Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 90 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
90
Dung lượng
2,04 MB
Nội dung
GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Đinh nghóa: Hàm số f đồng biến K (x1, x2 K, x1 < x2 f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến K (x1, x2 K, x1 < x2 f(x1) > f(x2) Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f đồng biến khoảng I f(x) 0, x I b) Nếu f nghịch biến khoảng I f(x) 0, x I Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f (x) 0, x I (f(x) = số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f (x) 0, x I (f(x) = taïi số hữu hạn điểm) f nghịch biến I c) Nếu f(x) = 0, x I f không đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực bước sau: – Tìm tập xác định hàm số – Tính y Tìm điểm mà y = y không tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y x x b) y x x x c) y x 2x2 1 4 x 15x 2x 1 d) y e) y x5 3x Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y 6 x x x d) y 2x 1 x2 g) y x x HTTP://THAYTOAN.NET b) y e) y x2 x2 x x 3x h) y x x c) y x2 x x2 x f) y x 2 x i) y x x Trang Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 x 2 k) y sin x l) y sin x x x 2 VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) Cho hàm số y f ( x, m) , m tham số, có tập xác định D Hàm số f đồng biến D y 0, x D Hàm số f nghịch biến D y 0, x D Từ suy điều kiện m Chú ý: 1) y = xảy số hữu hạn điểm 2) Nếu y ' ax bx c thì: a b c y ' 0, x R a a b c y ' 0, x R a 3) Định lí dấu tam thức bậc hai g( x ) ax bx c : Nếu < g(x) dấu với a b ) 2a Nếu > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a Nếu = g(x) dấu với a (trừ x = 4) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x ) ax bx c với số 0: x1 x2 P S x1 x2 P S x1 x2 P 5) Để hàm số y ax bx cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) d ta thực bước sau: Tính y Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến: a (1) Biến đổi x1 x2 d thaønh ( x1 x2 )2 x1x2 d (2) Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Bài Chứng minh hàm số sau đồng biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y x x 13 Trang b) y x3 3x2 9x c) y 2x 1 x2 HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 x2 2x x 2mx e) y 3x sin(3x 1) f) y x 1 xm Bài Chứng minh hàm số sau nghịch biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: d) y a) y 5x cot( x 1) b) y cos x x c) y sin x cos x 2 x Baøi Tìm m để hàm số sau đồng biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) nó: x mx a) y x 3mx (m 2) x m b) y 2x 3 mx xm Bài Tìm m để hàm số: d) y e) y x 2mx xm c) y xm x m f) y x 2mx 3m2 x 2m a) y x x mx m nghịch biến khoảng có độ dài b) y x mx 2mx 3m nghịch biến khoảng có độ dài baèng 3 c) y x (m 1) x (m 3) x đồng biến khoảng có độ dài Bài Tìm m để hàm số: a) y x3 (m 1) x (m 1) x đồng biến khoảng (1; +) b) y x 3(2m 1) x (12m 5) x đồng biến khoảng (2; +) c) y mx (m 2) đồng biến khoảng (1; +) xm d) y xm đồng biến khoảng (–1; +) x m e) y x 2mx 3m2 đồng biến khoaûng (1; +) x 2m 2 x x m f) y nghịch biến khoảng ; 2x 1 VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau: Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc f(x0), với x (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) f c) Nếu x0 điểm cực trị f điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị đồ thị hàm số f II Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm f (x0) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm đạo hàm III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x0 có đạo hàm (a; b)\{x0} a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 Trang HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f (x0) < f đạt cực đại x0 b) Nếu f (x0) > f đạt cực tiểu x0 VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí Tìm f (x) Tìm điểm xi (i = 1, 2, …) mà đạo hàm đạo hàm Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trị xi Qui tắc 2: Dùng định lí Tính f (x) Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2, …) Tính f (x) f (xi) (i = 1, 2, …) Neáu f (xi) < hàm số đạt cực đại xi Nếu f (xi) > hàm số đạt cực tiểu xi Bài Tìm cực trị hàm soá sau: a) y x x x4 x2 x 3x g) y x 2 d) y b) y x x x e) y x x 3x x h) y x 1 c) y x x 15 x x4 f) y x2 2 x x 15 i) y x 3 Baøi Tìm cực trị hàm số sau: 4x2 2x 1 a) y ( x 2)3 ( x 1)4 b) y d) y x x e) y x x 2x2 x c) y 3x x x2 x f) y x x x Bài Tìm cực trị hàm số sau: 3 x2 2x 1 a) y x b) y d) y x x ln x e) y x 4sin x c) y e x 4e x f) y x ln(1 x ) VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f (x0) = x0 đạo hàm Để hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f (x) đổi dấu x qua x0 Chú ý: Hàm số bậc ba y ax bx cx d có cực trị Phương trình y = có hai nghiệm phân biệt Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: HTTP://THAYTOAN.NET Trang Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 + y( x0 ) ax03 bx02 cx0 d + y ( x0 ) Ax0 B , Ax + B phần dư pheùp chia y cho y ax bx c P( x ) = (aa 0) có cực trị Phương trình y = có hai nghiệm a' x b' Q( x ) b' phân biệt khác a' Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: P ( x0 ) P '( x0 ) y ( x0 ) hoaëc y( x0 ) Q( x0 ) Q '( x0 ) Hàm số y Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai Khi giải tập loại thường ta sử dụng kiến thức khác nữa, định lí Vi–et Bài Chứng minh hàm số sau có cực đại, cực tiểu: a) y x 3mx 3(m 1) x m3 c) y x m(m2 1) x m xm b) y x 3(2 m 1) x m(m 1) x d) y x mx m x m 1 Bài Tìm m để hàm số: a) y (m 2) x x mx có cực đại, cực tiểu b) y x 3(m 1) x (2m2 3m 2) x m(m 1) có cực đại, cực tiểu c) y x 3mx (m 1) x đạt cực đại x = d) y mx 2(m 2) x m có cực đại x x 2mx e) y đạt cực tiểu x = xm x (m 1) x m 4m f) y có cực đại, cực tiểu x 1 x2 x m g) y có giá trị cực đại x 1 Bài Tìm m để hàm số sau cực trị: a) y x x 3mx 3m c) y x mx x 3 b) y mx 3mx (m 1) x d) y x (m 1) x m 4m x 1 Bài Tìm a, b, c, d để hàm soá: a) y ax bx cx d đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = 27 b) y ax bx c có đồ thị qua gốc toạ độ O đạt cực trị –9 x = Trang HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 x bx c đạt cực trị –6 taïi x = –1 x 1 ax bx ab d) y đạt cực trị x = vaø x = bx a c) y e) y ax x b đạt cực đại x = x2 1 Bài Tìm m để hàm số : a) y x 2(m 1) x (m m 1) x 2(m2 1) đạt cực trị hai ñieåm x1, x2 cho: 1 (x x ) x1 x2 2 x mx mx đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 x2 1 c) y mx (m 1) x 3(m 2) x đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 x2 3 b) y Baøi Tìm m để đồ thị hàm số : a) y x mx coù hai điểm cực trị A, B AB 900m 729 b) y x mx x m coù điểm cực trị A, B, C tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm Bài Tìm m để đồ thị hàm số : a) y x mx 12 x 13 có hai điểm cực trị cách truïc tung b) y x 3mx 4m có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường phân giác thứ c) y x 3mx 4m có điểm cực đại, cực tiểu phía đường thẳng (d): 3x y VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trị 1) Hàm số bậc ba y f ( x ) ax bx cx d Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) điểm cực trị thì: y1 f ( x1 ) Ax1 B y f ( x ) Ax B 2 Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm đường thẳng y = Ax + B P( x ) ax bx c 2) Hàm số phân thức y f ( x ) Q( x ) dx e P '( x0 ) Giả sử (x0; y0) điểm cực trị y0 Q '( x0 ) Giả sử hàm số có cực đại cực tiểu phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị HTTP://THAYTOAN.NET Trang Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 y aáy laø: P '( x ) 2ax b Q '( x ) d Bài Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số : a) y x x x b) y x x x2 x d) y x 3 c) y x x x x2 x e y x 2 Bài Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số: 2 a) y x 3mx 3(m 1) x m c) y x 3(m 1) x (2m 3m 2) x m(m 1) x mx b) y xm x mx m d) y x m 1 Bài Tìm m để hàm số: a) y x 3(m 1) x 6(m 2) x coù đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + b) y x 3(m 1) x 6m(1 2m ) x có điểm cực đại, cực tiểu đồ thị nằm đường thẳng y = –4x c) y x mx x có đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – d) y x x m x m có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng (): y x 2 III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Định nghóa: Giả sử hàm số f xác định miền D (D R) f ( x ) M , x D a) M max f ( x ) D x D : f ( x ) M f ( x ) m, x D b) m f ( x ) D x D : f ( x0 ) m Tính chất: a) Nếu hàm số f đồng biến [a; b] max f ( x ) f (b), f ( x ) f (a) [ a;b ] [ a;b ] b) Neáu hàm số f nghịch biến [a; b] max f ( x ) f (a), f ( x ) f (b) [ a;b ] [ a;b ] VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách lập bảng biến thiên Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng Trang HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 Tính f (x) Xét dấu f (x) lập bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên để kết luận Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [a; b] Tính f (x) Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm x1, x2, …, xn [a; b] (nếu có) Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn) So sánh giá trị vừa tính kết luận M max f ( x ) max f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) [a ; b ] m f ( x ) f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) [ a; b ] Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: a) y x x b) y x x d) y x x e) y x 1 x2 2x x2 x 1 ( x 0) h) y x x2 x Bài Tìm GTLN, GTNN hàm soá sau: g) y x c) y x x f) y i) y x2 x x2 x4 x2 x3 x a) y x x 12 x treân [–1; 5] b) y x x treân [–2; 3] c) y x x treân [–3; 2] ( x 0) d) y x x treân [–2; 2] e) y 3x treân [0; 2] x 3 f) y x 7x g) y treân [0; 2] x2 h) y x 1 treân [0; 4] x 1 1 x x2 1 x x2 treân [0; 1] i) y 100 x treân [–6; 8] k) y x x Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: 2sin x a) y b) y c) y 2sin x cos x sin x cos x cos x d) y cos x 2sin x e) y sin3 x cos3 x g) y x x x x f) y x2 x x2 h) y x x x x IV ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ Định nghóa: Điểm U x ; f ( x ) đgl điểm uốn đồ thị hàm số y = f(x) tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho hai khoảng (a; x0) (x0; b) tiếp tuyến đồ thị điểm U nằm phía đồ thị khoảng tiếp tuyến nằm phía đồ thị Tính chất: HTTP://THAYTOAN.NET Trang Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai khoảng chứa điểm x0, f(x0) = f(x) đổi dấu x qua x0 U x ; f ( x ) điểm uốn đồ thị hàm số Đồ thị hàm số bậc ba y ax bx cx d (a 0) có điểm uốn tâm đối xứng đồ thị Bài Tìm điểm uốn đồ thị hàm số sau: a) y x x x b) y x x x c) y x x x4 d) y 2x2 e) y x 12 x 48 x 10 f) y x x x Baøi Tìm m, n để đồ thị hàm số sau có điểm uốn ra: x3 (m 1) x (m 3) x ; I(1; 3) 3 2 d) y x mx nx ; I ; 3 3 a) y x x 3mx 3m ; I(1; 2) b) y c) y mx nx ; I(1; 4) x3 3mx ; I(1; 0) f) y mx 3mx ; I(–1; 2) m Bài Tìm m để đồ thị hàm số sau có điểm uoán: e) y x5 4 x mx x (4m 3) x 5x b) y x2 Bài Chứng minh đồ thị hàm số sau có điểm uốn thẳng haøng: a) y a) y d) y g) y 2x 1 b) y x2 x 2x 1 e) y x2 x 3x h) y x 1 c) y x2 x f) y x2 x 3x x 3x x2 x2 2x x2 x i) y x2 3x x2 1 Bài Tìm m, n để đồ thị hàm số: x3 x2 4x a) y x x x mx m có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2) x3 x mx có điểm uốn đường thẳng y x 3 c) y x mx n coù điểm uốn Ox b) y V ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ Định nghóa: Đường thẳng x x0 đgl đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y f ( x ) điều kiện sau thoả mãn: lim f ( x ) ; lim f ( x ) ; x x0 x x0 lim f ( x ) ; x x0 lim f ( x ) x x0 Đường thẳng y y0 đgl đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y f ( x ) Trang 10 HTTP://THAYTOAN.NET Đại số lớp 12 Jn GV: Nguyễn Vaên Huy - 0968 64 65 97 x n sin x.dx n Đặt u x dv sin x.dx n Đặt u x x dv e dx e) I n x n e x dx e n Đặt u ln x dv dx f) I n ln n x.dx 1 g) I n (1 x )n dx Đặt x cos t 2n Đặt u sin t dv sin t.dt h) I n dx (1 x )n Phân tích (1 x )n x2 Tính J n (1 i) I n x n x dx k) I n dx n cos x dx x )n x2 (1 x )n x2 (1 x )n u x x Đặt dv dx (1 x )n dx n Ñaët u x dv x dx Phân tích n cos x cos x cos n 1 x Đặt t cosn1 x III ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Diện tích hình phẳng Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị (C) hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b] – Trục hoành – Hai đường thẳng x = a, x = b b laø: S f ( x ) dx (1) a Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục đoạn [a; b] – Hai đường thẳng x = a, x = b b laø: S f ( x ) g( x ) dx (2) a Chú ý: b Nếu đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: a b f ( x ) dx f ( x )dx a Trong công thức tính diện tích trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm số dấu Trang 76 HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 tích phân Ta làm sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = f(x) – g(x) = đoạn [a; b] Giả sử tìm nghiệm c, d (c < d) Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b c d b f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx a a c c = d d f ( x )dx a b f ( x )dx c f ( x )dx d (vì đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu) Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị x = g(y), x = h(y) (g h hai hàm số liên tục đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d d S g( y ) h( y ) dy c Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm điểm a b S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x (a x b) Giả sử S(x) liên tục đoạn [a; b] b V S ( x )dx Thể tích B là: a Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường: (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh quay quanh truïc Ox: b V f ( x )dx a Chú ý: Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Oy: (C): x = g(y), truïc tung, y = c, y = d d V g2 ( y )dy là: c VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng Bài 25 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y x x 6, y 0, x 2, x c) y ln x , y 0, x 1, x e x e) y ln x , y 0, x , x e e HTTP://THAYTOAN.NET b) y d) y ln x , y 0, x , x e x e ln x x , y 0, x e, x f) y x , y 0, x 2, x Trang 77 Đại số lớp 12 g) y x GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 , y 0, x 0, x h) y lg x , y 0, x , x 10 10 1 x4 Baøi 26 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: 3 x a) y , y 0, x b) y x , y x , y x 1 c) y e x , y 2, x d) y x , x y 0, y e) y x , y x x 1, y f) y x x 5, y 2 x 4, y x 11 g) y x , y x2 27 ,y 27 x h) y x , y x x 4, y i) y x , x y 0, y k) y x x 5, y x x 3, y x 15 Baøi 27 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y x , y , y 0, x e b) y sin x cos x , y 3, x 0, x x c) y x 2 , y 0, y x , x d) y x x , y x x 6, x 0, x e) y x, y 0, y x f) y x x 2, y x x 5, y g) y x , y x , y h) y a) y x , y x x b) y x x , y x 2 x , y e x , x e Bài 28 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: c) y x , y x2 d) y 1 x2 ,y x2 e) y x , y x f) y x x , y x x x2 g) y ,y 1 x2 h) y x , y x i) y x x , y x k) y x 2, y x Bài 29 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y x , x y b) y x 0, x y c) y y x 0, x y d) y x 1, y x e) y x , y x , y 0, y f) y ( x 1)2 , x sin y g) y x , x y 16 h) y (4 x )3 , y x i) x y 0, x y k) x y 8, y x Bài 30 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y x.e x ; y 0; x 1; x b) y x.ln x; y 0; x 1; x e c) y e x ; y e x ; x d) y x 2 ; y 0; x 0; y x e) y ( x 1)5 ; y e x ; x 1 f) y ln x , y 0, x , x e e g) y sin x cos2 x , y 0, x 0, x h) y x sin x; y x; x 0; x 2 i) y x sin x; y ; x 0; x k) y sin x sin x 1, y 0, x 0, x Bài 31 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: Trang 78 HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 a) (C ) : y x Đại số lớp 12 , tiệm cận xiên (C), x = vaø x = x2 x2 x b) (C ) : y , y , tiệm cận xiên (C), x = –1 vaø x = x2 c) (C ) : y x x x 3, y tiếp tuyến với (C) điểm có hoành độ x = d) (C ) : y x x 2, x 1 tiếp tuyến cới (C) điểm có hoành độ x = –2 e) (C ) : y x x tiếp tuyến với (C) O(0 ; 0) A(3; 3) (C) VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: a) y sin x , y 0, x 0, x b) y x x , y 0, x 0, x c) y sin x cos6 x , y 0, x 0, x d) y x , x e) y x 1, y 0, x 1, x g) y x2 x3 ,y f) y x , y x h) y x x , y x i) y sin x , y cos x , x ,x k) ( x 2)2 y 9, y l) y x x 6, y x x m) y ln x, y 0, x Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Oy: a) x , y 1, y b) y x , y y c) y e x , x 0, y e d) y x , y 1, y Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh: i) truïc Ox ii) truïc Oy a) y ( x 2)2 , y c) y , y 0, x 0, x x 1 e) y x.ln x, y 0, x 1, x e b) y x , y x , y d) y x x , y f) y x ( x 0), y 3 x 10, y g) y x , y x h) x – y 1 x2 y2 i) 1 k) y x 1, y 2, y 0, x l) x y 0, y 2, x m) y x , y 0, x IV ÔN TẬP TÍCH PHÂN Bài Tính tích phân sau: HTTP://THAYTOAN.NET Trang 79 Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 x x dx a) b) d) k) x x l) dx f) i) 1 x x 2x 5x x3 x2 x x2 xdx 1 dx dx x dx ( x x )dx h) x2 3 ( x 1) 1 x 2x e) xdx c) dx x 1 x dx 1 g) x7 m) x2 dx xdx ( x 1) Bài Tính tích phân sau: a) 1 d) x x 1 x5 2x3 x2 b) dx dx e) 2 x 2x o) x x p) x dx x2 x 1 7/3 q) 3 ( x 1)2 s) x 1 x x 1 10 dx x 3 0 x dx m) x 1x dx dx 1 x5 i) l) x x dx 1 x x 3dx x4 xdx f) x54 h) 2 dx 1 r) c) x x dx g) x x dx k) x x dx 3x dx dx dx t) x x dx x x 1 Bài Tính tích phân sau: /4 a) /2 d) e) cos x 4sin x l) /2 r) /2 tan x sin 2004 x sin 2004 x cos2004 x f) cos3 x dx sin x p) dx i) cos5 xdx cos /2 /4 sin x dx cos x q) /3 sin xdx x sin x cos x cos 2 x sin x m) /2 s) cos2 x sin x dx cos x /2 dx sin x cos x dx cos x /3 /2 x tan x dx /2 sin x sin x sin x dx /4 cos x 3cos x /2 c) dx cos x (sin x cos4 x )dx h) /4 o) sin x sin x /2 dx k) b) sin x /2 g) /2 2sin x dx sin x t) x dx sin x dx cos x sin x dx sin x x sin xdx sin x cos2 x Bài Tính tích phân sau: Trang 80 HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 a) x ln( x 5)dx e (esin x cos x ) cos x dx e) x 1 ln xdx x ( x 2) l) dx (4 x e p) ln x x ln x f) x ln x dx 3 1 i) 2x e dx s) dx 1 e x 1)e dx m) e3 x sin x dx e 2e x 0 r) ln3 e x x 2e x /2 o) dx h) ( x 1)e x dx e k) c) ( x 2)e2 x dx ln g) b) ln( x x)dx /2 d) Đại số lớp 12 ln(1 x ) x2 ln x x2 x dx q) x ln(1 x )dx dx ln x ln x dx x e3 t) ln2 x x ln x dx Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: , y 0, x 2, x 2 x a) y x x 1, y 0, x 0, x 1 b) y c) y x x , y 4 1 e) y x , y 0, x 2, x x 1 d) y e x , y 2, x f) y x x , y x x x2 x 2x 1 , y 0, x h) y , y0 x 1 x 1 x 3x m) y , tiệm cận xiên, x 0, x x 1 g) y x2 x n) y , y 0, tiếp tuyến vẽ từ gốc toạ độ x 1 o) y x x x , tiếp tuyến giao điểm (C) với trục tung x x , tiếp tuyến điểm M thuộc đồ thị có hoành độ x = Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường sau quanh trục: p) y a) y x , y 0, x 3; Ox b) y x ln x , y 0, x 1, x e; Ox c) y xe x , y 0, x 1; Ox d) y x , y x 2; Ox e) y x , x 0; Oy f) x ye y , x 0, y 1; Oy CHƯƠNG IV I SỐ PHỨC HTTP://THAYTOAN.NET Trang 81 Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 Khái niệm số phức Tập hợp số phức: C Số phức (dạng đại soá) : z a bi (a, b R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i2 = –1) z số thực phần ảo z (b = 0) z ảo phần thực z (a = 0) Số vừa số thực vừa số ảo a a ' Hai số phức nhau: a bi a’ b’i (a, b, a ', b ' R ) b b ' Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b R) biểu diễn điểm M(a; b) hay u (a; b) mp(Oxy) (mp phức) Cộng trừ số phức: a bi a’ b’i a a’ b b’ i a bi a’ b’i a a’ b b’ i Số đối z = a + bi laø –z = –a – bi u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' u u ' biểu diễn z + z’ u u ' biểu diễn z – z’ Nhân hai số phức : a bi a ' b ' i aa’– bb’ ab’ ba’ i k (a bi ) ka kbi (k R) Số phức liên hợp số phức z = a + bi z a bi z z z z ; z z ' z z ' ; z.z ' z.z '; ; z2 z2 z số thực z z ; z số ảo z z z.z a2 b2 Môđun số phức : z = a + bi z a2 b2 zz OM z 0, z C , z 0 z0 z.z ' z z ' Chia hai số phức: z 1 z (z 0) z Căn bậc hai số phức: z z z' z' z z' z z' z z' z' z '.z z '.z z ' z 1 z z.z z z' w z ' wz z z x yi bậc hai số phức w a bi z2 w x y a xy b w = có bậc hai z = w có hai bậc hai đối Hai bậc hai a > a Hai bậc hai a < a i Trang 82 HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 Phương trình baäc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A ) B AC B , ( bậc hai cuûa ) 2A B : (*) có nghiệm kép: z1 z2 2A Chú ý: Nếu z0 C nghiệm (*) z0 nghiệm (*) : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2 10 Dạng lượng giác số phức: z r (cos i sin ) (r > 0) dạng lương giác z = a + bi (z 0) r a2 b2 a cos r b sin r acgumen z, (Ox, OM ) z z cos i sin ( R ) 11 Nhaân, chia số phức dạng lượng giác Cho z r (cos i sin ) , z ' r '(cos ' i sin ') : z.z ' rr '. cos( ') i sin( ') z r cos( ') i sin( ') z' r ' 12 Công thức Moa–vrơ: n r (cos i sin ) r n (cos n i sin n) , ( n N*) n cos i sin cos n i sin n 13 Caên bậc hai số phức dạng lượng giác: Số phức z r (cos i sin ) (r > 0) có hai bậc hai là: r cos i sin 2 vaø r cos i sin r cos i sin 2 2 2 Mở rộng: Số phức z r (cos i sin ) (r > 0) có n bậc n là: n k 2 k 2 r cos i sin n n , k 0,1, , n VAÁN ĐỀ 1: Thực phép toán cộng – trừ – nhân – chia Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, bậc hai số phức Chú ý tính chất giao hoán, kết hợp phép toán cộng nhân Bài 32 Tìm phần thực phần ảo số phức sau: a) (4 – i) (2 3i) –(5 i) HTTP://THAYTOAN.NET 1 b) i 2i 3 2 c) 3i i 3 Trang 83 Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 3 d) i 2i i e) i i 4 3 i i g) h) 1 i i 2i ai a m k) l) i m ai a ai b 1 i o) p) 2i i a Bài 33 Thực phép toaùn sau: a) (1 i )2 (1 – i )2 1 d) 3i 2 b) (2 i )3 (3 i )3 e) (1 2i ) (1 i ) (3 2i ) (2 i ) f) (2 3i)(3 i ) i) 1 i 1 i m) 3 i (1 2i )(1 i ) q) 3i 5i c) (3 4i )2 f) (2 i )6 g) (1 i )3 (2i )3 h) (1 i)100 i) (3 3i)5 Bài 34 Cho số phức z x yi Tìm phần thực phần ảo số phức sau: z i iz Bài 35 Phân tích thành nhân tử, với a, b, c R: a) z2 z 4i b) a) a2 b) a2 c) 4a 9b2 d) 3a2 5b g) a3 h) a a2 b) 5i c) 1 6i d) 5 12i f) 24i g) 40 42i h) 11 3.i k) 5 12i l) 6i m) 33 56i e) a 16 f) a3 27 Bài 36 Tìm bậc hai số phức: a) 1 3i e) i 2 i) i VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình tập số phức Giả sử z = x + yi Giải phương trình ẩn z tìm x, y thoả mãn phương trình Bài Giải phương trình sau (ẩn z): a) z z b) z z c) z z 4i e) z z 1 8i d) z z f) (4 5i)z i 2i 3i z 1 i 2i zi g) 1 zi h) i) z 3z 12i k) (3 2i )2 ( z i ) 3i 1 l) (2 i ) z i iz 2i m) z i i o) 5i 4i z q) ( z2 9)( z2 z 1) Trang 84 p) ( z 3i )( z2 z 5) r) z3 3z2 5z 3i HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 Bài Giải phương trình sau (ẩn x): a) x 3.x b) x 3.x c) x (3 i) x 3i e) 3x x g) 3x 24 d) 3i.x x i f) i.x 2i.x h) x 16 i) ( x 2)5 k) x l) x 2(1 i) x 2i m) x 2(2 i) x 18 4i o) ix x i p) x (2 3i ) x Bài Tìm hai số biết tổng tích chúng là: a) 3i vaø 3i b) 2i 4i Bài Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận làm nghiệm: a) 4i b) i d) 2 i c) 5i e) i f) i 5i g) (2 i )(3 i ) h) i 51 2i 80 3i 45 4i 38 i) 2i Bài Tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm z1, z2 thoả mãn điều kiện ra: 2 a) z2 mz m 0, ñk : z1 z2 z1z2 3 b) z2 3mz 5i 0, ñk : z1 z2 18 2 c) x mx 3i 0, ñk : z1 z2 Baøi Cho z1 , z2 hai nghiệm phương trình 1 i z2 (3 2i )z i Tính giá trị biểu thức sau: 2 a) A z1 z2 2 b) B z1 z2 z1z2 c) C z1 z2 z2 z1 Baøi Giải hệ phương trình sau: z1 z i a) 2 z1 z 2i z1 z 5 5.i b) 2 z1 z 5 2.i z13 z2 c) z1 ( z2 ) z1 z2 z3 d) z1 z2 z3 z z z z 12 z 8i e) z 4 1 z 8 z 2i z h) z i z 1 z 1 z i 1 f) z 3i z i i) z1 z2 4z1z2 z1 z2 2i z2 z2 2i g) z1 z2 i Bài Giải hệ phương trình sau: x y i x y 2i a) b) 2 x y i x y 8i 1 1 x y2 6 i d) x y 2 e) 1 x y2 2i x y x y i g) 2 x y 2i HTTP://THAYTOAN.NET x y c) xy 4i x y 2i f) 1 17 i x y 26 26 x y h) 3 x y 2 3i Trang 85 Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm Giả sử số phức z = x + yi biểu diển điểm M(x; y) Tìm tập hợp điểm M tìm hệ thức x y Bài Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn điều kiện sau: a) z z b) z z i c) z z 2i z i d) 2i.z z e) 2i z z f) z g) z i z 3i h) k) z i z l) z z 3i 1 zi i) z i m) z i Bài Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn điều kiện sau: a) z 2i số thực b) z i số ảo c) z.z VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác số phức Sử dụng phép toán số phức dạng lượng giác Bài Tìm acgumen số phức sau: a) 3.i b) – 4i d) cos i.sin e) sin i cos 4 8 Bài Thực phép tính sau: a) cos 20o i sin 20o cos 25o i sin 25o c) cos120o i sin120o cos 45o i sin 45o e) g) cos18o i sin18o cos 72o i sin 72o (cos 45 i sin 45 ) (cos15 i sin 15 ) c) 3.i f) (1 i )(1 i ) b) cos i.sin cos i.sin 6 4 d) cos i sin cos i sin 6 4 cos85 i sin 85 f) cos 40 i sin 40 2(cos 45 i sin 45 ) h) 3(cos15 i sin15 ) 2 2 2 2 cos i sin i sin ) 3 3 i) k) 2(cos i sin ) cos i sin 2 2 Bài Viết dạng lượng giác số phức sau: a) i b) i c) (1 i )(1 i ) d) 2.i.( i) (cos 1 i 1 i f) 2i i) i k) i e) g) sin i cos h) l) 0i m) tan i 5 i Bài Viết dạng đại số số phức sau: Trang 86 HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 b) cos i sin 6 3i e) (1 i)(1 2i) a) cos 45o i sin 45o d) (2 i)6 1 i g) 2i h) 1 i 3 3 k) i sin cos 4 2 1 i l) 1 i 100 c) cos120o i sin120o f) i 1 i i) (2 2i ) 1 i 60 40 cos i sin m) 4 17 i Bài Tính: a) cos12o i sin12o d) cos30 i sin 30 16 b) 1 i 21 3i g) 2i k) (cos i sin )i 5.(1 3i )7 3 c) ( i ) e) (cos15o i sin15o )5 f) (1 i)2008 (1 i)2008 12 2008 1 i 1 i 3 h) i) i 2 1 l) z2008 , bieát z z z2008 Bài Chứng minh: a) sin 5t 16sin5 t 20sin3 t 5sin t b) cos 5t 16 cos5 t 20 cos3 t cos t c) sin 3t cos2 t sin3 t d) cos 3t cos3 t cos t II OÂN TẬP SỐ PHỨC Bài Thực phép tính sau: 1 i i b) a) (2 i )(3 2i )(5 4i ) 16 1 i 1 i c) 1 i 1 i d) 7i 8i 3i 3i e) (2 4i)(5 2i) (3 4i )(6 i ) f) i i2 i3 i 2009 g) i 2000 i1999 i 201 i82 i 47 h) i i i n , (n 1) i) i.i i i 2000 k) i 5 (i )7 (i)13 i 100 (i)94 Bài Cho số phức z1 2i, z2 2 3i, z3 i Tính: a) z1 z2 z3 b) z1z2 z2 z3 z3 z1 d) z12 z2 z32 e) z1 z2 z3 z2 z3 z1 c) z1z2 z3 f) z12 z2 z22 z32 Bài Rút gọn biểu thức sau: a) A z4 iz3 (1 2i )z2 3z 3i, với z 3i b) B (z z2 z3 )(2 z z2 ), với z HTTP://THAYTOAN.NET 1 i Trang 87 Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 Bài Tìm số thực x, y cho: a) (1 2i) x (1 y)i i b) x 3 y 3 i 3i 3i x (3 xy y )i Bài Tìm bậc hai số phức sau: a) 6i b) 4i c) i c) (4 3i ) x (3 2i ) xy y 1 i e) 1 i i) 1 i f) i i k) 2 i 2 g) l) 2 1 i i 1 i 2 Baøi Tìm bậc ba số phức sau: a) i b) –27 c) 2i Baøi Tìm bậc bốn số phức sau: a) i 12 b) i Bài Giải phương trình sau: a) z3 125 c) 2i b) z 16 d) 24i h) i, –i m) 1 1 i 1 i d) 18 6i d) 7 24i c) z3 64i d) z3 27i e) z7 2iz4 iz3 f) z6 iz3 i g) z10 (2 i )z5 2i Baøi Gọi u1; u2 hai bậc hai z1 4i v1; v2 hai bậc hai z2 4i Tính u1 u2 v1 v2 ? Baøi 10 Giải phương trình sau tập số phức: a) z2 b) z2 z c) z2 z 10 d) z2 5z e) 2 z2 3z f) 3z2 z g) ( z z )( z z ) h) z2 z i) z2 z k) z z 3i l) z 2i +2 z 2i m) z3 z 2 n) 4z2 z o) iz2 (1 2i )z Bài 11 Giải phương trình sau tập số phức: p) (1 i )z2 11i 4z i 4z i a) 6 5 zi zi b) z 5i z z2 z c) z2 z z2 z 16 d) z3 1 i z2 i z 3i e) z i z2 z f) z2 2iz 2i g) z2 (5 14i )z 2(12 5i) h) z2 80 z 4099 100i i) ( z i)2 6( z i ) 13 k) z2 (cos i sin )z i cos sin Bài 12 Giải phương trình sau tập số phức: a) x (3 4i) x 5i b) x (1 i ) x i c) x x d) x x e) x Bài 13 Giải phương trình sau biết chúng có nghiệm aûo: a) z3 iz2 2iz b) z3 (i 3)z2 (4 4i )z 4i Baøi 14 Tìm m để phương trình sau: z i z2 2mz m 2m Trang 88 HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 a) Chỉ có nghiệm phức c) Có ba nghiệm phức Đại số lớp 12 b) Chỉ có nghiệm thực Bài 15 Tìm m để phương trình sau: z3 (3 i )z2 3z (m i ) có nghiệm thực Bài 16 Tìm tất số phức z cho ( z 2)( z i ) số thực Bài 17 Giải phương trình trùng phương: a) z 8(1 i )z2 63 16i b) z 24(1 i )z2 308 144i c) z 6(1 i )z2 6i Baøi 18 Cho z1 , z2 hai nghiệm phương trình: z2 1 i z 3i Tính giá trị biểu thức sau: 2 a) z1 z2 2 b) z1 z2 z1z2 3 c) z1 z2 1 1 2 2 3 d) z1 z2 e) z2 z1 z1z2 z z z1 z2 z1 z2 z2 z1 f) Baøi 19 Cho z1 , z2 laø hai nghiệm phương trình: x x Tính giá trị biểu thức sau: 2016 2016 a) x1 x2 2015 2015 b) x1 x2 Bài 20 Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức thoả mãn hệ thức sau: a) z 3 z i b) z2 z c) z Baøi 21 Hãy tính tổng S z z2 z3 z n 1 biết z cos z 2 2 i sin n n Bài 22 Viết dạng lượng giác số phức sau: a) i i3 i i b) (1 i )(2 i) c) e) 3 cos i sin 6 g) sin i(1 cos ), Bài 23 Tìm môđun acgumen số phức sau: d) sin i cos , a) 2 2i (1 i)6 (1 i)6 b) ( 1 i ) 10 n c) 1 i 1 i n 2i i d) sin i cos e) cos i sin f) 2 3i 8 4 cos i sin g) sin i cos , h) , 0 i) 3i cos i sin Bài 24 Tìm môđun acgumen số phức sau: a) 2 2i (1 i)6 2 2i (1 i)6 f) cot i, 2i 1 i b) ( 1 i ) 10 i 2i 2i Bài 25 Chứng minh biểu thức sau có giá trị thực: 2 7 a) i i HTTP://THAYTOAN.NET n n c) 1 i 1 i 19 7i 20 5i b) i 6i n n Trang 89 Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 1 i 1 i c) i i e) 1 i 1 i d) Tìm số phức z có môđun nhỏ Bài 27 Xét điểm A, B, C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức sau: Bài 26 Trong số phức z thoả mãn điều kiện z 3i 4i 6i ; (1 i)(1 2i); i 1 3i a) Chứng minh ABC tam giác vuông cân b) Tìm số phức biểu diễn điểm D cho tứ giác ABCD hình vuông Bài 28 Giải phương trình sau, biết chúng có nghiệm ảo: a) z3 (2 2i)z2 (5 4i )z 10i b) z3 (1 i)z2 (i 1)z i c) z3 (4 5i )z2 (8 20i )z 40i Baøi 29 Cho đa thức P ( z) z3 (3i 6)z2 (10 18i)z 30i a) Tính P(3i ) b) Giải phương trình P( z) z 1 Bài 30 Giải phương trình z , biết z 4i nghiệm phương trình z7 Bài 31 Giải phương trình sau: a) z z3 z2 z b) z z3 z2 z c) z 1 z3 z2 1 z d) z z3 z2 z 15 e) z6 z5 13z 14 z3 13z2 z Baøi 32 Giải phương trình sau: 2 2 a) ( z 3z 6) z( z 3z 6) 3z zi b) 8 z i 2 c) ( z z 1) z ( z z 1) 5z zi zi zi d) 1 zi zi zi Lớp Học Thêm Toán Giáo viên: Nguyễn Văn Huy Địa chỉ: 66 – Đặng Đức Thuật – KP6 – Phường Tam Hiệp Biên Hòa – Đồng Nai (cạnh trường THPT Trấn Biên) Điện thoại: 0968 64 65 97 Website: http://thaytoan.net Face: http://facebook.com/hocthemtoan Fanpage: http://facebook.com/hocthemtoan.vn ĐĂNG KÝ HỌC: 0933 619 841 Trang 90 HTTP://THAYTOAN.NET ... N , với số a, b, c lập thành cấp số nhân III HÀM SỐ LUỸ THỪA HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Trang 40 HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 Khái niệm a) Hàm số luỹ thừa... hàm số: y (1) (m tham số) x 1 Trang 34 HTTP://THAYTOAN.NET GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ứng với m = –1 b) Tính diện tích. .. x2 x m x 2mx m Trang 11 Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97 Bài Chứng minh tích khoảng cách từ điểm đồ thị hàm số đến hai tiệm cận số: x2 x x2 5x a) y b) y