tài liệu môn toán giải tích lớp 12 chương 2

tổng hợp tài liệu ôn tập môn toán ,tài liệu ôn tập môn toán đầy đủ chi tiết dành cho học sinh lớp 12 và giáo viên nghiên cứu học tập và tham khảotổng hợp tài liệu ôn tập môn toán ,tài liệu ôn tập môn toán đầy đủ chi tiết dành cho học sinh lớp 12 và giáo viên nghiên cứu học tập và tham khảo

1 Định nghĩa luỹ thừa

aα = − = 1

),

(

limr n r n ∈Q n∈N*

=

2 Tính chất của luỹ thừa

• Với mọi a > 0, b > 0 ta có:

α

α α α

α α β

α β α β

α β

α β

α β

α

b

a b

a b

a ab a

a a

a

a a

Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

3 Định nghĩa và tính chất của căn thức

• Căn bậc n của a là số b sao cho b n =a.

• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a <n b

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a <n b

Chú ý:

+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n Kí hiệu n a

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.

4 Công thức lãi kép

Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.

Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: C A= (1 )+r N

CHƯƠNG II HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT CHƯƠNG II

HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

I LŨY THỪA

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau::

6

4 2 3

2

a b c bc

x >

1 Định nghĩa

• Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta có: loga b= ⇔ α aα=b

Chú ý: log a b có nghĩa khi  > >a b 0,0 a≠1

• Logarit thập phân: lgb= logb= log 10b

• Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb= loge b (với e lim 1 1 n 2,718281

• log 1 0a = ; loga a=1; loga a b =b; aloga b =b b( >0)

• Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > 0 Khi đó:

+ Nếu a > 1 thì log a b>loga c⇔ >b c

+ Nếu 0 < a < 1 thì log a b>loga c⇔ <b c

3 Các qui tắc tính logarit

4 Đổi cơ số

Với a, b, c > 0 và a, b ≠ 1, ta có:

• logb logloga

a

c c

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

a h) log 6.log 9.log 23 8 6 i) 92log 2 4log 5 3 + 81

k) 81log 5 3 +27log 36 9 +34log 7 9 l) 25log 6 5 +49log 8 7 m) 53 2log 4− 5

n) 9log 316 +4log 218 o) 31 log 4+ 9 +42 log 3− 2 +5log 27125 p) log 3.log 366 3

q) lg(tan1 ) lg(tan 2 ) lg(tan89 )0 + 0 + + 0

r) log log (log 16) log log (log 64)8 4 2  2 3 4 

Bài 2. Cho a > 0, a ≠ 1 Chứng minh: log (a a+ >1) log (a+1 a+2)

II LOGARIT

HD: Xét A = log (log (a 1 1)2) loga 1 .log (a 1 2) loga 1 log (2 a 1 2)

Bài 3. So sánh các cặp số sau:

a) log 4 và log3 41

Bài 4. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho log 14 a2 = Tính log 32 theo a.49

b) Cho log 3 a15 = Tính log 15 theo a.25

c) Cho lg3 0,477= Tính lg9000 ; lg 0,000027 ;

81

1log 100 d) Cho log 2 a7 = Tính 1

2

log 28 theo a.

Bài 5. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho log 7 a25 = ; log 5 b2 = Tính 3

5

49log

8 theo a, b

b) Cho log 3 a30 = ; log 5 b30 = Tính log 1350 theo a, b 30

c) Cho log 7 a14 = ; log 5 b14 = Tính log 28 theo a, b.35

d) Cho log 3 a2 = ; log 5 b3 = ; log 2 c7 = Tính log14063 theo a, b, c.

Bài 6. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa):a) bloga c =cloga b b) log ( )ax log1 loga loga

l) logloga loglogb logloga

1 Khái niệm

a) Hàm số luỹ thừa y x= α (α là hằng số)

Số mũ α Hàm số y x= α Tập xác định D

Chú ý: Hàm số y x= 1n không đồng nhất với hàm số y=n x n N( ∈ *).

b) Hàm số mũ y a= x (a > 0, a ≠ 1)

• Tập xác định: D = R

• Tập giá trị: T = (0; +∞)

• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

• Đồ thị:

c) Hàm số logarit y=loga x (a > 0, a ≠ 1)

• Tập xác định: D = (0; +∞)

• Tập giá trị: T = R

• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng

III HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT III HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

2 Giới hạn đặc biệt

với x nếu n chẵn

x x

2

x

x

x x

x

x

x x

1lim

3

x x

e x

+

=

2 5 2

21

x y

x

−

=+

11

Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=ln(2x2+ +x 3) b) y=log (cos )2 x c) y e= x.ln(cos )x d) y=(2x−1)ln(3x2+x) e) y 1 x3 x

Bài 5. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:

a) y x e= −x22; xy′ = −(1 x y2) b) y= +(x 1) ;e x y y e′ − = x

c) y e= 4x+2e−x; y′′′−13y′ −12y=0 d) y a e= −x+b e −2x; y′′+ ′ +3y 2y=0g) y e= −x.sin ;x y′′+2y′+2y=0 h) y e= −x.cos ;x y( )4 +4y=0

i) y e= sinx; y′cosx y− sinx y− ′′ = 0 k) y e= 2x.sin 5 ;x y′′ − ′ +4y 29y=0

2 Một số phương pháp giải phương trình mũ

a) Đưa về cùng cơ số: Với a > 0, a ≠ 1: a f x( )=a g x( ) ⇔ f x( )=g x( )

Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: a M =a N ⇔ −(a 1)(M N− ) 0=

IV PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Chia 2 vế cho 2 ( )f x

b , rồi đặt ẩn phụ t a f x( )

b

 

=  ÷ 

• Dạng 3: a f x( )+b f x( ) =m, với ab=1 Đặt t a= f x( )⇒b f x( )=1t

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

• Đoán nhận x 0 là một nghiệm của (1)

• Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x 0 là nghiệm duy nhất:

( ) đồng biến và ( ) nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt) ( ) đơn điệu và ( ) hằng số

• Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì ( ) f u = f v( )⇔ =u v

e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt

a)4x +2x+1− =8 0 b) 4x+1−6.2x+1+ =8 0 c) 34 8x+ −4.32 5x+ +27 0=

d) 16 17.4 16 0x − x+ = e) 49x+7x+1− =8 0 f) 2x x2− −22+ −x x2 =3

7 4 3+ + +2 3 =6 h)4cos2x +4cos2x =3 i) 32 5x+ −36.3x+1+ =9 0k) 32x2+ +2 1x −28.3x x2+ + =9 0 l) 4x2+2−9.2x2+2+ =8 0 m) 3.52 1x− −2.5x−1=0,2

Bài 14.Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):

a) 25x−2(3−x).5x +2x− =7 0 b) 3.25x−2+(3x−10).5x−2+ − =3 x 0c) 3.4x+(3x−10).2x+ − =3 x 0 d) 9x+2(x−2).3x+2x− =5 0

e) 4x2+x.3 x +31+ x =2.3 x x2+2x+6 f) 3.25x−2+(3x−10).5x−2+ − =3 x 0g) 4 +( –8)2 +12 –2x x x x=0 h) (x+4).9x − +(x 5).3x+ =1 0

i) 4x2 +(x2−7).2x2 + −12 4x2 =0 k) 9−x− +(x 2).3−x−2(x+ =4) 0

Bài 15.Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2):

a) 64.9 84.12x− x+27.16x =0 b) 3.16x+2.81x =5.36x c) 6.32x−13.6x+6.22x =0d) 25x +10x =22 1x+ e) 27x +12x =2.8x f) 3.16x+2.81x =5.36x

Bài 19.Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):

a) 2x = cos ,x4 với x ≥ 0 b) 3x2− + 6 10x = −x2+6x−6 c) 3sin x = cosx

Bài 23.Tìm m để các phương trình sau:

a) 16x+2.81x =5.36x

b) 16x 8x (2 1).4x 2x

c) 4x2 −2x2 + 2+ =6 m có 3 nghiệm phân biệt

d) 9x2 −4.3x2 + =8 m có 3 nghiệm phân biệt.

1 Phương trình logarit cơ bản

Với a > 0, a ≠ 1: loga x b= ⇔ =x a b

2 Một số phương pháp giải phương trình logarit

a) Đưa về cùng cơ số

Với a > 0, a ≠ 1: log ( ) log ( )a f x = a g x ⇔ f x f x( )( ) 0 (=>g x( )hoặc g x( ) 0)>

V PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

b) Mũ hoá

Với a > 0, a ≠ 1: log ( ) log ( )a f x b

a f x = ⇔b a =a

c) Đặt ẩn phụ

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

e) Đưa về phương trình đặc biệt

f) Phương pháp đối lập

Chú ý:

• Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.

• Với a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1: alogb c =clogb a

Bài 1. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) log2x x( −1)=1 b) log2x+log (2 x− =1) 1

c) log (2 x− −2) 6.log1/8 3x− =5 2 d) log (2 x− +3) log (2 x− =1) 3

e) log (4 x+ −3) log (4 x− = −1) 2 log 84 f) lg(x− +2) lg(x− = −3) 1 lg5

g) 2 log (8 2) log (8 3) 2

3

i) log (3 x2− =6) log (3 x− +2) 1 k) log (2 x+ +3) log (2 x− =1) 1/ log 25

l) log4x+log (104 − =x) 2 m) log (5 x− −1) log (1/5 x+ =2) 0

n) log (2 x− +1) log (2 x+ =3) log 10 12 − o) log (9 x+ −8) log (3 x+26) 2 0+ =

Bài 2. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) log3x+log 3 x+log1/3x=6 b) 1 lg(+ x2−2x+ −1) lg(x2+ =1) 2 lg(1−x)c) log4x+log1/16x+log8x=5 d) 2 lg(4+ x2−4x+ −1) lg(x2+19) 2 lg(1 2 )= − x

e) log2x+log4x+log8x=11 f) log (1/2 x− +1) log (1/2 x+ = +1) 1 log1/ 2(7−x)g) log log2 2x=log log3 3x h) log log2 3x=log log3 2x

i) log log2 3x+log log3 2x=log log3 3x k) log log log2 3 4x=log log log4 3 2x

Bài 3. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

g) log (2x x2−5x+ =6) 2 h) logx+3(x2− =x) 1

i) log (2x x2−7x+12) 2= k) log (2x x2−3x− =4) 2 l) log (2x x2−5x+ =6) 2 m) log (x x2− =2) 1

Bài 5. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) log23x+ log23x+ − =1 5 0 b) log22 x+3log2x+log1/2x=2

c) log 2 log4 7 0

6

2 2

p) log (222 − −x) 8log (21/4 − =x) 5 q) log25x+4 log 525 x− =5 0

v) log2x x2−14 log16x x3+40log4x x =0

Bài 6. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) log32x+ −(x 12) log3x+ − =11 x 0 b) 6.9log2x +6.x2 =13.xlog 62

g) log (23 x+ + −1) (x 5)log (3 x+ −1) 2x+ =6 0 h) 4 log3x− −1 log3 x =4

i) log (2 x2+3x+ +2) log (2 x2+7x+12) 3 log 3= + 2

Bài 7. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) log7x=log (3 x+2) b) log (2 x− +3) log (3 x− =2) 2

c) log (3 x+ +1) log (25 x+ =1) 2 d) (x log 6x) x

g) xlog 9 2 =x2.3log 2x−xlog 3 2

h) log3 7x+ (9 12+ x+4 ) logx2 + 2 3x+ (6x2+23x+21) 4=

log x− x −1 log x+ x − =1 log x− x −1

Bài 8. Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

a)x x+ log 3 2 =xlog 5 2 (x>0) b) x2+3log 2x =5log 2x

e) log (2 x2− − + =x 6) x log (2 x+ +2) 4 f) x+2.3log 2x =3

g) 4(x−2) log ( 2 x− +3) log (3 x−2)=15(x+1)

Bài 9. Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):

a) log2x+2.log7x= +2 log log2x 7x b) log log2x 3x+ =3 3.log3x+log2x

c) 2 log( 9x)2 =log log3x 3( 2x 1 1+ − )

Bài 10.Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):

Bài 12.Tìm m để các phương trình sau:

a) log 42( x−m) = +x 1 có 2 nghiệm phân biệt

b) log23x−(m+2).log3x+3m− =1 0 có 2 nghiệm x1, x2 thoả x1.x2 = 27

4 log x +log x m+ =0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như:

• Phương pháp thế

• Phương pháp cộng đại số

• Phương pháp đặt ẩn phụ

VI HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

x x

=+

1

32

2

y

x

y x

2 2

y x

Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:

a)

6logx y x log y 3

5)log(log

1loglog

27

23 3

log

x y

xy x y

32

x y

a) 23 94 94

log

3

13

2 2

2

y x y

x

y x y

x x

• Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit

VIII BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

– Đưa về cùng cơ số.

– Đặt ẩn phụ

Bài 1. Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số):

a) log5(1−2x)<1+log 5(x+1) b) log 1 2log2( − 9x) <1

21(log

n) (4x2−16x+7).log (3 x− >3) 0 o) (4x −12.2x+32).log (22 x− ≤1) 0

Bài 3. Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) log2x+2 log 4 3 0x − ≤ b) log 1 25( − x)< +1 log 5(x+1)

c) 2 log5x−log 125 1x < d) log 64 log 16 32x + x2 ≥

2log

4

1

2 2

+

>

1log 2.log 2

Bài 4. Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

a) ( x 1)log+ 20,5x+(2x+5)log0,5x+ ≥6 0 b) log2(2x +1)+log3(4x +2)≤2

x x x

+

>

+

e) log2x m+ >log2x f) logx m− (x2− >1) logx m− (x2+ −x 2)

Bài 6. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với:

logy x (4 ) 0

y x

− +

Bài 1. Giải các phương trình sau:

e) 9x2−1−36.3x2−3+ =3 0 f) 34 8x+ −4.32 5x+ +28 2 log= 2 2g) 32 1x+ =3x+2+ 1 6.3− x +32( 1)x+ h) ( 5+ 24) (x + 5− 24)x =10i) 91 log+ 3x−31 log+ 3x−210 0= k) 4lg 1x+ −6lgx −2.3lgx2+2=0

l) 2sin 2x +4.2cos 2x =6 m) 3lg(tan )x −2.3lg(cot ) 1x + =1

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

x x

− + − <

x x

2 logx 5 −3logx 5 1 0+ = b) log1/3x−3 log1/3x + =2 0

c) log22x+2 log2 x − =2 0 d) 3 2 log+ x+13 2 log (= 3 x+1)

log log (x −5)>0g)

2

2 1/2

x x

+ + >

Bài 8. Giải các hệ phương trình sau:

2 2

y

x xy

32

x y

y x

y x