HƯỚNG DẪN GIẢI 42 BÀI TẬP TÍCH PHÂN NĂM 2015

42 BÀI TẬP TÍCH PHÂN NĂM 2015 1) I = 4 2 4 1 1 2cos dx x      2) I = 2 2 0 sin 1 sin2x x xdx     3) I = 2 3 1 sin . 1 cos dx x x     4) I = 3 2 2 4 1 sin 2 .cos dx x x    5) I =  2 4 sin cos 3 0 2 cos 2 .sin 4 x x x xdx           6) I = 4 2 2 3 sin . 1 cos cos x xdx x      7) I = 2 0 1 sin . 1 cos x x e dx x     8) I =     2 3 2 3 sin sin 1 sin sin x x x xdx x x       9) I = 2 2 6 1 sin . sin 2 x x dx     10) I = 6 0 1 cos .cos 4 dx x x           11) I = 2 2 2 0 3sin 4cos 3sin 4cos x x dx x x     12) I =   2 3 4 7sin 5cos sin cos x xdx x x      13) I = 6 0 tan 4 cos2 x dx x           14) I = 2 0 1 cos 2 3sin 1 x x dx x   

GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN WWW.VNMATH.COM 42 BÀI TẬP TÍCH PHÂN NĂM 2015 1) I = 4 2 4 1 1 2cos dx x      2) I = 2 2 0 sin 1 sin2x x x dx     3) I = 2 3 1 sin . 1 cos dx x x     4) I = 3 2 2 4 1 sin 2 .cos dx x x    5) I =   2 4 sin cos 3 0 2 cos 2 .sin 4 x x x xdx           6) I = 2 4 2 3 sin . 1 cos cos x x dx x      7) I = 2 0 1 sin . 1 cos x x e dx x     8) I =     2 3 2 3 sin sin 1 sin sin x x x x dx x x       9) I = 2 2 6 1 sin . sin 2 x x dx     10) I = 6 0 1 cos .cos 4 dx x x           11) I = 2 2 2 0 3sin 4cos 3sin 4cos x x dx x x     12) I =   2 3 4 7sin 5cos sin cos x x dx x x      13) I = 6 0 tan 4 cos2 x dx x           14) I = 2 0 1 cos 2 3sin 1 x x dx x            15) I =   2 3 0 sin sin 3cos x dx x x    16) I = 2 6 1 sin cos 6 dx x x            17) I =   3 2 2 1 ln 4 ln 4 ln e x dx x x x    18) I =     2 2 0 2 1 2 4 x dx x x x      GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN WWW.VNMATH.COM   1 2 0 (x 5 6) 19) I= 2 2013. x x x e dx x e       20) I = 3 1 4 2 0 1 x x x e dx x          21) I = 3 2 sin 0 sinx-sin .sìn2x+ cos2 7 x x e dx x          22) I =   4 2 0 tan tan x x x e dx    23) I =   1 1 2 ln 1 ln e x x dx x x     24) I = 8 3 ln 1 x dx x   25) I =   1 2 1 0 2 2 9 . 3 2 x x x dx     26) I = 1 2 0 1 6 3 x x dx    27) I = 1 2 1 1 1 1 dx x x      28) I =   1 3 2 2 2 0 10 3 1 10 1 1 x x x dx x x       29) I =   2 2 1 2 cot sin 3 4 cos 2cot 3cot 1 . sin x x x x x e dx x       30) I = 4 2 0 tan x xdx   31) I = 1 2 2 3 4 2tan cos x e x x x dx x x                      32) I = 2 0 2 cos4 x xdx   33)   3 2 2 1 ln 1 x x I dx x    34) I = 23 1 ln 1 ln e x dx x   35) I =   1 2 2 0 1 . 1 x x e dx x    36)   4 2 2 0 .log 9 I x x dx    37) I = 1 3 3 4 1 3 2014 x x x dx x    38) I = 1 1 1 2 1 1 x x x e dx x           39) I = ln6 0 3 3 2 7 x x x e dx e e    40) I =   1 4 2 1 3 ln 3 2ln x x x dx        41) I =   1 2 2 0 . 2 x x e dx x    42)     2 2 2 2 1 2 1 2ln ln ln e x x x x dx x x x      GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN WWW.VNMATH.COM H D GIẢI: 1) I = 4 2 4 1 1 2cos dx x      = 4 4 2 2 2 2 4 4 1 1 1 1 . . 1 cos tan 3 cos 2 cos dx dx x x x x            Đặt t = tanx => dt = 2 1 cos dx x . Đổi cận => I = 1 2 1 1 1 dt t    . Đặt t = 3 tanu => dt = 3 (1+tan 2 u)du. Đổi cận => I = 3 9  2) I = 2 2 0 sin 1 sin2x x x dx     =   2 2 2 1 2 0 0 2 2 2 1 2 2 0 0 0 2 1 2 0 sin 1 sìn2x 1 sìn2x 1 1 sìn2x 2 sin cos sin 4 cos 1 1 1 4 cot cot 2 4 2 sin sin 4 4 x x dx dx I I x x x I dx dx dx x x x u x du dx x I x x dv dx v x x x                                                                                    4 0 4 4 dx                   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 sin 1 1 cos2 1 1 1 cos sin 1 sìnx 2 4 2 sin cos sin cos sin 4 sin cos 1 1 1 1 1 cot ln sin cos 4 4 2 sin cos 2 2 2 x x x x I dx dx dx dx x x x x x d x x x dx x x x x                                               Vậy I = 1 2 2 4 I I     3) I = 2 3 1 sin . 1 cos dx x x     . Đặt t = 1 cos x  => 2tdt = - sinxdx. Đổi cận GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN WWW.VNMATH.COM           2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 1 2 1 6 1 ln 1 ln 2 3 3 2 2 2 2 t t tdt dt dt dt I dt t t t t t t t t t t t t                           4) I = 3 2 2 4 1 sin 2 .cos dx x x        2 2 3 3 3 2 4 2 2 2 4 4 4 3 3 3 2 3 4 4 4 sin cos 1 1 . 4sin .cos 4 cos cos sin 2 1 1 1 tan 3 2 3 1 1 tan tan cot 2 tan 4 2 4 3 6 3 x x dx dx dx x x x x x x x d x x x                                   5) I =   2 4 sin cos 3 0 2 cos 2 .sin 4 x x x xdx           = 4 4 1 sin2x 4 1 2 0 0 2 .2sìn2xcos2xdx 2sìn2xcos 2 xdx I I         Tính: I 1 = 4 1 sin2x 0 2 .2sìn2xcos2xdx    . Đặt t = 1 + sìn2x => dt = 2cos2xdx . Đổi cận   2 2 2 1 1 1 1 2 1 .2 2 t t t I t dt t dt dt        . Đặt: 2 2 ln 2 t t du dt u t dv dt v                2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 6 1 .2 2 2 1 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln2 6 1 1 4 2 1 . .2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 t t t t t t I dt dt dt                           Tính: 4 4 2 0 2sìn2x.cos 2 I xdx      4 4 5 4 0 0 1 1 cos 2 cos2 cos 2 5 5 xd x x         GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN WWW.VNMATH.COM Vậy 1 2 2 1 1 2 ln 2 ln 2 5 I I I            6) I = 2 4 2 3 sin . 1 cos cos x x dx x      = 0 2 2 4 4 2 2 2 0 3 3 sin sin sin sin cos cos cos x x x x dx dx dx x x x                 0 4 0 4 2 2 0 3 0 3 1 1 1 1 tan tan cos cos 1 7 3 1 12 dx dx x x x x x                                  7) I = 2 0 1 sin . 1 cos x x e dx x     = 2 2 2 2 2 0 0 0 0 sin . 1 sin 1 cos 1 cos 2 1 cos cos 2 x x x x e dx x e dx e x I dx e dx x x x x                2 2 2 2 0 0 2sin .cos 1 2 2 2 cos 2cos 2 2 x x x x e I dx e dx x x       = 2 2 1 2 2 0 0 1 tan 2 2 cos 2 x x e x I dx e dx I I x         Tính: I 1 = 2 2 0 1 2 cos 2 x e dx x   Đặt 2 1 2tan cos 2 2 x x u e du e dx x dv dx v x                  2 2 1 2 2 0 1 2. tan 2 2 2 x x I e I e I                2 1 2 I I I e      8) I =     2 3 2 3 sin sin 1 sin sin x x x x dx x x       = 2 2 3 3 2 3 3 sin 1 sin x dx dx x x         = I 1 +I 2 GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN WWW.VNMATH.COM Tính: I 1 = 2 3 2 3 sin x dx x    Đặt 2 cot sin u x du dx dx v x dv x               I 1 = - xcot 2 3 3 x    2 2 3 3 3 3 cot ln sin 3 3 xdx x           Tính: I 2 = 2 3 3 1 sin dx x     = 2 3 2 3 sin cos 2 2 dx x x           2 2 3 3 2 3 3 1 cot 2 2 4 sin 2 4 dx x x                         7 5 5 cot cot 2cot 4 2 3 12 12 12          Vậy I = 4 2 3 3    9) I = 2 2 6 1 sin . sin 2 x x dx     = 2 2 6 3 sin . cos 2 x xdx     . Đặt t = cosx => dt = - sinxdx Đổi cận => I = - 3 0 2 2 2 0 3 2 3 3 2 2 t dt t dt      Đặt t = 3 3 sin cos 2 2 u dt udu   I = 3 2     4 4 4 2 0 0 0 3 3 1 3 cos 1 cos2 sìn2u 2 4 4 2 16 udu u du u                   10) I = 6 0 1 cos .cos 4 dx x x           Ta có: cosx. cos (x + 4  ) = cosx ( 1 2 cosx - 1 2 sinx) = 1 2 cos 2 x (1- tanx) => I =   6 2 0 2 cos 1 tan dx x x      6 6 0 0 tan 2 2 ln tan 1 tan 1 d x x x          3 3 2 ln 3    GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN WWW.VNMATH.COM 11) I = 2 2 2 0 3sin 4cos 3sin 4cos x x dx x x     =     2 2 2 2 2 2 0 0 sin cos 3 4 3 1 cos 4cos 3 4 1 sin x x dx dx x x sin x x          = 2 2 2 2 0 0 sin cos 3 4 3 cos 4 sin x x dx dx x x        = I 1 +I 2 Tính: I 1 = 2 2 0 sin 3 3 cos x dx x    Đặt t = cosx => dt = - sinxdx, đổi cận I 1 = 3 1 2 0 3 dt t   Đặt t = 3 tanu => I 1 = = 3 6  Tính: I 2 = 2 2 0 cos 4 4 sin x dx x    = - 4      2 2 0 0 sin sin 2 ln sin 2 sin 2 sin 2 d x x x x x          = ln3 Vậy I = 3 6  + ln3 12) I =   2 3 4 7sin 5cos sin cos x x dx x x      = 2 3 4 1 7sin 5cos 2 2 sin 4 x x dx x              Đặt t = x + 4  => dt = dx Đổi cận => I = 3 4 3 2 2 2 2 2 7 sin . .cos 5 cos . sin . 2 2 2 2 1 sin 2 2 t t t t dt t                   =   3 3 3 4 4 4 3 3 2 2 2 sin 1 2 sin 6 2 cos 1 cot 3 sin 2 sin 2 2 d t t t dt t t t             3 4 2 2 1 3 2 2 2sin t      GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN WWW.VNMATH.COM 13) I = 6 0 tan 4 cos2 x dx x           Ta có: 2 2 2 tan 1 sin tan ;cos2 cos . 1 4 1 tan cos x x x x x x x                      2 2 1 . 1 tan 1 tan x x    => I = -   2 6 2 0 tan 1 tan 1 x dx x     Đặt t = tanx => dt = ( tan 2 x + 1) dt, đổi cận I = -   1 1 3 3 2 0 0 1 1 1 3 1 2 3 1 1 dt t t          14) I = 2 0 1 cos 2 3sin 1 x x dx x            2 2 1 2 0 0 cos .cos 2 3sin 1 x I dx x xdx I I x           * Tính I 1 = 2 1 0 cos 2 3sin 1 x I dx x      ; Đặt 3sin 1 t x   => t 2 = 3sinx + 1 => 2tdt = 3cosx dx     2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2ln 2 2 2ln 2 1 2ln3 3 2 3 2 3 3 t I dt dt t t t t                1 2 4 3 ln 3 3 4 I   * Tính 2 2 0 .cos I x xdx    Đặt cos sin u x du dx dv xdx v x            2 2 2 2 0 0 0 .sin sin cos 1 2 2 I x x xdx x              2 2 2 2 0 0 0 .sin sin cos 1 2 2 I x x xdx x              Vậy: 1 2 4 3 1 ln 3 4 2 3 I I I       GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN WWW.VNMATH.COM 15) I =   2 3 0 sin sin 3cos x dx x x    :sin 3 cos 2sin( ) 3 Do x x x     nên I = 2 3 0 1 sin 8 sin 3 x dx x           Đặt t = x + 3  dt =dx, sinx = sin ( t - 3  ) = 1 3 sin cos 2 2 t t  . Đổi cận I = 5 6 3 3 1 3 sin cos 1 2 2 8 sin t t dt t     =     5 5 6 6 3 3 1 3 cot cot cot 16 16 t td t        = 5 2 6 3 1 3 1 3 3 cot 32 12 6 4 3 4 3 t       16) I = 2 6 1 sin cos 6 dx x x            = 2 6 cos 6 6 2 3 sin .cos 6 x dx x x                            2 6 cos cos sin sin 2 6 6 3 sin .cos 6 x x x x dx x x                              = 2 6 sin 2 cos 6 sin 3 cos 6 x x dx x x                                 = 2 6 2 2 ln sin ln cos .ln 2 6 3 3 x x                   = ln 4 3 * Cách khác: Do sinx.cos (x + 3 1 ) sin cos sin 6 2 2 x x x            2 1 sin 3 cot 1 2 x x   Nên I =     2 2 2 6 6 3 cot 1 1 1 2 2 . sin 3 cot 1 3 3 cot 1 d x dx x x x            2 6 2 ln 3 cot 1 3 x      2 ln4 .ln 2 3 3   GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN WWW.VNMATH.COM 17) I =   3 2 2 1 ln 4 ln 4 ln e x dx x x x    Đặt t = lnx =>dt = 1 dx x , đổi cận I =   1 1 3 2 2 2 2 0 0 1 4 4 2 4 4 t dt t t t dt t t          =         1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 t t dt t t dt t d t t d t                    1 1 3 3 2 2 2 2 0 0 1 1 1 4 4 5 5 3 3 16 6 6 6 t t       *Cách khác: Đặt t = 2 2 4 ln 4 ln x x    2 2 4 8 2 16 8 2 16 ln t x t x           4 2 4 4 2 4 64 16 4 16 ln 4ln 16 t t x x t t         3 3 ln 2 4 x t dx t dt x          ,đổi cận => I =   5 3 5 3 3 2 4 4 1 1 2 2 5 5 3 3 16 4 12 6 t t dt t                     18) I =     2 2 0 2 1 2 4 x dx x x x      =     2 2 0 1 1 1 1 3 x dx x x                 2 2 1 2 2 2 2 0 0 1 1 3 1 . 1 3 dx x dx I I x x x                 Tính I 1 =   2 2 0 1 3 dx x    Đặt x+1 = 3 tant => dx = 3 (1+ tan 2 t)dt, đổi cận     2 3 1 2 6 3 1 tan 3 18 3 1 tan t I dt t          Tính: I 2 =       2 2 2 0 1 1 1 3 x dx x x          Đặt u = (x+1) 2 + 3 =>du = 2(x +1)dx, đổi cận   12 12 12 2 4 4 4 1 1 1 1 1 3 ln3 ln . 2 3 6 3 6 6 du u I du u u u u u                 Vậy I = 3 3ln3 18   [...]...  0  1 => (x+2)ex = t – 2013, dt = [ex+(x + 2)ex]dx = [(x + 3)ex]dx, đổi cận 3e 2013 t  2013 3e 2013 dt  t 2015  2013ln t t  I= 2015 1 20) I =  2 x3 4 x    x e  1  x dx 0  1 Tinh I2 = 4  1 x 0 x 1 1 2 x3 =  x e dx   0 0 4 x 1 x 3e  2013 2015 dx  I1  I 2 1 3 0 1 2015  3e  2  2013ln 1 t e 1 Đặt t = x => dt = 3x dx => I1 =  e dt  30 3 3 x 2 e x dx  Tính I1 = 3e 2013 dx... 1 x 2 e  x 1 I   x.e  x dx   J e 2 x 0 0 1 x Với J  x.e dx  ux  du  dx  x x  dv  e dx v  e  Đặt  0 1 1 1 2   e  x dx    e  x    1 0 0 e e 0 3e Vậy I = e J   x e e 42)  1 e  1 x 1 2 x 2  x 1  2ln x   ln 2 x x 2  x ln x  2 (ln 2 x  2 x ln x  x 2 )  x 2  x x 2  ln x  x  2 dx e e 1 x2  x dx   2 dx   2 dx  A  B 2 x 1 1 x  ln x  x  WWW.VNMATH.COM . 29) I =   2 2 1 2 cot sin 3 4 cos 2cot 3cot 1 . sin x x x x x e dx x         2 2 2 cot cot 1 2 4 cot 2cot 3cot 1 . sin x x x x x e dx x         2 1 cot sin u x du dx x . 0 0 3 3 1 3 cos 1 cos2 sìn2u 2 4 4 2 16 udu u du u                   10) I = 6 0 1 cos .cos 4 dx x x           Ta có: cosx. cos (x + 4  ) = cosx ( 1 2 cosx - 1 2 sinx). 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 sin 1 1 cos2 1 1 1 cos sin 1 sìnx 2 4 2 sin cos sin cos sin 4 sin cos 1 1 1 1 1 cot ln sin cos 4 4 2 sin cos 2 2 2 x x x x I dx dx dx dx x x x x x d x x x