Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 1 (DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2013) Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thành Long “ Phương pháp là thầy của các thầy “ Bỉm sơn. 13.02.2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 2 MỤC LỤC LÝ TUYẾT VỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN……………………………………………………………….1 MỘT SỐ DẠNG CỤ THỂ………………………………………………………………………………….8 Dạng 1……………………………………………………………………………………………………….8 Loại 1: ………………………………………………………………………………………………………9 Loại 2: …………………………………………………………………………………………………… 11 Loại 3: …………………………………………………………………………………………………… 17 Loại 4: …………………………………………………………………………………………………… 22 Loại 5: …………………………………………………………………………………………………… 31 Dạng 2: …………………………………………………………………………………………………….32 Dạng 3: …………………………………………………………………………………………………….37 Dạng 4: …………………………………………………………………………………………………….39 Dạng 5: …………………………………………………………………………………………………….41 CON DU LON VAN LA CON CUA ME DI KHAP PHUONG TROI LONG ME VAN THEO CON Giỏo viờn: Nguyn Thnh Long Email: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 3 PHNG PHP TCH PHN TNG PHN I. Cụng thc tớch phõn tng phn: Cho hai hm s ( ), ( ) u x v x liờn tc v cú o hm trờn on [a; b]. Ta cú ' ' ' ' ' ' uv u v uv uv dx u vdx uv dx ( ) b b b a a a d uv vdu udv d uv vdu udv b b b b b b a a a a a a uv vdu udv udv uv vdu . Ta cú cụng thc: 1 b b b a a a udv uv vdu Cụng thc (1) cũn c vit di dng: ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 b b b b a a a a f x g x dx f x d g x dx f x g x f x g x dx II. Phng phỏp gii toỏn: Bi toỏn: S dng CT.TPTP xỏc nh: I = b a dxxf .)( Phng phỏp chung: Cỏch 1: Bc 1: Bin i TP v dng: I = b a dxxf .)( = b a dxxfxf .)().( 21 Bc 2: t: 1 1 2 2 ( ) ' ( ) ( ) ( ) du f x dx u f x dv f x dx v f x dx (tớnh ủaùo haứm) (tớnh nguyeõn haứm cho C= 0) Bc 3: Khi ú: I = b a b a b a vduuvudv . (cụng thc (1)) Chỳ ý: Vic t ( ), ( ) u f x dv g x dx (hoc ngc li) sao cho d tỡm nguyờn hm ( ) v x v vi phõn ' ( ) du u x dx khụng quỏ phc tp. Hn na, tớch phõn b a vdu phi n gin hn tớch phõn b a udv Cỏch 2: Phõn tớch ' 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x f x dx f x f x dx v s dng trc tip cụng thc (2) - Nhn dng: s dng tớch phõn tng phn thỡ du hiu thng gp ú chớnh l tớch ca hai loi hm s khỏc nhau (ụi khi l tớch ca cựng mt loi hm) - í ngha: Phng phỏp TPTP nhm a tớch phõn phc tp v tớch phõn n gin hoc kh bt hm s di du tớch phõn (cui cựng ch cũn li 1 loi hm s di du tớch phõn) - Cỏch t hp lý: nh nhanh cỏc dng ny ta khi t cho u theo quy tc ln sin x x x x e c l Nht lụ (hm logarit gm ln x hoc log a x ), nhỡ a (hm a thc 1 1 1 0 n n n n P x a x a x a x a ), tam lng (hm lng giỏc gm sin x ; cos x ; tan x hoc cot x ), t m (hm s m gm x a hoc x e ) Vi a thc s m õm, khụng nguyờn ta vn xp vo a thc Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 4 - Đối với nguyên hàm còn lại vdu chúng ta có thể sử dụng bảng nguyên hàm (cơ bản hay mở rộng), phương pháp đổi biến số hay tích phân từng phần một lần (hay vài lần nữa) Chú ý: - Đôi khi tính TPTP mà chưa có một dạng cụ thể ta phải dùng các công thức đại số, lượng giác hoặc kết hợp với phương pháp biến đổi số thì mới xuất hiện các dạng cụ thể Ví dụ 1: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau 4 0 1 cos2 x I dx x Giải: Nhận xét: Tích phân này nếu để nguyên mà tính TPTP thì không ra được vì 1 cos2 x không có trong bảng nguyên hàm chỉ có 2 2cos x là có nguyên hàm nên ta sử dụng công thức nhân đôi 2 2 1 cos2 1 2cos 1 2cos x x x thì lấy nguyên hàm được Ta biến đổi 4 2 0 1 2 cos x I dx x Đặt 2 tan cos u x du dx dx v x dv x Khi đó 4 0 1 1 1 1 tan tan ln cos ln2 4 4 2 2 8 2 8 4 0 0 I x x xdx x Chú ý: - Ta có thể sử dụng công thức (2) như sau 4 4 4 2 0 0 0 1 1 1 1 1 (tan ) tan tan ln cos ln 2 4 4 2 2 2 2 4 8 4 2cos 0 0 x I dx xd x x x xdx x x - Đừng quên 1 2 trước dấu tích phân nhé Ví dụ 2: (ĐHDB – D 2003) Tính tích phân sau 2 1 3 0 x I x e dx Giải: Ta có 2 2 1 1 3 2 0 0 x x I x e dx x e xdx Đặt 2 2 2 dt t x dt xdx xdx Đổi cận 0 0 1 1 x t x t Khi đó 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 2 2 2 2 t t t t e I te dt te e dt e (sử dụng công thức 2) Chú ý: Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 5 - Dĩ nhiên ta không cần biến đổi số mà làm trực tiếp. Ta có 2 2 1 1 3 2 2 0 0 1 2 x x I x e dx x e d x . Đến đây ta có thể sử dụng công thức (1) hoặc công thức (2) tuy là ngắn hơn nhưng độ phức tạp cao hơn nên tôi không đưa ra, bạn đọc tự tìm hiểu nhé Ví dụ 3: (ĐHTCKT – 1998) Tính tích phân sau 4 2 0 2cos 1 I x x dx Giải: Nhận xét: Nếu để nguyên như thế mà tính cũng ra nhưng độ phức tạp cao hơn chính vì thế ta sử dụng công thức hạ bậc 4 4 4 2 0 0 0 2cos 1 2 1 cos2 1 cos2 I x x dx x dx x xdx Đặt sin 2 cos2 2 du dx u x x dv xdx v Khi đó 4 0 sin 2 1 cos2 1 2 . sin 2 4 4 2 2 8 4 8 4 8 0 0 x x I x xdx - Đôi khi tính TPTP ta phải tính đến 2 hay 3 lần TPTP Ví dụ: (ĐH – D 2007) Tính tích phân sau 4 3 2 1 5 1 ln 32 e e I x xdx Giải: Đặt 2 4 3 2ln ln 4 dx du x u x x x dv x v Khi đó 4 4 2 3 1 1 1 1 ln . ln . 1 4 2 4 2 e e x e I x x x dx I Tính 3 1 1 ln . e I x x dx . Đặt 3 4 ln 4 dx du u x x dv x x v Khi đó 4 4 4 3 4 1 1 1 1 3 1 ln . 1 1 4 4 4 16 16 e e e x e e I x x dx x Vậy 4 4 4 4 1 1 1 3 1 5 1 . 4 2 4 2 16 32 e e e e I I - Đôi khi tính TPTP ta còn gặp trường hợp lập lại tích phân ban đầu (tích phân luân hồi) hoặc gặp một tích phân mà làm triệt tiêu một tích phân Ví dụ 1: (TN – 2007) Tính tích phân sau: 2 1 ln e x I dx x Giải: Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 6 Đặt 2 ln 2ln ln dx u x du x x dx dv v x x Khi đó 2 2 1 ln ln .ln 2 1 2 1 e e x I x x dx I x Đến đây ta coi như một phương trình bậc nhất theo I ta được 1 3 I Chú ý: - Đương nhiên ta có thể làm bằng phương pháp biến đổi số Đặt ln dx t x dt x . Đổi cận 1 1 0 x e t x t Khi đó 1 3 2 0 1 1 0 3 3 t I t dt Hoặc: Đưa vào vi phân như sau 2 3 2 1 1 ln ln 1 ln ln 1 3 3 e e e x x I dx xd x x - Để tránh tích TPTP 2 lần ta có thể biến đổi số trước bằng cách đặt ln t t e x t x e dt dx sau đó mới TPTP Ví dụ 2: Tính tích phân sau 4 2 0 (sin cos 1) (1 cos ) x e x x I dx x Giải: 4 4 4 1 2 2 2 0 0 0 (sin cos 1) sin 1 cos(1 cos ) (1 cos ) x x x e x x e e x I dx dx dx I I xx x Tính 4 2 2 0 sin (1 cos ) x e x I dx x Đặt 2 sin 1 1 cos 1 cos x x u e du e dx x dv dx v x x Khi đó 4 4 2 1 0 1 4 1 cos 1 cos 2 2 0 1 2 x x e e e I dx I x x Vậy 4 1 2 2 1 2 e I Chú ý: Nếu như ta tính đồng thời 1 2 và I I thì cũng ra nhưng vừa mất công mà lại dài nên ta chọn tính 1 I hoặc 2 I để làm triệt tiêu đi 2 I hoặc 1 I …Tùy vào từng bài để ta chọn (kinh nghiệm thôi) - Thông thường ta sử dụng CT (1) vì nó dễ nhìn hơn là CT (2) tuy là có dài hơn, muốn sử dụng nhanh CT (2) các bạn phải biết đưa vào biểu thức vi phân Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 7 - Thông thường trong phương pháp TPTP khi lấy nguyên hàm thường chọn hằng số C = 0 việc đó hoàn toàn đúng nhưng không phải lúc cũng chọn C = 0 mà còn phụ thuộc vào tích phân vdu , các bạn có thể chọn C bất kì nhưng chọn làm sao cho tích phân vdu dễ tính và đơn giản nhất Ví dụ 1: (ĐH – A 2012) Tính tích phân 3 2 1 1 ln( 1) x I dx x Giải: Cách 1: Ta có 3 2 1 1 ln( 1) x I dx x = 3 3 2 2 1 1 1 ln( 1) x dx dx x x = 1 3 1 1 x J = 2 3 J . Tính 3 2 1 ln( 1) x J dx x Đặt 2 1 ln 1 1 1 1 1 1 u x du dx x x dv dx v x x x 3 3 1 1 3 3 1 1 1 ln( 1) 1 ln( 1) ln 1 1 dx J x x x x x x 4 ln 4 2ln 2 3 + ln3 = 2 ln 2 ln3 3 . Vậy 2 2 ln 2 ln3 3 3 I Trong bài này chọn C = -1 để dễ tính tích phân vdu . Chúng ta vẫn có thể làm bình thường nhưng tích phân còn lại là tích phân hàm phân thức với mẫu có hai nghiệm đơn phân biệt Các em có thể chọn 1 v x thì khi đó Đặt 2 1 ln 1 1 1 1 u x du dx x dv dx v dx x x 3 3 3 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 4 ln 2 1 3 1 1 1 3 ln 4 ln2 ln ln2 ln 3 1 3 2 J x dx dx dx x x x x x x x Vậy 2 1 3 ln 2 ln 3 3 2 I Cách 2: Đặt 2 1 1 ln 1 1 1 1 u x du dx x dv dx v x x Khi đó 3 3 1 1 1 1 ln( 1) ( 1) dx I x x x x 3 3 1 1 1 1 ln( 1) ln 1 x x x x = 2 2 ln2 ln3 3 3 Ví dụ 2: Tính tích phân /4 2 0 ln(sin cos ) cos x x I dx x Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 8 Giải: Đặt 2 cos sin ln(sin cos ) sin cos 1 sin cos tan 1 cos cos x x u x x du dx x x x x dv dx v x x x Khi đó /4 /4 0 0 cos sin (tan 1)ln(sin cos ) cos x x I x x x dx x = /4 0 3 2ln 2 ( ln cos ) ln2 4 2 x x MỘT SỐ DẠNG CỤ THỂ Ở đây tôi trình bày một số dạng cho những người bắt đầu học cho dễ, còn tôi khuyên các bạn không nên học máy móc theo dạng quá như thế khi thi đại học sẽ rất khó nếu không rơi vào các dạng đã học…Bản thân tôi khi dạy học sinh cũng rất ít khi dạy theo dạng mà dạy theo cách hiểu, như thế gần như bài nào học sinh cũng làm đươc … Hãy làm chủ phương pháp và đọc kĩ những phần chú ý ở trên sẽ rất có ích cho các ban Dạng 1: Tính tích phân n I P x Q x dx với n P x là một đa thức bậc n và 2 2 1 1 ; ;sin ;cos ; , cos sin x x x x x Q e x x a hoặc các hàm này cộng thêm một hằng số thì cách đặt vẫn tương tự Đặt n P x Q x dx u dv (Nếu n P x có bậc n thì ta phải tính tích phân từng phần n lần (mỗi lần n P x sẽ giảm 1 bậc)) Đặc biệt: - Khi ln ;ln ;log ;ln n m x x x f x Q x Đặt n Q x P x dx u dv (nếu ln n Q x x ta phải tính n lần tích phân) - Khi sin ln ;cos ln ;sin log ;cos log a a x xQ x x x Đặt n Q x P x dx u dv (thường thì người ta chọn 1; k n P x Q x x cho đơn giản) Chú ý: Trong dạng này chúng ta sẽ gặp tích phân luân hồi (Sau khi tính tích phân lần thứ hai sẽ trở về tích phân ban đầu) Để nhớ nhanh các dạng này ta khi đặt cho u theo quy tắc ln sin x x x x e Đọc là Nhất lô (hàm logarit), nhì đa (hàm đa thức), tam lượng (hàm lượng giác), tứ mũ (hàm số mũ) Loại 1: Khi 2 2 1 1 ; cos sin Q x x x Bài tập giải mẫu: Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 9 Bài 1: Tính tích phân sau 3 2 4 sin xdx I x Giải: Đặt 2 cot sin u x du dx dx v x dv x Áp dụng công thức tính tích phân từng phần 3 3 2 4 4 9 4 3 1 1 3 3 3 cot cot . ln sin ln 3 36 2 2 sin 3 4 4 xdx I x x xdx x x Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) 3 3 2 4 4 cot sin xdx I xd x x Bài 2: Tính tích phân sau 3 2 0 cos x I dx x Giải: Đặt 2 tan cos u x du dx dx v x dv x Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: 3 3 3 4 2 0 0 0 0 cos 3 sin 3 tan tan 3 3 cos 3 cos cos 0 3 3 ln cos ln 2 3 3 3 0 d x x x I dx x x xdx dx x x x x Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) 3 3 2 0 0 tan cos x I dx xd x x Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: (HVNH HCM – 2000) Tính tích phân sau 1 2 0 sin cos x x I dx x HD: Đặt 2 sin 1 cos 1 tan cos u x x du x dx dv dx v x x Hoặc Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 10 - Tách thành tổng hai tích phân 1 2 3 3 3 2 2 2 0 0 0 sin sin cos cos cos I I x x xdx x I dx dx x x x Tính 1 I bằng TPTP và tính 2 I bằng đổi biến số - Sử dụng trực tiếp công thức (2) ta có 1 1 2 0 0 sin sin tan cos x x I dx x x d x x Bài 2: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau: 4 0 1 ln2 1 cos2 8 4 x I dx x HD: Sử dụng công thức nhân đôi 2 2 1 cos2 1 2cos 1 2cos x x x Khi đó 4 2 0 1 2 cos x I dx x . Đặt 2 tan cos u x du dx dx v x dv x Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) Ta có 4 4 4 2 0 0 0 1 1 1 1 (tan ) tan tan ln ln 2 4 4 2 2 2 4 8 42cos 0 0 x I dx xd x x x xdx x Bài 3: (HVKTMM 2000) Tính tích phân sau: 1 2 0 tan tan1 ln cos1 0,5 I x xdx HD: Phân tích 1 1 2 0 0 cos x I dx xdx x Đặt 2 tan cos u x du dx dx v x dv x Chú ý: Công thức 2 2 1 tan 1 cos x x Bài 4: Tính tích phân sau: 2 0 1 sin 2 xdx I x HD: Biến đổi 2 1 sin 2 1 cos 2 2cos 2 4 x x x rồi mới TPTP Loại 2: Khi sin ;cos Q x x x Chú ý: Đối với dạng này ta có thể sử dụng phương pháp hệ số bất định Nếu bậc của P x bằng hoặc lớn hơn 3 ta nên giải theo phương pháp sau: Bước 1: Ta có ( )cos ( )sin ( )cos I p x xdx A x x B x x C , (1) (A(x) và B(x) cùng bậc với P x ) Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1) : ( )cos '( ) ( ) sin ( ) '( ) cos p x x A x B x A x B x Sử dụng phương pháp hệ số bất định tìm được A(x) và B(x) . trường hợp lập lại tích phân ban đầu (tích phân luân hồi) hoặc gặp một tích phân mà làm triệt tiêu một tích phân Ví dụ 1: (TN – 2007) Tính tích phân sau: 2 1 ln e x I dx x Giải: . Trong bài này chọn C = -1 để dễ tính tích phân vdu . Chúng ta vẫn có thể làm bình thường nhưng tích phân còn lại là tích phân hàm phân thức với mẫu có hai nghiệm đơn phân biệt Các. 0 mà còn phụ thuộc vào tích phân vdu , các bạn có thể chọn C bất kì nhưng chọn làm sao cho tích phân vdu dễ tính và đơn giản nhất Ví dụ 1: (ĐH – A 2012) Tính tích phân 3 2 1 1 ln(