Các dạng bài tập ôn luyện thi vào lớp 10 hay và khó

Chứng minh rằng: a AMK =  BNK; b MKN là  vuông cân và MK là tia phân giác ngoài của AMN bKhi điểm M chuyển động trên cung AK thì đ-ờng vuông góc với BM kẻ từ N luôn luôn đi qua một đ

1

3 c

567

3,34.640

d, 2 2

5 11 810 6 ,

c, ( 282 14 7 ) 7 + 7 8 d, ( 15 505 2003 450 ) : 10

)1(5)3(2)

8

6 3

1 : ) 3 1

5 15 2

1528625

1 : ab

a b b

a a 1 )(

aa

a 1

b a

b

b

a

2 2

4 2

a

 víi a = -9 ; b, 1 + m 4m 4

2m

m

 víi m<2

c, 1  10 a  25 a2  4 a víi a= 2 ; d, 4x- x2  x  1 víi x=- 3

-

e, 6x2 -x 6+1 víi x =

2

33

1 :

2 1

1 1 4

5 2

x x

x

x x

B

x y

y y x

y x y

x x

x x

1 1

1 : 1

1 1

1:1

x a

2 2

1

22

khix A

x x

x

A

32

962

12

4

5 : 2

3 2

x x

x

12

12:1

1

11

1

2 2

x x

x x x

x x

20072005

 

9

961

x

3(2 3)

x x

1- x khi x < -3

x - 3

x khi x

1

a a

231:19

813

11

3

1

x

x x

x x

1:1

1

x x x x

x x

1

1 : 1

1 1

1

2

x x

x x

1

3

x

x x

-

2

;1

x D

Tr-ớc hết hãy rút gọn giá trị của biểu thức, sau đó căn cứ vào điều kiện nêu ra của bài toán

mà lập luận tìm ra lời giải, Chẳng hạn:

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức là nguyên?

x x

53

a a a a

11

x x

1 3

x

x x

b a

b a

b a ab b

a b

b a

ab

1.2

2 3

2 2 3

2 3

6 6

3 2

3 2

ab b

a ab

b a

x b x

b

x x b b x b

x b D

b b

a

thì F có giá trị không đổi

Bài 7 Cho biểu thức: A1 = (

x1

1x1

b) Tính giá trị của A1khi x=7+4 3 c) Với giá trị nào của x thì A1 đạt giá trị nhỏ nhất ?

Bài 8 Cho biểu thức: A2 = 2 2

2

) 2 x ( ) 1 x 2 (

4 ) 1 x (

Bài 9 Cho biểu thức: A3 = (

1x

1x1x

1x

11x

x1x

2

2      ) a) Rút gọn A3 b) Tìm giá trị của A3 khi x= 3  8 c) Tìm x khi A3 = 5

Bài 10 Cho biểu : A4 = (

a a

1 a a a a

1 a a

2a



 a) Với giá trị nào của a thì A4 không xác định b) Rút gọn A4 c) Với giá trị nguyên nào của a thì A4 có giá trị tự nguyên ?

Bài 11 Cho biểu thức: B1 =

x x

x x 1 x

-

Bài 12 Cho biểu thức: B2 =

6 a 2

a 3 6 a 2

3 a

x

x 2 1

1 1 x

1





 ) a) Rút gọn B4 b) Tính giá trị của B4khi x=3+2 2

c) Giải ph-ơng trình B4 = 5

a b

a b a

bb

c) Chứng minh rằng nếu a/b = a+1/b+5 thì C2 có giá trị không đổi

Bài 18 Cho biểu thức: C3 =

6 b 3 a 2 ab

ab 6 6

b 3 a 2 ab

b 3 a 2

Bài 19 Cho biểu thức: C4 = (

1 x 2 x

2 x 1

x

2 x

x2  

a) Xác định x để C4tồn tại b) Rút gọn C4 c) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì C4 > 0

d) Tìm giá trị của C4khi x = 0,16

e) Tìm giá trị lớn nhất của C4 g) Tìm x thuộc Z để C4 thuộc Z

Bài 20 Cho biểu thức: C5 = 3 2 2 3

3 2 2

3

y xy y x x

y xy y x x

-

Bµi 21 Cho biÓu thøc: D1 = (

x 1

1 1 x x

x 1

x x

2 x

y x y x

xy)

yx

-

 Chuyên đề 2: Hàm số bậc nhất y=ax+b

 Kiến thức:

Cho hàm số y=ax+b (a≠0)

- Hàm số đồng biến khi a>0; nghịch biến khi a<0

- Nếu toạ độ (x 0 ;y 0 ) của điểm A thoả mãn hàm số y=f(x) thì điểm A thuộc đồ thị hàm số này

- Ng-ợc lại, nếu điểm A(x 0 ;y 0 ) nằm trên đồ thị của hàm số y=f(x) thì toạ độ (x 0 ;y 0 ) của A thoả

mãn hàm số y=f(x)

- Cho hai đ-ờng thẳng (d 1 ): y=ax+b & (d 2 ): y= a 1 x+b 1 (a ≠ 0 ; a 1 ≠ 0)

+ (d 1 ) // (d 2 )  a=a 1 & b≠ b 1 + (d 1 )  (d 2 )  a= a 1 & b= b 1 + (d 1 ) cắt (d 2 )  a≠ a 1 & b≠ b 1 + (d 1 ) ┴ (d 2 )  a.a 1 =-1

 Bài tập vận dụng:

Bài 1:Cho hàm số y= mx-2m+5.CMR hàm số luôn đi qua điểm cố định với mọi m

Bài 2: Cho đ-ờng thẳng (d); y=(m-2)x-m+4.CMR (d) luôn đi qua điểm cố định với mọi m

Bài 3: Cho các đ-ờng thẳng (d1): y=mx-2(m+2) (m ≠ 0) và

(d2): y= (2m-3)x +(m2-1) (m≠ 3/2):

a) CMR: (d1) & (d2) không thể trùng nhau với mọi m

b) Tìm m để (d 1 ) // (d 2 ); (d 1 ) cắt (d 2 ); (d 1 ) ┴ (d 2 )

Bài 4: CMR: 3 đ-ờng thẳng sau đây đồng quy: (d1): y=-3x (d2): y=2x+5 (d3): y=x+4

Bài 5: Tìm m để ba đ-ờng thẳng sau đồng quy:(d1):y=x-4; (d2): y= -2x-1;(d3): y= mx+2

Bài 6: Tính diện tích giới hạn bởi các đ-ờng thẳng :(d1): y= 1

3x;(d2):y=-3x ;(d3): y=-x+4

Bài 7: Cho đ-ờng thẳng (d1):y=4mx - (m+5) & (d2): y= (3m2+1)x+m2-4

a) CMR: (d1) luôn đi qua điểm A cố định và (d2) luôn đi qua điểm B cố định

b) Tính khoảng cách AB ; c) Tìm m để (d 1 ) // (d 2 )

Bài 8 Cho hai hàm số : y = (k + 1 )x + 3 và y = (3-2k)x +1

Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số cắt nhau? Song song với nhau? Hai đ-ờng trên có thể trùng nhau đ-ợc không ?

Bài 9 Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng: a Có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm P(

2

5

;2

1

)

b Có tung độ gốc bằng -2,5 và đi qua điểm Q(1,5 ; 3,5)

c Đi qua hai điểmđiểm M(1 ; 2 ) và N (3 ; 6 )

d Song song với đ-ờng thẳng y = 2x - 3 và đi qua điểm (

3

4

;3

1

)

Bài 10.Cho 3 đ-ờng thẳng : y=2x+1(d1) ; y=-x-2 (d2); y=-2x-m (d3)

a Tìm toạ độ giao điểm của hai đ-ờng thẳng (d1) & (d2)

b Xác định m để 3 đ-ờng thẳng đã cho đồng quy

Bài 11 a Vẽ đồ thị của các hàm số trên cùng hệ trục toạ độ :y=2x (1);y=0,3x (2); y=-x+6 (3)

b Gọi các giao điểm của đ-ờng thẳng có ph-ơng trình (3) với các đ-ờng thẳng (1), (2) thứ tự

là A, B; Tìm toạ độ của các điểm A,B

c.Tính các góc của tam giác OAB

-

 Chuyên đề 3:Ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình bậc nhất

Bất ph-ơng trình

I.Ph-ơng trình bậc nhất 1 ẩn số

 Ph-ơng pháp: ax+b=0  ax=-b  x=-b/a

Nếu ph-ơng trình không có dạng tổng quát thì cần biến đổi đ-a

523

31

1222

* Ph-ơng trình dạng f(x) g(x) (1)

 Sơ đồ giải:

( ) 0(2)( ) ( )

0)(

0)(







x h

x g

x f

0)(







x h

x g

x f

-Bình ph-ơng hai vế(có thể chuyển vế hợp lí rồi bình ph-ơng) sau đó cần phải

đối chiếu nghiệm vừa tìm đ-ợc với điều kiện!

*Ví dụ:

Bài 5:Giải ph-ơng trình

a) x 5 x 3 2x7 b) x 1 x 7 12x

IV Bất ph-ơng trình

*Dạng 1: Bất ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn a.x+b>0 hoặc a.x+b<0

+ Ph-ơng pháp: ax+b>0  ax>-b  x>-b/a nếu a>0

x<-b/a nếu a<0

+ Ví dụ:

Bài 6: Cho ph-ơng trình:

32

163

15

2x  x  x  xa) Giải bất ph-ơng trình b) Tìm nghiệm nguyên âm của bất ph-ơng trình

A B A B

x x

x x

55

x x

x

2

7 1

322

11

121

y x

b)

543

111

y x

c)

15

151

y x

d) 2   2

x

x x

e)

0 5

0 5 ) ( 3 ) (

y x y

x

f)

12 3 3

8 ) ( 3 ) (

y x y

3 y x

4

9 y

1 x 1

y 4 x

0 3 y x

1 x 1

4

3 y

6 x

1 2 x 1

1 1 y

3 2 x 2

1 y x 1

1 y x

3 y x 2

0 5 y x

12 y 3 x 2 2

)2(1

b ay x

by ax

a Xác định a,b để hệ có nghiệm x= 2;y= 3 ; b Tìm a,b để hệ vô số nghiệm

a y

a Giải hệ ph-ơng trình với a=- 2

b Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0

1 y

ax ;

a Giải hệ ph-ơng trình với a= 2-1

b Chứng minh hệ ph-ơng trình có nghiệm với mọi a

-

c T×m a sao cho hÖ cã nghiÖm (x;y) tho¶ m·n x>0; y>0

-

 Chuyên đề 4: ph-ơng trình bậc hai- Định lí vi ét và ứng dụng

I.Ph-ơng trình bậc hai:

1) Ph-ơng trình bậc hai khuyết:

* Ph-ơng pháp: Phân tích vế phải thành nhân tử, rồi đ-a về dạng ph-ơng trình tích

* Ví dụ: Giải ph-ơng trình sau:

22

x

b)

1

121

2 2

81

x x

S P

-

+ ĐK để (1) có 2n 0 âm:

000

S P

Bài 2: Cho ph-ơng trình :(m+2)x2 + 6mx + (4m +1)=0 Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm kép?

Bài 3: Cho ph-ơng trình :m2x2 + mx +4 =0 Tìm m để ph-ơng trình vô nghiệm?

Bài 4: Cho ph-ơng trình :x2 -2(k-1)x + 2k -5 =0

a)CMR: Ph-ơng trình luôn có nghiệm?

b)Tìm k để ph-ơng trình có 2 nghiệm cùng dấu.Khi đó 2n0 mang dấu gì?

Bài 5: Xác định k để pt :3x2 - (2k+1)x +k2- 4 =0 có 2 nghiệm trái dấu?

Bài 6: Xác định k để pt :x2- 2kx +2k -3 =0 có hai nghiệm phân bịêt cùng dấu?

Bài 7:Cho pt : 2x2 +14x +2m-3 =0

a)Tìm m để pt có 1 nghiệm bằng - 3.Tìm nghiệm thứ hai?

b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu? Nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?

Bài 8: Cho pt: x2-2mx+2m-1=0

a) m=? để ph-ơng trình có nghiệm kép b) m=? để ph-ơng trình có hai nghiệm cùng dấu.Khi đó 2 n0 mang dấu gì?

III.Bài toán liên quan giữa nghiệm ph-ơng trình và hệ thức Vi-ét:

Tìm điều kiện của tham số để ph-ơng trình bậc II có nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho tr-ớc Nếu

đk cho tr-ớc có chứa biểu thức x 1 2 +x 2 2 hoặc x 1 3 +x 2 3 thì cần áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ:

x 1 2 +x 2 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -2x 1 x 2

x 1 3 +x 2 3 =(x 1 +x) 3 -3x 1 x 2 (x 1 +x 2 )

Tất nhiên các giá trị của tham số rút ra từ đk , phải thỏa mãn đk 0

1  

x

x x x

Bài 2:Cho ph-ơng trình : x2 +2kx+2-5k =0 (2) k: tham số

a) Tìm k để pt(2) có n0 kép?

b) Tìm k để (1) có 2 n0 x1,x2 thỏa mãn x12+x22=10

Bài 3: Cho ph-ơng trình bậc hai: x2- (2m+3)x + m -3 =0 (1)

a) CMR pt luôn có nghiệm với mọi x

b) Tìm m để pt có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia?

Bài 4: Cho ph-ơng trình: x2-2(m+2)x +m+1 =0 (x là ẩn)

a) Tìm các giá trị của m để ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu?

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của ph-ơng trình Tìm giá trị của m để: x1(1-2x2)+x2(1-2x2)=m2

Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn : 2(x1+x2)-3x1.x2+9=0

Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số?

 Ph-ơng pháp: Từ biểu thức của định lí Vi - ét ,ta tiến hành khử tham số để thu đ-ợc biểu

thức không phụ thuộc vào tham số

 Ví dụ:

Bài 1:Cho ph-ơng trình: x2-(k-3)x +2k+1 =0 có các nghiệm là x1,x2 Tìm một hệ thức liên hệ giữa các

nghiệm độc lập với k

Bài 2:Cho ph-ơng trình bậc hai: x2- (2m+3)x + m -3 =0 có các nghiệm là x1,x2 Tìm một hệ thức liên hệ

giữa các nghiệm độc lập với k

Bài 3: Cho ph-ơng trình bậc hai: (m+1)x2-2(m-1)x+m =0 Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc

lập với m?

Bài 4: Cho ph-ơng trình bậc hai: (m-1)x2-2(m-2)2x +m+3=0 Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm

độc lập với m?

22

c) Tính x13+x23 theo m?

Bài 3: Cho ph-ơng trình : x2-2(m+2)x+m+1=0 (1)

a) Giải ph-ơng trình khi m=-3/2 b) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của ph-ơng trình.Tìm m để x1(1-2x2)+x2(1-2x1)=m2

Cho Parabol (P): y=ax 2 và đ-ờng thẳng (d): y=mx+b

- ĐK để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt  ph-ơng trình ax 2 =mx+b có 2 nghiệm phân biệt

 >0 (nghiệm của ph-ơng trình chính là hoành độ cỉa hai giao điểm)

2

Tìm a và b để đ-ờng thẳng y=ax+b đi qua điểm (0;-1) và tiếp xúc với (P)

Bài 2: Cho hàm số y=ax2 có đồ thị (P) đi qua điểm A(-2;4) và tiếp xúc với đồ thị (T) của hàm số y= 1)x- (m-1)

(m-a) Tìm a , m và toạ độ tiếp điểm

b) Vẽ (P) & (T) với a, m vừa tìm đ-ợc trên cùng mặt phẳng toạ độ

Bài 3:Cho đ-ờng thẳng (d): y=k(x-1) và Parabol (P): y= x2-3x+2

a) CMR: (d) & (P) luôn có một điểm chung

b) Trong tr-ờng hợp (d) tiếp xúc (P), tìm toạ độ tiếp điểm

Bài 5: Cho Parabol (P): y=3x2 Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng

() song song với đ-ờng thẳng (d): y=-2x và tiếp xúc với (P)

Bài 6: Cho (P): y=1 2

2x và hai đ-ờng thẳng (d1): y=2x-2 và (d2): y= ax-1

a) Vẽ (P) & (d1) trên cùng mặt phẳng toạ độ và tìm toạ độ giao điẻm của chúng b) Biện luận theo a số giao điểm của (P) & (d2)

c) Tìm a để 3 đồ thị trên cùng đi qua một điểm

d) Chứng tỏ rằng đ-ờng thẳng đi qua A(-1;2) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

-

 Chuyên đề 6: Tìm GTLN &GTNN của một biểu thức

 Ph-ơng pháp 1:

Biến đổi biểu thức đã cho sao cho có chứa số hạng là lũy thừa bậc chẵn

( là một biểu thức không âm) rồi tùy theo dấu tr-ớc biểu thức đó là d-ơng (hay âm) mà biểu thức đã cho là nhỏ nhất (hay lớn nhất)



Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức A= m2-6m+11

Ta có: A= m2-6m+11=(m-3)2+2 Do =(m-3)2 0 nên A==(m-3)2+22

dấu ‚=‛ x°y khi m-3=0  m=3

Vậy GTNN của A là 2 khi m=3

Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức B= -4x2-8x+5

Ta có: B= -4x2-8x+5=-(4x2+8x-5)=-[(2x+1)2-6]=- (2x+1)2+66

Vậy GTLN của B là 6 khi 2x+1=0  x=-1/2

 Ph-ơng pháp 2: Ph-ơng pháp tìm miền giá trị của một hàm số

Ví dụ: Tìm GTLN & GTNN của biểu thức:

1

12

x

, ta cần tìm GTNN&GTLNcủa y?

 y(x2+x+1)=x2+1  (y-1)x2+yx+y-1=0 (1) - Đây là ph-ơng trình bậc hai ẩn x

+) y-1=0  y=1: (1) có dạng:x=0 (không có GTLN hay GTNN)

+) y -1 0  y1: Để tồn tại GTNN & GTLN thì (1) phải có nghiệm  0

3 Khi x=1 ; GTLN là 2 Khi x=-1

 Ph-ơng pháp 3: Ph-ơng pháp dùng bất đẳng thức Côsi:

-

+ với a0;b0 ta có ab  ab

2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b

 Hệ quả: + Nếu a+b =S thì

42

2

S ab

S

ab   Vậy ab đạt GTLN là S ab

42

+ Nếu ab =P thì a+b  2 P Vậy a+b đạt GTNN là 2 P a b

Ví dụ: Cho biểu thức

5



 x

Bài 2: Tìm x,y,z để các biểu thức sau đạt GTNN Tìm GTNN đó

a) M=x2+4y2+z2-2x+8y-6z+15 b) N = 2x2+2xy +y2-2x+2y+2

Bài 3: Cho biểu thức :

x

x Q

a) CMR (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x1và x2 là hai nghiệm cuả ph-ơng trình.Tìm GTNN của tổng S= x12+x22

Bài 7: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của ph-ơng trình 2x2-3mx-2 =0

Tìm giá trị của m để x12+x22 đạt giá trị nhỏ nhất?

Bài 8: Tìm GTLN&GTNN nếu có của các biểu thức sau:

A= x2 +3x+4 B=-3x2+4x+1 C=

23

5

2 

 x

Bài 9: Tìm GTNN của biểu thức: M=3y2+x2+2xy+2x+6y-5

Bài 10:Tìm GTLN & GTNN của biểu thức:

a) 2

2

20072

x

x x

; b)

1

12

x x

y ; c)

213

Q 2 2

Ví dụ: Chứng minh rằng 2(a2+b2) (a+b)2 a,b

Giải: Xét hiệu 2(a2+b2) -(a+b)2=a2-2ab+b2=(a-b)20 a,b

Theo định nghĩa  2(a2+b2) (a+b)2 (đpcm) Bài tập vận dụng:

1) CMR: (a+b)24ab 2) CMR: Nếu ab thì a3b3

3) CMR: a2+b2+c2 ab+bc+ca 4) CMR:

2 2

2

2 x1

x x





II Ph-ơng pháp biến đổi t-ơng đ-ơng:

 Để chứng minh A B, ta dùng tính chất của BĐT, biến đổi t-ơng đ-ơng BĐT cần chứng minh đến một đẳng thức đã biết là đúng

x x

   

2 4

-

 Chuyên đề 8: Giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình

hoặc hệ ph-ơng trình

.Ph-ơng pháp:

B-ớc 1: Chọn ẩn số (ghi rõ đơn vị và đặt đk cho ẩn số)

B-ớc 2: - Biểu thị các đại l-ợng đã biết và ch-a biết qua ẩn số

- Sử dụng mối liên hệ giữa các dữ kiện cho tr-ớc trong bài để

thiết lập ph-ơng trình(hoặc hệ ph-ơng trình)

B-ớc 3: Giải ph-ơng trình (hoặc hệ ph-ơng trình)

B-ớc 4: Nhận định kết quả, thử lại và trả lời

 Bài tập vận dụng:

Bài 1 Tìm hai số biết tổng cuả hai số bằng 59, hai lần của số này hơn ba lần của số kia là 8

Bài 2 Cho một số có hai chữ số, nếu đổi chỗ hai ch- số của nó thì đ-ợc một số lớn hơn số đã cho là 63

Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99 Tìm số đã cho?

Bài 3 Phân tích số 270 ra thừa số mà tổng của chúng bằng 33

Bài 4 một sân tr-ờng hình chữ nhật có chu vi là 340m, 3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m

Tính chiều dài và chiều rộng của sân tr-ờng

Bài 5 Tỉ số giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông của một tam giác vuông là

3

5

cạnh còn lại dài 8cm Tính cạnh huyền

Bài 6 Bảy năm tr-ớc, tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4 năm nay tuổi mẹ vừa đúng gấp 3 lần tuổi

con Hỏi năm nay mỗi ng-ời bao nhiêu tuổi?

Bài 7 Hôm qua mẹ Lan đi chợ mua 5 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết 10000đ Hôm nay mẹ lan mua 3 quả trứng gà và 7 quả trứng vịt chỉ hết 9600đ mà giá trứng thì vẫn nh- cũ Hỏi giá mỗi quả trứng mỗi loại là bao nhiêu?

Bài 8 Trong một phòng học có một số ghế, nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ,

nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa một ghế

Hỏi lớp có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh?

Bài 9 Trên cánh đồng cấy 60ha lúa giống mới và 40ha lúa giống cũ thu hoạch đ-ợc tất cả 460 tấn thóc

Hỏi năng xuất mỗi loại lúa trên 1ha là bao nhiêu Biết rằng 3ha trồng lúa mới thu hoạch đ-ợc ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn

Bài 10 Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng hôm làm việc có hai xe phải điều đi nơi khác nên mỗi

xe phải chở thêm 16 tấn Hỏi đội có bao nhiêu xe?

Bài 11 Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đến địa điểm B mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh

hơn ô tô thứ hai 12km Nên đến địa đỉêm B tr-ớc ô tô thứ hai là 100 phút Tính vận tốc của mỗt ô tô biết quãng đ-ờng AB dài 240km

Bài 12 Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc tử hai tỉnh cách nhau 150km đi ng-ợc chiều và gặp

nhau sau 2h Tìm vân tốc của mỗi ô tô Biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5 km/h và vận tốc ô tô B giảm đi 5 km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc ô tô B

ô tô th- nhất Sau 3h chúng gặp nhau Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đ-ờng AB mất bao lâu?

Bài 14 Một ô tô du lịch đi từ A đến C Cùng một lúc từ địa điểm B nằm trên AC có một ô tô vân tải

cũng đi đến C sau 5h hai ô tô gặp nhau tai C Hỏi ô tô du lịch đi từ A đên B hết bao lâu Biết rằng vân tốc của ô tô tải bằng 3/5 vân tốc của ô tô du lịch

Bài 15 Hai ng-ời thợ cùng xây một bức t-ờng trong 7h12phút thì xong nếu ng-ời thứ nhất làm trong 5h

và ng-ời thứ 2 làm trong 6h thì cả hai xây đ-ơc 3/4 bức t-ờng Hỏi mỗi ng-ời làm một mình thì bao lâu song bức t-ờng?

Bài 16 Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 thì xong việc Nếu ng-ời thứ nhất làm

một mình trong 9 ngày, rồi ng-ời thứ 2 đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc Hỏi mỗi ng-ời làm một mình thì bao lâu xong việc

Bài 17 Trong tháng đầu 2 tổ công nhân sản xuất đ-ợc 800 chi tiết máy sang tháng thứ 2 tổ một sản xuất

v-ợt mức 15%, tổ hai sản xuất v-ợt mức 20% do đó cuối tháng cả hai sản xuất đ-ợc 945 chi tiết máy Hỏi rằng trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất đ-ợc bao nhiêu chi tiết máy

Bài 18 Cho một dung dịch chứa 10% muối Nếu pha thêm 200g n-ớc thì đ-ợc một dung dịch 6% Hỏi

có bao nhiêu gam dung dịch đã cho?

Bài 19 Hai vòi n-ớc cùng chảy vào một bể thì sau 4

Bài 20 Một ng-ời đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50km sau đó 1h30’ một người đi xe máy

cũng đi từ A đến B sớm hơn 1h Tính vận tốc của mỗi xe Biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5lần vận tốc xe

đạp

Bài 21 Một ng-ời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h khi đến B ng-ời đó nghỉ 20phút

rôì quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h Tính quãng đ-ờng AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5h50’

Bài 22 Hai ng-ời thợ cùng làm một công việc trong 16h thì song nếu ng-ời thứ nhất làm trong 3h và

ng-ời thứ hai làm trong 6h thì họ làm đ-ợc 25% công việc Hỏi mỗi ng-ời làm một mình thi song công việc trong bao lâu

Bài 23 Cho một số có hai chữ số Tổng hai chữ số của chúng =10 ,tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho

là 12 Tìm số đã cho

Bài 24 Trong một phòng họp có 360 ghế đ-ợc xếp thành các dãy và số ghế trong mỗi dãy đều bằng

nhau Có một lần phòng họp phải xếp thêm một dãy ghế và mỗi dãy tăng một ghế để đủ chỗ cho 400 đại biểu Hỏi bình th-ờng trong phòng có bao nhiêu dãy ghế

Bài 25 Quãng đ-ơng AB dài 150km một ôtô đi từ A đến B và nghỉ lại ở B 3h15’ rồi trở về A hết tất c° 10h Tính vận tốc của ôtô lúc về Biết rằng vận tốc lúc đi lớn hơn vận tốc lúc về là 10km/h

Bài 26 Một số máy suôi dòng 30km và ng-ợc dòng 28km hết một thời gian bằng thời gian mà số máy

đi 59,5km trên mặt hồ yên lặng Tính vận tốc của xuồng khi đi trong hồ Biết rằng vận tốc của n-ớc chảy trong sông là 3km/h

Bài 27 Một bè nứa trôi trên sông sau đó 5h20’ một xuồng máy đuổi theo v¯ đi được 20km thì gặp bè

nứa Tính vận tốc bè nứa Biết rằng xuồng máy chạy nhanh hơn bè nứa 12km/h

Bài 28: Ng-ời ta dự định chia 73 học sinh thành một số tổ nhất định để tham gia hoạt động hè Sau khi

chia số học sinh cho mỗi tổ thì thấy thừa ra 1 học sinh Lần thứ hai chia thêm mỗi tổ 1 ng-ời thì thiếu 7 học sinh Hỏi số tổ dự định và số học sinh của mỗi tổ lúc chia lần đầu

5 diện tích cũ.

Bài 31: Hai vòi nước cùng ch°y đầy một bể không có nước trong 3h45’ Nếu ch°y riêng rẽ, mỗi vòi ph°i

chảy trong bao nhiêu lâu để bể đầy.Biết rằng vòi sau chảy lâu hơn vòi tr-ớc 4giờ

Bài 32: Quãng đ-ờng Hải Phòng – Hà Nội dài 105 km.Một ô tô đi từ Hải Phòng đi Hà nội với vận tốc

đã định.Lúc về, mỗi giờ ôtô đi nhanh hơn lúc đi là 7km nên thời gian về ít hơn lúc đi là nửa giờ Tính vận tốc lúc đi của ôtô?

Bài 33: Một số có hai chữ số mà tổng hai chữ số đó bằng 13.nếu ta thêm 34 vào tích hai chữ só đó, ta sẽ

đ-ợc một số viết theo thứ tự ng-ợc lại Tìm số đó?

Bài 34: Một ng-ời đi xe đạp từ A đến B trong 1 giờ Lúc về ng-ời đó đi đ-ợc 1

3quãng đ-ờng với vận tôc hơn lúc đi là 2km/h.Phần đ-ờng còn lại, ng-ời đó rút vận tốc xuống thành ít hơn lúc đi 1km/h, lúc về chậm hơn lúc đi là 40giây Tính quãng đ-ờng AB?

Bài 35: Hai ngời thợ cùng làm một công việc Nếu làm riêng rẽ mỗi ng-ời nửa công việc thì tổng số giờ làm việc là 12 h30.Nếu hai ng-ời cùng làm thì hai ng-ời chỉ làm cả việc đó trong 6giờ Nh- vậy, làm riêng rẽ cả công việc, mỗi ng-ời phải mất bao nhiêu giờ?

-

Phần II: Hình học

 Chuyên đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình

hệ thức l-ợng trong tam giác vuông

 Ph-ơng pháp:

- Các ph-ơng pháp nhận biết tam giác cân

- Các ph-ơng pháp nhận biết tam giác đều

- Các ph-ơng pháp nhận biết tam giác vuông

- Các ph-ơng pháp nhận biết tam giác vuông cân

- Các ph-ơng pháp nhận biết hình thang, hình thanh cân

PR

D, QR

SR

-

Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ hình và thiết lập các hệ thức tính tỉ số l-ợng giác của

góc B Từ đó suy ra các hệ thức tính tỉ số l-ợng giác của góc C

Bài 5 Tính các góc của một tam giác vuông biết tỉ số giữa hai cạnh góc vuông là 13:21

Bài 6 Dựng góc x Biết sinx = 3/5

Bài 7 Dựng góc x Biết cotgx = 1/2

góc F = 580 kẻ đ-ờng cao EI của tam giác

e)  ACD phải có gì đặc biệt để MPNQ là một hình vuông?

điểm nằm trên cung AK, N là một điểm nằm trên dây cung BM sao cho BN=AM

Chứng minh rằng:

a) AMK =  BNK; b) MKN là  vuông cân và MK là tia phân giác ngoài của AMN

b)Khi điểm M chuyển động trên cung AK thì đ-ờng vuông góc với BM kẻ từ N luôn luôn đi qua một điểm cố định ở trên tiếp tuyến của nửa đ-ờng tròn tại B

4 đ-ờng tròn phía trong hình vuông.lấy AB là đ-ờng kính, vẽ 1

2 đ-ờng tròn phía trong hình vuông Gọi P là điểm tuỳ ý trên cung AC (không trùng với A và C) H và K lần l-ợt là hình chiếu của P trên AB và AD; PA và PB cắt nửa đ-ờng tròn tại I và M

c) Chứng minh I là trung điểm của AP d) Chứng minh PH,BI,AM đồng quy tại một điểm e) Chứng minh PM=PK=AH

f) Chứng minh tứ giác APMH là hình thang cân g) Tìm vị trí của điểm P trên cung AC để  APB đều

-

 Chuyên đề 2: Chứng minh một số điểm nằm trên đ-ờng tròn

tứ giác nội tiếp

 Ph-ơng pháp;

- Ph-ơng pháp chứng minh 4 điểm nằm trên một đ-ờng tròn

- Ph-ơng pháp chứng minh 5 điểm nằm trên một đ-ờng tròn

1.Chứng minh 4 đỉnh của tứ giỏc cỏch đều một điểm nào đú

2 Chứng minh tứ giỏc cú tổng hai gúc dối bằng 1800

3 Chứng minh từ hai đỉnh liờn tiếp nhỡn hai đỉnh cũn lại dưới hai gúc bằng nhau

4 Chứng minh tứ giỏc cú tổng hai gúc đối bằng nhau

5 Sử dụng định lý đảo về hệ thức lượng trong đường trũn

Nếu M là giao điểm của AB và CD và thoả món AM.MB = CM.MD thỡ tứ giỏc ABCD nội tiếp đường trũn

6 Trong trường hợp phải chứng minh từ 5 điểm trở lờn cựng nằm trsờn một đường trũn ta chọn 3 điểm nào đú cố định ,rồi kết hợp với một điểm thứ tư để chứng minh 4 điểm nằm trờn đường trũn và cứ tiếp tục như vậy chứng minh tiếp

 Bài tập vận dụng:

Bài 1 Từ một điểm M nằm ngoài (o) kẻ cỏc tuyến qua tõm MAB và cỏc tiếp tuyến MC,MD , gọi

K là giao điểm của AC và BD

C/m 4 điểm B,C,M,K cựng thuộc một đường trũn ,xỏc định tõm đường trũn đú

Bài 2.Gọi AB là đường kớnh của (o) từ A kẻ hai dõy bất kỡ cắt tiếp tuyến tại B của đường trũn

ở E và F và cắt đường trũn ở C và D Chứng minh tứ giỏc DCEF nội tiếp

Bài 3 Cho hỡnh bỡnh hành ABCD ( A ˆ B C >900)

Gọi O là giao điểm của hai đường chộo AC,BD

A’ là hỡnh chiếu của DS trờn BC, B’ là hỡnh chiếu của D trờn AC, C’ là hỡnh chiếu cuả D trờn

AB Chứng minh O nằm trờn đường trũn ngoại tiếp ∆A’B’C’

Bài 4.Cho ∆ABC ngoại tiếp đường trũn (O) gọi D và E là hai tiếp điểm.Trờn AB và AC.Cỏc

đường phõn giỏc của gúc B và C cắt đường thẳng DE tại N và M

Chứng minh rằng 4 điểm B,M,N,C cựng nằm trờn một đường trũn

Bài 5.Cho ∆ABC (AB=AC),M thay đổi trờn cạnh BC Cỏc đường thẳng qua M và song song

với cỏc cạnh bờn AB,AC lần lượt cắt AB và AC ở Q và P.Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp tõm giỏc ABC.Chứng minh

a, Tứ giỏc APOQ nội tiếp

b, Điểm đối xứng của M qua PQ nằm trờn đường trũn ngoại tiếp ∆ABC

Bài 6 Cho tam giác đều ABC trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A lấy điểm D sao cho

DB=DC và góc DCB bằng 1/2góc ACB

Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp

Bài 7 S là điểm chính giữa cung AB của đờng tròn tâm 0 Trên dây AB lấy hai điểm E và H các đờng

thẳng SH và SE cắt đờng tròn tại C và D Chứng minh tứ giác EHCD nội tiếp

Bài 8 Tứ giác ABDC nội tiếp đờng tròn tâm O E là điểm chính giữa cung AB hai dây EC,EB cắt AB tại

P và Q các dây AD,EC cắt nhau tại I ,các dây BC và ED cắt nhau tại K Chứng minh rằng:

a Tứ giác CDIK nội tiếp ; b Tứ giác CDQP nội tiếp

-

Bài 9 Cho tam giác ABC các đường phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại S Các

đường phân giác ngoài của góc B và góc C cắt nhau tại E Chứng minh BSCE là tứ giác nội tiếp

Bài 10 Cho tam giác cân ABC đáy BC và góc A =20o Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C lấy D sao cho DA=DB và góc DAB =40o Gọi E là giao điểm của AB và CD Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp

Bài 11 Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E biết AE.EC =BE.ED Chứng minh 4 điểm A,B,C,D

cùng nằm trên một đường tròn

Bài 12 Cho đường tròn tâm O SA ,SB là hai tiếp tuyến của đường tròn tại A và B Kẻ dây BC Đ-ờng

kính vuông góc với AC cắt BC tại I Chứng minh rằng :

a 4 điểm S,A,I,B cùng nằm trên đ-ờng tròn

b Tứ giác SAOI nội tiếp

Bài 13.Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I và cắt đ-ờng

tròn tai P ,kẻ đường kính PQ các tia phân giác của góc ACB và góc ABC cắt AQ tại E và F Chứng minh

4 điểm B,C,E,F nằm trên một đường tròn

Bài 14.Cho tam giác ABC có các góc nhọn Gọi H là Trực tâm P,M,N là chân các

đ-ờng cao hạ từ A,B,C xuống BC ,AC,AB Chứng minh rằng

a Các tứ giác AM HN và BMNC nội tiếp

b Gọi D,E,F lần lượt là các điểm đối xứng của H qua AC,AB,BC

Chứng minh rằng 6 điểm A,E,B,F,C và D cùng nằm trên một đờng tròn

Bài 15 Cho tam giác ABC vuông tại C Gọi D là hình chiếu của C trên AB đ-ờng tròn tâm O

đ-ờng kính CD cắt cạnh AC,BC tại E và F.Gọi M là giao điểm thứ hai của BE với đ-ờng tròn ,K là giao

điểm của AC và MF ,P là giao điểm của EF và BK

Chứng minh rằng : 4 điểm B,M,F,P cùng thuộc một đ-ờng tròn

Tìm các tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ

cắt đường tròn (O) v¯ (O’) lần lượt tại C v¯ C’ Đường thằng AO’ cắt đường tròn (O) v¯ (O’) lần lượt tại D v¯ D’ Chứng minh rằng:

a) C, B, D’ thằng h¯ng

b) ODC’O’ nội tiếp

c) Đường thằng CD v¯ đường thằng D’C’ cắt nhau tại M Chứng minh: MCBC’ nội tiếp

Bài 18: Cho đ-ờng tròn tâm O, đ-ờng kính BC lấy điểm A trên đ-ờng tròn sao cho AB>AC Dựng hình vuông ABED ở miền ngoài  ABC Gọi F là giao điểm của AE với đ-ờng tròn và K là giao điểm của CF và ED Chứng minh:

a) B,K, D, C cùng thuộc một đ-ờng tròn

b) AC=EK

E Các cạnh AD, BC kéo dài cắt nhau tại F Chứng minh rằng:

a) A,D,E, O cùng thuộc một đ-ờng tròn

b) Tứ giác AOCF nội tiếp

c) MNCP là hình bình hành trong đó M, N lần l-ợt là trung điểm của BD, AC và P là chân đ-ờng cao hạ từ B xuống CD

-

 Chuyên đề 3: Chứng minh tam giác đồng dạng

và chứng minh đẳng thức hình học

 Ph-ơng pháp;

- Sử dụng các tr-ờng hợp của tam giác đồng dạng để chứng minh hai tam giác đồng dạng

- Sử dụng định lí Ta-lét và hệ quả; tính chất đ-ờng phân giác của tam giác; các cách biến

đổi tỷ lệ thức để chứng minh các đẳng thức hình học

- Muốn chứng minh một đẳng thức mà mỗi vế là tích cảu hai đoạn thẳng, chẳng hạn: MA.MB=MC.MD ta có thể dùng các ph-ơng pháp sau đây:

+ Chứng minh mỗi vế cùng bằng một tích thứ ba + Chứng minh hai tam giác MAC và MDB (hoặc hai tam giác MAD và MCB) (Tr-ờng hợp đặc biệt: MT 2 =MA.MB thì chứng minh  MTA  MBT)

+ Sử dụng các hệ thức trong  vuông

 Bài tập vận dụng:

tại A, B v¯ tiếp xúc với đường tròn (O) tại C Các tai AM , MB cắt đường tròn (O’) lần l-ợt tại E và D Tia CM cắt đ-ờng tròn (O) tại I

a) Chứng minh  AIB  ECD

b) Tiếp tuyến chung của hai đ-ờng tròn kẻ từ M cắt tại P

Chứng minh PC 2 =PA.PB

A,B) Tiếp tuyến tại M cắt nửa đ-ờng tròn, cắt các tiếp tuyến tại A, B lần l-ợt ở C và E

c) CMR: CE=AC+BE d) CMR: AC.BE= R 2 e) CM:  AMB  COE

cắt Oy tại hai điểm B,C Chứng minh các hệ thức: