a b a b = + - = = - - - - - = + = + ổ ử ữ ỗ ữ = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ = = + + + + + + ồ ồ ồ ồ L trong ú 0 0 ( ) , ( ) . n m i i i i i i f x ax g x bx K x = = ộự = = ẻ ờỳ ởỷ ồ ồ Vi hai phộp toỏn ny, ta cú K x ộự ờỳ ởỷ l mt vnh v gi l vnh a thc mt n 1.4.2. nh ngha. Cho 2 0 1 2 ( ) n n f x a a x a x a x= + + + +L l mt a thc trờn trng .K Cỏc phn t 0 1 , , , n a a a Kẻ c gi l cỏc h s ca 0 ( ),f x a gi l h s t do, n a gi l h s cao nht ca ( ).f x Nu h s n a khỏc 0 thỡ n c gi l bc ca a thc ( )f x v c kớ hiu l deg ( ).f x 1.4.3. nh lý. Cho K l trng v ( ), ( ) , ( ) 0.f x g x K x g x ộự ẻ ạ ờỳ ởỷ Khi ú tn ti duy nht cỏc a thc ( ), ( )q x r x K x ộ ự ẻ ờ ỳ ở ỷ sao cho ( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + vi ( ) 0r x = hoc deg ( ) deg ( ).r x g x< Lờ Th Kim Luụng DH10A 6 Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua 1.4.4. Định nghĩa. Cho K là trường và ( ), ( )f x g x K x éù Î êú ëû với ( )f x khác 0. Ta nói rằng ( )f x là ước của ( )g x hay ( )g x chia hết cho ( )f x nếu tồn tại ( )h x K x éù Î êú ëû sao cho ( ) ( ). ( )g x f x h x= và kí hiệu là ( ) | ( )f x g x hay ( ) ( ).g x f xM 1.4.5. Định nghĩa. Cho K là trường và ( ), ( ) .f x g x K x éù Î êú ëû Đa thức ( )d x với hệ số cao nhất bằng 1 được gọi là ước chung lớn nhất của ( )f x và ( )g x nếu các điều kiện sau được thỏa mãn (i) ( ) | ( )d x f x và ( ) | ( ).d x g x (ii) Nếu ( ) | ( )m x f x và ( ) | ( )m x g x thì ( ) | ( ).m x d x Ước chung lớn nhất của ( )f x và ( )g x được kí hiệu là ( ) ( ), ( ) .f x g x Nếu ( ) ( ), ( ) 1f x g x = thì ( )f x và ( )g x được gọi là nguyên tố cùng nhau 1.4.6. Định lý. Hai đa thức ( )f x và ( )g x thuộc ( )K x nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn tại hai đa thức ( )r x và ( )s x sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) 1.f x r x g x s x+ = 1.4.7 Định nghĩa. Cho K là trường và ( ) .f x K x éù Î êú ëû Một phần tử u KÎ được gọi là nghiệm của đa thức ( )f x nếu ( ) 0.f u = Khi đó ta nói rằng đa thức ( )f x nhận u làm nghiệm. 1.4.8. Định lý. Cho K là trường và ( ) , .f x K x u K éù Î Î êú ëû Khi đó u là một nghiệm của đa thức ( )f x nếu và chỉ nếu x u- là ước của ( ).f x 1.4.9. Định lý. Cho ( )f x là đa thức bậc n trên trường .K Khi đó ( )f x có nhiều nhất n nghiệm trong .K 1.4.10. Định nghĩa. Cho K là trường và ( ) .f x K x éù Î êú ëû Ta nói rằng đa thức ( )f x chẽ ra trên K nếu nó có thể biểu diễn thành một tích của các nhân tử tuyến tính, nghĩa là ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) , n f x k x u x u x u= − − −L trong đó 1 2 , , , , . n k u u u KÎ 1.4.11. Định nghĩa. Một đa thức bất khả quy ( )f x trên trường K được gọi là tách được trên trường K nếu nó không có nghiệm bội, nghĩa là ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) n f x k x u x u x u= − − −L trong đó k KÎ và 1 2 , , , n u u u là các nghiệm phân biệt của ( ).f x Một đa thức bậc dương tùy ý trên trường K được gọi là tách được trên K nếu tất cả các nhân tử bất khả quy của nó là đa thức tách được trên .K 1.5. Đa thức bất khả quy Lê Thị Kim Luông – DH10A 7 Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua 1.5.1. Định nghĩa. Cho ( )p x là đa thức bậc dương trên .K Ta nói rằng ( )p x là đa thức bất khả quy trên K nếu ( )r x và ( )s x là hai đa thức trên K sao cho ( ) ( ) ( )p x r x s x= thì ( )r x hoặc ( )s x là đa thức hằng. 1.5.2. Định lý. Cho K là trường. Khi đó mọi đa thức bậc dương ( )f x K x éù Î êú ëû được phân tích thành tích các đa thức bất khả quy trên ,K nghĩa là 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), n f x p x p x p x= L trong đó 1 2 ( ), ( ), , ( ) n p x p x p x là các đa thức bất khả quy trên .K 1.5.3. Định lý. Cho K là trường và ( )f x K x éù Î êú ëû với deg ( ) 2.p x ³ Khi đó nếu ( )p x bất khả quy trên K thì ( )p x không có nghiệm trong .K 1.5.4. Định lý. Cho K là trường và ( )p x K x é ù Î ê ú ë û là đa thức bậc 2 hoặc 3. Khi đó ( )p x bất khả quy trên K nếu và chỉ nếu ( )p x không có nghiệm trong .K 1.5.5. Định lý. (Tiêu chuẩn Eisenstein) Cho 2 0 1 2 ( ) n n p x a a x a x a x x é ù = + + + + Î ê ú ë û L ¢ bậc dương. Khi đó nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p là ước của các hệ số 0 1 1 , , , , n a a a p - không là ước của n a và 2 p không là ước của 0 a thì ( )p x bất khả quy trên .¤ Lê Thị Kim Luông – DH10A 8 Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua Chương 2. MỞ RỘNG BẬC NGUYÊN TỐ 2.1. Mở rộng bậc hữu hạn 2.1.1. Định nghĩa. Cho K và F là các trường. Ta nói rằng F là một mở rộng trường của K nếu K là một trường con của .F 2.1.2. Định lý. Cho F là một mở rộng trường của .K Khi đó F là một không gian véctơ trên K với các phép toán được xác định bởi ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , u v u v u v F u u K u Fa a a + Î Î Î a a Chứng minh Dễ dàng kiểm tra được hai phép toán trên thỏa mãn các tiên đề của không gian véctơ. Do đó F là không gian véctơ trên .K 2.1.3. Định nghĩa. Cho F là một mở rộng của .K Số chiều của không gian véctơ F trên K được gọi bậc mở rộng của F trên K và kí hiệu là : dim . K F K F é ù = ê ú ë û Trường F được gọi là mở rộng bậc hữu hạn (vô hạn) của K nếu bậc của F trên K là hữu hạn (vô hạn). Ví dụ 2.1.1. Tìm bậc mở rộng của £ trên .¡ Giải Ta có { } | , .a bi a b= + Σ ¡ Rõ ràng { } 1,i là cơ sở của £ trên .¡ Do đó : dim 2 é ù = = ê ú ë û ¡ £ ¡ £ Ví dụ 2.1.2. Tìm bậc mở rộng của ( ) { } 2 2 ,a b a b= + Τ ¤ trên .¤ Lê Thị Kim Luông – DH10A 9 Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua Giải Ta có { } 1, 2 là một cơ sở của ( ) 2¤ trên .¤ Do đó ( ) ( ) 2 : dim 2 2. é ù = = ê ú ë û ¤ ¤ ¤ ¤ Ví dụ 2.1.3. Chứng minh rằng bậc mở rộng của ( ) x£ trên £ là vô hạn. Giải Ta có 2 1, , , x x là các phần tử độc lập tuyến tính trên .£ Do đó ( ) x£ là mở rộng bậc vô hạn của .£ 2.1.4. Định lý. Cho F là mở rộng của .K Khi đó : 1F K   =   nếu và chỉ nếu .F K= Chứng minh Giả sử : 1F K   =   và { } u là một cơ sở của F trên .K Ta có 1 cu = với .c K∈ Do đó 1 .u c K − = ∈ Với mọi ,v F ∈ ta có v au= với .a K∈ Vậy v K∈ và do đó .F K= Nếu F K= thì dễ dàng kiểm tra được { } 1 là cơ sở của F trên K và do đó : 1.F K   =   2.1.5. Định nghĩa. Cho các trường 1 2 , , , n K K K sao cho 1i i K K + ⊂ với mọi 1,2, , .i n= Ta nói rằng 1 2 n K K K⊂ ⊂ ⊂ là một tháp của các trường 1 2 , , , . n K K K Ví dụ 2.1.4. Ta có tháp các trường của , ,¤ ¡ £ là .⊂ ⊂¤ ¡ £ 2.1.6. Định lý. Cho một tháp các trường .K E FÌ Ì Khi đó F là một rộng bậc hữu hạn của K nếu và chỉ nếu F là một mở rộng bậc hữu hạn của E và E là một mở rộng bậc hữu hạn của .K Hơn nữa : : : .F K F E E K é ù é ùé ù = ê ú ê úê ú ë û ë ûë û Chứng minh Giả sử :F K s é ù = ê ú ë û hữu hạn. Khi đó tồn tại một cơ sở { } 1 2 , , , s w w w của F trên .K Với mọi w FÎ , ta có 1 1 2 2 s s w a w a w a w= + + +L trong đó 1 2 , , , . s a a a KÎ Vì K EÌ nên { } 1 2 , , , s w w w là một hệ sinh của F trên Lê Thị Kim Luông – DH10A 10 [...]... dng K v = a0 + a1u + L + an- 1un- 1, trong ú a0,a1, ,an- 1 ẻ K , n = ộ ( u) : K ự ờ ỳ ở ỷ Ta cú ( ) s ( v) = s a0 + a1u + L + an- 1un- 1 ( ) = s ( a0 ) + s ( a1u) + L + s an- 1un- 1 = a0 + a1s ( u) + L + an- 1s ( u) = a0 + a1t ( u) + L + an- 1t ( u) ( n- 1 n- 1 ) = t ( a0 ) + t ( a1u) + L + t an- 1un- 1 ( ) n- 1 = t a0 + a1u + L + an- 1u = t ( v) Vy s = t Vớ d 3.1.4 Xỏc nh nhúm Galois ca m rng Ê = Ă... ca f (x) Chng minh 2 n Gi s f (x) = a0 + a1x + a2x + L + anx ẻ K [x] Nu u ẻ F l mt nghim 2 n ca f (x) thỡ a0 + a1x + a2x + L + anx = 0 Vỡ s l mt ng cu v s ( ai ) = ai vi mi i = 1 , , n nờn ,2 Lờ Th Kim Luụng DH10A 28 Nhúm Galois ca m rng bc nguyờn t GVHD Lờ Vn Chua ( 0 = s ( 0) = s a0 + a1x + a2x2 + L + anxn ) 2 = a0 + a1s ( u) + a2s ( u) + L + ans ( u) ( = f s ( u) n ) Vy s ( u) cng l mt nghim ca f... sinh ca khụng { } 2 n- 1 , gian vect K (u) trờn K Ta cũn phi chng minh 1 u, u , , u c lp tuyn tớnh Tht gi Khi a0,a1, ,an- 1 ẻ K vy, ú a0 + a1u + L + an- 1un- 1 = 0 s u l nghim ca a vi thc g(x) = a0 + a1x + L + an- 1xn- 1 ẻ K [x] Do ú g(x) chia ht cho p(x) iu ny ch xy ra khi g(x) l a thc 0 v do ú ai = 0 vi mi i Vy {1,u,u , ,u } 2 n- 1 c lp tuyn tớnh v nú l mt c s ca khụng gian vect K (u) trờn K (iii)... 2 nờn Gal ( F , Ô ) l mt nhúm Abel cp 4 3.2 Nhúm Galois ca cỏc m rng bc nguyờn t Lờ Th Kim Luụng DH10A 31 Nhúm Galois ca m rng bc nguyờn t GVHD Lờ Vn Chua 3.2.1 nh ngha Cho F l m rng nguyờn t p ca K Nhúm Galois ca m rng F trờn K c gi l nhúm Galois ca m rng bc nguyờn t p ca F trờn K 3.2.2 nh lý Cho F l m rng nguyờn t p ca K Khi ú F = K (u) v nhúm Galois Gal( F , K ) = { 1 , 2 ,K , k } , trong ú... Kim Luụng DH10A 26 Nhúm Galois ca m rng bc nguyờn t GVHD Lờ Vn Chua - 1 - 1 - 1 vi mi k ẻ K , ta cú k = s s ( k) = s ( s (k)) = s ( k) Vy s - 1 l mt K - t ng cu ca F Do ú tp cỏc K - t ng cu ca F lp thnh nhúm i vi phộp nhõn cỏc ỏnh x 3.1.3 nh ngha Cho F l mt m rng ca K Nhúm cỏc K - t ng cu ca F c gi l nhúm Galois ca F trờn K v kớ hiu l Gal ( F , K ) Vớ d 3.1.1 Xỏc nh nhúm Galois ca m rng Ê trờn Ă... + 3, ớ , ù ù ợ Lờ Th Kim Luụng DH10A ( ) ( 2 2+ 3 , 3ỹ ù 2+ 3 ù ý ù ù ỵ ) 17 Nhúm Galois ca m rng bc nguyờn t l c s ca Ô ( GVHD Lờ Vn Chua ) 2 + 3 trờn Ô Cho K v E l cỏc trng v s : K đ E l ng cu Khi ú s : K ộ ựđ E ộ ựl mt ng cu xỏc nh bi x x ờỳ ờỳ ởỷ ởỷ ( ) s a0 + a1x + L + anxn = s ( a0 ) + s ( a1) x + L + s ( an ) xn Chỳ ý rng s ( k) = s ( k) vi mi k ẻ K trỏnh nhm ln ta luụn kớ hiu s bi s... , , u } gm cú n + 1 phn t nờn nú ph thuc tuyn tớnh Khi ú tn ti cỏc phn t ai ẻ K khụng ng thi bng khụng sao cho a0 + a1u + a2u2 + L + anun = 0 2 n Do ú u l nghim ca a thc f (x) = a0 + a1x + a2x + L + anx ẻ K [x] Vy F l mt m rng i s ca K Lờ Th Kim Luụng DH10A 19 Nhúm Galois ca m rng bc nguyờn t GVHD Lờ Vn Chua 2.4.3 nh lý Nu F l m rng bc hu hn ca K thỡ F m rng hu hn sinh ca K Chng minh Gi { u1, u2,... ng cu s : K (u) đ E (v) c m rng thnh ng cu d : F @ L bi gi thit quy np Vy phộp quy np c hon thnh v do ú nh lý ó c chng minh Lờ Th Kim Luụng DH10A 25 Nhúm Galois ca m rng bc nguyờn t GVHD Lờ Vn Chua Chng 3 NHểM GALOIS CA M RNG BC NGUYấN T 3.1 Nhúm Galois 3.1.1 nh ngha Cho F l mt m rng ca K Mt t ng cu s ca F c gi l K - t ng cu ca F nu s ( k) = k vi mi k ẻ K 3.1.2 nh lý Cho F l mt m rng ca K Khi ú... v - v l hai nghim phõn bit ca p(x) Do ú Gal ( F , Ô ) = { IdF , a } , trong ú a ( a + bi ) = a - b v 3.3 Trng im bt ng ca nhúm Galois 3.3.1 nh ngha Cho F l mt m rng ca K Mt trng E c gi l mt trng trung gian ca m rng F trờn K nu K è E è F 3.3.2 nh lý Cho E l mt trng trung gian ca m rng F trờn K Khi ú Gal ( F , E ) l mt nhúm con ca Gal ( F , K ) Chng minh Nhúm Gal ( F , E ) l mt nhúm cỏc E - t ng cu... ẻ E H Vy E H l trng con ca F v do ú E H l trng trung gian ca m rng F trờn K 3.3.4 nh ngha Cho F l mt m rng ca K v H l mt nhúm con ca Gal ( F , K ) Trng trung gian E H c gi l trng im bt ng ca nhúm con H Chỳ ý Nu H = { IdF } thỡ E H = F Vớ d 3.3.1 Tỡm trng im bt ng ca cỏc nhúm con ca nhúm ( ( Gal Ô ) ) 2, 3 , Ô Gii t F =Ô ( ) 2, 3 ca Ô Nhúm Galois Gal ( F , Ô ) = { IdF , t , a, b} , trong ú ổ2 a . học. Nó đã được đưa vào giảng dạy trong các chương trình đào tạo của Khoa Toán các trường Đại học và Cao đẳng, đặc biệt là Khoa Toán các Trường Sư Phạm. Đã có một số tài liệu nhắc tới chủ đề này. x ộ ự ẻ ờ ỳ ở ỷ sao cho ( ) ( ) ( ) ( )f x g x q x r x= + vi ( ) 0r x = hoc deg ( ) deg ( ).r x g x< Lờ Th Kim Luụng DH10A 6 Nhóm Galois của mở rộng bậc nguyên tố GVHD. Lê Văn Chua 1.4.4 pháp nghiên cứu sách và tài liệu Đọc sách và tài liệu là một trong những phương pháp không thể thi u trong việc nghiên cứu, nó được chọn ngay từ khâu chọn đề tài, xây dựng đề cương nghiên cứu