tổng hợp tài liệu môn toán phần đạo hàm

tổng hợp tài liệu ôn thi môn toán ,tổng hợp đầy đủ kiến thưc học tập môn toán dành cho học sinh lớp 10 và giáo viên nghiên cứu và học tâptổng hợp tài liệu ôn thi môn toán ,tổng hợp đầy đủ kiến thưc học tập môn toán dành cho học sinh lớp 10 và giáo viên nghiên cứu và học tâp

Trần Thành Minh - Phan Lưu Biên – Trần Quang Nghĩa

GIẢI TÍCH 11

www.saosangsong.com.vn

CHƯƠNG V ĐẠO HÀM

§1 Đạo h àm & ý nghĩa hình học của đa ïo hàm

A Tóm tắt giáo kh

Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khỏang (a,b) và xo thuộc

oa tại một điểm :

1 Đạo hàm của hàm số

Chú ý : Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại điểm xo thì hàm số này liên tục tại đ ểm xi o

2 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng :

)

D là một khoảng ( hay hợp của nhiều khoảng

Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên D khi nó có đạo hàm tại mọi điểm xo thuộc D

ược gọi là đạo

Khi đó ta có một hàm số xác định trên D : y’ = f’( x ) với mọi x thuộc D Hàm số này đ

hàm của hàm số y = f ( x )

Đạo hàm của một số hàm số thường gặp :

(C là một hằng số)

của đạo hàm : Cho hàm số y = Ý nghĩa hình học

Hệ số góc của tiếp

f ( x ) có đạo hàm tại điểm xo , đồ thị của hàm số là ( C

Như thế , phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại M (

xo , yo) thuộc ( C ) có dạng :

( t ) : y = f’( x o ) ( x – x ) + f(x )

B Giải tóan

Dạng 1 : Tính đạo hàm của hàm số tại x 0

Ta thường thực hiện các bước sau :

™ Cho xo một số gia Δ xvà tinh số gia Δy

™ Lập tỉ số y ( ) ( )o ( o ) ( )o

o

f x

Δ = Δ

− Δ và tìm giới hạn của tỉ số này khi

o) Giới hạn này, nếu có, là đạo hàm f’(x

Ví dụ : Tính đạo của các hàm số sau tại xo

b) y = f ( x ) = 2 1

2

x x

++ tại xo = 1

Dạng tóan 2 : Tính đạo hàm của hàm số

Ta thường thực hiện các bước sau : Gọi x0 là một giá trị thuộc tập xác định của f

™ Tính đạo hàm f’(x0) theo xo

™ Thay x bằng xo ta được đạo hàm f’(x)

Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau :

a) y = x3 + 3x – 2 b) y = 2

1

x x

++ c)

1 ( )

f x f x y

2 0

Dạng toán 3 : Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = f ( x ) tại điểm M

Sử dụng công thức : Phương trình của tiếp tuyến tại M là: y = f’ (x o ) (x – x o ) + f(x o )

Ta thường gặp các trường hợp sau:

a) Cho hoành độ x0 (hay tung độ f(x0) của điểm M) : ta phải tìm f(x0) (hay x0) và f’(x0), rồi áp dụng công thức

b) Cho biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng k : Giải phương

trình f’(xo) = k ta tìm được xo , suy ra f(x o ) Rồi áp dụng

c) Cho biết tiếp tuyến với ( C ) qua một điểm cho trước A

( xA , yA ) : Ta thực hiện các bước sau :

™ Viết phương trình của tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ;

f(x0)) bất kì theo ẩn x0 là (t ) : y = f’(xo) ( x – xo) +

f(x0)

™ Tiếp tuyến này qua A nên : yA – yo = f’(xo) (xA –

xo)

™ Giải phương trình này ( ẩn là xo ) ta tìm được xo

Suy ra PT tiếp tuyến cần tìm

Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của hàm số y = f ( x ) = x2 biết

a) Tiếp điểm có hòanh độ bằng – 3

b) Tiếp tuyến này song song với đường thẳng d : y = 2x + 3

c) Tiếp tuyến này đi qua điểm A (- 1 , - 3)

Giải :

a)Ta có : y’ = f’(x) = 2x xo= - 3 , suy ra yo= (- 3)2 = 9 ; f’(xo) = 2(-3) = -6 Vậy phương trình của tiếp tuyến này là : y = - 6( x + 3) + 9 hay y = - 6x - 9

b) Phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm (xo, yo) thuộc ( C ) có dạng : y = 2xo(x –xo) + x02 Tiếp

tuyến này song song với d : y = 2x + 3 nên : 2xo = 2 (hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau)

hay xo= 1 Vậy phương trình của tiếp tuyến này là : y = 2( x – 1) + 1 hay y = 2x – 1

c)Phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm (xo , yo) thuộc ( C ) có

Thế vào (1), ta được y = 2x – 1 hay y = -6x – 9

Có 2 tiếp tuyến của (C) đều qua điểm A

Ví dụ 2 : ( C ) là đồ thị của hàm số 1

2

x y x

+

=

− và cho biết : 2

3 '

y x

−

=

−

a) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp điểm có tung độ bằng 4

b) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng

d : 3y – x + 1 = 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 dưới dạng y = ax + b

Aùp dụng: tìm trên O x những điểm A sao cho không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua

Giải :

Ta có : hàm số xác định khi x ≠ 2 và ' 3 2

y x

3x−3 => hệ số góc của đường thẳng d là 1

3 Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến phải tìm , ta có

3

k = − ⇔ = −k ( vì 2 đường thẳng vuông góc với nhau khi tích số 2 hệ số góc bằng -1 )

Gọi xo là hòanh độ tiếp điểm của tiếp tuyến này , ta có : y’(xo) = - 3

C Bài tập rèn luyện

5.1 Tính đạo hàm các hàm số sau tại giá trị xo tương ứng

−+ c) y = x x − 1

5.3 Cho biết hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = a là f’(a) , tìm các giới hạn sau :

5.4 ( C ) là đô thị của hàm số y = x

a) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm M thuộc ( C ) có hòanh độ bằng 1

b) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm N thuộc ( C ) có tung độ bằng 2

c) Viết phương trình tiếp tuyến của © biết tiếp tuyến qua điểm

5.5 ( C ) là đồ thị của hàm số : 2 3

3

x x y

x

+ +

= +

a) Chứng minh đạo hàm: ' 2 62

x x y

x

+

= +

b) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại giao điểm của ( C ) với đường thẳng d : y = 5

c)* Gọi M , N là 2 điểm trên ( C ) sao cho tiếp tuyến với ( C ) tại M , N song song với nhau Hai điểm M ,

N sẽ đối xứng với nhau qua điểm cố định nào ?

x x

x x

x x

= −

⎡ + +

Với x = - 2 : y’ = - 8 => Phương trình tiếp tuyến là : y = - 8x – 11

Với x = 6: Phương trình tiếp tuyến là : 8 1

y= x−

b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến với ( C ) tại M , N và x1 , x2 là hòanh độ tiếp điểm M , N , ta có :

Vậy hòanh độ trung điểm I của MN bằng – 3

Tung độ trung điểm I là :

Hai điểm M , N nhận I ( - 3 , - 5 ) làm trung điểm nên đối xứng qua I cố định

Tóm lại , 2 điểm M , N trên ( C ) có tiếp tuyến với ( C ) tại M , N song song với nhau thì luôn đối xứng qua điểm I ( - 3 , - 5 )

§2 Quy tắc tính đạo hàm

A Tóm tắt giáo khoa

1 Các quy tắc tính đạo hàm

(u = u(x) , v = v(x) , w = w( x) có đạo hàm và k

là một hằng số )

B Gỉai tóan

Dạng tóan 1 : Tính đạo hàm bằng công thức

Xét xem hàm số cho thuộc dạng nào : y = u + v

– w ; y = u.v ; y = u

v hoặc y là hàm số hợp

[ ( ) ]

y = f u x ( u , v , w là những hàm số thường

gặp ) và áp dụng các công thức tính đạo hàm

Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau :

−+

ad bc y

cx d

−

= +

Áp dụng công thức này , tính đạo hàm của các hàm số sau :

2

y x

1

u x

u x

Dạng tóan 2 : Một số bài tóan có liên quan đến đạo hàm

Ví dụ 1 : Cho hàm số : y = x3 + 3x2 +10x – 3 , dồ thị là ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

Giải :

Hệ số góc của tiếp tuyến với ( C ) tại tiếp điểm có hòanh độ x là :

y’ = 3x2 + 6x +10 = 3 ( x+ 1)2 +7 ≥ 7 ; dấu “ = “ xảy ra khi x = - 1

Vậy trong tất cả các tiếp tuyến với ( C ) , tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7 là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ứng với x 0 = - 1 => f(x9) = f(- 1) = - 11

Phương trình tiếp tuyến là : y = 7 ( x + 1 ) – 11 hay : y = 7x –4

Ví dụ 2* : f(x) là một đa thức thỏa hệ thức : f’(x).f(x) = f’(x) + f(x) +2x3 + 2x2 – 1 (1)

a) Đa thức f(x) có bậc bằng bao nhiêu ?

Tóm lại , đa thức f(x) có bậc bằng 2

b) Như thế f(x) có dạng : f(x) = ax2 + bx +c Suy ra : f’(x) = 2ax + b (1) thành :

( ax2 + bx + c – 1) ( 2ax + b – 1 ) = 2x3 + 2x2 hay

2a2x3 + ( 3ab – a )x2 + ( 2ac – 2a + b2 – b )x + ( b – 1 ) ( c – 1 ) = 2x3 + 2x2 Do đó :

2 2

Ví dụ 3 : f(x) là một đa thức có bậc lớn hơn hay bằng 2 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để f(x)

chia hết cho ( x—a )2 là : f(a) = f’(a) = 0

Áp dụng : Chứng minh rằng đa thức f(x) sau chia hết cho ( x – a )2

f(x) = nxn+1 – ( n + 1) axn +an+1

Giải :

Điều kiện cần : f(x) chia hết cho ( x – a )2 nên : f(x) = ( x – a )2 g(x) Suy ra :

f’(x) = 2( x – a ) g(x) + ( x – a )2 g’(x) Do đó : f(a) = f’(a) = 0

Điều kiện đủ : Chia f(x) cho ( x – a )2 , ta có : f(x) = ( x – a )2 g(x) + Ax + B Suy ra :

Ví dụ 4* : Cho hàm số : y x2 2 mx m

x m

=

+ ( m là tham số khác 0 ) , đồ thị là ( C )

a) Gọi A(xA , 0 ) là một điểm chung của ( C ) và trục Ox Chứng minh rằng tiếp tuyến với ( C ) tại A có hệ số góc bằng 2 A 2

b) Định m để ( C ) cắt Ox tại 2 điểm A , B phân biệt và tiếp tuyến với ( C ) tại A và B vuông góc với nhau

Giải :

a) Hệ số góc của tiếp tuyến với ( C ) tại A bằng k = y’(xA) Mà :

2 2

2 2

b) ( C ) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt A , B khi phương trình x2 2 mx m 0

x m

+ 1

có 2 nghiệm phân biệt hay phương trình x2 – 2mx + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt hay :

b) Ta có :

3 3

x

f x

C Bài tập rèn luyện

5.6 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của hàm số : y = 2x2 + x biết :

a) Tiếp điểm có tung độ bằng 3

b) Tiếp tuyến này song song với đường thẳng y = 9x + 2

c) Tiếp tuyến này qua điểm A ( 0 , -2 )

5.7 ( C ) là đồ thị của hàm số : y = x3 +2x2 +3x – 5 Chứng minh rằng ta không thể tìm được hai tiếp tuyến với ( C ) sao cho chúng vuông góc với nhau

5.8 Cho hàm số : y = x3 – 3x2 + x , đồ thị là ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết rằng tiếp tuyến này tạo với Ox một góc 45o

5.9 Cho hàm số : y = - x3 +6x2 – 3x +14 , đồ thị là ( C ) Trong tất cả các tiếp tuyến với ( C ) , viết phương trình của tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất

5.10 Cho hàm số : x 1

3

+

y= , đồ thị là ( C ) A (0 , a) là một điểm trên Oy Tìm điều kiện của a để từ

x−

A ta vẽ được 2 tiếp tuyến với ( C ) mà 2 tiếp điểm nàm hai bên đường thẳng x = 3

5.11 Cho hàm số : 22

ax bx c y

5 14 Tính giới hạn các hàm số sau:

5.16 Tính đạo hàm của hàm số y = (1 + x)n bằng 2 cách , suy ra giá trị của biểu thức:

D Hướng dẫn Đáp số

5.9 y’ = - 3x2 +12x – 3 = - 3 ( x2 – 4x + 4 ) + 9 Gía trị lớn nhất của y’ là 9 đạt được khi x = 2 Phương trình tiếp tuyến với ( C ) có hệ số góc lớn nhất là :

y = 9x + 2

5.10 Phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại ( x0 , yo ) thuộc ( C ) là :

0 2

0

0 2

2

2 2

2 2

Cho x = 1 vào (1) và (2), ta được : = n.2n -1

5.16 Xét hàm số y = x + x2 + x3 + + xn + 1 = 1 1 1

− − (1) (tổng n + 1 số hạng của một cấp

số nhân) Lấy đạo hàm hai vế, ta được :

§3 Đạo hàm của các hàm số lượng giác

A.Tóm tắt giáo khoa

1.Giới hạn

0

sinlim

x

x x

→

Định lí 1 : Ta có

0

sinlim

x

x x

→ = 1 (với x tính bằng rad)

2 Đạo hàm của các hàm số lượng giác

a) Đạo hàm của hàm số y = sinx

Định lí 2 : Với mọi x ∈R , ta có (sinx)’ = cosx

Hệ quả 1 : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì : (sinu)’ = (cosu).u’

b) Đạo hàm của hàm số y = cosx

Định lí 3 : Với mọi x ∈R , ta có (cosx)’ = - sinx

Hệquả 2 : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì : (cosu)’ = (- sinu).u’

c) Đạo hàm của hàm số y = tanx

cos u = [1 + tan 2 u).u’

d) Đạo hàm của hàm số y = cotx

Định lí 5 : Với mọi x ≠ k π ( k∈ Z) ,ta có (cotx)’= 12

Bảng tóm tắt cần nhớ :

(sinx)’ = cosx (sinu)’ = cosu u’

(cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - sinu u’

Dạng 1 : Giới hạn của hàm số lượng giác

Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi hàm số cần tìm giới hạn về dạng

x

x x

→

0

1 cos 6lim

tan

x

x x

2

Dạng 2 : Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số lượng giác

Ví du 1 : Dùng địngh nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = xsinx

sin 2

Δ Δ

= x0cosx0 + sinx0 Vậy y’(x0) = sinx0 + x0cosx0

Ví dụ 2 : Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số

x x

x

x x

π π

Dạng 3 : Dùng công thức tính đạo hàm của hàm số lượng giác

Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau :

a) y = 3sinx – 2cosx b) y = sin cos

x x

x x

−+

c) y = xcosx d) y = tan x e) y = 1

1 cot x+

Giải

a) Ta có y’ = 3cosx + 2sinx

b) Ta có y’ = (cos sin )(sin cos ) (sin 2 cos )(sin cos )

= (sin cos )2 (sin 2 cos )2 2 2

Ví dụ 2 : Tính đạo hàm của các hàm số :

a) y = sin 1 + x2 b) y = cos32x c) y = tan2x – cot(x2 + 1) d) y = sin2xcos4x

Giải

2 x− x ⇒ y’ = 3cos6x – cos2x

Ví dụ 3 : Tính đạo hàm của hàm số y = 1 cos 2 sin 2 cot

y’ = 4sin 2 4cos 22 4sin 2 cos2 2 . 21 cos 2 sin 2

= 4(sin 2 1) cos sin 2 (1 cos 2 sin 2 )(1 cos 22 sin 2 )

sin (1 cos 2 sin 2 )

= 2sin 2 (sin 2 21) (1 2sin 2 sin 2 ) cos 222 2

sin (1 cos 2 sin 2 )

Giải thích kết quả :

Ta có y = 2sin22 2sin cos cos 2sin (sin cos ) cos

C.Bài tập rèn luyện

5.17 Tìm giới hạn sau :

osm

tan

x

x x x

5.18 Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = cos2x

5.19 Tính đạo hàm của các hàm số

a) y = xcosx – sinx b) y = cos3x c) y = sin3x.cos2x

5.20 Tính đạo hàm các hàm số :

a) y = sin2x + cos 3x b) y = sin33x c) y = cos4 (2x -

3

d) y = 1 tan 4x + e) y = (1 – sinx)(1 + tan2 x) f) y = cos2 x( 1 + sin2x)

5.21 Tính đạo hàm các hàm số sau và giải thích kết quả

a) y = sin6 x + cos6 x + 3sin2 x cos2 x b) y = sin64 cos64 1

5.22 Cho y = cos2x - 2 3cosx Gíi phương trình y’ = 0

5.23 Cho hàm số y= 4sinx + 3cosx + mx Định m để để phương trình y’ = 0 có nghiệm

D.Hướng dẫn giải

5.19 a) y’ = 1.cosx – xsinx – cosx = - xsinx

b) y’ = - 3cos2 x.sinx

c) y’ = 3sin2 x.cos3 x – 2cosx.sin4 x = sin 2 xcosx( 3cos2 x – 2 sin2 x)

d) y’ = 1 - 12

sin x - tan2 x 12

cos x = 1 – (1 + cot2 x) – tan2 x( 1 + tan2 x) = - ( cot2x + tan2x + tan4x )

e) y’ = sin

2 1 cos

x x

5.20 a) y’ = 2cos2x – 3sin3x

b) y’ = 9sin23x.cos3x

e) y’ = - cosx(1 + tan2x) + (1 – sinx) 2tanx(1 + tan2x)

= (1 + tan2x)( - cosx + 2tanx – 2sinxtanx) =

f) y’ = -2 cosxsinx(1 + sin2x) + cos2x.2cos2x

= 2cosx(sinxsin2x – sinx – cosxcos2x) = -2cosx(cos3x + sinx)

5.21 a) Ta có y’ = 6sin5xcosx – 6cos5xsinx + 3 (2sinxcos3x – 2cosxsin3x)

= 6sinxcosx(sin4x – cos4x + cos2x – sin2x)

= 6sinxcosx[(sin2x + cos2x)(sin2x – cos2x) + cos2x – sin2x)]= 0

Giải thích ta có a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a+b)

Với a = sin2x và b = cos2x thì a + b = 1

Vậy y = a3 + b3 + 3ab = [(a + b)3 – 3ab] + 3ab = 1 Suy ra y’ = 0

b) (sin6x + cos6x – 1)’ = 6sin5xcosx – 6cos5x sinx = 6sinxcosx(sin4x – cos4x)

= 6sinxcosx[(sin2x + cos2x)(sin2x - cos2x)]

Giải thích : đặt a = sin 2 x và b = cos2 x ta có a + b = 1

sin6x + cos6x – 1 = [(a + b)3 – 3ab – 1] = -3ab

sin4x + cos4x – 1 = [(a + b)2 – 2ab – 1] = -2ab

Vậy y= 3/2 Suy ra y’ = 0

5.22 y’= -2sin2x + 2 3sinx = -2( 2sinxcosx - 3sinx)

= -2sinx(2cosx - 3)

5.23 y’ = 4cosx – 3sin x + m

Do đó y’ = 0 ⇔3sinx – 4cosx = m

Phương trình có nghiệm khi m2 ≤ 9 + 16 = 25 ⇔-5≤ m ≤ 5

§4 Vi phân

A.Tóm tắt giáo khoa

1 Khái niệm vi phân

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x vàΔx là số gia của biến số tại x

Tích f ’(x) x, kí hiệu là df(x),được gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại điểm x ứng với số gia Δ Δx đã

cho Vậy df(x) = f’(x) x Δ

* Nếu lấy f(x) = x thì df(x) = dx = (x)’ x= Δ Δx

Vậy df(x) = f’(x) dx hay dy = y’dx

2 Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng

Nếu Δ x khá nhỏ và thì f’(x0) = 0 0

Dạng 2 : Tính giá trị gần đúng

Ví dụ : Tính giá trị gần đúng của sin(300 20’)

Giải

Xét hàm số y = f(x) = sinx Nếu x tính bằng radian thì f’(x) = cosx

C Bài tập rèn luyện

5.21 Tính vi phân của hàm số f(x) = 3

x tại điểm x = 1 ứng với Δx = 0,01

5.22 Tính vi phân của hàm số f(x) = cos2x tại điểm x =

3

π ứng với Δx = 0.001

5.23 Tính vi phân của các hàm số :

a) y = cos2 x b) y = 2tan3x – 3 cot2x c) y = x2+ 1 d) y = xcos2x

5.24 Tính giá trị gần đúng của :

a) 3 27, 24 b) sin310 c) cos60030’

D Hướng dẫn giải

5.21 Ta có f(x) =

1 3

x do đó f’(x) =

2 3