SỬ DỤNG MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ SIÊU MẶT BẬC HAI

Đại Học Quốc Gia TP.HCM Trường Đại Học Công Nghệ Thông Tin BÀI TIỂU LUẬN MÔN LẬP TRÌNH SYMBOLIC VÀ ỨNG DỤNG ĐỀ TÀI: SỬ DỤNG MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ SIÊU MẶT BẬC HAI GVHD: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn Người thực hiện: Tô Hồ Hải Mã số: CH1101011 Lớp: Cao học khóa 6 TP.HCM – 01/2013 MỤC LỤC  MỤC LỤC 2 LỜI NÓI ĐẦU 1 TỔNG QUAN 2 10 TÀI LIỆU THAM KHẢO 11 LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình cao học ngành công nghệ thông tin, môn học đầu tiên trong nhóm học phần tự chọn em được thầy Đỗ Văn Nhơn phụ trách. Đó là môn Lập trình Symbolic và ứng dụng. Em đã học với thầy rất nhiều môn từ chương trình đại học và giờ là cao học, cảm nhận chung của em là: Thầy rất tận tâm, luôn tìm ra những cách tiếp cận mới hướng đến người học, giúp người học dễ dàng tiếp thu những kiến thức mà thầy truyền đạt. Bên cạnh đó thầy rất vui tính và có kiến thức rất sâu, rộng ở nhiều lĩnh vực nên luôn tạo cho bài giảng của mình một cách rất sinh động, tự nhiên. Thầy dẫn dắt chúng em đi sâu vào bài học bằng những kiến thức, những mẩu chuyện, những ví dụ rất quen thuộc và cách thầy đan xen chúng vào nhau thật khéo léo. Và điều quan trọng hơn cả là cách thầy truyền cảm hứng học tập cho chúng em và chỉ cách cho chúng em phải tự học, nghiên cứu như thế nào để được kết quả tốt nhất. Bên cạnh đó em cũng đúc kết được thêm một số kinh nghiệm, kỹ năng rất quan trọng, cần thiết và nhất là phần kiến thức vô cùng bổ ích mà thầy đã truyền đạt và định hướng cho chúng em. Em xin gởi lời cám ơn đến thầy Đỗ Văn Nhơn, thầy đã rất tận tâm, truyền đạt rất nhiều kiến thức, ý tưởng mà em rất tâm đắc. Em chúc thầy cùng luôn khỏe mạnh và đạt nhiều thành quả trong công việc của mình. Trang 1 TỔNG QUAN Môn học “Lập trình Symbolic và ứng dụng” là môn tự chọn đầu tiên trong chương trình cao học ngành công nghệ thông tin mà khóa 6 chúng em được học. Qua môn học này thầy chỉ cho chúng em một hướng lập trình hơi khác so với kiểu lập trình truyền thống mà em được học. Tuy có đôi chút khác lạ, nhưng với kinh nghiệm và tâm huyết của thầy, chúng em đã tiếp thu được một số vấn đề cốt lõi của môn học trong một tâm trạng vui vẻ và thoải mái. Trong môn học này, thầy dùng phần mềm Maple để minh họa một số ví dụ, bài tập và thầy chỉ rõ cho chúng em từng bước cụ thể để giải quyết một vấn đề trên Maple như thế nào. Maple hiện tại đã rất phong phú và ứng dụng giải quyết được rất nhiều vấn đề trong thực tế. Sau khi được tiếp cận Maple trong môn học này, em xin trình bày cách giải quyết một vấn đề toán học bằng Maple, đó là: “Sử dụng Maple giải các bài toán về siêu mặt bậc hai”. Trang 2 SỬ DỤNG MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ SIÊU MẶT BẬC HAI 1. Đặt vấn đề. Toán học là môn học bắt buộc và cần thiết ở các cấp học tại Việt Nam. Do đó những chương trình phục vụ cho việc minh họa giảng dạy toán học rất phổ biến và đa dạng và xuất rất nhiều phần mềm hỗ trợ trong lĩnh vực này, nổi trội trong số đó có phần mềm Maple. Thông qua phần mềm này em xin mô tả đoạn chương trình nhỏ để giải quyết một số vấn đề của toán học như sau: a) Xác định phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai. b) Xác định tọa độ tâm và điểm kì dị của siêu mặt bậc hai. Các dạng toán về siêu mặt bậc hai nói chung, đường và mặt bậc hai nói riêng là những nội dung quan trọng trong các môn toán cao cấp và hình học cao cấp, và trên cơ bản những vấn đề này đã có những cách giải quyết rõ ràng, vì thế trong phần này ta quan tâm đến cách biểu diễn từ các công thức sang Maple như thế nào để có được bài toán hoàn chỉnh nhằm minh họa dễ dàng hơn cho người dùng (đặc biệt là những đối tượng đang học về vấn đề này). 2. Lý thuyết bài toán. a) Xác định phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai. + Khái niệm phương trình chính tắc siêu mặt bậc hai. Trong không gian affine A n , cho (S) là một siêu mặt bậc hai có phương trình: 02 1, 0 1 =++ ∑ ∑ = = n ji n i iijiij axaxxa với ∑ = ≠≠∀= n ji ijjiij ajiaa 1, 2 0,, (1) Khi đó, tồn tại một phép biến đổi affine để đưa phương trình của (S) về một trong ba dạng sau. Dạng I: 1 22 1 22 1 =−−++ + rkk xxxx Dạng II: 0 22 1 22 1 =−−++ + rkk xxxx Dạng III: 02 1 22 1 22 1 =−−−++ ++ rrkk xxxxx Các phương trình trên được gọi là phương trình chính tắc của (S). Trang 3 + Thuật toán xác định phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai. Để đưa phương trình của một siêu mặt bậc hai về dạng chính tắc, chúng ta thực hiện các bước sau. Bước 1. Đưa dạng toàn phương ∑ = = n ji jiij xxaxH 1, )( về dạng chính tắc. Khi đó, phương trình của (S) có dạng. 02 0 1 1 ' 1 22 =++− ∑ ∑∑ = =+= axaxx i k i n i i m kj ji Bước 2. Kiểm tra xem có tồn tại i ∈{m + 1, m + 2, . . ., n} để 0 ' ≠ i a hay không? - Nếu tồn tại i 0 ∈{m + 1, m + 2, . . ., n} để 0 ' 0 ≠ i a thì đưa phương trình của (S) về dạng III. - Nếu 0 ' = i a với mọi i ∈{m + 1, m + 2, . . ., n} thì đưa phương trình của (S) về dạng I hoặc II. Bước 3. Xác định phương trình chính tắc tương ứng của (S). - Dựa và phương trình đề bài, ta xác định ma trận A = (a ij ), [a]=(a i ) và a 0 . - Ta xác định ma trận C để C t AC là một ma trận đối xứng bằng cách. - Đặt: C:= I n , xác định các ma trận CT[i] khử các số hạng a ij , i ≠ j và gán C:=C.CT[i]. Khi đó, chúng ta đặt [Y]:= C[X], thay các x i vào phương trình của (S). - Tiến hành kiểm tra xem có phần tử 0 ' ≠ i a hay không, với i > m. Nếu có thì ta kết luận (S) có phương trình chính tắc dạng III, ngược lại nếu không có ' i a nào khác 0 thì chúng ta đi khử các số hạng bậc nhất và xác định lại số hạng tự do ' 0 a . Căn cứ vào tính khác 0 của ' 0 a chúng ta xác định được phương trình chính tắc của (S) là Dạng I hay Dạng II. b) Xác định tọa độ tâm và điểm kì dị của siêu mặt bậc hai. + Phương trình xác định tâm và điểm kì dị của siêu mặt bậc hai. Trong không không gian affine A n , cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình [x] t A[x] + 2[a] t [x] + a 0 =0. Trang 4 Khi đó, tọa độ tâm I và điểm kì dị N thỏa hệ phương trình A[I] + [a] = 0 và    =+ =+ 0][][][ 0][][ 0 aNa aNA t 3. Tiến hành cài đặt và mô tả bằng Maple. a) Xác định phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai. - Để nhập vào phương trình của siêu mặt bậc. bt := readstat("Nhap phuong trinh sieu mat bac hai (S)"); - Ta xác định các ma trận A = (a ij ), [a] = (a i ) và a 0 . - Dùng lệnh print(bt) để in kết quả tính toán ở Bước 1. Trang 5 - Gán m:=rank(A) và kiểm tra ' i a . m:=rank(A): k:=m: - Nếu tồn tại ' i a ≠ 0 thì (S) có phương trình chính tắc dạng III -> in ra phương trình chính tắc. - Ngược lại nếu không tồn tại ' i a ≠ 0 thì ta khử (S) có phương trình chính tắc dạng III -> in ra phương trình chính tắc. Trang 6 b) Xác định tọa độ tâm và điểm kì dị của siêu mặt bậc hai. - Ta dùng một số kết quả ở câu a để tính tiếp cho câu b. (nhập phương trình siêu mặt (S) và tính giá trị của các ma trận, …). - Ta kiểm tra đẳng thức Rank(A) = Rank(<A|a>) để xác định (S) có tâm hay không. Nếu có ta dùng lệnh X:=LinearSolve(A,-a,free= ‘t’) để xác định tọa độ và thay tọa độ của tâm vào phương trình [a] t [x]+[a 0 ]=0 để xác định tọa độ các điểm kì dị của (S). Trang 7 4. Thử nghiệm a) Xác định phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai. Nhập vào phương trình của (S): 035322 221 2 2 2 1 =−−++ xxxxx Thực thi chương trình ta được kết quả như sau: Trang 8 [...]... định tọa độ tâm và điểm kì dị của siêu mặt bậc hai 2 Nhập vào phương trình của (S): 2 x12 + 2 x 2 + 3 x1 x2 − 5 x 2 − 3 = 0 Thực thi chương trình ta được kết quả như sau: Trang 9 Trang 10 TÀI LIỆU THAM KHẢO  [1] Đỗ Văn Nhơn, Bài giảng Lập trình Symbolic và ứng dụng, Đại học CNTT, 2012 [2] Tạp chí khoa học và công nghệ, Đại học Đà Nẵng, Số 2 (43), 2011 [3] Tài liệu về Maple tại link: http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0073383090/student_view0/... học và công nghệ, Đại học Đà Nẵng, Số 2 (43), 2011 [3] Tài liệu về Maple tại link: http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0073383090/student_view0/ exploring_discrete_mathematics_using _maple. html [4] Phần mềm Maple 16 - Maple Help Trang 11 . cận Maple trong môn học này, em xin trình bày cách giải quyết một vấn đề toán học bằng Maple, đó là: Sử dụng Maple giải các bài toán về siêu mặt bậc hai . Trang 2 SỬ DỤNG MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ. tọa độ tâm và điểm kì dị của siêu mặt bậc hai. Các dạng toán về siêu mặt bậc hai nói chung, đường và mặt bậc hai nói riêng là những nội dung quan trọng trong các môn toán cao cấp và hình học cao cấp,. Gia TP.HCM Trường Đại Học Công Nghệ Thông Tin BÀI TIỂU LUẬN MÔN LẬP TRÌNH SYMBOLIC VÀ ỨNG DỤNG ĐỀ TÀI: SỬ DỤNG MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ SIÊU MẶT BẬC HAI GVHD: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn Người thực hiện: