Đề cương môn toán lớp 11 ôn học kỳ 1

Đề cương môn toán lớp 11 ôn học kỳ 1 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các...

www.MATHVN.com Chương PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC A CÔNG THỨC Bảng giá trị lượng giác số cung (góc) đặt biệt π α π π π 2π Tăng dương sinα cosα tanα 2 2 Giảm dương 2 2 Tăng dương 1 3 - Giảm dương 2 Giảm âm - - Giảm dương cotα Khơng có nghĩa 5π Khơng có nghĩa 3π 2 Tăng âm -1 π -1 Giảm âm - -1 - Khơng có nghĩa GTLG góc có liên quan đặc biệt a/ Hai góc đối sin ( −α ) = − sin α cos ( −α ) = cos α tan ( −α ) = − tan α cot ( −α ) = − cot α b/ Hai góc bù sin ( π − α ) = sin α cos (π − α ) = − cos α tan (π − α ) = − tan α cot (π − α ) = − cot α c/ Hai góc phụ π  sin  − α  = cos α 2  π  cos  − α  = sin α 2  π  tan  − α  = cot α 2  π   cot  − α  = tan α   d/ Góc π π  sin  α +  = cos α 2  π  cos  α +  = − sin α 2  π  tan  α +  = − cot α 2  π  cot  α +  = − tan α 2  e/ Góc π sin (α + π ) = − sin α cos (α + π ) = − cos α tan (α + π ) = tan α cot (α + π ) = cot α f/ Với k ∈ ℤ , ta có www.mathvn.com www.mathvn.com www.MATHVN.com sin (α + k 2π ) = sin α ; tan (α + kπ ) = tan α ; www.mathvn.com cos (α + k 2π ) = cos α ; cot (α + kπ ) = cot α www.mathvn.com www.MATHVN.com Các công thức lượng giác Công thức lượng giác sin α ; cos α sin α + cos α = ; tan α = tan α cot α = ; = + tan α ; cos α Công thức cộng sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ; cot α = cos α ; sin α = + cot α sin α tan α − tan β ; + tan α tan β tan α + tan β tan (α + β ) = − tan α tan β tan (α − β ) = sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β ; cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β ; cos (α − β ) = cos α cos β + sin α sin β ; Công thức nhân đôi sin 2α = 2sin α cos α ; cos 2α = cos α − sin α ; cos 2α = − 2sin α ; cos 2α = cos α − ; 2tanα tan2α = − tan α Công thức hạ bậc + cos 2α cos α = ; − cos 2α ; sin α = − cos 2α tan α = + cos 2α Công thức nhân ba cos 3α = cos3 α − 3cos α ; sin 3α = 3sin α − 4sin α Công thức hạ bậc cos3 α = 3cos α + cos 3α ; 4sin α = 3sin α − sin 3α Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos α cos β = cos (α + β ) + cos (α − β )  ;  2 sin α sin β = − cos (α + β ) − cos (α − β )   2 = cos (α − β ) − cos (α + β )  ;  2 sin α cos β = sin (α + β ) + sin (α − β )   2 www.mathvn.com Cơng thức biến đổi tổng thành tích α +β α −β ; cos α + cos β = cos cos 2 α +β α −β ; cos α − cos β = −2sin sin 2 α +β α −β ; sin α + sin β = 2sin cos 2 α +β α −β sin α − sin β = cos sin 2 www.mathvn.com www.MATHVN.com B BÀI TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1 Tính giá trị biểu thức sau : a/ A = sin α + cos α , biết tan α = ; sin α − cos α b/ B = Chứng minh đẳng thức : a/ sin α + cos α = − 2sin α cos α ; 3 tan α + cot α , biết sin α = tan α − cot α b/ cos α − sin α = cos α − ; Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào α : a/ b/ ( cot α + tan α ) − ( cot α − tan α ) sin α + cos α + cos α + 4sin α ; 2 CUNG LIÊN KẾT Tính a/ A = tan1o tan 2o tan 3o … tan 89o ; b/ B = cos10o + cos 20o + cos 30o + … + cos180o CÔNG THỨC CỘNG Cho A, B, C ba góc tam giác Chứng minh : a/ tan A B B C C A tan + tan tan + tan tan = ; 2 2 2 b/ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C a/ Biến đổi biểu thức sin x + cos x dạng A sin ( x + ϕ ) b/ Biến đổi biểu thức sin x + cos x dạng A cos ( x + ϕ ) c/ Biến đổi biểu thức sin x − cos x dạng A sin ( x + ϕ ) ; d/ Biến đổi biểu thức sin x + cos x dạng A sin ( x + ϕ ) Cho a − b = π 2 Tính giá trị biểu thức A = ( cos a + cos b ) + ( sin a + sin b ) CƠNG THỨC NHÂN Tính a/ A = s in6o s in42o sin 66o sin 78o ; b/ B = sin10o sin 50o sin 70o Chứng minh a/ cot x + tan x = c/ ; sin x b/ cot x − tan x = cot x ; sin x = tan x ; + cos x www.mathvn.com d/ − cos x = tan x + cos x www.mathvn.com www.MATHVN.com e/ sin x cos x + = cos x ; sin x cos x f/ cos x = 8cos x − 8cos x + CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 5π π sin 24 24 10 a/ Tính sin 11 b/ Tính cos 5π 7π sin 12 12 Biến đổi tích thành tổng a/ A = cos x cos x ; c/ C = 2sin ( a + b ) cos ( a − b ) ; 12 b/ B = 4sin x sin x sin x ; d/ D = cos ( a + b ) cos ( a − b ) ; Biến đổi tổng thành tích : a/ A = sin x + sin x + sin x + sin x ; c/ C = − sin x ; d/ D = + cos x e/ E = sin a + sin b + sin ( a + b ) ; 13 b/ B = cos 2a + cos 2b + cos ( a + b ) + f/ F = + sin a + cos a Rút gọn biểu thức a/ A = 14 cos 2a − cos 4a ; sin 4a + sin 2a b/ B = sin α + sin 3α + sin 5α cos α + cos 3α + cos 5α Chứng minh a/ cos x cos 3x + sin x sin x = cos x cos x ; π  π  c/ sin x + sin  − x  + sin x sin  − x  = ; 3  3  15 b/ sin x − 2sin x ( cos x + cos x ) = sin x ; π  π  d/ sin x sin  − x  sin  + x  = sin x 3  3  Chứng minh a/ cos x + sin x = b/ cos x − sin x = cos x ; b/ cos x + sin x = + 3cos x ; c/ cos x − sin x = c/ cos8 x − sin x = 16 + cos x ; cos x + cos x Tính S = cos www.mathvn.com π − cos 15cos x + cos x ; 16 2π 3π + cos 7 www.mathvn.com www.MATHVN.com § HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT Hàm số sin : f ( x ) = sin x Hàm số côsin : f ( x ) = cos x Tập xác định D = ℝ Tập xác định D = ℝ Tập giá trị [ −1;1] Tập giá trị [ −1;1] Nhận xét Nhận xét sin x = ⇔ x = π cos x = ⇔ x = k 2π + k 2π sin x = −1 ⇔ x = − π cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π + k 2π cos x = ⇔ x = π + kπ sin x = ⇔ x = kπ Hàm số tang : f ( x ) = tan x Điều kiện xác định : cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ Điều kiện xác định : sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ π  Tập xác định : D = ℝ \  + kπ  2  Tập xác định D = ℝ \ {kπ } Tập giá trị ℝ Tập giá trị : ℝ Nhận xét cot x = ⇔ cos x = ⇔ x = Nhận xét tan x = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ B π + kπ BÀI TẬP 17 Hàm số côtang : f ( x ) = cot x Tìm tập xác định mội hàm số sau : a/ f ( x ) = b/ f ( x ) = c/ f ( x ) = 18 sin x + ; sin x − cot x ; sin x + π  d/ y = tan  x +  3  Tìm tập xác định mội hàm số sau : a/ y = − cos x ; c/ y = 19 tan x + ; cos x − b/ y = − sin x ; cos x ; sin ( x − π ) d/ y = − cos x + sin x Tìm GTLN GTNN hàm số a/ y = 3cos x + ; www.mathvn.com b/ y = 5sin x − ; www.mathvn.com www.MATHVN.com π  c/ y = cos  x +  + ; 5  e/ f ( x ) = cos x − sin x ; 20 d/ f ( x ) = sin x + cos x ; f/ y = + sin x − cos x ; Xét tính chẵn – lẻ hàm số a/ f ( x ) = sin x ; cos x + b/ f ( x ) = sin x + cos x ; d/ y = x cos x c/ y = 3cos x − 5sin x 21 Cho hàm số y = 3cos x a/ Chứng minh hàm số cho hàm số chẵn b/ Chứng minh hàm số cho có chu kỳ T = π c/ vẽ đồ thị hàm số cho 22 Tìm Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số a/ f ( x) = sin11 x + cos11 x ; b/ f ( x) = sin x + cos x ; c/ f ( x) = sin x + cos x ; d/ f ( x) = sin n x + cos n x , với n ∈ ℕ * § PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A LÝ THUYẾT Phương trình sinx = m Xét phương trình sin x = m * Với m ∉ [−1;1] , phương trình sin x = m vơ nghiệm * Với m ∈ [−1;1] , tồn số α cho sin α = b  x = α + k 2π sin x = m ⇔ sin x = sin α ⇔   x = π − α + k 2π (k ∈ℤ)  −π π  Chú ý Với m cho trước mà m ≤ , phương trình sinx = m có nghiệm đoạn  ;   2 Người ta thường kí hiệu nghiệm arcsin m Khi  x = arcsin m + k 2π sin x = m ⇔   x = π − arcsin m + k 2π Phương trình cosx = m * Với m ∉ [−1;1] , phương trình cos x = m vơ nghiệm * Với m ∈ [−1;1] , tồn số α cho cos α = m www.mathvn.com www.mathvn.com www.MATHVN.com  x = α + k 2π cos x = m ⇔ cos x = cos α ⇔   x = −α + k 2π (k ∈ℤ) Chú ý Với m cho trước mà m ≤ , phương trình cosx = m có nghiệm đoạn [ 0; π ] Người ta thường kí hiệu nghiệm arccos m Khi  x = arccos m + k 2π cos x = m ⇔   x = − arccos m + k 2π Phương trình tanx = m, cotx = m Các phương trình ln có nghiệm Với số thực α , ta có tan x = tan α ⇔ x = α + k π (k ∈ℤ) cot x = cot α ⇔ x = α + k π (k ∈ℤ) Chú ý  π π i) Với số m cho trước, phương trình tan x = m có nghiệm khoảng  − ;   2 Người ta thường kí hiệu nghiệm arctan m Khi tan x = m ⇔ x = arctan m + kπ ii) Với số m cho trước, phương trình cot x = m có nghiệm khoảng ( 0; π ) Người ta thường kí hiệu nghiệm arc cot m Khi cot x = m ⇔ x = arc cot m + kπ Công thức ngiệm phương trình lượng giác u = v + k 2π sin u = sin v ⇔  u = π − v + k 2π u = v + k 2π cos u = cos v ⇔  u = −v + k 2π tan u = tan v ⇔ u = v + kπ cot u = cot v ⇔ u = v + kπ với k ∈ ℤ (trong điều kiện biểu thức có nghĩa) Một số trường hợp đặc biệt sin u = ⇔ u = π cos u = ⇔ u = k 2π + k 2π sin u = −1 ⇔ u = − π cos u = −1 ⇔ u = π + k 2π + k 2π cos u = ⇔ u = sin u = ⇔ u = kπ www.mathvn.com π + kπ tan u = ⇔ u = kπ www.mathvn.com www.MATHVN.com cot u = ⇔ u = π + kπ B BÀI TẬP 23 Giải phương trình : a/ sin x = sin π b/ 2sin x + = ; ; d/ sin ( x + 20o ) = sin 60o ; e/ cos x = cos g/ cos ( x + 15o ) = − h/ t an3 x = − ; j/ tan ( x + 10o ) = tan 60o ; 24 f/ cos x + = ; ; ; i/ tan ( x + ) = ; l/ cot ( x + ) = b/ cos ( x + 1) = cos ( x − 1) ; 2x +1 + tan = ; d/ sin x = cos x Giải phương trình sau : a/ cos 2 x = ; b/ cos 2 x − = ; π  c/ cos  x −  = sin x ; 4  d/ cos x + sin 2 x = Tìm nghiệm phương trình sau khoảng cho : b/ cot ( x − ) = với −π < x < π a/ 2sin x + = với < x < π ; 27 Giải phương trình sau : a/ sin x + cos x = ; b/ sin x − cos x = ; c/ sin x + cos x = ; 28 d/ sin x cos x − cos3 x sin x = / Giải phương trình sau : a/ cos x − sin x cos x = ; b/ π  c/ 8sin x.cos x.cos x = cos8  − x  ;  16  29 ; Giải phương trình : c/ tan 26 k/ cot x = ; π  π  a/ sin  x −  = sin  + x  ; 5  5  25 π c/ sin ( x − ) = cos x + sin x = ; π  d/ sin  x +  − sin x = sin x 2  Giải phương trình : a/ cos x.cos x = cos x.cos x ; www.mathvn.com b/ cos x + sin 3x.cos x = sin x.cos x ; www.mathvn.com www.MATHVN.com c/ + cos x + cos x + cos 3x = ; 30 d/ sin x + sin 2 x + sin x + sin x = Giải phương trình sau : a/ sin x sin x = sin x sin x ; b/ sin x + sin x + sin x + sin x = ; c/ sin x + sin 3x = 2sin 2 x ; 31 Tìm tập xác định hàm số sau : a/ y = tan x ; d/ y = 32 d/ sin x + sin x + sin x = cos x + cos 3x + cos x b/ y = cot x ; sin ( − x ) ; cos x − cos x e/ y = c/ y = tan x ; + tan x f/ y = cos x + ; cos x − 1 cot x + Giải phương trình : a/ cos x =0 ; − sin x b/ tan x − =0 ; cos x + c/ sin x cot x = ; d/ tan x = tan x 33 Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; π ) phương trình cos x cos x + cos x + = §4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A DẠNG at + bt + c = ( a ≠ ), với t hàm số lượng giác (sinx, cosx, tanx, cotx, α sin x + β cos x , sin (α x + β ) , B BÀI TẬP 34 , …) sin x Giải phương trình : a/ cos x − 3cos x + = ; c/ 2sin x + 5sin x − = ; 35 b/ cos x + sin x + = ; d/ cot 3x − cot x − = ; Giải phương trình : a/ cos x + cos x − = ; c/ cos x − 5sin x − = ; 36 b/ cos x + cos x + = ; d/ tan x − cot x − = Giải phương trình lượng giác sau : x x a/ sin − cos + = ; 2 c/ cos x − sin x −1 = ; 37 x b/ cos x + 5sin − = ; d/ cos x − 3cos x − = Giải phương trình : a/ tan x + ( ) − tan x − = ; b/ 10 ( ) tan x − − tan x − = ; www.MATHVN.com - Nếu chúng có điểm chung ta nói chúng cắt - Nếu chúng có hai điểm chung, suy điểm đường thẳng nằm mặt phẳng, ta nói đường thẳng chứa mặt phẳng Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng Định lý Nếu đường thẳng a không nằm mặt phẳng (P) song song với đường thẳng chứa (P) a song song với (P) Tính chất Định lý Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) cắt theo giao tuyến song song với a d = ( P ) ∩ (Q )  a // ( P )  ⇒ d // a  a ⊂ (Q )  Hệ Nếu hai mặt phẳng cắt song song với mặt phẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng Định lý Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng Phương pháp chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) - B1 Chọn mặt phẳng (Q) chứa d, tìm giao tuyến a = ( P) ∩ (Q) ; - B2 Chứng minh d // a, từ suy d // (P) Q d a P B BÀI TẬP Vấn đề : CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 60 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SA, N trung điểm BC Chứng minh MN // (SCD) 61 Cho tứ diện ABCD Lần lượt lấy I J cạnh BC CD cho IJ // (ABD) 58 CI CJ Chứng minh = CB CD www.MATHVN.com 62 Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SA Chứng minh SC // ( MBD ) 63 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N, P trung điểm AB, CD SA Chứng minh : MN // (SBC) ; SB // (MNP) ; SC // (MNP) 64 Cho tứ diện ABCD Gọi E F trung điểm AC AD a/ Lấy điểm M nằm hai điểm B C Mặt phẳng (MEF) đường thẳng BD cắt N Chứng minh MN // (ACD) b/ Gọi I điểm nằm A B, IC cắt ME H, ID cắt NF K Chứng minh HK // EF 65 Cho hai hình bình hành ABCD ABEF nằm hai mặt phẳng khác I, J tâm chúng a/ Chứng minh IJ // (ADF) ; IJ // (CDFE) b/ Gọi G H trọng tâm tam giác DAB EAB Chứng minh GH // (CDEF) 66 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AD AD = 2BC Gọi O giao điểm AC BD, G trọng tâm tam giác SCD Chứng minh OG // (SBC) Vấn đề : TÌM GIAO TUYẾN, THIẾT DIỆN 67 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AD Gọi M trung điểm CD, (α ) mặt phẳng qua M song song với SA BC a/ Hãy xác định thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng (α ) b/ Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (α ) (SAC) c/ Chứng minh giao tuyến tìm câu b) song song với mặt phẳng (SAD) 68 Cho tứ diện ABCD Lấy M điểm thuộc miền tam giác BCD Gọi (P) mặt phẳng qua M, song song với AC BD a/ Hãy xác định thiết diện mặt phẳng (P) với tứ diện ABCD b/ Thiết diện câu a/ hình ? 69 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Xác định thiết diện hình chóp SABCD cắt mặt phẳng (α ) qua trung điểm M AB, song song với BD SA 70 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AD Lấy M điểm A B Goi (α ) mặt phẳng qua M, song song với AD SB a/ Mặt phẳng (α ) cắt hình chóp SABCD theo thiết diện hình ? b/ Chứng minh rẳng SD song song với mặt phẳng (α ) BÀI TẬP TỔNG HỢP 59 www.MATHVN.com 71 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AD AD = 2BC Gọi O giao điểm AC BD, G trọng tâm tam giác SCD a/ Chứng minh OG // (SBC) b/ Gọi M trung điểm SD Chứng minh CM // (SAB) 72 Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi M trung điểm SC (α ) mặt phẳng chứa đường thẳng AM, song song với BD Mặt phẳng (α ) cắt SB E Hãy tính tỉ số diện tích hai tam giác SME SBC 73 Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng (α ) chuyển động luôn song song với cạnh BC đồng thời qua trung điểm C’ đoạn SC a/ Mặt phẳng (α ) cắt cạnh SA, SB, SD A’, B’, D’ Tứ giác A’B’C’B’ hình ? b/ Chứng minh mặt phẳng (α ) chuyển động luôn chứa đường thẳng cố định c/ Gọi M giao điểm A’C’ B’D’ Chứng minh mặt phẳng (α ) thay đổi M chạy đường thẳng cố định 74 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Lấy điểm M di động cạnh SC Gọi (α ) mặt phẳng chứa AM song song với BD a/ Chứng minh mặt phẳng (α ) qua đường thẳng cố định M thay đổi b/ Mặt phẳng (α ) cắt SB SD E F Hãy nêu cách dựng E F c/ Gọi I giao điểm ME CB ; J giao điểm MF CD Chứng minh ba điểm I, J, A thẳng hàng §4 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG A LÝ THUYẾT Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) (Q) - Nếu (P) (Q) có điểm chung chúng cắt theo đường thẳng - Nếu chúng khơng có điểm chung ta nói chúng song song Kí hiệu (P) //(Q) (Q) // (P) Nhận xét Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song đường thẳng chứa mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) 60 www.MATHVN.com ( P ) // ( Q )   ⇒ a // ( Q ) a ⊂ ( P)   Điều kiện để hai mặt phẳng song song Điều kiện Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt a b song song với mặt phẳng (Q) (P) song song với (Q) Điều kiện Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) (Q) Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng chứa mặt phẳng (Q) hai măt phẳng (P) (Q) song song Tính chất Tính chất Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng có mặt phẳng song song với mặt phẳng Hệ Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) có mặt phẳng chứa a song song với (Q) Hệ Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song Tính chất Nếu hai mặt phẳng song song (P) (Q) cắt mặt phẳng (R) theo hai giao tuyến a b a b song song Ví dụ Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N trung điểm SA BC Chứng minh MN song song với (SCD) Ví dụ Cho hình chóp SABCD Lấy điểm M nằm A B Hãy xác định thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng (α ) qua M song song với mặt phẳng (SAD) Định lý Ta-lét không gian Định lý (Định lý Talét) Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Định lý (Định lý talét đảo) Giả sử hai đường thẳng chéo a a’ lấy điểm A, B, C A’, B’, C’ cho AB BC CA = = A' B ' B 'C ' C ' A' Khi ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ nằm ba mặt phẳng đôi song song, tức chúng song song với mặt phẳng Hình lăng trụ hình hộp 61 www.MATHVN.com A'5 A'4 A'1 A'2 Q A'3 A5 A4 A1 P A3 A2 Cho hai mặt phẳng (P) (P’) song song Trên (P) cho đa giác A1A2…An Qua đỉnh A1, A2, …,An, ta vẽ đường thẳng song song với cắt mặt phẳng (P’) tai điểm A’1, A’2, …,A’n Dể thấy tứ giác A1A2A’2A’1, A2A3A’3A’2, …, AnA1A’1A’n hình bình hành hai đa giác A1A2…An, A’1A’2…A’n có cạnh tương ứng song song Định nghĩa Hình hợp hình bình hành A1A2A’2A’1, A2A3A’3A’2, …, AnA1A’1A’n hai đa giác A1A2…An, A’1A’2…A’n gọi hình lăng trụ lăng trụ, kí hiệu A1A2…An.A’1A’2…A’n Mỗi hình bình hành nói mặt bên hình lăng trụ Hai đa giác A1A2…An, A’1A’2…A’n gọi hai mặt đáy lăng trụ ; cạnh hai đa giác gọi cạnh đáy ; đoạn thẳng A1A’1, A2A’2, …, AnA’n gọi cạnh bên hình lăng trụ Các đỉnh hai mặt đáy gọi đỉnh hình lăng trụ Nếu đáy lăng trụ tam giác, tứ giác, ngũ giác lăng trụ tương úng gọi lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ ngũ giác 62 www.MATHVN.com Hình hộp Hình lăng trụ có đáy hình bình hành gọi hình hộp B C A D B’ C’ A’ D’ Hình hộp có sáu mặt, mặt hình bình hành Mỗi mặt có mặt song song với Hai mặt thề gọi hai mặt đối diện Hình hộp có tám đỉnh Hai đỉnh gọi hai đỉnh đối diện chúng không nằm mặt Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi đường chéo hình hộp Hình hộp có bốn đường chéo, đường chéo đồng quy trung điểm đường Điểm đồng quy gọi tâm hình hộp Hình hộp có 12 cạnh, chia ba nhóm, nhóm có bốn đường thẳng song song Hai cạnh gọi hai cạnh đối diện chúng song song không nằm mặt hình hộp Hình chóp cụt Cho hình chóp S.A1A2…An mặt phẳng (P) khơng qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy, cắt cạnh SA1, SA2, …, SAn A’1, A’2, …, A’n Hình hợp thiết diện A’1A’2…A’n đáy A1A2…An hình chóp với tứ giác A’1A’2A2A1, A’2A’3A3A2, …, A’nA’1A1An gọi hình chóp cụt, kí hiệu A’1A’2…A’n.A1A2…An Đáy hình chóp gọi đáy lớn hình chóp cụt, cịn thiết diện A’1A’2…A’n gọi đáy nhỏ hình chóp cụt Các tứ giác A’1A’2A2A1, A’2A’3A3A2, …, A’nA’1A1An gọi mặt bên hình chóp cụt Các đoạn thẳng A1A’1, A2A’2, …, AnA’n gọi cạnh bên hình chóp cụt Tùy theo đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác, …, ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác, … Tính chất Hình chóp cụt có - Các mặt bên hình thang ; B Hai đáy hai đa giác có cạnh tương ứng song song tỉ số cạnh tương ứng ; Các đường thẳng chứa cạnh bên đồng quy điểm BÀI TẬP 63 www.MATHVN.com 75 Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N trung điểm SA BC Chứng minh MN song song với (SCD) 76 Cho hình chóp SABCD Lấy điểm M nằm A B Hãy xác định thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng (α ) qua M song song với mặt phẳng (SAD) 77 Cho hình chóp S.ABC, điểm I, J, K trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCA a/ Chứng minh hai mặt phẳng (IJK) (ABC) song song b/ Tìm tập hợp tất điểm M hình chóp S.ABC cho KM // (ABC) 78 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi M, N trung điểm SA SC a/ Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua M, N song song với mặt phẳng (SBD) b/ Gọi I J giao điểm AC với hai mặt phẳng nói Chứng minh AC = IJ 79 Cho hai hình vng ABCD ABEF hai mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC BF lấy điểm M N cho AM = BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M N cắt AD AF M’ N’ Chứng minh (ADF) // (BCE) ; M’N’ // DF MN // (DEF) 80 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi G trọng tâm tam giác SAB I trung điểm đoạn AB Lấy điểm M đoạn AD cho AD = 3AM a/ Đường thẳng qua M song song với AB cắt CI N Chứng minh NG // (SCD) b/ Chứng minh MG // (SCD) 81 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Hai điểm M N nằm hai cạnh AD CC’ cho AM CN = MD NC ' a/ Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ACB’) b/ Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng qua MN song song với mặt phẳng (ACB’) 82 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M M’ trung điểm cạnh BC B’C’ a/ Chứng minh AM song song với A’M’ b/ Tìm giao điểm hai mặt phẳng (AB’C’) với đường thẳng A’M c/ Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng (AB’C’) (BA’C’) d/ Tìm giao điểm G đường thẳng d với mặt phẳng (AMM’) Chứng minh G trọng tâm tam giác AB’C’ 64 www.MATHVN.com 65 www.MATHVN.com BÀI TẬP LÀM THÊM ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 83 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AC, CB K điểm cạnh BD cho BK = 2DK Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng (IJK) & (ACD) ; (IJK) & (ABD) 84 Cho tứ diện ABCD, I J trung điểm AC BC Lấy K điểm cạnh BD cho KB = 2KD Tìm a/ (IJK) ∩ (ACD) ; 85 b/ (IJK) ∩ (ABD) Cho tứ diện ABCD Gọi I J trung điểm AD BC a/ Tìm (IBC) ∩ (JAD) b/ gọi M điểm thuộc AB N thuộc AC Tìm (IBC) ∩ (DMN) 86 Cho hình chóp tam giác SABC Trên đoạn thẳng SA, SB, SC ta lấy điểm A’, B’, C’ không trùng với dầu mút đoạn thẳng Gọi M điểm thuộc miền tam giác ABC a/ Tìm giao điểm đường thẳng B’C’ với mặt phẳng (SAM) b/ Tìm giao điểm đường thẳng SM với mặt phẳng (A’B’C’) 87 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Lần lượt lấy điểm M, N, P cạnh SA, SB, SC cho không điểm trùng với điểm S Hãy xác định giao điểm đường thẳng SD mặt phẳng (MNP) 88 Cho hình chóp tứ giác SABCD Lần lượt lấy điểm M N cạnh SC AB Hãy xác định giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) 89 Cho hình chóp SABCD Điểm M N thuộc cạnh BC SD a/ Tìm I= BN ∩ (SAC) b/ Tìm J= MN ∩ (SAC) c/ Chứng minh I, J, C thẳng hàng d/ Xác định thiết diện hình chóp với (BCN) 90 Cho tứ diện ABCD Gọi E F lần kượt trung điểm AD CD G đoạn AB cho GA= 2GB a/ Tìm M = GE ∩ mp(BCD), b/ Tìm H = BC ∩ (EFG) Suy thiết diện (EFG) với tứ diện ABCD Thiết diện hình ? c/ Tìm (DGH) ∩ (ABC) 91 Cho hình chop SABCD Gọi O = AC ∩ BD Một mp(α) cắt SA, SB, SC, SD A’, B’, C’, D’ Giả sử AB ∩ C’D = E, A’B’ ∩ C’D’ = E’ a/ Chứng minh: S, E, E’ thẳng hàng 66 www.MATHVN.com b/ Chứng minh A’C’, B’D’, SO đông qui HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 92 Cho hình bình hành ABCD điểm S ngồi mp(ABCD) a/ Tìm (SAD) ∩ (SBC) b/ M SC Tìm (MAB) ∩ (SCD) c/ (SAC) ∩ (SBD) = ? d/ Điểm N thuộc SC cho SC = 3SN Xác định hình tính thiết diện tạo mp(NAD) với hình chóp e/ Tìm I = AN ∩ (SBD) Chứng minh I trung điềm SO 93 Cho tứ diện ABCD cạnh a, gọi I, J trung điểm AC, BC Gọi k điểm ∈ BD cho KB = 2KD a/ Xác định thiết diện (IJK) với tứ diện ABCD b/ C.Minh thiết diện hình thang cân c/ Tính diện tích thiết diện 94 Cho hình bình hành ABCD ABEF khơng đồng phẳng lấy M ∈ AC N ∈ BF cho AM BN = = Chứng minh MN//DE AC BF ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG 95 Cho tứ diện ABCD, gọi M N trung điểm BC BD a/ (AMD) ∩ (ACD) b/ Một mặt phẳng (α ) qua CD cắt AM AN F E Tứ giác CDEF hình gì? c/ CF ∩ DE = k Chứng minh A, B, k thẳng hàng d/ Chứng minh giao điểm CE DF đường thẳng cố định (α ) thay đổi 96 Cho hình chop SA BCD có đáy ABCD hình bình hành a/ Tìm (SAC) ∩ (SBD); (SA B) ∩ (SCD), (S BC) ∩ (SAD) b/ Một mp (α ) qua CD, cắt SA SB E F Tứ giác CDEF hình gì? Chứng tỏ giao điểm DE CF luôn đường thẳng cố đinh c/ Gọi M, N trung điểm SD BC K điểm đoạn SA cho KS = 2KA Hãy tìm thiết diện hình chop SABCD mp (MNK) 97 Cho hình bình hành ABCD ABEF không đồng phẳng a/ Gọi O O’ tâm ABCD ABEF Chứng minh OO’//(ADF) (BCE) b/ Gọi M, N trọng tâm ∆ ABD ∆ ABE Chứng minh MN // (CEF)\ 67 www.MATHVN.com 98 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm BC, CD a/ Chứng minh MN // (ABD) b/ Gọi G G’ trọng tâm ∆ ABC ∆ ACD Chứng minh GG’ // (BCD) 99 Cho hình chóm sABCD, đáy hình thang ABCD với AB // CD,và AB = 2CD a/ Tìm (SAD) ∩ (SCD) b M trung điểm SA, tìm (MBC) ∩ (SAD) (SCD) c/ Một mặt phẳng (α ) di động qua AB, cắt SC SD H K Tứ giác A BHK hình gì? d/ Chứng minh giao điểm BK AH nằm đường thẳng cố định 100 Cho hình chop SABCD Gọi M, N, P trung điểm SA, SD, BD a/ Chứng minh AD //(MNP) b/ NP // (SBC) c Tìm thiết diện (MNP) với hình chóp Thiết diện hình gì? 101 Cho hình chop SA BCD đáy ABCD hình bình hành M điểm di động SC MP (α ) AM v song song với BD a/ Tìm giao điểm E & F mp (α ) với SB SD, b Gọi I = ME ∩ CB, J = MF ∩ CD Chứng minh A, I,J thẳng hàng HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 102 Cho hình chop SABCD, H, I, K trung điểm SA, SB, SC a/ Chứng minh (HIK) // (ABCD) b/ Gọi J = OD ∩ (HIK) Chứng minh JK // CD JH // AD 103 Cho hình chop SABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA, SD a/ Chứng minh (OMN) // (SBC) b/ Gọi P Q trung điểm AB ON Chứng minh PQ //(SBC) 104 Cho hình vng ABCD ABEF không đồng phẳng Trên AC BF lấy điểm M, N cho AM = BN Một mp (α ) qua M, N song song với AB cắt AD, AF M’, N’ b/ (DEF) // (α ) a/ Chứng minh : (CBE) // (ADF) 105 Cho hình bình hành ABCD Dựng nửa đường thẳng song somg nằm phía hình bình hành qua điểm A, B, C,D Một mp (α ) cắt bốn nửa đường thẳng nói A’, B’, C’ , D’ a/ Chứng minh (AA’, B B’) // (CC’, DD’) 68 www.MATHVN.com b/ Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành c/ Chứng minh AA’+ CC’= BB’ + DD’ 69 www.MATHVN.com Sở Giáo Dục Đào Tạo Trường THPT NGUYỄN KHUYẾN ĐỀ THI HỌC KỲ – MƠN TỐN LỚP 11 Tổ TỐN CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Thời gian làm : 90 phút A PHẦN TRẮC NGHIỆM ( 15 phút – điểm ) Câu Chia quà khác cho người, số cách chia quà : A 120 B 25 C 32 D 20 Câu Cho tập hợp E gồm 10 phần tử Số tập hợp chứa phần tử E : A B 20 C 90 D 45 Câu Cho 10 điểm phân biệt Số vectơ có gốc trùng với số 10 điểm : A 20 B 45 C 90 D 100 Câu Số số tự nhiên chẳn có chữ số khác lấy từ chữ số E = {1, 2,3, 4,5, 6, 7} : A 840 B 630 D Một kết khác C 360 Câu Trong mp(Oxy), phép tịnh tiến biến điểm A(-3,4) thành điểm B(1,-2) phép tịnh tiến theo : A v = (4, 6) B v = (4, −6) C v = (−4, −6) D v = (2, −5) Câu Trong mp(Oxy), cho I(1, 2) M(3, -1) Anh M phép đối xứng tâm I có tọa độ : A (5, −4) B (2,1) C (−1, 3) D (−1, 5) Câu Trong mp(Oxy), ảnh điểm M(2,-1) qua phép vị tự tâm I(1, 2), tỉ số k = -3 : A (−2,11) B (−2, 0) C (1,11) D (3,11) Câu Trong mp(Oxy), ảnh đường tròn tâm I(3, 1), bán kính 2, phép đối xứng qua trục Ox có phương trình : A x + y − x − y + = B x + y − x + y + = C x + y − x − y + = C x + y + x + y + = B PHẦN TỰ LUẬN ( 75 phút – điểm ) Bài ( điểm ) Giải phương trình b/ 2sin x + sin x cos x + cos x = a/ cos x = cos x − sin x ; Bài ( điểm) a/ Một hộp đựng cầu trắng, cầu xanh cầu vàng Người ta chọn ngẫu nhiên cầu hộp Tính xác suất để có cầu màu cầu chọn b/ Có cách chọn người từ nhóm người gồm nam nữ, biết người 70 www.MATHVN.com chọn phải có nam lẫn nữ Bài ( điểm ) Tính hệ số x5 biểu thức thu gọn đa thức P( x) = (1 + x)12 + (2 x − 3)15 Bài ( điểm ) Cho tứ diện ABCD Gọi P Q điểm hai đoạn thẳng BC BD ; M điểm đoạn AC Giả sử không tồn đường thẳng song song hình vẽ tốn a/ Tìm giao điểm đường thẳng AB mặt phẳng (MPQ) Suy giao điểm N đường thẳng AD mặt phẳng (MPQ) b/ PQ cắt CD I Tìm giao tuyến mp(MPQ) với mp(ACD) Nhận xét vị trí M, N, I ? c/ DP CQ cắt E; MQ NP cắt F Chúng tỏ A, E, F thẳng hàng ĐỀ (NK, HKI 2008 – 2009) Câu Giải phương trình x ; a/ sin x + sin x + 3cos x = ; b/ cos x + 3cos x + = 4sin π  c/ 3cos x + sin  x −  = sin x ; 4  d/ sin x cos x + cos3 x sin x = sin 4x Câu a/ Từ chữ số lập số tự nhiên có chữ số ? b/ Trong số tự nhiên câu a/, có số có hai chữ số ? c/ Tính xác xuất để gia đình năm có hai trai Câu Từ nhóm người gồm nam nữ, người ta chọn ngẫu nhiên người a/ Tính xác suất để người chọn gồm nam nữ b/ Tính xác suất để có nam người chọn Câu Trong khai triển ( x − 3) (với n ∈ ℕ * ), hệ số x n − 405 Tính n n Câu Cho hình bình hành ABCD điểm S khơng nằm mặt phẳng chứa ABCD a/ Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau : (SAC) (SBD) ; (SAB) (SCD) b/ Một mặt phẳng (α ) qua BC, cắt SA N cắt SD M Chứng minh MN // BC c/ Chứng tỏ giao điểm BN CM luôn đường thẳng cố định M di động SA d/ Gọi G trọng tâm tam giác SAB ; K điểm cạnh AC cho // (SCD) 71 AK = Chứng minh GK AC www.MATHVN.com ĐỀ (NK, HKI 2009 – 2010) Câu Giải phương trình lượng giác sau : π  a/ sin x + cos  − x  = ; 3  b/ cos x = + cos x ; c/ sin x − 3 sin x cos x + cos x = ; d/ 8cos x = + sin x cos x Câu Trong khai triển ( + x ) (với n ≥ , n ∈ ℕ ), hệ số x n − 264 Tính n n Câu a/ Có số tự nhiên gồm bốn chữ số khác khác ? b/ Có số tự nhiên gồm bốn chữ số khác khác 0, phải có chữ số ? Câu Từ hộp đựng bi xanh, bi đỏ bi vàng, người ta lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất để a/ bi lấy màu ; b/ bi lấy gồm dủ ba màu Câu Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành ABCD tâm O a/ Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng (SAC) (SBD) ; (SAD) (SBC) b/ Một mặt phẳng (P) di động chứa CD cắt SA SB E F Tứ giác CDEF hình gì? Chứng tỏ giao điểm I CE DF nằm đường thẳng cố định (P) di động c/ Gọi M N trung điểm AD SC Tìm giao điểm H MN mp(SBD) Chứng tỏ H trung điểm MN 72 ... trường định chọn học sinh tiên tiến lớp 11 A lớp 12 B Hỏi nhà trường có cách chọn, biết lớp 11 A có 31 học sinh tiên tiến lớp 12 B có 22 học sinh tiên tiến ? b/ Một trường THPT cử hai học sinh dự trại... trại hè toàn quốc Nhà trường định chọn học sinh tiên tiến lớp 11 A lớp 12 B Hỏi nhà trường có cách chọn, biết lớp 11 A có 31 học sinh tiên tiến lớp 12 B có 22 học sinh tiên tiến ? 2 a/ Giả sử từ tỉnh... triển (1 − 2x ) có (1 − x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a15 x15 15 15 a/ Tính a9 b/ Tính a0 + a1 + a2 + + a15 c/ Tính a0 − a1 + a2 − a3 + + a14 − a15 51 a/ Biết hệ số x khai triển (1 − 3x )